高等代数第四章 矩阵PPT
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矩阵PPT课件
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
第19页/共179页
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
第18页/共179页
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
第23页/共179页
例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
第24页/共179页
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积
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2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
第18页/共179页
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
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例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
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三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积
高等代数第4章矩阵1,2,3节
1 2 2 A , 4 5 8
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A
矩阵代数ppt课件
特征向量
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
大学线性代数课件第四章第四节矩阵的秩
答案2
3
添加标题
答案3
4
添加标题
矩阵$A$的秩为3。
5
添加标题
矩阵$B$的秩为3。
6
添加标题
矩阵$C$的秩为3。
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感谢聆听
第矩 阵 秩
三的 应 用
章
在线性方程组中的应用
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩小 于增广矩阵的秩，则线性方程组无解；如 果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小 于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多 解。
VS
向量空间的维数
矩阵的秩还可以用来确定向量空间的维 数。一个向量空间的维数等于该空间的 一组基所含向量的个数，而这个个数与 构成这组基的矩阵的秩相等。
在矩阵分解中的应用
矩阵的LU分解
矩阵的秩可以用于LU分解中。如果一个矩阵可以进行LU分解，那么这个矩阵一定是一个 满秩矩阵，即其秩等于其阶数。
矩阵的QR分解
第 量 点
言击
大
四 简 此
意处
学
节 赅 添
的加
线
矩 阐 正
述文
性
观， 点文 。字
件
的 提
第
炼 ，
四
请 尽
章
壹
目
貳
录
目录
叁
引 言
肆
矩 阵 秩 的 计 算 方 法
伍
矩 阵 秩 的 应 用
陆
矩 阵 秩 的 定 理 和 推 论
第引 言
一 章
矩阵秩的定 义
矩阵的秩也可以通过行或列的初等变换得到，即通过行或 列的线性组合来消除其他行或列中的元素，得到的行或列 中非零元素的个数即为矩阵的秩。
高等代数课件PPT之第4章矩阵
策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分， 平手各得零分
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
高等代数ppt课件
1）如果f(x)与g(x)都等于0，那么0就是f(x)和g(x)的一个最大公因 式；
2）如果g(x) ︳f(x)，那么g(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式；
§4.2 最大公因式
一、最大公因式的概念
1、公因式：如果多项式(x) 即是 f (x)的因式，又是g(x)的因式， 则称(x)为 f (x) 和 g(x) 的公因式。
3) f (x)g(x) = g(x) f (x);
4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).
关于多项式的和与积的次数,我们有
引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时,
deg( f (x)＋g(x))≤max{deg f (x),deg g(x)}. (ii) deg( f (x)g(x)) = deg f (x)＋deg g(x). 推论4.1.2 设f (x), g(x) , h(x) ∈F[x]. (i) 如果f (x) g(x)=0，那么f (x) =0，或者 g(x)=0; (ii) 如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且f (x)≠0，那么g(x) =h(x).
这里当m＜n时， bm+1=…=bn= 0.
多项式f (x)与g(x)的积f (x)g(x)是指多项式 c0＋c1x＋c2x2＋…＋ckxk＋…＋cn+mxn+m,
其中 ck= aibj i jk
k=1,2,3, …,n+m.
对多项式g(x) = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b m1x m1＋bmxm, 所谓g(x) 的负多项式－g(x) 是指多项式
2）如果g(x) ︳f(x)，那么g(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式；
§4.2 最大公因式
一、最大公因式的概念
1、公因式：如果多项式(x) 即是 f (x)的因式，又是g(x)的因式， 则称(x)为 f (x) 和 g(x) 的公因式。
3) f (x)g(x) = g(x) f (x);
4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).
关于多项式的和与积的次数,我们有
引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时,
deg( f (x)＋g(x))≤max{deg f (x),deg g(x)}. (ii) deg( f (x)g(x)) = deg f (x)＋deg g(x). 推论4.1.2 设f (x), g(x) , h(x) ∈F[x]. (i) 如果f (x) g(x)=0，那么f (x) =0，或者 g(x)=0; (ii) 如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且f (x)≠0，那么g(x) =h(x).
这里当m＜n时， bm+1=…=bn= 0.
多项式f (x)与g(x)的积f (x)g(x)是指多项式 c0＋c1x＋c2x2＋…＋ckxk＋…＋cn+mxn+m,
其中 ck= aibj i jk
k=1,2,3, …,n+m.
