2第二章 应力状态共64页文档
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过一点三个互相垂直微分面上的九个应力分量完全确定了该点 的应力状态。这样，我们就可以把要了解各点应力状态的问题，
平衡
物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
考察微分平行六面体单元
dx,dy,dz， 在体力、面力作用下处 于平衡。 负面、正面（约定）
§2.3 平衡方程1
X轴方向负面上；
x x ,y ,z ,x y x ,y ,z ,x z x ,y ,z
X轴方向正面上，因为应力是坐标的连续函数，所以有
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7
目录
体力和面力 应力与应力张量 平衡微分方程 应力状态的描述 应力边界条件 主应力与应力主方向 应力球张量和球应力偏张量
§2.1 体力和面力
• 物体外力
• ——分为两类 • 体力 _体积力；电磁力；惯性力；也称质量力。
•
[ F / LLL ]
考察主矩为零条件：
Mx O ;
yz
yz
y
dydxdzg12dy
yzdxdzg12 dy
zy
zy
z
dzdxdyg12
dz
zydxdyg12
dz
0
忽略四阶小量，则有：
yz
zy
§2.3 平衡方程6
切应力互等定理
xy yx xz xz yz zy
ij ji
§2.4 应力状态的描述
这种性质称为应力状态。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，
并且通过该点哪一个微分面的应力。
23
§2.2 应力1
内力——外界因素作用下，物体内部各个部 分之间的相互作用力。
附加内力 应力
应力矢量
limF
pn S0 S
pn随截面的法线方向n的方向改变而变化
§2.2 应力2
应力状态及应力矢量pn的分解
如果应力张量能够描述一点的应力状态，则 1. 应力张量可以描述其它应力参数
——斜面应力公式；
2. 坐标变换与应力张量关系
——转轴公式。
§2.4 应力状态2
应力矢量与应力分量的关系
斜截面上的应力 设 面ABC 的外法线n的方向余弦为 l,m,n ;
三个坐标轴的单位向量分别为 i ,j ,k;
研究图示四面体的平衡。设四面体 除受四个面上的应力作用以外， 还受到体积力的作用，以
§2.2 应力4
px py
xi xy j
yxi y j
xyzzkk
p z zxi zy j zk
应力张量
x xy xz 11 12 13
ij yx y yz21 22 23
zx
zy
z
31 32 33
•应力分量是标量、箭头仅是说明方向
应力张量可以描述一点应力状态
§2.3 平衡微分方程
§2.2 应力3
应力矢量沿坐标分解
pn pxipy jpzk
正应力和切应力——应力矢量沿其作用面的法向和切向分解，称
为正应力，称为剪应力。 pnnnnt
同一点各方位上的应力集合称为一点的应力状态。
过物体内部点M的三个彼此垂直的微分面（使之与坐标平面平 行）则在这三个微分面上的应力矢量可分别表示为
px, py, pz
Fbx, Fby, Fbz
表示单位体积力的分量。
§2.4 应力状态3
则四面体所受体积为
斜面上所受应力矢量为
§2.4 应力状态4
§2.4 应力状态5
张量表达式：
pi ijn j
•公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位 微分面的应力矢量。
•当然可以确定正应力 n与切应力 n。
这就是著名的哥西公式，又称为斜面应力公式。它说明；
xxdx,y,z,xyxdx,y,z,xzxdx,y,z xx,y,z xxdx,xy xxydx,xz xxzdx
§2.3 平衡方程2
主矢为零：
微分平行六面体单元
静力平衡条件: F x O , F y O , F z O
主矩为零：
M x O , M y O , M z O
§2.3 平衡方程3
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点——微分单 元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡 微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条 件为面力边界条件。
Leabharlann Baidu
第二章 应力状态
研究对象——三维弹性体 微分单元体入手 超静定问题 静力平衡、几何变形和本构关系等三方面 的条件 本章从静力学观点出发，讨论一点的应力 状态，建立平衡微分方程和边界条件。
• 面力_面积力；指分布在物体表面上的外力，如液体压力、接 触力等 。
•
[ F / LL ]
• 体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。
2.1.1 体力
• 体力 _[ F/LLL ]
• 方向约定
2.1.2 面力
§2.2 应力与应力张量
• 内力
– 物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分 之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为
应力状态分析——首先是确定应力状态的描述方法， 这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力 和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定— 转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力、 最大切应力等。
应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课 程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如 果你没有学习过张量概念，请查阅参考资料。
应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。 显然，弹性体内某确定点各个截面的应力—
—应力状态必然存在一定的关系。 应力状态分析——讨论一点截面方位改变引
起的应力变化趋势。
§2.4 应力状态1
•应力状态对于结构强度是十分重要的。 •为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以 描述应力状态的应力参数。
Fx O;
xxx
dxdydzxdydzyx
yx
y
dydxdzyxdxdz
zx
zx
z
dzdxdyzxdxdyFbxdxdydz0
x x
yyxzzxFbx0
§2.3 平衡方程4
平衡微分方程
x
x
yyx zzxFbx0
xy
x
y
y
zy
z
Fby
0
xz
x
yz
y
z
z
Fbz
0
ij,iFbj 0
§2.3 平衡方程5
内力。当物体内部形成的内力厂足以和外力相平衡时，变形不再继 续，物体达到稳定平衡状态。
• 应力
– 内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，利用假想
平面将物体截为两部分，将希望计算内力F的截面暴露出来，计算微
