组合的综合应用

组合的综合应用
探究点1 有限制条件的组合问题
课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选．
(2)至多有两名女生当选．
(3)既要有队长，又要有女生当选．
【解】 (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．或采用排除法有C513－C511＝825种．
(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种．
(3)分两种情况：
第一类：女队长当选，有C412种；
第二类：女队长不当选，
有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种．
故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790种．
[变问法]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C511＝462种选法．第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C411＋C411＝660种选法．
所以至多1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122 种．
有限制条件的组合问题分类
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：
一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；
二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
1.若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )
A．60种B．63种
C ．65种
D ．66种
解析：选A.若四个数之和为奇数，则有1个奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数．若是1个奇数3个偶数，则有C 15C 34＝20种，若是3个奇数1个偶数，则有C 35C 1
4＝40种，共有20＋40＝60种不同的取法．
2．(2018·江苏盐城大丰新中学高二下学期期中)现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有________种不同的选派方案．(用数字作答) 解析：根据题意，分两种情况讨论：
①甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的6人中再选出3人，有C 12×C 36＝40(种)选派方案；
②甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有C 46＝15(种)选派方案．则共有40＋15＝55种选派方案．
答案：55
探究点2 组合中的分组、分配问题
按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？
(1)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(3)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．
【解】 (1)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有C 26种，甲不论用哪种方法，取得2本书后，乙再从余下的4本书中任取2本有C 24种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本书中取两本书，有C 22种方法，所以一共有C 26C 24C 22＝90(种)方法．
(2)先在6本书中任取1本，作为一堆，有C 16种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有C 25种取法，最后余下3本书作为一堆，有C 33种取法，共有方法C 16C 25C 33＝60(种)．
(3)分成三堆共有C 16C 25C 33种，但每一种分组方法又有A 33种不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有C 16C 25C 33A 33＝360(种)．
在本例条件下，若甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两个人每个人得1本，有多少种分法？
解：先分成三堆，为部分均匀分组问题，共有C 46C 12C 11A 22种，然后分给三个人共有C 46C 12C 11A 22·A 33＝90(种)．
分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n 组均匀，最后必须除以n ！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题．
分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多一球，有多少种放法？
(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44
＝256种放法．
(2)这是全排列问题，共有A 44＝24种放法．
(3)法一：先将4个小球分为三组，有C 24C 12C 11A 22
种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A 34种投放方法，故共有C 24C 12C 11A 22·A 34＝144种放法． 法二：先取4个球中的两个“捆”在一起，有C 2
4种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A 34种投放方法，所以共有C 24A 34＝144种放法．
(4)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有C 34C 13＝12种放法． 探究点3 与几何图形有关的组合问题
如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A ，B 的六个点C 1，C 2，…，C 6，线段AB 上有异于A ，B 的四个点D 1，D 2，D 3，D 4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C 1
点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A ，B )中的4个为顶点，可作出多少个四边形？
【解】 (1)法一：可作出三角形C 36＋C 16·C 24＋C 26·C 1
4＝116(个)．
法二：可作三角形C 310－C 34＝116(个)，
其中以C 1为顶点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)．
(2)可作出四边形C 46＋C 36·C 16＋C 26·C 26＝360(个)．
解答几何图形类组合问题的策略
(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．
(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数
(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多
少种不同的取法？
解：(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个
点，从中取出3点必与点A共面共有3C35种取法；含顶点A的三条棱上各有
三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数
原理，与顶点A共面的三点的取法有3C35＋3＝33种．
(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C410种，除去4点共面的取法种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面．有4C46＝60种，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为：C410－(60＋6＋3)＝141种．
探究点4 排列、组合的综合应用
从1到9的九个数字中取3个偶数、4个奇数，问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？
【解】 (1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C34种取法；第二步，在5个奇数中取4个，可有C45种取法；第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有A77种排法．所以符合题意的七位数有C34·C45·A77＝100 800(个)．
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34·C45·A55·A33＝14 400(个)．
解答排列、组合综合问题的思路及注意点
(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
(2)解排列、组合综合问题时要注意以下两点：
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．
将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子放有2个连号小球的所有不同放法有________种．(用数字作答)
解析：先把4个小球分为(2，1，1)一组，其中2个连号小球的种类有(1，2)，(2，3)，(3，4)为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，共有C13A33＝18种．
答案：18
1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有( )
A．26种B．84种
C．35种D．21种
解析：选C.从7名队员中选出3人有C37＝7×6×5
3×2×1
＝35种选法．
2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )
A．9 B．14
C．12 D．15
解析：选A.法一(直接法)分两类：
第1类，张、王两同学都不参加，有C44＝1种选法；
第2类，张、王两同学中只有1人参加，有C12C34＝8种选法．
故共有1＋8＝9种选法．
法二(间接法)：共有C46－C24＝9种不同选法．
3．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
解析：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．
答案：660
4．现有10名学生，其中男生6名．
(1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？
(2)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？
(3)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？
解：(1)法一(直接法)：必须有女生可分两类：第一类只有一名女生，共有C16C14＝24种；第二类有2名女生，共有C24＝6种，根据分类加法计数原理，必须有女生的不同选法有C16C14＋C24＝30种．
法二(间接法)：C210－C26＝45－15＝30(种)．
(2)C26C24＝90(种)．
(3)C28＝28(种)．
知识结构深化拓展
1.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行
放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了
若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一
种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方
法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元
素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象
(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插
入m－1块板．
2．解决先选后排问题时，应遵循三大原则
(1)先特殊后一般；
(2)先组合后排列；
(3)先分类后分步.