对多项式g(x) = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b m1x m1＋bmxm, 所谓g(x) 的负多项式－g(x) 是指多项式
高等代数课件(北大版)第四章-矩阵§4-2
0 a12 a12 0 a1n a2n
则称 A 为反对称矩阵.
a1n a2n
ann
a1n a2n
0
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
性质
(1) A, B 对称 A B, A B 对称 ; A, B 反对称 A B, A B 反对称．
(2) A 对称，k P kA 对称 ； A 反对称，k P kA 反对称．
(3) 奇数级反对称矩阵的行列式等于零．
A A A A A (1)n A ,
n 为奇数时，A A A 0.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
想一想 A, B 皆为 n 级对称矩阵， i) A, B 对称，积 AB对称吗? ii) A, B 反对称，积 AB 反对称吗?
例7 已知 A, B 皆为 n 级对称矩阵，证明：
AB 对称 AB BA.
证： 若AB对称，则有
AB ( AB) BA BA .
反过来，若AB=BA，则有 ( AB) BA BA AB. 所以 AB 对称.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
例8 设 A 为 n 级实对称矩阵，且 A2 0，证明：
1
1,
12,
1 3
23
3,
An 3n1
1
3n1 3n1 A 3n1 2
3
1 2 1
3 2
1
3 2
3 1
.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
附: 共轭矩阵
定义
当 A aij 为复矩阵时，用 aij 表示 aij 的共轭 复数, 记 A aij ， A 称为 A 的共轭矩阵.
则称 A 为反对称矩阵.
a1n a2n
ann
a1n a2n
0
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
性质
(1) A, B 对称 A B, A B 对称 ; A, B 反对称 A B, A B 反对称．
(2) A 对称，k P kA 对称 ； A 反对称，k P kA 反对称．
(3) 奇数级反对称矩阵的行列式等于零．
A A A A A (1)n A ,
n 为奇数时，A A A 0.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
想一想 A, B 皆为 n 级对称矩阵， i) A, B 对称，积 AB对称吗? ii) A, B 反对称，积 AB 反对称吗?
例7 已知 A, B 皆为 n 级对称矩阵，证明：
AB 对称 AB BA.
证： 若AB对称，则有
AB ( AB) BA BA .
反过来，若AB=BA，则有 ( AB) BA BA AB. 所以 AB 对称.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
例8 设 A 为 n 级实对称矩阵，且 A2 0，证明：
1
1,
12,
1 3
23
3,
An 3n1
1
3n1 3n1 A 3n1 2
3
1 2 1
3 2
1
3 2
3 1
.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
附: 共轭矩阵
定义
当 A aij 为复矩阵时，用 aij 表示 aij 的共轭 复数, 记 A aij ， A 称为 A 的共轭矩阵.
高等代数 矩阵.
(2) 矩阵相似于对角形的条件：
a. A有n个线性无关的特征向量 A相似于对角形
b. A有n个不同的特征根，则A相似于对角形。
c.设n阶矩阵A有s个不同的特征根 1, 2 , , s ,A
s
的属于 i 的线性无关特征向量的个数为ni， ni n i 1
A相似于对角形。
d.A的初等因子都是一次因式 A相似于对角形.
(8)若
1
1
A
若AB=BA, 则B是A的多项式.
1
4.方阵的行列式
(1) 若A是 n 阶矩阵，AT 是 A的转置矩阵，则| AT || A |;
(2) 若A是n阶矩阵，则 | kA | k n | A |; (3) 若A, B都是n阶矩阵，则 | AB || A || B |;
(4) 若A是n阶矩阵，则 | A || A |n1; (5) 若A是n阶可逆矩阵，则 | A1 || A |1;
的特征向量是方程组 (I A)X 0 的所有非零解.
