2013届人教A版文科数学课时试题及解析(37)基本不等式B

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人教A版必修一基本不等式同步练习题(含答案及解析)

人教A 版必修一基本不等式同步练习题一选择题1.已知a ＞b ＞0，全集为R ，集合M ＝，N ＝，P ＝，则M ，N ，P 满足（）A ．P ＝M ∩（∁R N ）B ．P ＝（∁R M ）∩NC ．P ＝M ∪ND ．P ＝M ∩N2.若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（） A ．＜＜B ．＜＜ C ．＜＜D ．＜＜3.若x ＞0，y ＞0，且x+y ＝S ，xy ＝P ，则下列说法中正确的是（） A ．当且仅当x ＝y 时S 有最小值2B ．当且仅当x ＝y 时P 有最大值C ．当且仅当P 为定值时S 有最小值2D ．若S 为定值，当且仅当x ＝y 时P 有最大值4.设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy+4y 2﹣z ＝0．则当取得最大值时，的最大值为（）A ．0B ．1C ．D ．35.已知m ，n ∈R ，m 2+n 2＝100，则mn 的最大值是（）A ．100B ．50C ．20D ．10 6.下列推导过程，正确的为（）A ．因为a 、b 为正实数，所以22a =•≥+a b b a a b bB ．因为x ∈R ，所以1112 +xC ．a ＜0，所以4424=•≥+a aa a D ．因为x 、y ∈R ，xy ＜0，所以2)()(2)()(x -=-•--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+x yy x x y yx x x y 7.已知a ＞0，b ＞0，若不等式恒成立，则m 的最大值为（） A ．9 B ．12 C ．16 D ．10 8.若实数x ，y 满足2x+y ＝1，则x •y 的最大值为（） A ．1B ．C ．D ．9.若正实数a ，b 满足a+b ＝1，则下列选项中正确的是（） A ．ab 有最大值B ．+有最小值C ．+有最小值4D ．a 2+b 2有最小值10已知0＜x ＜4，则的最小值为（）A ．2 B ．3C ．4D ．8二填空题11.函数f （x ）＝a x ﹣1﹣2（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣ny ﹣1＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则+的最小值为．12.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为万元．13.已知直角三角形ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且不等式恒成立，则实数m的最大值是．14.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里＝300步）里．15.已知a，b∈R+，且a+b++＝5，则a+b的取值范围是．16.已知x、y都为正数，且x+y＝4，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是．17.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形的面积的最大值等于．18.一批物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要h．19.若正实数x，y满足2x+y+6＝xy，则xy的最小值是．20.若实数x，y满足x2+y2+xy＝1，则x+y的最大值是．三解答题21.已知a，b，c均为正实数，求证：若a+b+c＝3，则．22.已知a，b，c∈R，满足a＞b＞c．（1）求证：；（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意a＞b＞c恒成立，试写出一个p，并证明之．23.已知0＜x＜1，则x（4﹣3x）取得最大值时x的值为多少？24.已知，求函数的最大值．25.函数的最小值为多少？26.求下列函数的最值．（1）求函数的最小值；（2）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值．27.若x，y为正实数，且2x+8y﹣xy＝0，求x+y的最小值．28.若﹣4＜x＜1，求的最大值．29.若x＞0，求函数y＝x+的最小值，并求此时x的值．30.设0＜x＜，求函数y＝4x（3﹣2x）的最大值．31.已知x＞2，求x+的最小值．32.x＞0，y＞0且＝1，求x+y的最小值．33.已知x∈（0，+∞），求的最大值．34.某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？35.如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），求出S关于x的函数关系式；（2）当AD长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值．36.近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R（x）万元，且R（x）＝，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求2021年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润＝销售额﹣成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？37.已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．38.已知实数a＞0，b＞0，且a2+b2＝8，若a+b≤m恒成立．（1）求实数m的最小值；（2）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．39.已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．40.已知a，b∈R，求证：ab≤（）2．41.（1）已知x＞1，求x+的最小值；（2）求的最大值．42.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？43.如图，将宽和长都分别为x，y（x＜y）的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为．（注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形），（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．人教A版必修一基本不等式同步练习题参考答案与解析1.分析:利用不等式的性质，判断得到，集合集合的交集、并集、补集的定义依次判断四个选项即可．解：因为a＞b＞0，所以，对于A，因为N＝，则，因为集合M＝，所以M∩（∁RN）＝＝P，故选项A正确；对于B，因为∁R M＝{x|x≤b或}，则（∁RM）∩N＝≠P，故选项B错误；对于C，因为M∪N＝{x|b＜x＜a}≠P，故选项C错误；对于D，M∩N＝≠P，故选项D错误．故选A．2.分析:根据基本不等式的性质，进行判断即可．解：∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故选B．3.分析:利用均值不等式及其变形进行解答．解：∵x，y∈R+，x+y＝S，xy＝P，∴S＝x+y≥2＝2①，当且仅当x＝y时取等号；∴如果P 是定值，那么当且仅当x＝y时S的值最小，故A、C错误；由①得，P≤＝，当且仅当x＝y时取等号；∴如果S是定值，那么当且仅当x＝y时P的值最大，故D正确，B错误．故选D．4.分析:依题意，当取得最大值时x＝2y，代入所求关系式f（y）＝+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴＝＝≤＝1（当且仅当x＝2y时取“＝”），∴＝1，此时，x＝2y．∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2，∴+﹣＝+﹣＝﹣+1≤1，当且仅当y＝1时取得“＝”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．5.分析:利用重要不等式的性质即可得出．解：由m2+n2＝100，可得：100≥2mn，解得mn≤50，当且仅当m＝n＝±5时取等号．则mn的最大值是50．故选B．6.分析:利用基本不等式求解最值的三个条件：一正、二定、三相等，对四个选项逐一分析判断即可．解：对于A，因为a、b为正实数，所以，故，当且仅当，即a＝b时取等号，故选项A正确；对于B，因为x2≥0，所以x2+1≥1，则，故选项B错误；对于C，当a＜0时，，故选项C错误；对于D，因为xy＜0，则，所以，当且仅当，即x＝﹣y时取等号，故选项D正确．故选AD．7.分析:由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，转化成新函数的最小值问题．解：由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，所以m≤（+）（a+4b）恒成立，转化成求y＝（+）（a+4b）的最小值，y＝（+）（a+4b）＝8++≥16，所以m≤16．故选C．8.分析:根据xy＝x（1﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+≤，即可求出最大值．解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选C．9.分析:由a+b＝1，根据逐一判断即可．解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴；∴；∴ab有最大值，∴选项A正确；+，，∴的最小值不是，∴B错误；，∴有最小值4，∴C正确；a2+b2≥2ab，，∴a2+b2的最小值不是，∴D错误．故选AC．10.分析:可利用“1”的代换，根据x+（4﹣x）＝4配凑应用基本不等式．解：∵0＜x＜4，则＝[x+（4﹣x）]（）＝（10++）≥（10+2）＝4，当且仅当，即x＝1时取等号．故选C．11.分析:利用题意首先确定m，n的关系式，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果．解：由指数函数的性质可得 A（1，﹣1），点在直线上，则：m+n﹣1＝0，m+n＝1．则：，当且仅当时等号成立．综上可得：的最小值为．故答案为：．12.分析:先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．解：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2＝.∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为5x+,∵5x+≥＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元,故答案为：2，2013.分析:由题意可得m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得其最小值，注意检验等号成立的条件，即可得到所求最大值．解：不等式恒成立，即为m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得（a+b+c）（++）＝[（）2+（）2+（）2][（）2+（）2+（）2]≥（•+•+ ）2＝（1+1+）2＝6+4，当且仅当a＝b＝c，即a2+b2＝c2时，上式取得等号．则[（a+b+c）（++）]min＝6+4，所以m≤6+4，即m的最大值为6+4，故答案为：6+4．14.分析:由题意知，BE＝4里，AG＝2.5里，由△BEF∽△FGA，可知EF•FG＝10里，再利用均值不等式求出EF+FG的最小值，进而得解．解：由题意知，BE＝1200步＝4里，AG＝750步＝2.5里，因为△BEF∽△FGA，所以＝，所以EF•FG＝BE•AG＝4×2.5＝10里，所以EF+FG≥2＝2，当且仅当EF＝FG＝时，等号成立，而该小城的周长为4（EF+FG）≥8，所以该小城的周长的最小值为8里．故答案为：8．15.分析:a，b∈R+，且a+b++＝5，利用基本不等式的性质可得：5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解出即可得出．解：∵a，b∈R+，且a+b++＝5，则5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解得1≤t≤4．∴a+b的取值范围是[1，4]．故答案为：[1，4]．16.分析:利用基本不等式的结论求出，然后将不等式恒成立转化为，即可得到答案．解：因为x、y都为正数，且x+y＝4，所以，当且仅当时取等号，故，因为不等式恒成立，则，所以实数m的取值范围是．故答案为：．17.分析:根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由勾股定理可得a2+b2＝25，利用基本不等式的性质可得S＝ab≤（a2+b2）＝，即可得答案．解：根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由题意知斜边长等于5，则a2+b2＝25，则有S ＝ab≤（a2+b2）＝，当且仅当a＝b时等号成立，故这个直角三角形的面积的最大值等于；故答案为：．18.分析:由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，利用基本不等式，即可得出结论．解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，因此，t＝＝+≥2＝10．当且仅当＝，即v＝80时取“＝”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．故答案为：1019.分析:首先右边是xy的形式，左边是2x+y和常数的和的形式，考虑把左边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式．转化后变成关于xy的不等式，可把xy看成整体换元后，求最小值．解：由条件利用基本不等式可得，令xy＝t2，即 t＝＞0，可得．即得到可解得．又注意到t＞0，故解为，所以xy≥18．故答案应为18．20.分析:利用基本不等式，根据xy≤把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得．解：∵x2+y2+xy＝1,∴（x+y）2＝1+xy,∵xy≤,∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤,∴x+y的最大值是,故答案为：21.分析:利用基本不等式可得，同理，，三式相加即可得证．证明：∵a，b，c均为正实数，∴，当且仅当a+1＝2，即a＝1时取等号；同理，当且仅当b+1＝2，即b＝1时取等号；，当且仅当c+1＝2，即c＝1时取等号．以上三个不等式相加，可得．∴，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．22.分析:（1）由分析法，只可证明（a﹣c）（）＞0，再由基本不等式证明；（2）只需（a﹣c）（）＞0，左边＝2﹣p+≥4﹣p，即可求得p值．解:（1）证明：由a＞b＞c，得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，要证，只要证（a ﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝1+＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立；（2）解：要使，只需（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b ﹣c）]（）＝2﹣p+≥4﹣p＞0，则p＜4，∵p∈N*，∴可取p＝2或3．取p＝2，问题转化为＞0．证明如下：要证＞0，只需证明（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝≥＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立．23.分析:根据基本不等式即可求出．解：∵0＜x＜1，∴4﹣3x＞0，∴x（4﹣3x）＝•3x（4﹣3x）≤×（）2＝，当且仅当3x＝4﹣3x时，即x＝时取等号，故x（4﹣3x）取得最大值时x的值为．24.分析:先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可．解：∵∴5﹣4x＞0,∴＝﹣（5﹣4x+）+3≤﹣2+3＝1,当且＝1．∴函数的最大值仅当5﹣4x＝，即x＝1时，上式成立，故当x＝1时，ymax为1．25.分析:先利用换元法得到f（t）＝t++2，然后结合基本不等式可求．解：设x﹣1＝t（t＞0），则x＝t+1，∴f（t）＝＝t++2+2，当且仅当t＝时取等号，∴函数的最小值为2+2．26.分析:（1）将所求的式子进行化简变形，转化为乘积为定值的结构，然后利用基本不等式求解最值即可；（2）将已知的等式变形为，然后利用“1”的代换将所求式子进行变形，再利用基本不等式求解最值即可．解：（1）因为x＞1，则x﹣1＞0，所以函数＝＝≥＝，当且仅当，即x＝时取等号，所以函数的最小值为．（2）因为x+3y＝5xy，则，又x，y均为正数，所以3x+4y＝（3x+4y）＝≥＝5，当且仅当且，即时取等号，所以3x+4y的最小值为5．27.分析:把已知2x+8y﹣xy＝0，变形为，而x+y＝，展开再利用基本不等式的性质即可．解：由2x+8y﹣xy＝0，及x＞0，y＞0，得．∴x+y＝＝10+2＝18，当且仅当，，即x＝12，y＝6时取等号．∴x+y的最小值为18．故答案为18．28.分析:化简＝＝﹣[（1﹣x）+]，根据基本不等式即可求出．解：∵﹣4＜x＜1，∴1﹣x＞0,∴＝＝[（x﹣1）+]＝﹣[（1﹣x）+]≤﹣×2＝﹣1，当且仅当1﹣x＝时，即x＝0时取等号，故的最大值为﹣1．29.分析:由于x＞0，利用基本不等式可得y＝x+≥4，满足等号成立的条件，于是问题解决．解：∵x＞0，∴y＝x+≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”．故y＝x+的最小值为4，当x＝2时，有最小值．30.分析:根据题意，由0＜x＜可得3﹣2x＞0，则可以将4x（3﹣2x）变形为2[2x（3﹣2x）]，再由基本不等式的性质可得2[2x（3﹣2x）]≤2（）2，即可得答案．解：∵0＜x＜，∴3﹣2x＞0，则y＝4x（3﹣2x）＝2[2x（3﹣2x）]≤2（）2＝，当且仅当2x＝3﹣2x，即x＝时等号成立，答：当0＜x＜时，函数y＝4x（3﹣2x）的最大值为．31.分析:直接利用基本不等式的应用求出结果．解：由于x＞2，所以x﹣2＞0；故+2+2≥6，当且仅当x＝4时，等号成立．故最小值为6．32.分析:利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，所以x+y＝（x+y）（）＝10++≥10+2＝16,当且仅当＝，即x＝4，y＝12时取等号，所以x+y的最小值为16．33.分析:先利用基本不等式求出的最小值，然后将所求函数转化为，即可得到答案．解：因为x∈（0，+∞），所以，当且仅当，即x＝时取等号，则＝，所以的最大值为．34.分析:（1）由题目中产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式为：，当m＝0时，x＝1，可得k的值，即得x关于m的解析式；又每件产品的销售价格为1.5倍的成本，可得利润y与促销费用之间的关系式；（2）对（1）利润函数解析式进行变形，进而利用基本不等式求最大值即可．解：（1）由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3﹣k，即k＝2，∴；每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y＝x[1.5×]﹣（8+16x+m）＝4+8x﹣m＝4+8（3﹣）﹣m＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0）．（2）因为利润函数y＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0），所以，当m≥0时，+（m+1）≥2＝＝21（万元）．所以，该厂家8，∴y≤﹣8+29＝21，当且仅当＝m+1，即m＝3（万元）时，ymax2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．35.分析:（1）设AD＝x，DQ＝y，由题意可得x2+4xy＝200，把y用含有x的代数式表示，即可求得总造价S关于x的函数关系式（2）把（1）中的函数解析式利用基本不等式求最值得答案．解：（1）设AD＝x，DQ＝y，则x2+4xy＝200，∴y＝，则S＝＝38000+（0）；（2）S＝38000+≥38000+2＝38000+2＝118000（0＜x ＜），当且仅当4000x2＝，即x＝时上式等号成立．故当AD的长为米时，总造价S有最小值118000元．36.分析:（1）根据2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润W（x）关于x的解析式即可．（2）根据（1）求出的利润W（x）的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取两者中较大的利润值，即为年企业最大利润．解：（1）由题意可知，2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，①当0＜x＜40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（10x2+100x+1000）﹣250＝﹣10x2+600x﹣1250，②当x≥40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（701x+﹣8450）﹣250＝﹣（x+）+8200，所以W（x）＝．（2）①当0＜x＜40时，W（x）＝﹣10x2+600x﹣1250，此时函数W（x）为开口向下的二次函数，所以当x＝30时，W（x）取得最大值，最大值为W（30）＝7750（万元），②当x≥40时，W（x）＝﹣（x+）+8200，因为x＞0，所以x+＝200，当且仅当x＝即x＝100时，等号成立．即当x＝100时，W（x）取得最大值﹣200+8200＝8000（万元），综上所述，当x＝100时，W（x）的值最大，最大值为8000（万元），故当2021年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元．37.分析:由已知可求p：0＜x＜3，由￢p是￢q的必要条件可知p是q的充分条件，从而可得x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，进而转化为m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，利用基本不等式可求解：∵1＜2x＜8,∴p：0＜x＜3,∵￢p是￢q的必要条件,∴p是q的充分条件即p⇒q,∵x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，∴m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，∵＝4，当且仅当x＝即x＝2时等号成立.∴m≤438.分析:（1）根据基本不等式的性质即可求解m的最小值；（2）根据a+b≤m恒成立，由（1）可得a+b的最大值为m，取绝对值即可求解；解：（1）∵a2+b2≥2ab，∴2a2+2b2≥（a+b）2，∴（a+b）2≤16，∴（a+b）≤4，故m≥4；（2）由2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，由（1）可得a+b的最大值为4,故只需2|x﹣1|+|x|≥4，即：当x≥1时，2（x﹣1）+x≥4，解得：x≥2；当0≤x＜1时，2（1﹣x）+x≥4，无解；当x＜0时，2（1﹣x）﹣x≥4，解得；x,故得实数x的取值范围是．39.分析:（1）由题意利用基本不等式求得u＝xy的最大值为10．（2）由题意利用基本不等式求得+的最小值为，可得 m2+4m≤，由此求得m的范围．解：（1）∵正实数x，y满足等式2x+5y＝20≥2，∴≤10，∴xy≤10，∴u＝xy的最大值为10．（2）∵＝1，∴+＝+＝1+++≥+2＝，当且仅当＝时，等号成立，故+的最小值为．∵不等式恒成立，∴m2+4m≤，求得﹣≤m≤，即m的范围为[﹣，]．40.分析:利用综合法，通过两数和的平方以及重要不等式即可得出．证明：∵a，b∈R，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≥4ab，∴ab≤（）2，当且仅当a＝b＞0时取等号．41.分析:（1）变形利用基本不等式的性质即可得出．（2）直接利用基本不等式的性质即可得出．解：（1）∵x＞1，∴x+＝x﹣1++1≥2+1＝3，当且仅当x＝2时取等号，因此x+的最小值为3．（2）由x（10﹣x）≥0，解得0≤x≤10．∴≤＝5，当且仅当x＝5时取等号．∴的最大值是5．42.分析:设底面的长为x，宽为y，则y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3600x++5800，再利用基本不等式即可得x＝8时，f（x）的值最小，故当房屋底面的长为8m，宽为6m时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．解：如图所示，设底面的长为x，宽为，则xy＝48，∴y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3x•1200+3××800×2+5800＝3600x++5800≥+5800＝63400，当且仅当，即x＝8时，等号成立，故当房屋底面的长为8m，宽为6m 时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．（2）43.分析:（1）根据几何图形的面积即可得到函数的解析式，并求出函数的定义域，即可得到答案．设正十字形的外接圆的直径为d，则，利用基本不等式可以求出d的最小值，进而求出外接圆面积的最小值．解：（1）由题意可得：，则，∵y＞x，∴，解得，∴y关于x的解析式为（0＜x＜）．（2）设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知＝，当且仅当时，不等式等号成立，所以正十字形的外接圆直径d的最小值为，则半径的最小值为．所以正十字形的外接圆面积最小值为．此时．所以当时正十字形的外接圆面积最小，最小值为．。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(1)集合及其运算

