8第八章湍流简介

利用前面推导建立的瞬时函数求时均时的性质，可建立雷诺方程为：
注意Leabharlann 是一个张量：称雷诺应力张量，反映的是湍流涡团所输运动量，可以证明是一个对称 张量，记 ，有 ，由于湍流涡团的尺度远比分子制度大，湍 流涡团脉动运动的尺度也远比分子运动自由程大。所以一般雷诺应力远 大于粘性应力。更为关键的是引入的雷诺应力是未知的，我们尚无法描 述，这样在雷诺方程组中就多出来了六个未知数，使的原来封闭的N-S方 程变的不封闭了。这也是百余年来湍流研究的困难所在。
一、湍流的连续方程
二、湍流的平均动量方程—雷诺方程
认为湍流特征时间的尺度远小于非定常过程的特征时间尺度，这样用 时均法同样可以描述湍流的非定常过程，而时间平均也是雷诺最早使用的 概念。
湍流的N-S方程可以写成（瞬时值流场）：
由于
，所以不可压N-S方程可写成：
其中：
对N-S方程求时均：
结论：湍流雷诺应力大于粘性应 力，湍流阻力大于层流阻力。
由于涡的诱导作用，流向涡向下 游突出部分被抬起，被抬起部分 进入速度较高的区域，使这种扰 动进一步被放大，使涡丝出现峰 与谷的不同部分。在速度剖面上 形成一个拐点，造成剪切层的不 稳定。当上抬涡峰被进一步拉伸 时，很快会导致层流状态的崩溃。 这种崩溃首先是形成“湍斑”， 其周围被层流包围，产生后即被 携往下游。由于“湍斑”前部以 0.9U移动，后部以0.5U移动，致 使逐渐发展成剪头状并与原生点 成22.5°夹角。随着湍斑区域扩大 并互相合并，最终发展成完全湍 流状态。这一过程称为猝发。
湍流与分子运动论的比较
项目 1.基元数 2.基元数性质 3.基元数数目 4.特征长度 5.基元数速率 6.运动性质 7.边界影响 8.驰豫时间 分子运动论 分子 稳定，大小一定 常数 平均自由程，只随温压改变 平均速率只随温度变化，不 是空间位置的显函数 随机运动 分子形状与数目不随边界形 状改变 短，没有记忆 湍流 旋涡 大小不一定，不稳定 变数 混合长度，随边界形状改变 涨落速度随空间位置不同起 伏很大 有拟序结构 旋涡结构、形状和数目随边 界形状急剧改变 长，有记忆
这种求统计平均的方法就称之为时均法。 雷诺最早提出的就是这种方法，但是当 流动本身是非定常的，如启动过程等。并且 当积分周期函数相对于启动时间不是小量时， 用时均法就会带来误差。
三、体均法
湍流流场中，速度变化的随机性不仅表现在时间上，也表现在空间 上。在流场中某些区域内，其平均值可能是相等的，如充分发展的管流 中，轴线上的速度值；或在平均速度变化不大的一点的某一个领域内。 我们可以在空间上对某一时刻的速度进行积分，然后除以积分域，并将 其定义为体均速度：
雷诺应力是由于雷诺平均过程中N-S方程的非线性项引起的，但方程 不封闭性的主要原因是因为湍流运动和分子运动之间存在着的根本的区别。 这种区别主要反映于两点： 第一，分子碰撞的弛豫时间只有10-11秒而湍流的衰减时间则往往长达 十几分钟，由于这个原因，分子运动理论中只考虑当时的条件，而不需考 虑和弛豫现象相关的滞后效应。但湍流运动一般必须考虑和弛豫现象有关 的滞后效应(也就是通常所说的考虑它的历史过程)。 第二，分子运动有相应的玻尔兹曼(Boltzmmann)微分积分方程和麦克 斯威尔(Maxwell)分布律，而有了统计分布率以后，就可以通过积分得到 各阶矩和其他的物理量，不会出现不封闭问题。而湍流运动既没有合乎实 际的几率分布函数，也没有合乎实际的机率分布函数的方程式，同时湍流 分布与高斯分布相差很远(这一点可以从均匀各向同性湍流偏斜系数S不等 于零看出)，并且在不同的情况下分布函数相差很大，因此在各阶矩和一 些平均物理量之间找不到一定的相互关系，由此而出现通常的不封闭的困 难。当然还存着其他一些区别，比如湍流运动和分子运动的本身也存在着 十分明显的不同之点。
解决湍流的问题的思路，百余年来人们的历程： 湍流 基于对N-S方程的分析 新的物理模型及数学方法探讨 湍流的统计分析 直接数值模拟DNS N-S方程的统计平 均，雷诺方程 包辛涅斯克假设， 湍流粘性模型 非线性 浑沌
大涡模拟LES
对雷诺应力的直接分 析，雷诺应力模型 封闭模型
非线性研究发展及混沌
和概率密度函数：
N p (ui )u N
有：
五、各态遍历假说（各态历经）
一个随机变量在重复许多次的试验中出现的所有可能状态。能够在 一次试验的相当长的时间或相当大的范围内以相同的概率出现，其数学 语言可表述为：
N t V N t V
也就是说，当体均法的积分周期L相对于非均匀流动的空间特征尺度，或 时均法的T相对于非定常流动的时间特征尺度足够小时。有：
三、倒摆模型、双稳态与初值敏感性
1 2 Ep k m gl(cos 1) 2
四、海岸线、自相似与分形
美丽的分形
第一节 湍流的发生过程及结构
一、湍流的定义及特征