(1) n阶方阵A的特征多项式
f () | I A | n a1n1 an1 an ,
其中
ak (1) k 1i1i2 ik n Aii11
i2 i2
ik
ik
n
特别地， a1 aii , an (1)n | A | . i 1
e.若r(A)=r,则
A
P
Ir
0
00Q,其中| P | 0，| Q | 0.
f. A=TBT-1,其中B是上三角形矩阵且对角线上的元 素是A的特征根。
g. 若r(A)=r,则A=PR，R是上三角形的矩阵，其主 对角线上前r个元素为1，后n-r个元素为0而|P|≠0.
h. A=B·C,其中BT=B,CT=-C. i. 对任意n阶矩阵A有A=BU，其中B是半正定矩阵， U为酉矩阵。
a. A有n个线性无关的特征向量 A相似于对角形
b. A有n个不同的特征根，则A相似于对角形。
c.设n阶矩阵A有s个不同的特征根 1, 2 , , s ,A
s
的属于 i 的线性无关特征向量的个数为ni， ni n i 1
A相似于对角形。
d.A的初等因子都是一次因式 A相似于对角形.
(8)若
1
1
A
若AB=BA, 则B是A的多项式.
1
4.方阵的行列式
(1) 若A是 n 阶矩阵，AT 是 A的转置矩阵，则| AT || A |;
(2) 若A是n阶矩阵，则 | kA | k n | A |; (3) 若A, B都是n阶矩阵，则 | AB || A || B |;
(4) 若A是n阶矩阵，则 | A || A |n1; (5) 若A是n阶可逆矩阵，则 | A1 || A |1;
的特征向量是方程组 (I A)X 0 的所有非零解.
(1) n阶方阵A的特征多项式
f () | I A | n a1n1 an1 an ,
其中
ak (1) k 1i1i2 ik n Aii11
i2 i2
ik
ik
n
特别地， a1 aii , an (1)n | A | . i 1
e.若r(A)=r,则
A
P
Ir
0
00Q,其中| P | 0，| Q | 0.
f. A=TBT-1,其中B是上三角形矩阵且对角线上的元 素是A的特征根。
g. 若r(A)=r,则A=PR，R是上三角形的矩阵，其主 对角线上前r个元素为1，后n-r个元素为0而|P|≠0.
h. A=B·C,其中BT=B,CT=-C. i. 对任意n阶矩阵A有A=BU，其中B是半正定矩阵， U为酉矩阵。
高等代数课件北大版第四章矩阵
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-4
立即可得,
a11 a 21 * AA a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn A1 1 A 2 1 A1 2 A 2 2 A1 n A 2 n
d 0 0 0 d 0 dE . 0 0 d数学与计算科学学院 2012-9-22 §4.4 矩阵的逆
AB A 2B
求矩阵B．
解：由
，得 ( A
2 E ) B A ，又
2 3 3 A 2 E 1 1 0 2 0 1 2 1
A 2E
可逆，且
(A 2E )
1
1 1 3 3 1 1 3 2 1 1 1
0 3 3 1 B ( A 2 E ) A 1 2 3 1 1 0
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1 1 E 1
A
1
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
三、逆矩阵的运算规律
1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A
1 1 1
A.
2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
X A CB
1
1
.
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3. 矩阵积的秩
定理4
A s n ,
若 Ps s , Q n n 可逆，则
R( A) R( PA) R( AQ ) R( PAQ )
证： 令
B PA,
由定理2， R ( B ) R ( A ),
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《高等代数课件》
4 1 1 1 0
例3
求矩阵A的特征值和特征向量
A
4
3
0 .
1 1 0
1 0 2
解 (i) 由EA 4 3 0 (2)(1)2
1 0 2
得 A 的 特 1 2 征 ， 2 值 3 1 ；
(ii) 当 1 2 时(2 ， E A )x 解 0 .
3 1 0 1 0 0
由2EA4 1 00 1 0
第4.1节 特征值与特征向量
• 特征值与特征向量概念 • 特征值与特征向量性质
返回
1.特征值与特征向量概念
(1)特征值与特征向量定义 设A为n阶方阵，若存在数 λ 及非零向量x使
Ax = λx
则称数 λ为A的特征值，x为A的对应于λ 的特征
向量. 例如
A 0 3 1 1 ,1,x 1 2 ,有 A xx
1 0 0 0 0 0
0
例2与例3中,
得xx12 00,全
部
特
征k1向 0(k量 10为 );重特征值所
1
对应的线性
当 23 1 时(， E A )x 解 0 . 无关特征向
2 1 0 1 0 1 由EA4 2 00 1 2
量的个数是 不相同的.