课时作业 (一) [第 1讲会合及其运算 ][时间： 45 分钟分值： 100分]基础热身1．已知会合 M＝ {0,1,2,3,4} ， N＝ {1,3 ， 5} ， P＝M∩ N，则 P 的子集共有 ()A．2个 B．4 个 C．6 个 D．8 个2．已知全集是实数集R，M＝{ x|x≤1}，N＝{1,2,3,4}，则(?R M)∩N等于()A．{4} B ．{3,4}C．{2,3,4}D． {1,2,3,4}3．设全集U＝ { x∈N* |x＜ 6} ，会合 A＝ {1,3}，B＝{3,5} ，则 ?U(A∪ B)＝ ()A ． {1,4}B． {1,5}C． {2,4} D ．{2,5}4．设非空会合 M、N知足： M＝ { x|f(x)＝ 0} ，N＝ { x|g(x)＝ 0} ，P＝ { x|f(x)g(x)＝ 0} ，则集合 P 恒知足的关系为 ()A．P＝M∪N B．P? (M∪N)C．P≠ ? D ．P＝ ?能力提高5．已知会合 M＝{0,1,2} ， N＝ { x|x＝－ a， a∈ M} ，则会合 M∩ N＝()A．{0 ，－ 1}B．{0}C．{ － 1，－ 2} D ．{0 ，－ 2}2－ 2x＋ 3)} ，6．设 A、B 是两个会合，定义 M* N＝ { x|x∈ M 且 x?N} ．若 M＝ { y|y＝ log2(－ xN＝ { y|y＝x， x∈ [0,9]} ，则 M *N＝ ()A ． (－∞， 0]B． (－∞， 0)C．[0,2] D ． (－∞， 0)∪ (2,3]7．设会合 A＝ {1,2} ，则知足 A∪B＝ {1,2,3} 的会合 B 的个数为 ()A．1 B．3C．4D． 8x－ y＋1>0 ，8．若会合 P＝{ 0， 1， 2}， Q＝ (x， y)x， y∈ P，则 Q 中元素的个数x－ y－2<0 ，是()A．4 B．6C．3 D． 59．已知全集 U ＝R，会合 M ＝{ y|y＝ x2－ 1，x∈R} ，会合 N＝ { x|y＝4－x2} ，则 (?U M)∩ N ＝()A．(－2，－ 1)B．[ －2，－ 1)C．[ －2,1)D． [－ 2,1]10．已知全集 U ＝ { － 2，－ 1,0,1,2} ，会合 A＝ x x＝ 2 ，x， n∈Z，则Un－ 1? A＝ ________.11．已知会合A＝ { x∈R||x－ 1|<2} ，Z为整数集，则会合A∩Z中全部元素的和等于________．12．已知会合 A＝ { － 1,2} ， B＝ { x|mx＋ 1＝ 0} ，若 A∪B＝ A，则 m 的值为 ________．13．已知会合 M＝ {0,1,2,3,4} ，A?M，会合 A 中全部的元素的乘积称为会合 A 的“累积值”，且规定：当会合 A 只有一个元素时，其积累值即为该元素的数值，空集的积累值为 0.设会合 A 的积累值为 n.(1)若 n＝ 2 时，这样的会合 A 共有 ________个；(2)若 n 为偶数，则这样的会合 A 共有 ________个．14．(10 分 )已知 x∈R，y>0，会合 A＝{ x2＋ x＋ 1，－ x，－ x－ 1} ，会合 B＝－ y，－y ，2y＋1，若 A＝ B，求 x2＋ y2的值．15． (13 分)已知会合 A＝ x y＝6－ 1 ，会合 B＝{ x|y＝ lg(－ x2＋ 2x＋ m)} ．x＋1(1)当 m＝3 时，求 A∩ (?R B)；(2)若 A∩ B＝ { x|－ 1< x<4} ，务实数m 的值．难点打破16． (12 分)会合 A＝{ x|－ 2≤ x≤5} ， B＝ { x|m＋ 1≤ x≤ 2m－ 1} ．(1)若 B? A，务实数m 的取值范围；(2)当 x∈Z时，求 A 的非空真子集的个数；(3)当 x∈R时，若 A∩ B＝ ?，务实数m 的取值范围．作业手册课时作业 ( 一)【基础热身】1． B [ 分析 ] 由于 M ＝ {0,1,2,3,4} ， N ＝{1,3,5} ，因此 P ＝ M ∩N ＝ {1,3} ，因此会合 P 的子集共有 ? ， {1} ，{3} ， {1,3}4 个．2． C [分析 ] 由于 ? R M ＝ { x|x>1} ，因此 (? R M)∩ N ＝ {2,3,4} ．3． C [分析 ] 由题知 U ＝ {1,2,3,4,5} ， A ∪ B ＝ {1,3,5} ，故 ? U (A ∪ B)＝ {2,4} ，应选 C. 4．B [分析 ] 会合 M 中的元素为方程 f(x)＝ 0 的根，会合 N 中的元素为方程 g(x)＝ 0 的根．但有可能 M 中的元素会使得 g(x)＝ 0 没存心义，同理 N 中的元素也有可能会使得f( x) ＝0 没存心义．如： f(x) ＝ x － 2，g(x)＝ 1－ x ，f(x) ·g(x)＝ x －2· 1－x ＝0 解集为空集．这里简单错选 A 或 C.【能力提高】 5． B [分析 ] ∵ N ＝ {0 ，－ 1，－ 2} ，∴ M ∩ N ＝{0} ．应选 B.6．B [ 分析 ] y ＝ log 2(－ x 2－ 2x ＋ 3)＝ log 2[ － (x ＋1) 2＋4] ∈(－∞， 2] ，N 中，∵ x ∈ [0,9] ，∴y ＝ x ∈ [0,3] ．联合定义得： M*N ＝ (－∞， 0) ．7． C [分析 ] 依题意，会合 B 能够是 {3} ， {1,3} ， {2,3} ， {1,2,3} ，应选 C.8． D [分析 ] Q ＝ {( x ， y)|－ 1<x － y<2， x ， y ∈ P} ，由 P ＝{0,1,2} 得 x － y 的取值只可能是 0 和 1.∴Q ＝ {(0,0) ， (1,1)， (2,2)， (1,0)， (2,1)} ，含有 5 个元素．9． B [ 分析 ] 会合 M 是函数的值域， M ＝ { y|y ≥－ 1} ， ? U M ＝ { y|y<－ 1} ；会合 N 是函数的定义域， N ＝{ x|－ 2≤x ≤ 2} ，因此 (? U M)∩ N ＝ [－2，－ 1)．应选 B.10． {0}[ 分析 ] 当 n ∈{ － 1,0,2,3} 时， x ∈ { － 1，－ 2,2,1} ，即 A ＝{ － 1，－ 2， 2,1} ，因此 ? U A ＝{0} ．11． 3 [分析 ] A ＝ { x ∈R ||x － 1|<2} ＝ { x|－ 1<x<3} ． ∴ A ∩ Z ＝{0,1,2} ，即 0＋1＋ 2＝ 3.1[分析 ] ∵ A ∪ B ＝A ，∴ B? A. 12．0或 1或－2 当 B ＝ ? 时， m ＝ 0，切合题意；当 B ≠ ? 时， m ≠ 0，此时 x ＝－ m 1.∵ B? A ， ∴－ 1＝－ 1或－ 1＝2，m m∴ m ＝ 1 或 m ＝－ 1.21综上可知， m 的取值为 0 或 1 或－ .213．(1)2 (2)29[分析 ] 利用列举法可求 A ＝ {2} 或 {1,2} ．但求解 (2) 时，应先算出 n 为奇数时会合 A 共有 3个， M ＝ {0,1,2,3,4} 子集的个数有 32 个，因此 n 为偶数，会合 A 共有29 个． (说明：不从反面下手，计算太麻烦)14． [解答 ] 由 x ∈ R ， y>0 ，则 x 2＋ x ＋1>0 ，－ y<0，－ y<0， y ＋ 1>0，且－ x － 1<－ x ，2 －y<－ y.由于 A ＝ B ，2x 2＋ x ＋ 1＝y ＋ 1，－ x － 1＝－ y ， x ＝1，因此解得－ x ＝－ y，y ＝2.2因此 A ＝ {3 ，－ 1，－ 2} ， B ＝ { － 2，－ 1,3} ，切合条件，故 x 2＋ y 2＝ 12＋ 22＝ 5.15． [解答 ] (1) 由6 －1≥0，解得－1<x≤5，即A＝{ x|－1< x≤5}，x＋ 1当 m＝ 3 时，由－ x2＋ 2x＋ 3>0，解得－ 1<x<3，即 B＝ { x|－1<x<3} ，∴ ? R B＝ { x|x≥ 3或x≤－ 1} ，∴A∩ (? R B)＝ { x|3≤ x≤ 5} ．(2)由 B＝ { x|y＝ lg(－ x2＋ 2x＋ m)} ，得－x2＋ 2x＋m>0，而由 (1)知 A＝ { x|－ 1<x≤ 5} ，且 A∩ B＝ { x|－1<x<4} ，∴ B＝ { x|t<x<4， t≤－ 1} ，∴ 4，t是方程－ x2＋ 2x＋m＝0 的根．∴ m＝ 8.【难点打破】16． [解答 ] (1) 当 m＋ 1>2m－1，即 m<2 时， B＝ ? ，知足 B? A.当 m＋ 1≤ 2m－ 1，即 m≥ 2 时，要使B? A 建立，需m＋ 1≥－ 2，可得 2≤m≤3，2m－ 1≤5，综上， m 的取值范围是m≤3.(2)当 x∈Z时， A＝ { － 2，－ 1,0,1,2,3,4,5} ，8(3)由于 x∈R，且 A＝ { x|－ 2≤ x≤ 5} ， B＝{ x|m＋ 1≤ x≤2m－ 1} ，又 A∩ B＝ ? .则①若 B＝ ? ，即 m＋ 1>2m－ 1，得 m<2 时知足条件．②若 B≠ ? ，则要知足的条件是m＋ 1≤ 2m－ 1，m＋1≤ 2m－ 1，或解得 m>4.m＋ 1>52m－ 1<－ 2，综上， m 的取值范围是m<2 或 m>4.。