[A 基础达标]
1．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A．60种B．70种
C．75种D．150种
解析：选C.根据题意，知从6名男医生中选2名、从5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C26C15＝75(种)．
2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A．14种B．24种
C．28种D．48种
解析：选A.法一：分两类完成：
第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；
第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．
故共有C12·C34＋C22·C24＝14种不同的选派方案．
法二：6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14种．
3．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种B．18种
C．36种D．54种
解析：选B.先将1，2捆绑后放入信封中，有C13种放法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24×C22(种)放法，所以共有C13×C24×C22＝18(种)放法．
4．平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任意三点不共线，过这十个点中的任意两点所确定的直线中，至少过一个红点的直线的条数是( ) A．30 B．29
C．28 D．27
解析：选B.过一个红点有C14C16－1＝23(条)直线；过两个红点有C24＝6(条)直线，所以共有23＋6＝29条直线，故选B.
5．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( )
A．A26×A45种B．A25×54种
C．C26×A45种D．C26×54种
解析：选D.因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有C26种情况，其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，根据分步乘法计数原理可得共有C26×54种情况．故选D.
6．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．
解析：男生和女生共7人，从7人中选出4人，有C47种选法．若选出的4人都是男生，有C44种选法，故选出的4人中既有男生又有女生，共有C47－C44＝34种不同的选法．
答案：34
7．从0，1，2，3，4，5这6个数中每次取3个不同的数，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有________个．
解析：先选取3个不同的数，有C36种选法；然后把其中最大的数放在百位上，另2个不同的数放在十位和个位上，有A22种放法，故共有C36A22＝40个三位数．
答案：40
8．艺术节期间，秘书处派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到A、B、C三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人．若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有________种．
解析：(间接法)四个人分别到三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人的方法种数为C24A33＝36，甲、乙两人在同一演出场馆工作的方法数为A33＝6，故不同的分派方案有36－6＝30(种)．
答案：30
9．某志愿者小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人去参加志愿活动，下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生；
(2)两队长当选．
解：(1)一名女生，四名男生，故共有C15·C48＝350(种)．
(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)．
10．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，有多少种不同的选法？
解：设集合A＝{只会划左舷的3人}，B＝{只会划右舷的4人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的5人}．先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．
第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B，C中选3人，有C39种选法，同理可得②③④的选法种数．故共C33C39＋C23C15C38＋C13C25C37＋C03C35C36＝2 174种不同的选法．
[B 能力提升]
11．
如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为( )
A．208 B．204
C．200 D．196
解析：选C.任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C34；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C33；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C33，所以可以构成三角形的组数为：C312－3C34－8C33＝200，故选C.