1 0 1 0 0 0
1
得 xx212xx33,全
k1x1+k2x2+…+kmxm=0
(*)
用方阵A左乘上式两端,得
k1Ax1+k2Ax2+…+ks Axm=0
再利用 Axi=i xi ( i=1,2, …,m),得
k11x1+k22x2+…+kmmxm=0 (**)
(**)- λm(*),得
高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-2
k 1
i 1,2, , s, j 1,2, ,m
称为 A 与 B的积，记为 C AB ．
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
注意 ① 乘积 AB 有意义要求 A 的列数＝B的行数. ② 乘积 AB 中第 i 行第 j 列的元素由 A 的第 i 行
乘B 的第 j 列相应元素相加得到．
一、加法 二、乘法 三、数量乘法 四、转置
2020/1/14
数学与计算科学学院
一、加法
1．定义 设 A (aij )sn , B (bij )sn , 则矩阵
C (cij )sn (aij bij )sn 称为矩阵A与B的和，记作 C A B ．即
a11 b11 a12 b12
3
1 4
AB
9 9
2 9
1 11
,
而 BA无意义．
例3． A
2 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 2
,
B
2 3
4 6
AB
16 8
32 16
,
BA
0 0
0 0
,
AB BA.
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
1
例4．
① 一般地，AB BA. 若 AB BA ，称A与B可交换．
② AB 0 未必有 A 0 或B 0 ． 即 A 0 且B 0 时，有可能 AB 0 ．
③ AX AY未必 X＝Y．
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
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2．矩阵乘法的运算规律
(1) ( AB)C A(BC)
i 1,2, , s, j 1,2, ,m
称为 A 与 B的积，记为 C AB ．
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
注意 ① 乘积 AB 有意义要求 A 的列数＝B的行数. ② 乘积 AB 中第 i 行第 j 列的元素由 A 的第 i 行
乘B 的第 j 列相应元素相加得到．
一、加法 二、乘法 三、数量乘法 四、转置
2020/1/14
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一、加法
1．定义 设 A (aij )sn , B (bij )sn , 则矩阵
C (cij )sn (aij bij )sn 称为矩阵A与B的和，记作 C A B ．即
a11 b11 a12 b12
3
1 4
AB
9 9
2 9
1 11
,
而 BA无意义．
例3． A
2 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 2
,
B
2 3
4 6
AB
16 8
32 16
,
BA
0 0
0 0
,
AB BA.
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
1
例4．
① 一般地，AB BA. 若 AB BA ，称A与B可交换．
② AB 0 未必有 A 0 或B 0 ． 即 A 0 且B 0 时，有可能 AB 0 ．
③ AX AY未必 X＝Y．
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
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2．矩阵乘法的运算规律
(1) ( AB)C A(BC)
山东大学数学专题高等代数部分第四章第二讲PPT
设λ是B的任一特征值，X 是B属于λ的特征向量，λ , X 的分量皆为实数， 则有 X ′ABX + X ′BAX = X ′CX ，即X ′ABX + ( BX )′ AX = X ′CX , 于是 X ′Aλ X + λ X ′AX = X ′CX , A, C正定,则 X ′AX > 0, X ′CX > 0， 因此 2λ X ′AX = X ′CX > 0, λ > 0，B的所有特征值为正，即 B是正定矩阵.
λ − λn
即λ1 L λn是 λ A − B ＝0的根，故 λ A − B 的根都大于0. 若A = B，显然 λ A − B 的所有根等于1，这是因为
λ A − B ＝ λ A − A = (λ − 1) A = (λ − 1) n A . A ≠ 0，(λ − 1) n＝0 ⇔ λ A − B ＝0,即λ＝1
A,B都 3. 设A,B都是正定矩阵 , 证明 ： A - B ＝ 0 的根 都 大于 0 ，且 λA - B ＝ 0 的所 有 根等 于1 的 充 要条 件是 A = B λ λ1 −1 证： A正定,则存在可逆矩阵C使 C ′AC = I，令B1 = C ′BC , 则T B1T = O λn 其中T 是正交矩阵，λi是B1的特征值，B正定,故 B1正定. λ1 于是 λi > 0，令CT = P，则P′AP = I，P′BP = O = B2 , λn λ − λ1 我们有P′(λ A − B ) P = λ P′AP − P′BP = λ I − B2 = O ， λ − λn λ − λ1 O ＝0， λ A − B ＝0 ⇔ P′(λ A − B) P ＝0，即
高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-1
a21
a22
am1 as1
a1n
a2
n
asn
称为A的负矩阵，记作－A .
即 A (aij )sn .