高考文科数学分类解析(不等式)

2013年高考数学（文科）专题6：不等式一、选择题1 ．（2013年高考四川卷（文8））若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ,最小值为b ,则a b -的值是（） A ．48 B ．30 C ．24 D ．16【答案】C【解析】条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示以(0,0)、(0,2)、(4,4)、(8,0)为顶点的四边形区域，检验四顶点可知，当4=x ，4=y 时，16445max =-⨯==z a ，当8=x ，0=y 时，8805min -=-⨯==b ，所以24=-b a ，选C.2 ．（2013年高考福建卷（文））若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为（） A ．4和3 B ．4和2 C ．3和2 D ．2和0 【答案】B【解析】本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文3））设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233zy x =-。

作出可行域如图,平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-4 ．（2013年高考福建卷（文））若122=+y x,则y x +的取值范围是（）A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞【解析】本题考查的是均值不等式．因为y x y x222221⋅≥+=，即222-+≤y x ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号．5 ．（2013年高考江西卷（文6））下列选项中,使不等式x<1x<2x 成立的x 的取值范围是（） A ．(,-1) B ．(-1,0) C ．0,1)D ．(1,+)【解析】本题考查不等式的解法。

2013年高考试题分项版解析数学(文) 专题07 不等式(Word精析版)

一．基础题组1.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】不等式222x -<的解集是（）（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】设,,a b c R ∈，且a b >，则（）（A ）ac bc >（B ）11a b<（C ）22a b > （D ）33a b >3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】设常数a ∈R ，集合()(){}|10A x x x a =--≥，{}|1B x x a =≥-．若A B =R ，则a 的取值范围为（）（A ）(),2-∞（B ）(],2-∞（C ）()2,+∞（D ）[)2,+∞4.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 (A) －6(B) －2(C) 0(D) 26.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】设x ，y 满足约束条件错误！未找到引用源。

，则z=2x-3y 的最小值是（）（A ） 7- （B ）-6 （C ）5-错误！未找到引用源。

（D ）9-【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】下列选项中，使21x x x<<成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)-C ． (0,1)D ．(1,)+∞8.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为（）(A) －7(B) －4 (C) 1(D) 29.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】不等式021xx <-的解为．10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】若非负数变量,x y 满足约束条件124x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩，则x y +的最大值为__________.10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =____________.11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】．设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为．12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】设zkx y =+，其中实数,x y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k =________ . 13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．14.【2013年全国高考新课标（I ）文科】设,x y 满足约束条件 13,10x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______.15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】若变量,x y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则x y+的最大值为________.16.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为. 二．能力题组17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】若变量,x y满足约束条件8, 24,0,0,x yy xxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x=-的最大值为a，最小值为b，则a b-的值是（）（A）48（B）30（C）24（D）16【答案】C18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】某旅行社租用A、B两种型的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】若变量,x y 满足约束条件21,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为（） A ．43和 B ．42和 C ．32和 D ．20和20.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点(,)P x y 是区域D 内任意一点，则2x y +的取值范围是 . [答案] 1[2,]2-[解析]∵2y x =，∴2y x '=，1|2x y ='=，而当1x =时1y =，即切点为(1,1)，切线方程为21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】设D 为不等式组0,20,30x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为__.22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为(m).23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360200x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 的最小值为____.三．拔高题组24.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】若221,x yx y +=+则的取值范围是（）A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[]2,-+∞D ．[],2-∞-25.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当z xy取得最大值时，2x y z +-的最大值为（） A.0 B.98 C.2 D.9427.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】设,a b R ∈，若0x ≥时恒有 43220(1)x x ax b x ≤-++≤-,则ab 等于______________.【答案】-1法四：由已知得到：当0x ≥时，32210x x ax b ---+≥恒成立，所以令1x =得到：0a b +≤.令0x =，所以1b ≤.再由当0x ≥时，430x x ax b -++≥，所以令1x =得到0a b +≥成立，令0x =，所以0b ≥成立.所以0a b +=，10b ≥≥，当0b =时，0a =，当0x ≥时，430x x ax b -++≥不一定恒成立，所以当1,1b a ==-时。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(33)数列的综合应用A

