北京大学量子力学课件
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北京大学量子力学课件_第31讲
散射总截面
2 l 1 ) sin δ T l k l 0
其中每一项
4 2 (2 l 1 )sin l 2 k
代表相应的角动量为 l 的分波对散射截面的贡献。
4 l 1 ) l 2 (2 k
当 极大。 因
（2） 散射振幅： 我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒 子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况
薛定谔方程
2 [ V ( r )] ( r , t ) i ( r , t ) 2 t
其定态解为
2
( r , t ) ( r ) e
iE t
当位势为有心势
V ( r ) V ( r )
则
2 m ( 1 ) f θ ) 2 V ( r ) sin( qr ) rdr 0 p( q
或
1 ( 1 ) f ) ( r ) sin( qr ) rdr 0U p( q
2 m r 2 V r U
这即为有心势下的一级玻恩近似的散射振幅。
当入射粒子方向 k 取为z 轴，则入射（无 自旋）是对 对称，即与 无关. 而相互作用 势 V(r) 是各向同性。因此，经 V(r) 作用后也与 无关 ( r ) l Y ( , ) （k 在 z k l 0 方向） l 0 r 代入方程得
2 d l ( l 1 ) 2 ( r ) ( r ) k ( r ) U ( r ) ( r ) 0 l l l l 2 2 dr r 2 2mE 2 m k U (r) V (r) 2 2
4 ( 2 l 1 )2 e i e [ ( el 1 ) ] Y ( , ) l 0 ki r l 0 2
北京大学量子力学课件 第8讲
Ⅲ.方位阱穿透：这时只要将
B
S
2 2 2
V0 V0
即可。
i(k k1 ) sin k1a 2kk1 cos k1a i(k1 k ) sin i k1a
2kk 1e ika 2kk 1 cos k 1a i(k 1 k ) sin k 1a
2 1
2 2
2
A
A
讨论： A. 在 E V0 时，区域 x 0 有一沿x方向传播 的平面波 波数为 k1 但这并不是指粒子具有动 的平面波，波数为 量为 k 1，因这要全空间）。显然，
ji Re(* i ˆx p k1 2 k D 2 i ) = (1 ) m m 4 k
2 ˆ p k D k1 2 * x (1 ) jR Re( R R ) = m 4 k m ˆx k 1 2 * p jT Re( R ( T T ) = D 。 m m
2 ˆ p k D 2 * x ji Re( R ( i i= ) (1 ( ) ) x 0 m m 4 k iii 在区域 x 0 ，也有向左的几率流密度， iii. 也有向左的几率流密度
即反射几率流密度矢
jR Re(* R
ˆx p R ) = m
k D 2 2 (1 ( ) ) k m 4
S T A
对于 0 x a 区域，有方程 区域 有方程
2 d2 ( V ) u ( x ) Eu ( x ) 0 2m dx 2
0xa
有解
(
u E ( x ) De x Fe x
2m(V0 E) )1 2
其中 2 u E ( x ) 连续，得 由 x 0 ， x a 处，u E ( x ) ，
北京大学量子力学课件 第5讲
而 t t 0 时，它位于
[1 ( t 0 2m 2 ) ]
P0 t 0 x m
，宽度为
t 0 2m 2 ) 2 ]1 2
2 12
[1 (
也可以计算标准偏差，得到发现粒子的主要 区域在 x0 x- x0 x 其中
P0 t 0 x0 m
x ( x x ) x x [1 (
这就是格林函数的含义： t 0 时刻，粒子处于 r 0 ， ，则 t 时刻， r 处发现粒子的几率密度振幅就是 G(r, t; r 0 , t 0 ) 。 由薛定谔方程我们可直接给出
1ˆ ˆ i H( r , P)( t t 0 ) G ( r , t; r 0 , t 0 ) e ( r r 0 )
G(r, t; r' , t' )称为 Green 函数，或称传播子。
如 t' t 0 时刻，粒子处于 r 0 ，即 由上式得
(r' , t 0 ) (r'r 0 )
( r, t ) G( r, t; r ' , t 0 )( r' , t 0 )dr ' G( r, t; r 0 , t 0 )
* ˆ (r, P ˆ , t )(r, t ) i (r, t ) (r, t ) (r, t )H t
*
由 乘 * * ˆ * ˆ i ( r, t ) H ( r, P, t ) ( r, t ) t
* ˆ * (r, P ˆ , t ) * ( r , t ) i (r, t ) (r, t ) (r, t )H t
d i 2 * ( r , t ) d r ( )d r dt 2m i * ( ) ds 2m
北京大学量子力学课件_第4讲
p c ( p , t )d p c ( p , t ) p c ( p , t ) d p p
2
*
(r, t) 去求 P ， 则 若用
P ( r , t )( i ) ( r , t ) d r
这表明，如果不用 c( p, t ) 去求动量平均值， (r, t)去求 P ，则需要引进算符 而用
2 ˆ P * r ,t ) ( r ,t ) d r ( 2 m 2 * 2 ( r , t ) ( r , t ) d r 2 m
所以动量
2
ˆ P P i
2 2 2 2 2 ˆ P 2 ˆ T T ( 2 2 2 ) 2 m 2 m 2 m x y z
Ⅱ . 位置和位能的平均值 A．位置平均值 ( x ,y ,z ,t )是归一化波函数，则 x的平 设： 均值为
x ( r , t ) x ( r , t ) d r
B．位能平均值（假设位能表示中不依赖 动量）
*
V ( r , t ) V ( r ) ( r , t ) d r
dx x 0 2( a x ) e 0 4 a
a
B．波函数的自然条件： 一般而言，波函数必须连续，有界，单值。 ① 波函数必须连续； 2 (r,t) dr 有界， ② 有界：我们讲有界是指 即使是在某些孤立奇点（对于(r, t)）也 可能不违背波函数这一性质； 2 ③ 单值：实际上仅需 ( r, t ) 单值，即(r, t) 单值； ④ 在位势有限大小的间断处，波函数导数 ' ( x 0 , t ) ' ( x 0 , t ) 仍连续 0 0