面积ΔS 上内力的平均值称平均应力
• 应力矢量
pn
F S
– 应力pn是矢量，随点的位置和截面的法线方向n的方向改变而变化。
平衡
物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
考察微分平行六面体单元
dx,dy,dz， 在体力、面力作用下处 于平衡。 负面、正面（约定）
§2.3 平衡方程1
X轴方向负面上；
x x ,y ,z ,x y x ,y ,z ,x z x ,y ,z
X轴方向正面上，因为应力是坐标的连续函数，所以有
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7
目录
体力和面力 应力与应力张量 平衡微分方程 应力状态的描述 应力边界条件 主应力与应力主方向 应力球张量和球应力偏张量
§2.1 体力和面力
• 物体外力
• ——分为两类 • 体力 _体积力；电磁力；惯性力；也称质量力。
•
[ F / LLL ]
考察主矩为零条件：
Mx O ;
yz
yz
y
dydxdzg12dy
yzdxdzg12 dy
zy
zy
z
dzdxdyg12
dz
zydxdyg12
dz
0
忽略四阶小量，则有：
yz
zy
§2.3 平衡方程6
切应力互等定理
xy yx xz xz yz zy
ij ji
§2.4 应力状态的描述
这种性质称为应力状态。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，
并且通过该点哪一个微分面的应力。
23
§2.2 应力1
内力——外界因素作用下，物体内部各个部 分之间的相互作用力。
附加内力 应力
应力矢量
limF
pn S0 S
pn随截面的法线方向n的方向改变而变化
§2.2 应力2
应力状态及应力矢量pn的分解
如果应力张量能够描述一点的应力状态，则 1. 应力张量可以描述其它应力参数
——斜面应力公式；
2. 坐标变换与应力张量关系
——转轴公式。
§2.4 应力状态2
应力矢量与应力分量的关系
斜截面上的应力 设 面ABC 的外法线n的方向余弦为 l,m,n ;
三个坐标轴的单位向量分别为 i ,j ,k;
研究图示四面体的平衡。设四面体 除受四个面上的应力作用以外， 还受到体积力的作用，以
§2.2 应力4
px py
xi xy j
yxi y j
xyzzkk
p z zxi zy j zk
应力张量
x xy xz 11 12 13
ij yx y yz21 22 23
zx
zy
z
31 32 33
•应力分量是标量、箭头仅是说明方向
应力张量可以描述一点应力状态
§2.3 平衡微分方程
§2.2 应力3
应力矢量沿坐标分解
pn pxipy jpzk
正应力和切应力——应力矢量沿其作用面的法向和切向分解，称
为正应力，称为剪应力。 pnnnnt
同一点各方位上的应力集合称为一点的应力状态。
过物体内部点M的三个彼此垂直的微分面（使之与坐标平面平 行）则在这三个微分面上的应力矢量可分别表示为
px, py, pz
Fbx, Fby, Fbz
表示单位体积力的分量。
§2.4 应力状态3
则四面体所受体积为
斜面上所受应力矢量为
§2.4 应力状态4
§2.4 应力状态5
张量表达式：
pi ijn j
•公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位 微分面的应力矢量。
•当然可以确定正应力 n与切应力 n。
这就是著名的哥西公式，又称为斜面应力公式。它说明；
xxdx,y,z,xyxdx,y,z,xzxdx,y,z xx,y,z xxdx,xy xxydx,xz xxzdx
§2.3 平衡方程2
主矢为零：
微分平行六面体单元
静力平衡条件: F x O , F y O , F z O
主矩为零：
M x O , M y O , M z O
§2.3 平衡方程3
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点——微分单 元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡 微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条 件为面力边界条件。
Leabharlann Baidu
第二章 应力状态
研究对象——三维弹性体 微分单元体入手 超静定问题 静力平衡、几何变形和本构关系等三方面 的条件 本章从静力学观点出发，讨论一点的应力 状态，建立平衡微分方程和边界条件。
• 面力_面积力；指分布在物体表面上的外力，如液体压力、接 触力等 。
•
[ F / LL ]
• 体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。
2.1.1 体力
• 体力 _[ F/LLL ]
• 方向约定
2.1.2 面力
§2.2 应力与应力张量
• 内力
– 物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分 之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为
应力状态分析——首先是确定应力状态的描述方法， 这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力 和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定— 转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力、 最大切应力等。
应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课 程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如 果你没有学习过张量概念，请查阅参考资料。
应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。 显然，弹性体内某确定点各个截面的应力—
—应力状态必然存在一定的关系。 应力状态分析——讨论一点截面方位改变引
起的应力变化趋势。
§2.4 应力状态1
•应力状态对于结构强度是十分重要的。 •为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以 描述应力状态的应力参数。
Fx O;
xxx
dxdydzxdydzyx
yx
y
dydxdzyxdxdz
zx
zx
z
dzdxdyzxdxdyFbxdxdydz0
x x
yyxzzxFbx0
§2.3 平衡方程4
平衡微分方程
x
x
yyx zzxFbx0
xy
x
y
y
zy
z
Fby
0
xz
x
yz
y
z
z
Fbz
0
ij,iFbj 0
§2.3 平衡方程5
内力。当物体内部形成的内力厂足以和外力相平衡时，变形不再继 续，物体达到稳定平衡状态。
• 应力
– 内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，利用假想
平面将物体截为两部分，将希望计算内力F的截面暴露出来，计算微
面积ΔS 上内力的平均值称平均应力
• 应力矢量
pn
F S
– 应力pn是矢量，随点的位置和截面的法线方向n的方向改变而变化。