课时作业(三十三)A[第33讲数列的综合应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．数列{a n}中，a1＝1，对所有的n≥2都有a1·a2·a3·…·a n＝n2，则a3＝( )A.32B.94C.259D.25162．将不等式x2－x<nx(n∈N*)的解集中的整数的个数构成的数列记为{a n}，则该数列的通项公式是a n＝( )A．n B．2nC．2n－1 D．n－13．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A．三个月 B．一个月C．10天 D．20小时4．已知数列{a n}的首项a1＝1，且点A n(a n，a n＋1)在函数y＝xx＋1的图象上．则该数列{a n}的通项公式是a n＝________.能力提升5．数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2n2－17n，则当S n取得最小值时n的值为( )A ．4或5B ．5或6C ．4D ．56．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1107．设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ( )A ．等于－2B ．等于1C ．等于1或－2D ．不存在8．各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝( ) A.5＋12 B.5－12C.3－52D.2＋529．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A．①和⑳ B．⑨和⑩C．⑨和⑪ D．⑩和⑪10．数列{a n}中，a1＝2，点(log3a n，a n＋1)在函数y＝2×3x的图象上，则{a n}的通项公式为a n＝________.11．已知a，b，c，d成等比数列，且a，d分别是函数f(x)＝x3－x在区间[2,3]上的最大值和最小值，则bc＝________.12．已知等差数列{a n}，对于函数f(x)＝x5＋x3满足：f(a2－2)＝6，f(a2010－4)＝－6，S n是其前n项和，则S2011＝________.13．已知a n＝2n－1(n∈N＋)，把数列{a n}的各项排成如图K33－1所示的三角数阵．记S(m，n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应数阵中的数是________．13 57 9 1113 15 17 19…图K33－114．(10分) 当p1，p2，…，p n均为正数时，称np1＋p2＋…＋p n为p1，p2，…，pn的“均倒数”．已知数列{a n}的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为12n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设c n＝an2n＋1(n∈N*)，试比较c n＋1与c n的大小．15．(13分)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝an2a n＋1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)设：2bn＝1an＋1，求数列{b n b n＋1}的前n项和T n.难点突破16．(12分)设数列{b n}满足：b1＝12，b n＋1＝b2n＋b n.(1)求证：1bn＋1＝1bn－1bn＋1；(2)若T n＝1b1＋1＋1b2＋1＋…＋1bn＋1，对任意的正整数n,3T n－log2m－5>0恒成立．求m的取值范围．课时作业(三十三)A【基础热身】1．B [解析] a 2＝22a 1＝4，a 3＝32a 1a 2＝94.故选B. 2．A [解析] x 2－x <nx (n ∈N *)的解集为{x |0<x <n ＋1(n ∈N *)}，所以数列{a n }前5项为1,2,3,4,5…，所以通项公式为a n ＝n .故选A.3．D [解析] 每小时传递人数构成数列2,4,8，…，所以n 小时共传递人数S n ＝1－2n1－2＝2n －1≈106，所以n ≈20小时．4.1n[解析] 因为a n ＋1＝a n a n ＋1且a 1＝1，所以1a n ＋1＝1＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列.1a n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1n.【能力提升】5．C [解析] 二次函数f (x )＝2x 2－17x 的对称轴为直线x ＝174，因为n ∈N ＋，所以当n ＝4时，S n ＝2n 2－17n 有最小值．故选C.6．D [解析] 由a 27＝a 3·a 9，d ＝－2，得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解之得a 1＝20，∴S 10＝10×20＋10×92(－2)＝110. 7．B [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋1)＝a 1(1－q n)＋a 1(1－q n ＋2)，解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件．故选B.8．B [解析] 依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ，则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值).a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4q ＋q 2a 2a 4q 2＋q 3＝1q ＝21＋5＝5－12.故选B.9．D [解析] 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.10．2n [解析] 由已知得a n ＋1＝2×3log 3a n ＝2a n ，显然{a n }的各项不为零，所以a n ＋1a n＝2，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，a n ＝2×2n －1＝2n. 11．144 [解析] 因为f ′(x )＝3x 2－1且x ∈[2,3]，所以f ′(x )>0，即f (x )在区间[2,3]上单调递增，所以，a ＝f (x )max ＝f (3)＝24，d ＝f (x )min ＝f (2)＝6，所以bc ＝ad ＝144.12．6033 [解析] f (x )为奇函数，所以由f (a 2－2)＋f (a 2010－4)＝0得f (a 2－2)＝f (4－a 2010)，所以a 2－2＝4－a 2010，即a 2＋a 2010＝6，所以S 2011＝2011a 1＋a 20112＝2011a 2＋a 20102＝6033.13．101 [解析] 观察知每一行的第1个数构成数列：1,3,7,13,21，…，相邻两项构成递推关系：a n ＋1＝a n ＋2n ，所以a 10＝a 9＋18＝a 8＋16＋18＝a 7＋14＋34＝a 6＋12＋48＝a 5＋10＋60＝a 4＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第1个数为91，所以第10行第6个数为101.14．[解答] (1)由已知有a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝n (2n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)(2n －1)，两式相减，得a n ＝4n －1(n ≥2)．又1a 1＝12×1＋1，解得a 1＝3＝4×1－1，∴a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝a n 2n ＋1＝4n －12n ＋1＝2－32n ＋1，c n ＋1＝a n ＋12n ＋3＝2－32n ＋3， ∴c n ＋1－c n ＝32n ＋1－32n ＋3＞0，即c n ＋1＞c n . 15．[解答] (1)由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝2且1a 1＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得a n ＝12n －1.(2)由2b n ＝1a n ＋1得2b n ＝2n －1＋1＝2n ，∴b n ＝1n，从而b n b n ＋1＝1nn ＋1，则T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1＝11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 【难点突破】16．[解答] (1)因为b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)，所以对任意的n ∈N *，b n >0.所以1b n ＋1＝1b nb n ＋1＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1. (2)T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 1－1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝2－1b n ＋1.因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0，∴b n ＋1>b n ，所以数列{b n }是单调递增数列．所以数列{T n }关于n 递增．所以T n ≥T 1. 因为b 1＝12，所以b 2＝b 1(b 1＋1)＝34，所以T 1＝2－1b 2＝23，所以T n ≥23.因为3T n－log2m－5>0恒成立，所以log2m<3T n－5恒成立，所以log2m<－3，所以0<m<1 8 .。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(33)数列的综合应用B

作(三十三 )B[ 第 33数列的合用 ][ ： 45 分分：100 分]基身1．一厚度a ，折(沿一的中点折叠)7 次后，的厚度( )A ． 8aB ． 64aC ．128aD ． 256a2．某放射性物的量每日衰减 3%，若此物衰减到其量的一半以下，起码需要的天数是 (参照数据 lg0.97＝－ 0.0132， lg0.5＝－ 0.3010)( )A ．22B ．23C ．24D ． 253．在数列 { a n } 中， a 1＝2，当 n 正奇数， a n ＋ 1＝ a n ＋ 2，当 n 正偶数， a n ＋ 1＝2a n ， a 6＝ ( )A ．11B ．17C ．22D ． 23 4．夏天高峰上的气温从山脚起每高升 100 米降低 0.7 度，已知山脚气温 26 度，山气温 14.1 度，那么此山相山脚的高度 ________米．能力提高5．已知数列 { a n } 中， a 1＝－ 1， a n ＋ 1·a n ＝ a n ＋1－ a n ，数列通a n ＝ ()1 2A. nB. n1 2C ．－ nD ．－ n6．已知数列 { a n } 中， a 1＝ 3， a n ＝ 1－ 1 (n ≥ 2)， a 2011＝ ()5 a n － 11 2A ．－ 2B ．－ 335C.5D. 27．数列 { a n } 等差数列，其前 n 和 S n ， a 1＋ a 4＋ a 7＝99， a 2＋ a 5＋ a 8＝ 93.若随意 n ∈ N * ，都有 S n ≤S k 建立， k 的 ()A ．22B ．21C ．20D ． 198．《九章算》“竹九 ” ：有一根9 的竹子，自上而下各的容成等差数列，上边 4 的容共 3 升，下边 3 的容共4 升，第5 的容 ()A ．1 升 67升 C.47升 D.37升B.66 44 339．已知等差数列 { a n } 的首 a 1 及公差 d 都是整数，前 n 和 S n ，若 a 1>1，a 4 >3，S 3≤ 9，b n ＝ 1 ，使 b 1＋b 2＋⋯＋ b n < 99建立的最大 n( )na n 100 A ．97 B ． 98 C ． 99 D ．10010．某厂在 2011 年末制生划，要使 2021 年末的量在原有基上翻两番，年均匀增率 ________．201＝ 2， a n ＋ a n ＋ 1＝ 0(n ∈ N ＋ )， a 2011＝________.n11．已知数列 { a } 中， a12．在数列 { a n } 中，若 a 1＝ 2，且随意的正整数p ， q 都有 a p ＋ q ＝ a p a q ， a 8 的________．13．已知 a n ＝ 3n ，把数列 { a n } 的各摆列成以下的三角形状：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9⋯⋯⋯⋯⋯⋯A(m ， n)表示第 m 行的第 n 个数， A(11,12)＝ ________.14． (10 分)已知数列 { a n} 是首项为2，公比为1的等比数列， S n为 { a n} 的前 n 项和．2(1)求数列 { a n} 的通项 a n及 S n；(2)设数列 { b n＋ a n} 是首项为－ 2，公差为 2 的等差数列，求数列 { b n} 的通项公式及其前 n 项和 T n.15．(13 分 )某市 2011 年共有 1 万辆燃油型公交车．相关部门计划于2012 年投入 128 辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增添50% ，试问：(1)该市在 2018 年应当投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年末，电力型公交车的数目开始超出该市公交车总量的≈7.5)难点打破nba n－1 16． (12 分) 设 b＞ 0，数列 { a n } 知足 a1＝ b， a n＝a n－1＋n－1(n≥ 2)．657lg1？ (参照数据32 3lg1.5(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)证明：关于全部正整数n,2a n≤ b n＋1＋ 1.作 (三十三 )B【基身】27a ＝ 128a.故 C.1． C[分析 ] 的厚度nlg0.52． B [分析 ] 依意有 (1－ 3%) <0.5 ，所以 n>lg0.97 ≈22.8.故 B. 3． C [分析 ] 逐算得数列的前 6 挨次： 2,4,8,10,20,22 ，故 C. 4．1700 [分析 ] 从山脚到山气温的化成等差数列，首 26，末 14.1，公差－ 0.7，数列的数 n ， 14.1＝ 26＋( n － 1)× (－ 0.7)，解得 n ＝ 18，所以山的高度 h ＝ (18－ 1)× 100＝1700(米 )．【能力提高】1115． C[分析 ]已知形a n ＋ 1 －a n ＝－ 1，b n ＝a n ， { b n } 是等差数列， b 1＝－ 1， b n＝－ 1＋ (n － 1)× (－1) ＝－ n ，所以 a n ＝－ 1.故 C.n6．C[分析 ] 由推公式得a 2＝－ 2， a 3＝ 5， a 4＝ 3， a 5＝－ 2，⋯，所以数列 { a n } 是周3 2 5 3期数列，周期 3，于是 a 2011＝ a 2010＋ 1＝ a 1＝3.故 C.5n.将两已知等式相减，可得公差 d ＝－ 2，所7．C [分析 ] 依意即求 S n 最大的数以 3a 1＋ 9d ＝ 99，解得 a 1 ＝39，所以 a n ＝ 39－ 2(n － 1)＝41－ 2n.当 a n >0 ， S n 获得最大，所以 41－ 2n>0 ，得 n<20.5，所以 k ＝ n ＝ 20.故 C.8．B [分析 ]a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4＝3，从上到下各 a 1，a 2，⋯，a 9，公差 d ，有a 9＋ a 8＋ a 7＝ 4，4a 1＋ 6d ＝3，7 ，解得d ＝ 66即133a 1＋ 21d ＝4，a 1＝，22所以 a 5＝a 1＋4d ＝ 13 ＋4× 7 ＝ 6722 .故 B.66 669．B [分析 ] 因 S 3＝ 3a 2≤ 9，即 a 2≤ 3，且 a 1>1 ，a 4 >3，首及公差 d 整数，所以可得 a ＝ 2，d ＝ 1，所以 a ＝n ＋ 1，所以 b ＝1 ＝ 1－1，b ＋ b ＋⋯＋ b ＝ 1－1＋ 1－1nnn n ＋ 1 n n ＋1 12 n 2 21＋⋯＋ 1－1＝1－1＝n，所以n99建立的最大 n98.故 B.3n n ＋ 1n ＋ 1 n ＋ 1n ＋ 1<10010.104－ 1 [ 分析 ] 令 2011 年末的量1， 2021 年末的量4， (1＋ x)10＝ 4，所以 x ＝104－ 1.由已知得 a n ＋ 1＝－ a n ，所以 a 202 ＝－ 2， a 203＝ 2， a 204＝－ 2，⋯，能够看11． 2[分析 ] 出，奇数2，偶数－ 2，所以 a 2011＝ 2.12．256 [分析 ]令 p ＝ q ＝ 1， a 2＝ 4，令 p ＝ q ＝ 2， a 4＝ 16，令 p ＝ q ＝ 4， a 8＝256.13． 3112[分析 ]1，公差 2 的等差数列，所由形知，各行数字的个数组成首从前10 行数字个数的和 10× 1＋10× 9× 2＝ 100，故A(11,12) { a n } 的第 112 ，所以A(11,12)＝a 112＝ 31122.14． [解答 ] (1) 因数列 { a n } 是首 a 1 ＝2，公比 q ＝1的等比数列，2所以 a ＝2·1 n － 1＝ 22－ n ，n2211－ n1 S n ＝2 ＝ 4 1 1－ n .1－ 2 2(2)依意得： b n ＋ a n ＝－ 2＋2(n －1)＝ 2n － 4，所以 b n ＝2n － 4－ a n ＝ 2n － 4－ 2 2－n. 数列 { b n ＋ a n } 的前 n 和 P n ，P n ＝n －2＋ 2n － 4 ＝ n(n －3)， 212－ 3n － 4＋ 22－ n所以 T n ＝P n － S n ＝ n(n － 3)－ 4 1－ n ＝ n.215． [解答 ] (1) 市逐年投入的力型公交的数目成等比数列 { a n } ，此中 a 1＝128， q ＝ 1.5，在 2018 年投入的力型公交6＝ 1286a 7＝ a 1q ×1.5 ＝ 1458( )．(2) S n ＝ a 1＋ a 2＋⋯＋ a n ，依照意，得S n> 1，即 S n >5000 ，n310000＋ Sn于是 S n ＝128 1－ 1.5 >5000，1－1.5657即 1.5n 657，有 n> lg 32>32≈ 7.5，所以 n ≥ 8.lg1.5所以，到 2019 年末，力型公交的数目开始超市公交量的【点打破】nba n －116． [解答 ] (1) 由 a 1＝ b>0，知 a n ＝ a n － 1＋ n －1>0， n ＝ 1＋ 1 n －1 .a令 A n ＝ n，A 1＝ 1， a n b1 ＋ 1 当 n ≥2 ， A n ＝A n －1b b 1 1 1＝＋⋯＋ n －1 ＋ n －1A 1b b b ＝ 1＋⋯＋ n 1－1＋ 1n .bb b1 1b 1－ nn－1b＝b n b①当 b ≠ 1 ， A n ＝1 b －1 ，1－ b②当 b ＝ 1 ， A n ＝ n.nb n b － 1 ， b ≠ 1， ∴ a n ＝b n － 1 13.1， b ＝ 1.(2) 明：当 b ≠ 1 ，欲2a n ＝2nb n b －1 ≤ bn ＋12nb n≤ (b n ＋1 b n － 1n＋ 1，只要＋ 1).b － 1b － 1∵(b n ＋1＋1)b n － 1＝ b 2n ＋ b 2n －1＋⋯＋ b n ＋ 1＋ b n － 1＋b n －2＋⋯＋ 1 b － 1＝ b nn1n－111 b ＋b n＋b＋b n－ 1＋⋯＋b＋b>b n(2＋ 2＋⋯＋ 2)＝2nb n，∴ 2a n＝2nb n b－ 1n＋ 1 b n－ 1<1＋ b.当 b＝1 ， 2a n＝ 2＝ b n＋1＋ 1.上所述 2a n≤ b n＋1＋1.。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(37)基本不等式A

