数学建模范例

V n3/2v
应用 V n(nv) nv V是 nv是 n 倍
若100个汤圆（饺子）包1公斤馅, 则50个汤圆(饺子) 可以包 1.4 公斤馅
问题：一房间的门宽为0.9米，墙厚 为0.28米．今有一家具其水平截面如 图，问能否把此家具水平地移入房 间内 (说明理由)．
0.48m
1.3m
基本假设
• 每轮漂洗后污物均匀地溶于水中；
• 每轮脱水后衣物含水量为常数c；
基本模型
x0~初始污物量
uk~第k轮加水量 ；xk~第k轮脱水后污物量 (k=1,2,…)
每轮脱水 前后污物 在水中的 浓度不变
x0 x1 , x1 x2 , u1 c u2 c c
xn1 xn un1 c c
vv
v
V
V和 nv 哪个大?
定性分析
V比 nv大多少?
定量分析
从包汤圆（饺子）说起
假设 1. 皮的厚度一样 2. 汤圆(饺子) 的形状一样
模型 R ~大皮 的半径；r ~小皮的半径 S ns
S k R2, V k R3
1
2
s k1r 2 , v k2r3
V kS3/2 v ks3/2
与实际比较：海棠洗衣机XQB42-1型，3kg衣物用水127升。 本模型可节约18升。
问题分析
• 不要求对洗衣的微观机制(物理、化学方面)深入 研究，只需从宏观层次去把握。 • 洗衣的基本原理(宏观上)是用洗涤剂通过漂洗把吸 附在衣物上的污物溶于水中，再脱去污水带走污物。
• 洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水” 程序的反复运行，使残留在衣物上的污物越来 越少，直到满意的程度。
• 洗涤剂也是不希望留在洗涤剂的东西，可将 “污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和。
2
1.2
2
1.4
2
1.6
2
1.8
2
2.0
3
2.2
3
2.4
3
2.6
3
2.8
3
3.0
3
第1次 用水量
(l) 29.0 30.1 31.7 36.2 40.7 34.3 35.4 36.4 37.5 38.5 39.6
第2次 用水量
(l) 27.4 28.1 29.4 33.6 37.9 31.1 31.8 32.6 33.3 34.1 34.8
m(kg) c(l) d(l)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 0.30 0.61 0.92 1.20 1.42 1.88 2.15 2.56 5.02 7.48 9.87 12.3 15.7 18.6
得到 a=0.6, b=5.0
5. 模型结果
衣物重 洗衣次
量(kg)
数
1.0
2. 问题简化
min nu c
u cx
s.t. ( c )n
uc
min nx n,u
s.t. ( 1 )n
1 x
min nx n,u
s.t. ( 1 )n
1 x
n , ln
ln(1 x)
x
min x ln(1 x)
x0
u cx 0, n
xn
cn
x0 u1(u2 c)(un c)
基本 模型
在最终污物量与初始污物量之比 xn/x0 小于
给定的 （清洁度）条件下，求各轮加水
量uk (k=1,…n)，使总用水量最小。
n
min uk
uk
k 1
s.t.
cn

u1 (u2 c)(un c)
min uk
u1 (u2 c) (un c)
数学建模教学
dx rx dt
从包汤圆（饺子）说起
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子） 今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几个 （小一些），还是少包几个（大一些）？
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。 若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
S
s s … s (共n个)
第3次 用水量
(l)
31.1 31.8 32.6 33.3 34.1 34.8
总用水 量(l)
56.4 58.2 61.1 69.8 78.6 96.5 99.0 101.6 104.1 106.7 109.2
清洁度 ε
0.003 0.004 0.005 0.005 0.005 0.0008 0.0009 0.0011 0.0013 0.0015 0.0017
1.3m
0.48m
A
G
F
K
Eθ
CO D
B
N
Fra Baidu bibliotek
M 墙
解法：在搬运家具时，为了顺利过门，
家具的两个边KM、KN紧贴C、D， 点
K 的 运 动 轨 迹 是 以 CD 为 直 径 的 半 圆 周 ， A点到CD的距离始终不大于AK+KO (O
是CD中点)．而AK+KO 0.82<0.9．
节水洗衣机
我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣 在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非 常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣 物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水——漂 洗——脱水——加水——漂洗——脱水…（称“加 水——漂洗——脱水”为运行一轮）。请为洗衣机 设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等）， 使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。 选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机 的运行情况，对你的模型作出评价。
3. 加水量限制 v1 u v2
nmin n nmax
nmin
[ ] 1,
ln(1 v2 / c)
nmax
[ ]1
ln(1 v1 / c)
4. 进一步的考虑
m~衣物重量
每轮脱水后衣物含水量c=am
浸泡衣物所需水量d=bm 洗衣机最小注入水量v0 洗衣机水量下限v1=v0+bm 用以下实验数据测定a,b
s.t. u1(u2 c)(un c) a
1. 几何平均值小于 (等于)算术平均值
u1 u2 c un c
n
min uk
uk
k 1
s.t.
cn

u1(u2 c)(un c)
u1 u2 c un c
第2~n轮加水量uk= u(常数), 第1轮加水量u1= u +c