组合的综合应用

组合的综合应用

探究点1 有限制条件的组合问题

课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)至少有一名队长当选．

(2)至多有两名女生当选．

(3)既要有队长，又要有女生当选．

【解】 (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．或采用排除法有C513－C511＝825种．

(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种．

(3)分两种情况：

第一类：女队长当选，有C412种；

第二类：女队长不当选，

有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种．

故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790种．

[变问法]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？

解：分两类情况：

第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C511＝462种选法．第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C411＋C411＝660种选法．

所以至多1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122 种．

有限制条件的组合问题分类

有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：

一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；

二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．

1.若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )

A．60种B．63种

C ．65种

D ．66种

解析：选A.若四个数之和为奇数，则有1个奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数．若是1个奇数3个偶数，则有C 15C 34＝20种，若是3个奇数1个偶数，则有C 35C 1

4＝40种，共有20＋40＝60种不同的取法．

2．(2018·江苏盐城大丰新中学高二下学期期中)现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有________种不同的选派方案．(用数字作答) 解析：根据题意，分两种情况讨论：

①甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的6人中再选出3人，有C 12×C 36＝40(种)选派方案；

②甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有C 46＝15(种)选派方案．则共有40＋15＝55种选派方案．

答案：55

探究点2 组合中的分组、分配问题

按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？

(1)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

(2)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；

(3)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．

【解】 (1)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有C 26种，甲不论用哪种方法，取得2本书后，乙再从余下的4本书中任取2本有C 24种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本书中取两本书，有C 22种方法，所以一共有C 26C 24C 22＝90(种)方法．

(2)先在6本书中任取1本，作为一堆，有C 16种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有C 25种取法，最后余下3本书作为一堆，有C 33种取法，共有方法C 16C 25C 33＝60(种)．

(3)分成三堆共有C 16C 25C 33种，但每一种分组方法又有A 33种不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有C 16C 25C 33A 33＝360(种)．

在本例条件下，若甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两个人每个人得1本，有多少种分法？

解：先分成三堆，为部分均匀分组问题，共有C 46C 12C 11A 22种，然后分给三个人共有C 46C 12C 11A 22·A 33＝90(种)．

分组、分配问题的求解策略

(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．

①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；

②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n 组均匀，最后必须除以n ！；

③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．

(2)分配问题属于“排列”问题．

分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．

将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．

(1)有多少种放法？

(2)每盒至多一球，有多少种放法？

(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？

(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？

解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44

＝256种放法．

(2)这是全排列问题，共有A 44＝24种放法．

(3)法一：先将4个小球分为三组，有C 24C 12C 11A 22

种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A 34种投放方法，故共有C 24C 12C 11A 22·A 34＝144种放法． 法二：先取4个球中的两个“捆”在一起，有C 2

4种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A 34种投放方法，所以共有C 24A 34＝144种放法．

(4)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有C 34C 13＝12种放法． 探究点3 与几何图形有关的组合问题

如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A ，B 的六个点C 1，C 2，…，C 6，线段AB 上有异于A ，B 的四个点D 1，D 2，D 3，D 4.

(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C 1

点的有多少个？

(2)以图中的12个点(包括A ，B )中的4个为顶点，可作出多少个四边形？

【解】 (1)法一：可作出三角形C 36＋C 16·C 24＋C 26·C 1

4＝116(个)．

法二：可作三角形C 310－C 34＝116(个)，

其中以C 1为顶点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)．

(2)可作出四边形C 46＋C 36·C 16＋C 26·C 26＝360(个)．

解答几何图形类组合问题的策略