课时作业(三十七)A [第37讲基本不等式][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．若M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]2．已知ab ≠0，a ，b ∈R ，则下列式子总能成立的是( ) A.b a ＋a b ≥2 B.b a ＋ab≥－2 C.b a ＋ab≤－2 D.⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2 3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．44．对一切正数m ，不等式n <4m＋2m 恒成立，则常数n 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，42)C ．(42，＋∞)D ．[42，＋∞) 能力提升5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b6．已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定7．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t＋16，则该商场前t 天平均售出⎝⎛⎭⎫如前10天的平均售出为f (10)10的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．168．设a 、b 、c 都是正数，那么a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a三个数( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于29．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________．10．已知2a ＋3b ＝6，且a >0，b >0，则32a ＋1b的最小值是________．11．下列函数中，y 的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．①y ＝x ＋4x (x >0)；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝sin x ＋4sin x .12．(13分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0. (1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.难点突破13．(1)(6分) 若x、y、z均为正实数，则xy＋yzx2＋y2＋z2的最大值是()A.22 B. 2 C．2 2 D．2 3(2)(6分)设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值是________．课时作业(三十七)A【基础热身】1．A [解析] M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，当a >0时，M ≥4，当a <0时，M ≤－4.2.D [解析] 选项A 、B 、C 中不能保证b a 、ab都为正或都为负．3．C [解析] ∵x ＞2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．4．B [解析] 由题意知，n 小于函数f (m )＝4m＋2m 在(0，＋∞)上的最小值，f (m )min ＝4 2.【能力提升】5．B [解析] 因为0<a <b ，由基本不等式得ab <a ＋b 2，a <b ，故a ＋b 2<b ＋b2＝b ，a ＝aa<ab ，故答案为B.6．C [解析] 依题意得A ＝a ＋b 2，G ＝ab ，故AG ＝a ＋b2·ab ≥ab ·ab ＝ab .7．A [解析] 平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t ＋10≥18，当且仅当t ＝16t，即t＝4∈[1,30]等号成立，即平均销售量的最小值为18.8．D [解析] 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2，则⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a <6，而⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾， ∴a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a至少有一个不小于2.选D.9．P <Q <R [解析] ∵a >b >1，所以lg a >0，lg b >0，由基本不等式知12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，所以P <Q ，又a ＋b 2>ab ，所以lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，所以R >Q ，所以P <Q <R .10．2 [解析] ∵2a ＋3b ＝6，a >0，b >0，∴a 3＋b2＝1，∴32a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫32a ＋1b ⎝⎛⎭⎫a 3＋b 2＝1＋3b 4a ＋a 3b ≥1＋1＝2，当3b 4a ＝a 3b时，即3b ＝2a 时“＝”成立．11．①③ [解析] ①y ＝x ＋4x ≥2x ·4x＝4，等号成立的条件是x ＝2；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋2≥4，但等号不成立； ③y ＝e x ＋4e －x ＝e x ＋4ex ≥4，等号成立的条件是x ＝ln2；④当sin x >0时，y ＝sin x ＋4sin x ≥4，但等号不成立；当sin x <0时，y ＝sin x ＋4sin x<－4.12．[解答] (1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0，得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0，因为x 2＋y 2＋5＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4，故x 2＋y 2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2.【难点突破】13．(1)A (2)3 [解析] (1)∵x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋12y 2＋12y 2＋z 2≥2x 2·12y 2＋212y 2·z 2＝2(xy ＋yz )，当且仅当x ＝z ＝22y 时取等号，令u ＝xy ＋yz x 2＋y 2＋z 2，则xy ＋yz x 2＋y 2＋z 2≤xy ＋yz 2(xy ＋yz )＝22，∴当且仅当x ＝z ＝22y 时，u 取得最大值22.(2)由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，代入y 2xz 得y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．。

6.4 基本不等式及其应用课件(含2013年高考真题)文新人教版课件

A.(1,2) C.(1,1)
B.(1,-2) D.(0,2)
(��+1)2 +1 1 解析:y= ��+1 =(x+1)+��+1≥2.当且仅当 x=0 时等号成立.
第六章
6.4
基本不等式及其应用 -8-
3.设 x>0,y>0,且 x+4y=40,则 lg x+lg y 的最大值是(D) A.40 C.4 B.10 D.2
1
5 ��
关闭
D.-3
1 2
上是减函数,应有 f
≥0,解得
上是增函数,应有 f(0)=1>0 恒成立,解得 a≥ 0. =
2
(a,b∈R).
2
��+�� 2
≥ �� ≥ 1 1(a,b>0).
��
+
(5)�� + ��≥2(a,b 同号且不为 0).
第六章
6.4
基本不等式及其应用 -6-
基础自测
1.若 x+2y=4,则 2x+4y 的最小值是(B) A.4 B.8 C.2 2 D.4 2
考点一
考点二
考点三
考点四
第六章
6.4
基本不等式及其应用 -18-
考点三
基本不等式中的含参类问题
2 1 ��
【例 3】已知 a>0,b>0,若不等式�� + �� ≥ 2��+��恒成立,则 m 的最大值等于(B) A.10 C.8 B.9 D.7

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(37)基本不等式B

课时作业(三十七)B [第37讲基本不等式][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．已知a ，b ∈R ，下列不等式中不正确的是( )A ．a 2＋b 2≥2ab B.a ＋b 2≥ab C ．a 2＋4≥4a D.4b 2＋b 2≥4 2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－43．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝4，则5x ＋5y 的最小值是( )A ．9B ．25C ．50D ．1624．已知0<x <13，则x (1－3x )取最大值时x 的值是________．能力提升5．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )A.1a ＋1b 有最大值4 B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值226．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．若log 2x ＋log 2y ＝8，则3x ＋2y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．4 6D ．8 68．设f (x )＝|2－x 2|，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,22)C ．(0,4)D ．(0，2)9．已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．10．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．11．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________． 12．(13分)(1)已知a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫0，12的最小值，指出取最小值时x 的值．难点突破13．(12分)如图K37－1，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．(1)设AD ＝x (x ≥0)，ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式；(2)如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE图K37－1课时作业(三十七)B【基础热身】1．B [解析] 对于基本不等式成立的前提条件是a 、b 必须都非负．2．C [解析] ∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2·(－x )·1(－x )－2＝－4，等号成立的条件是－x ＝1－x，即x ＝－1. 3．C [解析] 5x ＋5y ≥25x ＋y ＝254＝50，当且仅当x ＝y ＝2时，5x ＋5y 得最小值是50. 4.16 [解析] 因为0<x <13，所以0<1－3x <1，所以x (1－3x )＝13[3x (1－3x )]≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(1－3x )22＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，x (1－3x )取得最大值．【能力提升】5．C [解析] 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2，所以ab ≤14，故B 错；1a＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2≤a ＋b 2＝12，即a ＋b ≤2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错． 6．B [解析] 依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，∴x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值是4.7．D [解析] 由log 2x ＋log 2y ＝8，得log 2xy ＝8，所以xy ＝16，且x >0，y >0，所以3x ＋2y ≥26xy ＝86，当且仅当3x ＝2y ，xy ＝16时，取得最小值8 6.故选D.8．B [解析] 若0＜a ＜b ＜2，则有f (a )＞f (b )，与f (a )＝f (b )矛盾；若2＜a ＜b ，则有f (a )＜f (b )，与f (a )＝f (b )矛盾，故必有0＜a ＜2＜b ，因此由|2－a 2|＝|2－b 2|得2－a 2＝b 2－2，∴a 2＋b 2＝4，故a ＋b 2≤a 2＋b 22＝2(a ＝b 时取等号)， ∴0＜a ＋b ＜2 2.9.94 [解析] 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，则2p ＋1＝4，解得p ＝94. 10．18 [解析] 由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)，或者t ≥32，故xy 的最小值为18.11．－4 [解析] 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab ≤－4，因此要使k ≥－a ＋b 2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.12．[解答] (1)证明：⎝⎛⎭⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2x y＝(a ＋b )2，故a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a 2y x ＝b 2x y ，即a x ＝b y 时上式取等号．(2)由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时上式取最小值，即f (x )min ＝25.【难点突破】13．[解答] (1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE ·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x ·AE .①又S △ADE ＝12S △ABC ⇒32＝12x ·AE ·sin60°⇒x ·AE ＝2.② 将②代入①得y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫2x 2－2(y ＞0)，∴y ＝x 2＋4x2－2(1≤x ≤2)． (2)如果DE 是水管y ＝x 2＋4x2－2≥2·2－2＝2，当且仅当x 2＝4x2，即x ＝2时“＝”成立，故DE ∥BC ，且DE ＝ 2. 如果DE 是参观线路，记f (x )＝x 2＋4x2，可知函数f (x )在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增，故f (x )max ＝f (1)＝f (2)＝5，∴y max ＝5－2＝ 3.即DE 为AB 边中线或AC 边中线时，DE 最长．。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(34)不等关系与不等式