§4.1 2020/1/14 矩阵的概念
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1
对角矩阵 diag(1,
,n )
0
0 ;
n
1 0
单位矩阵 E 0
1 ;
k 0
数量矩阵 kE 0
k ;
§4.1 2020/1/14 矩阵的概念
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负矩阵 设 A (aij )sn , 矩阵
a11 a12
一、矩阵的概念 二、矩阵的相等 三、一些特殊矩阵
2020/1/14
数学与计算科学学院
一、矩阵的定义
1．定义
a11 a12
数表
a21
a22
as1 as2
a1n
a2n
称为一个 s
n
矩阵．
asn
记作：(aij )sn 或 Asn .
§4.1 2020/1/14 矩阵的概念
三、一些特殊矩阵
0 0
零矩阵 0 0
0 ;
行阵 (a1,a2 , ,an );
a1 Βιβλιοθήκη 列阵 a2
;
an
方阵
a11 a12
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
;
ann
§4.1 2020/1/14 矩阵的概念
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数学与计算科学学院
高等代数 讲义 第四章
⎜⎝ 0 0 λ2 ⎟⎠⎜⎝ 0 0 λ ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 λ 3 ⎟⎠
§4.1 矩阵的概念
由此归纳出
⎜⎛ λ k
Ak
=
⎜ ⎜
0
⎜⎜⎝ 0
kλ k −1 λk 0
k (k − )1 λ k −2 ⎟⎞
2 kλ k −1
⎟ ⎟
λk
⎟⎟⎠
(k ≥ 2)
用数学归纳法证明之.
当 k = 2 时，显然成立. 假设 k = n 时成立，则 k = n + 1时，
第一节：矩阵的概念 第二节：矩阵的运算
本堂课的要求：
掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟 练地对矩阵进行运算。
掌握转置矩阵及其运算性质。 掌握方阵的幂、方阵的多项式。
重点难点
矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。
§4.1 矩阵的概念
一、矩阵的概念 二、矩阵的相等 三、一些特殊矩阵
L L L L
−a1n −a2n L −asn
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
称为A的负矩阵，记作－A .
即 − A = (−aij )s×n .
§4.1 矩阵的概念
一、加法
1．定义 设 A = (aij )s×n , B = (bij )s×n , 则矩阵
C = (cij )s×n = (aij + bij )s×n 称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B ．即
§4.1 矩阵的概念
⎜⎛ λn
An+1
=
AnA =
⎜ ⎜
0
nλn−1 λn
n(n − 1)λn−2
2 nλn−1
⎟⎞ ⎟ ⎟
⎜⎛ ⎜
扬州大学高等代数课件(北大三版)--第四章 矩阵
3
2
kj
zj)
a
k 1 j 1
3
2
ik
bkj z j
a
j 1 k 1
2
3
ik
bkj z j
( a
j 1 k 1
2
3
ik
bkj ) z j
c
j 1
2
ij
zj
（ i 1, 2, 3, 4 ） →
即
x1 a11 c21 z1 c22 z2 高 (3) , c31 z1 c32xz2 a 21 2 等 x3 c41 z1 c42 z2 a 31 代 换一个角度认识问题： a 41 x4 数
高 等 代 数
补充： 设 矩 阵 a11 a 21 ( 1 , 2 , , n ) as1 b11 b 21 ( 1 , 2 , , m ) bs1 a12 a22 as 2 b12 b22 bs 2 a1n a2 n , asn b1m b2 m , bsm
B1 B2 B3 1 B 3 2 1 2 1 4 2 4 A 1 2 A2
4
3 A B 2 3 1 23
2 1 3 3
B1 B2 B3 72 11
矩 阵
2 4 4 3 2 5
9 2
6 A 1 5 A2
k 1
称 C 为 A，B 的乘积. 矩阵乘法的意义： cij aik bkj ai1b1 j ai 2b2 j ainbnj ；
n
4
a11 AB i ai1 a s1 a12 ai 2 as 2
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矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的m行n 列的数表
a11 a12 L
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n
a2n
M
amn
称为 m n矩阵. 简记为 A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
高等代数
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第四章 矩 阵
1、矩阵概念的一些背景
矩阵是线性代数中最基本的概念之一， 也 是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武 器之一。
2020/3/25
第四章 矩阵
1 1
高等代数
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矩阵在密码学中的应用实例 古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码：在保 留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下， 把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第 4个字母。人们为了纪念恺撒德，就把这种密码 称为恺撒密码。但是恺撒密码有一个致命的缺陷， 即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密 文出现的频率是相通的。1929 年，Hill 提出了 一种克服恺撒密码缺陷的密码，该密码以矩阵变 换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞 生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新 阶段。