12．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．
解析：定向分配问题，先分组后分配．将8张奖券分四组，再分配给4个人．分四组有两种方法：一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4个人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4个人有C23A24种分法．所以不同的获奖情况有A44＋C23A24＝24＋36＝60种．
答案：60
13．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：
(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个．
(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C24·22·A33个．
(3)0和1都不取，有不同的三位数C34·23·A33个．
综上所述，共有不同的三位数：
C14C12C13·22＋C24·22·A33＋C34·23·A33＝432个．
法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C35·23·A33－C24·22·A22＝432个．
14．(选做题)已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680种．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法A14·(C16·C33)A44＝576种．
两个计数原理与排列、组合(强化练)
一、选择题
1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7种B．12种
C．64种D．81种
解析：选B.要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．故共有4×3＝12种不同的配法．
2．从n个人中选出两人，分别从事两项不同的工作，若选派方案的种数为72，则n的值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
解析：选B.因为A2n＝72，所以n＝9.
3．将4名大学生分配到A，B，C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有( )
A．36种B．30种
C．24种D．20种
解析：选C.根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个学校，有A33＝6种情况，
②没有人与甲在同一个学校，则有C23·A22＝6种情况；
则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有2×(6＋6)＝24种，故选C.
4．有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有( )
A．72种B．54种
C．48种D．8种
解析：选C.用分步乘法计数原理：第一步：先排每对师徒有A22·A22·A22，
第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有A33种，由分步乘法计数原理共有A33·(A22)3＝48种．
5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是( )
A．36 B．42
C．48 D．54
解析：选C.若从0，2，4中取一个数字是“0”，则“0”不放百位，有C12种放法，再从1，3，5中取两个数字放在其他两位，有A23种放法，共组成C12·A23＝12个三位数；若从0，2，4中取的一个数字不是“0”，则有C12种取法，再从1，3，5中取两个数字有C23种取法，共组成C12C23·A33＝36个三位数．所以所有不同的三位数有12＋36＝48(个)．
6．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为( )
A．80 B．120
C．140 D．50
解析：选A.首先选2个人放到甲组，共有C25＝10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个小组，每组至少一人，共有C23A22＝6种结果，所以根据分步乘法计数原理知有10×6＝60种结果；当甲组中有三个人时，有C35A22＝20种结果．所以共有60＋20＝80种结果．故选A. 7．安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为( )
A．72种B．96种
C．120种D．156种
解析：选B.甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日，故有A36＝120种，其中丁没有连续的安排，安排甲、乙、丙三位教师后形成了4个间隔，任选3个安排丁，故有A33C34＝24种，故丁至少要有两天连续安排120－24＝96种，故选B.
8．某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有( )
A．27种B．30种
C．33种D．36种
解析：选B.因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案，①2，2，1方案：甲，丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：C23×A33＝18种；②3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有C12×A33＝12种；所以不同的选派方案共有18＋12＝30种．故选B.
9．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有( )
A．324个B．216个
C ．180个
D ．384个
解析：选A.个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有C 2
3·A 3
3·C 1
4＋A 3
3·C 1
3＝90(个)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数、2个奇数的有C 2
3·A 3
3·C 1
4＋C 1
3·C 2
3·A 3
3·C 1
3＝234(个)．根据分类加法计数原理得到共有90＋234＝324(个)．故选A.
10．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一条信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息条数为( ) A ．10 B ．11 C ．12
D ．15
解析：选B.由题意可分为3类．
第一类，任两个对应位置上的数字都不相同，有C 04种方法． 第二类，有1个对应位置上的数字相同，有C 1
4种方法． 第三类，有2个对应位置上的数字相同，有C 24种方法． 故共有C 0
4＋C 1
4＋C 2
4＝11(条)，故选B. 二、填空题
11．若A 7
n －A 5n
A 5n ＝89，则n ＝________．
解析：A 7
n －A 5
n A 5n ＝（n －5）（n －6）A 5
n －A 5
n
A 5
n ＝(n －5)(n －6)－1＝89， 即n 2
－11n －60＝0，
解得n ＝15或n ＝－4(舍去)． 答案：15
12．有5名男生和2名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，则不同的选法共有________种．
解析：由题意知，从7人中选出5人担任5个学科科代表，共有A 5
7＝2 520(种)不同的选法． 答案：2 520
13．(2018·江西临川一中高二下学期月考)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色的方法有________种．
解析：若1，3不同色，则1，2，3，4必不同色，有3A 4
4＝72(种) 涂色方法；若1，3同色，有C 1
4×A 3
3＝24(种)涂色方法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96(种)涂色方法． 答案：96
14．从－7，－5，－2，－1，1，2，5，7中任取3个不同的数作为椭圆ax 2
＋by 2
－c ＝0的系数，则能确定的椭圆的个数为________．
解析：椭圆方程化为标准形式为x 2c a ＋y 2
c b
＝1.