课时作业(三十四) [第34讲不等关系与不等式][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是( )A ．a ＋d >b ＋cB ．a －d >b －cC ．ac >bd D.a d >b c2．若x ≠2且y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．M ≥N3．若a ＜0，－1＜b ＜0，则有( )A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a4．在平面内，设点A 与直线l 的距离为d ，B 为直线l 上的任意一点，则d ________|AB |. 能力提升5．若0<α<π，则sin2α与2sin α的大小关系是( )A ．sin2α>2sin αB ．sin2α<2sin αC ．sin2α＝2sin αD ．无法确定6．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0<b <a ，则下列不等式正确的是( )A.2a ＋b a ＋2b >a bB.b 2＋1a 2＋1>b 2a 2 C ．a ＋1a >b ＋1bD ．a a >a b 8．设[x ]表示不超过x 的最大整数，又设x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值范围是( )A ．(35,39)B ．(49,51)C ．(71,75)D ．(93,94)9．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．10．给出下列命题：①a >b 与b <a 是同向不等式；②a >b 且b >c 等价于a >c ；③a >b >0，d >c >0，则a c >b d； ④a >b ⇒ac 2>bc 2；⑤a c 2>b c 2⇒a >b .其中真命题的序是________． 11．某校对文明班的评选设计了a ，b ，c ，d ，e 五个方面的多元评价指标，并通过经验公式S ＝a b ＋c d ＋1e来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出0<c <d <e <b <a ，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为________．(填入a ，b ，c ，d ，e 中的某个字母)12．(13分)下表为广州亚运会官方票务站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备1200元，预订15门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数．难点突破13．(12分)已知函数f(x)＝|log2(x＋1)|，实数m、n在其定义域内，且m＜n，f(m)＝f(n)．求证：(1)m＋n＞0；(2)f(m2)＜f(m＋n)＜f(n2)．课时作业(三十四)【基础热身】1．B [解析] ∵c >d ，∴－d >－c .又∵a >b ，∴a －d >b －c .2．A [解析] M －N ＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0.3．D [解析] 利用作差比较法判断a ，ab ，ab 2的大小即可，∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，b －1＜0,1－b ＞0,0＜b 2＜1,1－b 2＞0，∴ab －a ＝a (b －1)＞0⇒ab ＞a ；ab －ab 2＝ab (1－b )＞0⇒ab ＞ab 2；a －ab 2＝a (1－b 2)＜0⇒a ＜ab 2；故ab ＞ab 2＞a .4．≤ [解析] 根据平面内点到直线的距离关系可知d ≤|AB |.【能力提升】5．B [解析] sin2α＝2sin αcos α<2sin α.6．C [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >0，ab >0.7．B [解析] ∵0<b <a ，∴b 2＋1a 2＋1－b 2a 2＝a 2－b 2a 2(a 2＋1)>0. 8．D [解析] ∵[x －3]＝[x ]－3，解⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5得[x ]＝20， y ＝73.∵x 不是整数，∴20<x <21，∴93<x ＋y <94.9．(－3,3) [解析] ∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4，∴－4＜－|β|≤0，∴－3＜α－|β|＜3.10．③⑤ [解析] ①中两个不等式为异向不等式；②中只能确定⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，b >c ⇒a >c ，不是等价不等式；由a >b >0，d >c >0得ad >bc >0，∴a c >b d，故③正确；当c ＝0时④不正确；在已知条件下1c 2>0恒成立，∴⑤正确；故填③⑤. 11．c [解析] 根据分数的性质，只有在a 或c 上增加1才能使S 增加最多．∵a b ＋c ＋1d ＋1e －⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋c d ＋1e ＝1d －1b ＝b －d bd>0，∴a b ＋c ＋1d ＋1e >a ＋1b ＋c d ＋1e ，故应填c . 12．[解答] 设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n (n ∈N *)张，则足球比赛门票预订(15－2n )张，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 80n ＋60n ＋100(15－2n )≤1200，80n ≤100(15－2n )，n ∈N *，解得5≤n ≤5514. 由n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5.∴可以预订足球比赛门票5张．【难点突破】13．[解答] (1)证明：方法一：由f (m )＝f (n )，得|log 2(m ＋1)|＝|log 2(n ＋1)|，即log 2(m ＋1)＝log 2(n ＋1)，①或log 2(m ＋1)＝－log 2(n ＋1)，②由①得m ＋1＝n ＋1，与m ＜n 矛盾，舍去，由②得m ＋1＝1n ＋1，即(m ＋1)(n ＋1)＝1.③ ∴m ＋1＜1＜n ＋1，∴m ＜0＜n ，∴mn ＜0，由③得mn ＋m ＋n ＝0，m ＋n ＝－mn ＞0.方法二：同方法一得(m＋1)(n＋1)＝1. ∵0＜m＋1＜n＋1，∴(m＋1)＋(n＋1)2>(m＋1)(n＋1)＝1，∴m＋n＋2＞2，∴m＋n＞0.(2)证明：当x＞0时，f(x)＝|log2(x＋1)|＝log2(x＋1)在(0，＋∞)上为增函数．由(1)知m2－(m＋n)＝m2＋mn＝m(m＋n)，且m＜0，m＋n＞0，∴m(m＋n)＜0，∴m2－(m＋n)＜0,0＜m2＜m＋n，∴f(m2)＜f(m＋n)．同理，(m＋n)－n2＝－mn－n2＝－n(m＋n)＜0，∴0＜m＋n＜n2，∴f(m＋n)＜f(n2)，∴f(m2)＜f(m＋n)＜f(n2)．。

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编6：不等式-推荐下载

A．( ,-1)
【答案】A
B．(-1,0)
C．3 和 2
C．
C． [2,)
C．0,1)
x y 8,
2 x
yx 0,
y 0,
x

4,
且
z
D．16
D．2 和 0ຫໍສະໝຸດ 5yx
的最大值为
,则 z=2x-3y 的最小值是（）
D．-3
D． (,2]
< x2 成立的 x 的取值范围是
一、选择题
1.
．（2013
年高考四川卷（文））若变量
则 a b 的值是
A． 48
【答案】C
2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 6：不等式
B． 30
x,
y
满足约束条件
C． 24
x y 2 2. ．（2013 年高考福建卷（文））若变量 x, y 满足约束条件 x 1 ,则 z 2x y 的最大值和最小值分别为
A．(-∞,+∞)
【答案】D
B．(-2, +∞)
C．2
C．(0, +∞)
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

高中数学(人教A版)必修一课后习题：基本不等式的应用(课后习题)【含答案及解析】

基本不等式的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021江苏南京高一期末)设实数x 满足x>0,函数y=2+3x+4x+1的最小值为( )A.4√3-1B.4√3+2C.4√2+1D.6x>0,∴x+1>0,∴y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-1≥2√3(x +1)·4x+1-1=4√3-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=2√33-1>0时,等号成立,∴函数y=2+3x+4x+1的最小值为4√3-1.故选A .2.(2020辽宁凤城高一期中)已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1a +1b 的最大值为( ) A.-1 B .-32C .-4D .-2解析a<0,b<0,a+b=-2,∴1a+1b=-121a +1b(a+b )=-122+b a +a b≤-122+2√b a ·a b=-2,当且仅当a=b=-1时,等号成立,故y=1a+1b 的最大值为-2,故选D .3.(多选题)(2021广东番禺高一期末)已知a>0,b>0,且a 2+b 2=1,则( ) A.a+b ≤√2 B.a+b ≤12C.a+b>√2D.1a 2+1b2≥4(a+b )2=a 2+b 2+2ab=1+2ab ≤1+(a 2+b 2)=2(当且仅当a=b 时,等号成立),又a>0,b>0,则a+b ≤√2,故A 正确;1a 2+1b2=a 2+b 2a 2+a 2+b2b2=1+b 2a 2+a 2b2+1≥2+2√a 2b2·b2a 2=2+2=4,当且仅当b2a2=a 2b2,即a=b 时,等号成立,故D 正确.故选AD .4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v 2800 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要 h .解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50·v 2800v =v 16 h,最后一辆车驶完全程共需要400v h,所以一共需要400v +v16h,由基本不等式,得400v +v 16≥2√400v ·v16=10,故最少需要10 h .5.已知a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为 .a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab=1b +2a =13(2a+b )2a +1b=135+2b a +2a b ≥13(5+4)=3,当且仅当2ba =2ab 且2a+b=3,即a=b=1时,a+2bab 取得最小值3. 6.已知正数a ,b ,x ,y 满足a+b=10,ax +by =1,x+y 的最小值为18,求a ,b 的值.(x+y )(ax +by )=a+bxy +ayx +b=10+bxy +ayx . 因为x ,y>0,a ,b>0,所以x+y ≥10+2√ab =18,即√ab =4. 当且仅当bx y =ayx时,等号成立. 又a+b=10,所以{a =2,b =8或{a =8,b =2.7.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x ≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+x 2360升,司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用的值.设所用时间为t=130x 小时,则y=130x ×6×(2+x 2360)+14×130x ,50≤x ≤100.所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=3 380x +136x ,50≤x ≤100. (2)y=3 380x +136x ≥263√390, 当且仅当3 380x =136x ,即x=2√390时,等号成立.又2√390<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为y=3 38050+136×50=2 63915(元).等级考提升练8.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m 恒成立,则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8 D.7解析2a +1b =2a +1b (2a+b )=5+2ba +2ab ≥5+2√2b a ·2ab =9,当且仅当2ba =2ab ,即a=b=13时,等号成立.所以2a +1b的最小值为9,又因为2a +1b ≥m 恒成立,所以m ≤9,即m 的最大值为9.9.(2021浙江温州高一期末)已知正数a ,b 满足a+b=1,则4a1-a +b1-b 的最小值是( ) A.1 B .2 C .4 D .8a ,b 满足a+b=1,则4a1-a +b1-b =4ab +ba ≥2√4ab ·ba =4, 当且仅当4ab =ba ,即b=2a=23时,等号成立. 故4a1-a +b 1-b 的最小值是4, 故选C .10.(2021云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是( ) A.14 B .12C .1D .2x ,y ,则x>0,y>0,且x+y=1, 由基本不等式可得x 2+y 2≥2xy ,所以2(x 2+y 2)≥x 2+y 2+2xy=(x+y )2=1,所以x 2+y 2≥12,当且仅当x=y=12时,等号成立,因此,两个正方形的面积之和x 2+y 2的最小值为12.故选B .11.(多选题)(2021浙江湖州高一期末)已知a>0,b>0.若4a+b=1,则( ) A.14a +1b 的最小值为9 B .1a +1b 的最小值为9 C .(4a+1)(b+1)的最大值为94 D .(a+1)(b+1)的最大值为94,14a +1b =(14a +1b )(4a+b )=2+b4a +4ab ≥2+2√b4a ·4ab =4,当b4a =4ab ,即b=4a 且4a+b=1时,等号成立,故14a +1b 的最小值是4,故A 不正确;1a +1b=(1a +1b )(4a+b )=5+b a +4a b ≥5+2√b a ·4a b =9,当b a =4a b ,即b=2a 且4a+b=1时,等号成立,1a +1b的最小值为9,故B 正确;(4a+1)(b+1)≤[(4a+1)+(b+1)2]2=94,当4a+1=b+1,即b=4a=12时,等号成立,故C 正确;(a+1)(b+1)=14[(4a+4)(b+1)]≤14[(4a+4)+(b+1)2]2=94,当且仅当4a+4=b+1时,等号成立,又因为4a+b=1,因此当a=-14,b=2时,等号成立,但a>0,所以等号不能成立,故D 不正确.故选BC . 12.设函数y=x+ax (a>0).(1)若a=1,求当x>0时,函数y 的最小值为 ;(2)当x>2时,该函数存在最小值,则满足条件的一个a 的值为 .(2)5(答案不唯一,只要a>4即可)当a=1时,由基本不等式得x+1x≥2√x ·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立,故最小值为2.(2)由基本不等式得x+ax ≥2√x ·ax =2√a ,当且仅当x=ax ,x=√a 时等号成立,故√a >2,即a>4.填a>4的任意一个a 都符合题意.13.对任意m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,则实数a 的最大值为 .√2m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,∴m 2+2n 2≥amn , 即a ≤m 2+2n 2mn=m n +2nm 恒成立.∵mn +2nm ≥2√m n ·2nm =2√2, ∴a ≤2√2,即最大值为2√2.14.经观测,某公路段在某时段内的车流量y (单位:千辆/时)与汽车的平均速度v (单位:千米/时)之间有如下关系:y=920vv 2+3v+1 600(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度v 为时车流量y 最大,最大车流量为千辆/时(精确到0.01).11.08 y=920v v 2+3v+1 600=920v+1 600v +3≤2√v ·1 600v+3=92083≈11.08.当v=1 600v ,即v=40千米/时,车流量最大,最大值为11.08千辆/时.新情境创新练15.中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(2≤x ≤6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900a (1+x )x元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a 的取值范围.设甲工程队的总造价为y 元,则y=3150×2x+400×12x+7 200=900x+16x+7 200(2≤x ≤6),900x+16x+7200≥900×2×√x ·16x +7 200=14 400.当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元.(2)由题意可得,当2≤x ≤6时,900x+16x+7 200>900a (1+x )x恒成立,即(x+4)2x>a (1+x )x, ∴a<(x+4)2x+1=(x+1)+9x+1+6,又x+1+9x+1+6≥2√(x +1)·9x+1+6=12, 当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立. ∴a 的取值范围为{a|0<a<12}.。