湍流不同于层流是因为它具有一种特殊的性质，在现象上我们称之 为紊乱的流动，或叫湍动。要给湍流下一个严格的定义是困难的，这是 由于它的复杂性，由于其内部机理至今未被人类所掌握。 雷诺：湍流是一种蜿蜒曲折、起伏不定的流动。 泰勒：湍流是在流体流过固体表面或者相同流体的分层流动中出现的一 种不规则流动。 拽登：湍流是一种不规则的随机流动，随时间作不以为仪器所察觉的振 荡，这种振荡可以认为是叠加在一种恒定流动之上，而其时均特性正是 需要研究的。 欣茨：湍流是流体运动的一种不规则情形，湍流中各种物理量随时间和 空间坐标呈现随机的变化，因而具有明确的统计平均值。
这种方法就称之为体均法。
一般来讲，时均法的结果是不 随时间改变的，适于定常流场，体 均法的结果是不随空间改变的，适 于均匀流场，而更一般，更普适的 方法，应该是：
四、概率平均法
概率平均是对某一点在相同条件下做重复多次的实验并将其结果作 算术平均，有：
由于认定湍流问题的随机性，因此只要N足够大，上述平均值必然趋向于 某一确定的函数。而当实验样本足够大时，可以求得概率分布：
因此我们可以沿用雷诺的时均函数的概念来分析一般的非定常和非均匀 的湍流流动过程。
六、脉动值及其性质
有了瞬时速度和平均速度的概念后，可以定义脉动速度：
脉动速度也是随机变量，并且他们有下列性质（以下以证明时均值为例， 其他两种方法可得相同结果）： 1、平均值的平均仍为原平均值
2、脉动值的平均值等于零
湍流的分类：湍流可以分为各向同性均匀湍流和剪切湍流，剪切湍流 又可以分为自由剪切湍流（射流和平面混合层）和壁面剪切湍流。
二、湍流的发生过程——猝发
湍流猝发过程的发现是由平板附面层流动观察开始的，通过氢气泡 流动显示技术，人们发现对于稳定的层流平板附面层，在下游首先观察 到由扰动产生的二维托尔明—施里斯廷波（T-S波），在一定的雷诺数范 围内这种二维T-S波会被粘性衰减，当雷诺数超过某一阈值以后，二维的 T-S波就会变得不稳定，导致近似周期的三维T-S波产生并形成流向涡。 他的结构是在边界层底层形成展向排列的、相邻涡之间旋转方向相反的 涡系。如下图所示：
一、蝴蝶效应、Lorenz方程与奇怪吸引子
dx ( x y ) dt dy rx y xz dt dz xy bz dt
二、虫口问题、分岔与混沌
xn1 kxn (1 xn )
r0 1.0 r1 3.0, r2 3.4494897, r3 3.545090, r4 3.564407, r5 3.568759, ...... r 3.56995
V ( x, t ) 就称为平均速度，它不再具有随机性。那么怎样求得平均速度或
随机变化的函数的平均值呢？
二、时均法
我们说过，在湍流流场中，某一点的速度大小和方向随时间是做随 机无规律的变化的。可以设想在雷诺试验中，如果阀门开度不变则流量 一定，某点瞬时速度的平均值应该是不随时间变化的。所以我们可以在 相当长（足够长）的时间内，求速度场的时间平均，即对速度场进行时 间积分，然后除以积分周期时间，并将其定义为时均速度：
总而言之，湍流是一种不规则的流动状态，其流动参数随时间和空 间作随机的变化，因而是一种三维的非定常流动，而且流动空间分布着 大小形状各不相同的漩涡。 湍流具有如下的基本特征： 1、不规则性（随机性），湍流中流体质点作极不规则的运动，其轨迹是 一条蜿蜒曲折的曲线。这种极不规则的随机运动也称之为脉动。 2、扩散性，湍流中的质量、动量、能量等特性随着湍流脉动向各方向传 递，一般从高值处向低值处扩散。 3、连续性，湍流中的质点和漩涡是连续的，符合连续介质的原理。 4、耗散性，粘性会不断地把湍流动能转化为热能而散失掉，因此湍流动 能的维持需要不断的能量补充。 5、三维有涡性，湍流是由漩涡构成的，其涡量也是随机脉动的，因此漩 涡也必然具有三维特征。
3、脉动值乘以常数的平均值等于零
4、脉动值与任意平均值的乘积的平均值等于零
注意在空间某一点有：
，所以：
5、瞬时值的各阶导数的平均值
6、脉动值的各阶导数的平均值等于零
第三节 湍流的基本方程
我们已经假设湍流过程仍然服从N-S方程，这里所谓的湍流基本方程， 实际上指的就是对湍流统计平均值写出来的守恒方程。由各态历经原理 可知，实际上它也就是当年雷诺建立的时间平均方程。
一、湍流的随机性
根据人们的经验,在观察湍流时发现对于某一点的速度,其大小和方 向随时间仿佛是在做随机的、毫无规律的变化（不可预知性），可以把 它看作是非定常的速度场，即瞬时流场。
这种瞬时流场又不是通常意义上的非定常流场，它描述的实际上是一个 随机变化的函数，由于它的不可预知性，即使求出这样的函数似乎也没 有什么意义。也就是说在工程上我们更关心的是这个随机函数的数学期 望，或者说是随机的瞬时速度的统计平均值。例如在相同条件下对某一 点的速度进行N次测量，就有：
9.分布函数方程
有波氏积分微分方程
无
要封闭雷诺方程，也就是要提供描述 的补充关系。一种思路 是象对N-S方程建立广义牛顿应力公式那样，建立雷诺应力与时均速度场 之间的关系，人们很自然地想到分子运动论，猜想在旋涡之间完成的质量、 动量、能量输运，与自由分子运动完成的质量、动量、能量输运的机理相 似，于是可以有相似的关系来封闭方程组，这在雷诺之前就已经由包辛涅 斯克提出了如下的就设：