b2n M bsn
称为A和B的和，记为C＝A+B。
注 1）矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。相加 的矩阵必须要有相同的行数和列数
2）矩阵加法满足
结合律：A+(B+C)=(A+B)+C； 交换律： A+B=B+A。
2020/3/25
第四章 矩阵
8 8
高等代数
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3）元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为Osn或O。 对于所有的矩阵A，都有A+O＝A。
高等代数
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2 3
aikbkj z j (i 1,2,3,4) . (3)
j1 k 1
2
如果用 xi cij z j (i 1,2,3,4) (4) j 1
来表示 x1 , x2 , x3 , x4 与 z1 , z2 之间的关系，
比较 (3) ，(4) 两式，就
有
3
cij aikbkj (i 1,2,3,4; j 1,2) . (5)
k 1
2020/3/25
第四章 矩阵
13 13
高等代数
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引例 2 总收入与总利润
设某地区有甲、乙、丙三个工厂, 每个工厂都
生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 4种产品.已知每个工厂的年
2020/3/25
第四章 矩阵
5 5
高等代数
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如 2 3 5 9 是一个 1 4 矩阵,
1 2 是一个 3 1 矩阵, 4
4 是一个 11 矩阵.
例4
设A＝(aij)mn，B＝(bij)lk，如果m＝l，n
＝k，且对于i＝1,2,…,m； j＝aij1=,2b,ij…,n,
2020/3/25
第四章 矩阵
4 4
高等代数
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例1 1 0 3 5 是一个 2 4 实矩阵, 9 6 4 3
13 6 2i 2 2 2 是一个 3 3 复矩阵, 2 2 2
例2 n维向量也可以看成矩阵的特殊形式： n维行向量就是1×n矩阵；n维列向量就是n×1矩阵。
求 x1, x2, x3, x4与 z1, z2之间 把 (2) 代入 (1) ，
的关系.
3
3 得 2
xi aik yk aik bkjz j
k 1
k 1
j 1
32
23
aik bkj z j
aik bkj z j
k 1 j1
j1 k 1
2020/3/25
第四章 矩阵
12 12
4）矩阵
a11 a21 M as1
a12 L a22 L
M as2 K
a1n a2n
M asn
称为矩阵A的负矩阵，记为-A。则有A +(-A)＝ O
。5）矩阵的减法定义为
A－B＝A＋(-B)
6）秩( A＋B) ≤秩(A)＋秩(B)
2020/3/25
第四章 矩阵
9 9
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a22 a32
y2 y2
a23 y3 a33 y3
, ,
(1)
x4 a41 y1 a42 y2 a43 y3 .
2020/3/25
第四章 矩阵
11 11
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y1 b11z1 b12 z2 ,
y2
b21z1
b22 z2
,
(2)
y3 b31z1 b32 z2 ,
2020/3/25
第四章 矩阵
10 10
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2、乘法 引例 1 变量组之间的关系
设有三组变量 x1 , x2 , x3 , x4 、 y1 , y2 , z2 ，y它3 们、之z间1 ,的关系分别为
x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 ,
xx23
a21 y1 a31 y1
例1 12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4
1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加 法运算.
都成立，
称A＝B。
2020/3/25
第四章 矩阵
6 6
高等代数
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2、矩阵的运算
1、加法 定义1 设
a11 a12 L a1n
A
aij
sn
a21 M
as1
a22 M as2
L K
a2n M asn
b11 b12 L
B
bij
sn
b21 M bs1
b22 M bs 2
L K
b1n b2n M bsn
2020/3/25
第四章 矩阵
7 7
高等代数
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则 C
cij
sn
aij bij
sn
a11 b11 a12 b12 L a1n b1n
a21 as1
b21 M bs1
a22 b22 L M
as2 bs2 K
a2n asn
2020/3/25
第四章 矩阵
2 2
高等代数
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化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但 是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。 定义 化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种 原子的个数，排列成的数字表称为化学反应矩阵。
2020/3/25
第四章 矩阵
3 3
高等代数
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