新教材高中数学第2章基本不等式第1课时基本不等式学案含解析新人教A版必修第一册

新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：2.2 基本不等式第1课时基本不等式学习目标核心素养1.了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．问题：依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？提示：由图可知①a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；②a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2. ( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( )[提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据基本不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立． (3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. [答案] (1)× (2)× (3)√2．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0B [当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，“＝”成立．] 3．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋bD [∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (∵a ≠b )， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (∵a ≠b )，∴a ＋b 最大．]4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________(填序号)． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .③ [根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对基本不等式的理解【例1】给出下面四个推导过程： ①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①∵a ，b 为正实数，∴b a ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a ，b 都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .[跟进训练]1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x＝2. ②若x ＜0，则x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝⎛⎭⎪⎫－4x≤－2－x ·⎝⎛⎭⎪⎫－4x＝－4.③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2. ② [ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x ＝1x时，即x ＝1时，x ＋1x≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用基本不等式比较大小【例2】 (1)已知a ，b ∈R ＋，则下列各式中不一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.b a ＋a b≥2 C.a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b≥ab (2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．(1)D (2)a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac [(1)由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，∴A 成立； ∵b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )．即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .]1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[跟进训练]2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b (由a ＋b ＞a ＋b24也就是a ＋b4＜1可得)，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q .]利用基本不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥3＋2b a ·ab ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2 ＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9.本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8. [证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＞8.1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．[跟进训练]3．已知x ，y ，z 都是正数，求证： (x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )≥8xyz . [证明] ∵x ，y ，z 都是正数，∴x ＋y ≥2xy ，y ＋z ≥2yz ，z ＋x ≥2zx ， ∴(x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )≥2xy ·2yz ·2zx ＝8xyz . 当且仅当x ＝y ＝z 时，等号成立．4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3b＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7.[证明] 由1a ＋3b ＝1，得b ＝3aa －1(a ＞1)，则a ＋2b ＝a ＋6a a －1＝a ＋6a －1＋6a －1＝a ＋6a －1＋6＝(a －1)＋6a －1＋7≥26＋7，当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号.1．记牢2个不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab ；(2)a ＋b2≥ab (a ，b 都是正数)．2．掌握2个注意点利用基本不等式证明不等式时应关注两点：(1)应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面，当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .(2)应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．1．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0 B ．0<ab<1 C.ab <a ＋b2D ．ab >a ＋bC [∵a >b >0，由基本不等式知ab <a ＋b2一定成立．]2．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5C [由基本不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．] 3．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．aB [a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12. a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab .∵0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，∴a ＜12.∴a 2＋b 2最大．]4．若x ＞0，则x ＋1x________2(填“＝”“≥”“≤”“＞”“＜”)．≥ [x ＞0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．]5．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .[证明] ∵a >0，b >0，∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(35)一元二次不等式的解法

课时作业(三十五) [第35讲一元二次不等式的解法][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．不等式x 2<1的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x >－1}D ．{x |x <－1或x >1}2．不等式⎝⎛⎭⎫12x 2＋12x －12>1的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 3．设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]4．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)能力提升5．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，3 C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,3] D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1,3] 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －2(x >2)，－x 2－x ＋4(x ≤2)，则不等式f (x )≤2的解集是( ) A ．(－∞，－2]∪[1,2)∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞B ．(－∞，－2]∪[1,2]∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ C ．[－2,1]∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞D ．(－∞，2]∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 7．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12 C ．{x |－2<x <－1}D ．{x |x <－2或x >1}8．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)9．不等式log 2x －1x≥1的解集为________． 10．若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ≤0的解集为∅，则实数a 的取值范围为________．11．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是________．12．(13分)行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图K35－1所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6<s 1<8，14<s 2<17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m难点突破13．(12分) 设二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋a ，方程f (x )－x ＝0的两根x 1和x 2满足0<x 1<x 2<1.(1)求实数a 的取值范围；(2)试比较f (0)f (1)－f (0)与116的大小，并说明理由．课时作业(三十五)【基础热身】1．A [解析] x 2<1⇔(x ＋1)(x －1)<0，即－1<x <1.选A.2．B [解析] 原不等式等价于x 2＋12x －12<0，即⎝⎛⎭⎫x －12(x ＋1)<0，所以解集为⎝⎛⎭⎫－1，12. 3．A [解析] 由解不等式知识知M ＝{x |－3<x <2}，又N ＝{x |1≤x ≤3}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}．4．C [解析] 由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝m 2－4>0，解得m <－2或m >2，故选C.【能力提升】5．D [解析] x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2(x －1)2，x －1≠0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤3，x ≠1.所以不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－12，1∪(]1，3，选D. 6．B [解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1x －2≤2，x >2或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋4≤2，x ≤2.解得不等式的解集为(－∞，－2]∪[1,2]∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞. 7．A [解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，－b a＝－1＋2＝1，2a ＝－1×2＝－2.解得a ＝－1，b ＝1，∴不等式2x 2＋bx ＋a <0⇔2x 2＋x －1<0，即(2x －1)(x ＋1)<0，∴－1<x <12.选A. 8．C [解析] 由题意f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，∴f (－2)·f (－1)＜0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，∴－32＜a ＜－56.又a ∈Z ， ∴a ＝－1.又不等式f (x )＞1，变形为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.9．[－1,0) [解析] 由log 2x －1x ≥1，得log 2x －1x ≥log 22，即x －1x≥2，解得－1≤x <0. 10．a ＞24[解析] 由题可知函数y ＝ax 2－|x |＋2a 的图象在x 轴上方，因为此函数是偶函数，故我们只需要研究x ＞0时的情况即可，要使函数f (x )＝ax 2－x ＋2a (x ＞0)满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－8a 2<0，解得a ＞24. 11.⎝⎛⎦⎤259，4916 [解析] 因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0，在(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中，Δ＝4a >0，且有4－a >0，故0<a <4，不等式的解集为12＋a <x <12－a.又14<12＋a <12，所以1,2,3为所求的整数解，所以3<12－a≤4，解得a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤259，4916. 12．[解答] (1)依题意得⎩⎨⎧ 6<40n 100＋1600400<8，14<70n 100＋4900400<17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5<n <10，52<n <9514，又n ∈N ，所以n ＝6. (2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.【难点突破】13．[解答] 解法1：(1)令g (x )＝f (x )－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由条件可知Δ＝(a －1)2－4a >0,0<1－a 2<1，g (1)>0，g (0)>0. 由此可得0<a <3－22，故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)．(2)f (0)f (1)－f (0)＝f (0)g (1)＝2a 2，令h (a )＝2a 2，∴当a >0时h (a )单调增加， ∴当0<a <3－22时，0<h (a )<h (3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122)＝2·117＋122<116，即f (0)f (1)－f (0)<116. 解法2：(1)方程f (x )－x ＝0⇔x 2＋(a －1)x ＋a ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝1－a ，x 1x 2＝a ，于是 0<x 1<x 2<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(a －1)2－4a >0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0，(1－x 1)＋(1－x 2)>0(1－x 1)(1－x 2)>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a <1，a <3－22或a >3＋22，a >－1，a >0⇔0<a <3－22，故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)．(2)依题意可得可设g (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，由0<x 1<x 2<1，得，f (0)f (1)－f (0)＝g (0)g (1)＝x 1x 2(1－x 1)(1－x 2)＝[x 1(1－x 1)][x 2(1－x 2)]<⎝⎛⎭⎫x 1＋1－x 122⎝⎛⎭⎫x 2＋1－x 222＝116，故f (0)f (1)－f (0)<116.。

2013新课标高考文科数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p ：231,q ;32,χχχχχχ-=∈∃<∈∀R R ：命题，则下列命题中为真命题的是：（）（A ） p ∧q （B ）￢p ∧q （C ）p ∧￢q （D ）￢p ∧￢q （6）设首项为1，公比为的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（）（A ）S n =2a n -1 （B ）S n =3a n -2（C ）S n =4-3a n （D ）S n =3-2a n（7）执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[-1，3]，则输出的s 属于（A ）[-3,4] （B ）[-5,2] （C ）[-4,3] （D ）[-2,5]（8）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y ²=4x 的焦点，P 为C 上一点，若丨PF 丨=4，则△POF 的面积为（A ）2（B ）2（C ）2（D ）4（9）函数f （x ）=（1-cosx ）sinx 在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

课时讲练通2017-2018学年高中数学人教A版必修一 2013

考点29 基本不等式一、选择题1.（2013·重庆高考理科·Ｔ363)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.29C.3D. 223 【解题指南】直接利用基本不等式求解.【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时,29263)6)(3(=++-≤+-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23=a 时取等号.2. （2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xy z 取得最大值时，212x y z+-的最大值为（） A.0 B.1 C.94D.3 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212x y z+-，进而再利用基本不等式求出212x y z+-的最值.【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =zxy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=211122412y y ⎛⎫+- ⎪⎪≤= ⎪⎪⎝⎭. 3. （2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为（） A.0 B.98C.2D.94【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值.【解析】选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+.所以1342344322=-⋅≥-+=+-=xyy x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =，所以()222222242222222=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ，当且仅当y=2-y 时取等号.4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A ．[]0,2 B ．[]2,0- C ．[)2,-+∞ D ．(],2-∞-【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式.【解析】选D. 2x +2y =1,所以2x+y ≤错误！未找到引用源。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(38)不等式的综合应用