由c a ＞0，c b
＞0，得a ，b ，c 同号．
当a ，b ，c 同为正数时，取三个不同的数有A 3
4种取法，可得A 3
4＝24个椭圆．
当a ，b ，c 同为负数时，取三个不同的数有A 3
4种取法，可得A 3
4＝24个椭圆，但此时每个椭圆均与a ，b ，c 同为正数时重复，如a ＝－7，b ＝－5，c ＝－2与a ＝7，b ＝5，c ＝2对应的椭圆重复．所以能确定的椭圆有24个． 答案：24 三、解答题
15．现有10件产品，其中有2件次品，任意取出3件检查． (1)若正品A 被取到，则有多少种不同的取法？ (2)恰有一件是次品的取法有多少种？ (3)至少有一件是次品的取法有多少种？ 解：(1)C 2
9＝9×82
＝36(种)．
(2)从2件次品中任取1件，有C 1
2种取法，从8件正品中任取2件，有C 2
8种取法，由分步乘法计数原理得，不同的取法共有C 12×C 2
8＝2×8×72
＝56种．
(3)法一：含1件次品的取法有C 12C 2
8种，含2件次品的取法有C 2
2×C 1
8种，由分类加法计数原理得，不同的取法共有C 1
2×C 2
8＋C 2
2×C 18＝56＋8＝64种．
法二：从10件产品中任取3件，取法有C 3
10种，不含次品的取法有C 3
8种，所以至少有1件次品的取法有C 3
10－C 3
8＝64种．
16．7名班委中有A ，B ，C 三人，有7种不同的职务．现对7名班委进行职务具体分工． (1)若正、副班长两职只能从A ，B ，C 三人中选两人担任，则有多少种分工方案？ (2)若正、副班长两职至少要选A ，B ，C 三人中的一人担任，则有多少种分工方案？ 解：(1)先安排正、副班长有A 2
3种方法，再安排其余职务有A 5
5种方法．由分步乘法计数原理知共有A 23A 5
5＝720种方法．
(2)7人的任意分工方案有A 7
7种，A ，B ，C 三人中无一人任正、副班长的分工方案有A 2
4·A 5
5种，
因此A ，B ，C 三人中至少有一人任正、副班长的方案有A 77－A 24·A 5
5＝3 600(种)． 17．5男5女共10个同学排成一行． (1)女生都排在一起，有几种排法？ (2)女生与男生相间，有几种排法？ (3)任何两个男生都不相邻，有几种排法？ (4)5名男生不排在一起，有几种排法？
解：(1)将5名女生看作一人，就是6个元素的全排列，有A 6
6种排法．又5名女生内部有A 5
5种排法，所以共有排法A 6
6·A 5
5＝86 400种．
(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有排法2A 5
5·A 5
5＝28 800种．
(3)女生先排，女生之间及首尾共有6个空隙．任取其中5个安插男生即可，因而任何男生都不相邻的排法共有A 5
5·A 5
6＝86 400种．
(4)直接分类较复杂，可用间接法．即从10个人的排列总数中，减去5名男生排在一起的排法数，得5名男生不排在一起的排法数为A 10
10－A 55A 6
6＝3 542 400种．
18．把4个男同志和4个女同志平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况． (1)有几种不同的分配方法？
(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志，有几种不同的分配方法？ (3)男同志与女同志分别分组，有几种不同的分配方法？
解：(1)男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一个车，共有C 2
8种，再上第二个车共有C 2
6种，再上第三个车共有C 2
4种，最后上第四个车共有C 2
2种，按分步乘法计数原理有C 2
8·C 2
6·C 2
4·C 2
2＝2 520种．
(2)要求男女各1人，因此先把男同志安排上车，共有A 4
4种不同方法，同理，女同志也有A 4
4种方法，由分步乘法计数原理，车上男女各1人的不同分配方法为A 4
4·A 4
4＝576种． (3)男女分别分组，4个男的平均分成两组共有C 2
42＝3种，4个女的平均分成两组也有C 2
4
2＝3
种不同分法，这样分组方法就有3×3＝9种，对于其中每一种分法上4辆车，又有A 4
4种上法，因而不同分配方法为9·A 4
4＝216种．。