课时作业(三十八 ) [第 38讲不等式的综合应用][时间：45 分钟分值：100 分]基础热身2＋1)，n ＝ log a (a ＋ 1)，p ＝loga(2a)，则 m 、n 、p 的大小关系是 ( )1． 0<a<1，m ＝loga(aA ．n> m>pB ．m>p> nC ．m> n>pD ．p>m>n2．设 0<b<a<1，则下列不等式成立的是 ( ) A ．ab<b2<11 1 1 B. < a <a < 2 2 2 C ．a2< ab<1b1 D ．log b<log 21 2 a<0x， x<2， 23．设函数f ( x)＝ 2x ，x ≥ 2. x ＋3若 f( x 0)>1，则 x 0 的取值范围是 () A ．(0,2)∪(3，＋∞ ) B ．(3，＋∞ ) C ．(0,1) ∪(2，＋∞ ) D ．(0,2) 4．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为 10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为 ( )A ．50B ．25 3C ．50 3D ．100 能力提升5．设全集 U ＝R ，集合 A ＝{ x|x(x －2)<0} ，B ＝{ x|x< a} ．若 A 与 B 的关系如图K 38－1 所示，则 a 的取值范围是 ( )图K 38－1A ．[0，＋∞ )B ．(0，＋∞ )C ．[2，＋∞ )D ．(2，＋∞ )x ＋ y＝1 通过点 M (cos α，sin α)，则 ( ) 6．若直线a b2＋ b 2≥ 1 B ．a 2＋ b 2≥ 1 A ．a1 1 1 1 C. 2＋ 2≤ 1 D. 2＋ 2≥ 1 a b a b2 2 x y7．已知 c 是椭圆 2＋ 2＝1(a> b>0)的半焦距，则a b A ．(1，＋∞ ) B ．( 2，＋∞ ) C ．(1， 2) D ． (1， 2]b ＋c 的取值范围是 ( )a8．银行计划将某客户的资金给项目M 和 N 投资一年，其中 40%的资金给项目M , 60% 的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回报率支付给客户．为了使银行年利润不小于给 M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给客户的回报率最大值为( )A．5% B．10%C．15% D．20%→→和OB，它们的夹角为90°.如图K38 －2 所示，点9．给定两个长度为 1 的平面向量OA→→→＝xOA＋yOB，其中x、y∈R，则x＋y 的最大值是C 在以O 为圆心的圆弧A B 上运动．若OC第1页共5 页( )图 K38－2A．1 B. 2C. 3 D．22 的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m,4 m 的堤堰，10．要挖一个面积为432 m要想使占地总面积最小，此时鱼池的长________ m、宽________ m.x，y＝x2，y＝8的图象都过点A，且点A 在直线11．已知三个函数y＝ 2x x＋my＝1(m>0，2nn>0) 上，则log2m＋log2n 的最小值为________．2＋(a－2)x－2>0”为真命题，则实数x 的取值范围是12．若命题“?a∈[1,3] ，使ax____________．13．半径为 4 的球面上有A、B、C、D 四点，AB，AC，AD 两两互相垂直，则△ABC、△ACD 、△ ADB 面积之和S△ABC＋S△ACD＋S△ADB 的最大值为________．14．(10 分)青海玉树大地震，牵动了全国各地人民的心，为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高 2.5 米)，前后墙用 2.5 米高的彩色钢板，两侧用 2.5 米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板的高均为 2.5 米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450 元，复合钢板为200 元．房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200 元．每套房材料费控制在32000 元以内，试计算：(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用x，y 表示p；(2)求简易房面积S 的最大值是多少？并求S 最大时，前面墙的长度应设计为多少米？15．(13 分)已知f( x)＝x(x≠－1)．x＋1(1)求f (x)的单调区间；(2)若a> b>0，c ＝1 3，求证：f(a)＋f (c)>.4 a－b b难点突破16．(12 分)已知函数 f (x)＝13＋ 12＋bx＋1( x∈ R，a，b 为实数)有极值，且在x＝－ 1x ax3 2处的切线与直线x－y＋1＝ 0 平行．(1)求实数 a 的取值范围．(2)是否存在实数a，使得f′(x)＝x 的两个根x1，x2 满足0<x1<x2<1？若存在，求实数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．第2页共5 页课时作业(三十八 )【基础热身】2＋1< a ＋1，因此 p>m>n. 1．D [解析 ] 2a<a2＝b(a －b)＞0， ab ＞b 2，因此 A 不正确．由函数 y ＝ 12．B [解析 ] 依题意得 ab －b2x 在 R 上是减函数得，当 0＜b ＜a ＜ 1 时，有 1 2 0> 1 2 b ＞ 1 2 a ＞ 1 2 1＝1 ，即，即 21 2 ＜1 2 a ＜ 1 2 b ，因此 B 正确．同理可知， C 、D 不正确．综上所述，选B .3．A [解析 ] 当 x 0≥ 2 时， 2x0 x 0＋ 3>1，解得 x 0>3；当 x0<2 时， 2x0>1，解得 0<x0<2.综上可知 x 0 的取值范围是 (0,2)∪(3，＋∞ )，选A .2＋ y 2＝ 100. 4．A [解析 ] 设矩形的长和宽分别为 x 、y ，则x2＋y 2 x于是 S ＝xy ≤ ＝50，当且仅当 x ＝y 时等号成立．2【能力提升】5．C [解析 ] A ＝{ x|0<x<2} ，A B ，∴ a ≥ 2，故选C .x y＋＝1 即直线b x ＋ay －ab ＝0 与圆 x 6．D [解析 ] 由题意知，直线 2＋y 2＝1 有交点，a b所以圆心(0,0)到直线b x ＋ay －ab ＝ 0 的距离 d ＝ |－ab|≤ 1，解得 1 2＋2＋b 2aa 1 2≥ 1，选D . b b ＋c7．D [解析 ] 由题设条件知， a<b ＋c ，∴ >1，a 22＋c 2＋2bc 2＋ c 2∵a2 ＝ 2 ≤ 2 ＝2， a a a∴ b ＋c ≤ 2.故选D . a8．C [ 解析 ] 设银行在两个项目上的总投资金额为 s ，按题设条件，在 M 、N 上的投资40 所得的年利润为 P M 、P N 分别满足：P M ＝ 100 s × 10 ，P N ＝ 100 6035 ；银行的年利润P 满足：100s × 10010 100 s ≤ P ≤15 100 s ；这样，银行给客户的回报率为P M ＋P N －P ×100%，即 s10 ≤ 100P M ＋P N －P ≤ s 15 100.→ 2 → ＝ (xOA 9． B [ 解析 ] OC→ ＋yOB 2，化简可得 x 2＋y 2＝1，所以 x ＋y ＝ x ＋y 2＝)2＋y 2＋2xy ≤ 2 x 2＋y 2 ＝ 2，当且仅当 x ＝y ＝ x 2时等号成立．210．24 18 [解析 ] 设鱼池的两边长分别为 x ，432 x ，∴S ＝(x ＋ 6) 432＋8 ＝432＋48＋25922592 ＋8x ≥ 480＋288＝ 768，仅当 8x ＝即 x＝18，x x x432＝24 时等号成立． xx y11．4 [解析 ] 由题易得，点 A 的坐标为 (2,4)，因为点 A 在直线＋＝1(m>0，n>0) m 2n2 4 上，所以 1＝ ≥ 2 ＋m 2n的最小值为 4.2 4·，∴mn ≥ 16，所以 log 2m ＋log2n ＝ log2(mn)≥ 4，故 log2m ＋log2n m 2n2 3 12．x<－1 或 x>[解析 ] 令 m(a)＝ax 2＋(a －2)x －2＝(x 2＋x) a －2x －2，m(a)是关于 a 2＋(a －2)x －2＝(x 2＋x) a －2x －2，m(a)是关于 a的一次函数，∵命题“? a ∈[1,3] ，使 ax2＋(a － 2)x －2>0”为真命题，∴m(1)>0 或 m(3)>0 ，即 x2－x －2>0①或 3x 2＋x －2>0②，第 3页共 5 页2由①得 x<－ 1 或 x>2；由②得 x<－1 或 x>. 3 2所以，所求实数 x 的取值范围是x<－1 或 x>3.13．32 [解析 ] 根据题意可知，设A B ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则可知 AB ，AC ，AD 为球1的内接长方体的一个角．故 a △ ABC ＋ S △ ACD ＋ S △ ADB ＝2＋ b 2＋ c 2＝ 64，而 S (ab ＋ ac ＋22＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2 2＋ b 2＋ c 2 a a 8 3 ＝＝ 32，当且仅当 a ＝ b ＝c ＝时等号成立． bc)≤4 2 314．[解答 ] (1) p ＝2x ×450＋2y ×200＋ xy ×200＝ 900x ＋400 y ＋200xy ，故 p ＝900x ＋400y ＋200xy.(2) S ＝ x ·y ，且 p ≤ 32000；由题意可得： p ＝200 S ＋900x ＋400 y ≥ 200 S ＋2 900×400 S ， 2＋6 S － 160≤ 0， ? 200S ＋1200 S ≤ p ≤ 32000 ? ( S) ? 0< S ≤ 10? S ≤ 100；当且仅当 900x ＝400 y ，xy ＝10020? x ＝时取最大值；3答：简易房面积S 的最大值为 100 平方米，此时前面墙设计为 20 3米．15．[解答 ] (1) 对已知函数进行降次分项变形，得 f(x)＝1－ 1，x ＋1则 f ′(x)＝ 1 x ＋1 2>0，∴f(x)在区间(－∞，－ 1)，(－1，＋∞ )上单调递增．故 f(x)的单调递增区间为 (－∞，－ 1)，(－1，＋∞ )． (2)证明：首先证明任意 x> y>0，有 f(x ＋y)<f(x)＋f(y)．事实上，f(x)＋f(y)＝ x ＋ x ＋1 yxy ＋xy ＋x ＋y xy ＋x ＋y ＝ > >＝f( xy ＋x ＋y)．y ＋1 xy ＋x ＋y ＋1 xy ＋x ＋y ＋1而 xy ＋x ＋y> x ＋y ，由(1)知 f(xy ＋x ＋y)>f(x ＋y)， ∴f(x)＋f (y)> f(x ＋y)，c ＝ 1 > a －b b 1 a －b ＋b 2 4 ＝2>0. a2∴a ＋c ≥a 2 ＋ a 2 ＋ 4 2≥ 3，a3 ∴f(a)＋f(c)>f( a ＋c)≥ f (3)＝ 4. 【难点突破】 2＋ax ＋b ， 16．[解答 ] (1) f ′(x)＝x因为f(x)有极值，∴Δ＝a2－4b>0(*) ．又在x＝－ 1 处的切线与直线x－y＋1＝0 平行，∴f′(－1)＝1－a＋b＝1，∴b＝a 代入 (*) 式得， a2－4a>0，∴ a>4 或a<0.(2)假若存在实数a，使f′(x)＝x 的两个根x1、x2 满足0<x1<x2<1，即x 1、x2 满足0<x1<x2<1，2＋(a－1)x＋a＝0 的两个根x第4页共5 页Δ＝ a －1 2－4a>0，2 令 g(x)＝x ＋(a －1)x ＋a ，则有： 1－a0<2 <1，解得 0< a<3－22.g 0 ＝a>0， g 1 ＝2a>0，∴由(1)知不存在实数 a ，使得 f ′( x)＝x 的两个根满足 0< x 1<x 2<1.第 5 页共 5 页。

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