i
北京大学量子力学课件_第7讲
2 p 2 z mgz E mgz 2 2m 2mz
E 2 1 3 0 z ( 2 ) z m g
me 2 3 z ( ) 1.17 10 3 m m
所以，对于经典物理学，则认为 z=0。而对于 量子粒子则为 z 11 3 i. 尘粒： m 10 克 , z 10 m ; 3 z 1.17 10 m 。 ii. 电子： 就我个人的看法： 测不准关系是对两个物 理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定 度）关系的约束，它不是测量的影响导致的。
k 0 k i ( kx t ) dk k 0 k C(k )e
这个波包扩展度的区域不是任意小，即 2 x k
于是有
x p x 2 h
（2）一些实验： A．位置测量：一束 电子平行地沿x方向入通过 窄缝a，从而测出y方向的位 置。由于波的衍射，在y方 向有一不确定度
x0 x0
ik ( A B) ik 1D
得
k1 D A (1 ) 2 k
k1 D B (1 ) k ， 2
x0 x0
k 1 ikx D k 1 ikx D (1 )e (1 )e u E (x) 2 k 2 k 结果有 ik1x De
Se ikx u E ( x ) ikx ikx Ae Be xa x0
这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x 方向的几率流密度为
k 2 ji A， m
B R A
k 2 jR B， m
2
B A S A
k 2 jT S m
2
S T A
所以只要求得 , 即可。 对于 0 x a 有方程
Ⅱ.一维定态问题 三维问题可化为一维问题处理，所以一 维问题是解决三维问题的基础。
E 2 1 3 0 z ( 2 ) z m g
me 2 3 z ( ) 1.17 10 3 m m
所以，对于经典物理学，则认为 z=0。而对于 量子粒子则为 z 11 3 i. 尘粒： m 10 克 , z 10 m ; 3 z 1.17 10 m 。 ii. 电子： 就我个人的看法： 测不准关系是对两个物 理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定 度）关系的约束，它不是测量的影响导致的。
k 0 k i ( kx t ) dk k 0 k C(k )e
这个波包扩展度的区域不是任意小，即 2 x k
于是有
x p x 2 h
（2）一些实验： A．位置测量：一束 电子平行地沿x方向入通过 窄缝a，从而测出y方向的位 置。由于波的衍射，在y方 向有一不确定度
x0 x0
ik ( A B) ik 1D
得
k1 D A (1 ) 2 k
k1 D B (1 ) k ， 2
x0 x0
k 1 ikx D k 1 ikx D (1 )e (1 )e u E (x) 2 k 2 k 结果有 ik1x De
Se ikx u E ( x ) ikx ikx Ae Be xa x0
这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x 方向的几率流密度为
k 2 ji A， m
B R A
k 2 jR B， m
2
B A S A
k 2 jT S m
2
S T A
所以只要求得 , 即可。 对于 0 x a 有方程
Ⅱ.一维定态问题 三维问题可化为一维问题处理，所以一 维问题是解决三维问题的基础。
北京大学量子力学课件
§1 经典物理学的困难
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力 学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论， 取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。 (2) 光的波动性在1803年由杨的衍射实验有力揭示出来，麦 克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动 性置于更加坚实的基础之上。
（2）光电效应
光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。 这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有 两个突出的特点：
•1. 临界频率 v0 只有当光的频率大于某一定值 v0 时， 才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论 光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的 这一频率v0称为临界频率。 •2. 电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光 强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典 理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定 于光的强度而与频率无关。
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
8h 3 kT 8 2 d d kTd C 3 h C3
Rayleigh Jeans
公式
d
8 kT 2 d 3 C
对 Planck 辐射定律的 三点讨论：
和光电效应理论
（ 1） （ 2） （ 3）
光子概念 光电效应理论 光子的动量
(1) 光子概念
第一个肯定光具有微粒性的是 Einstein，他认 为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。 根 据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能 量 hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间 以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。 由相对论光的动量和能量关系 p = E/C = hv/C = h/λ提出了光子动量 p 与辐射波长λ（=C/v）的关系。
北京大学量子力学课件 第八章 自旋与全同粒子
右乘σy
基于σ 的对易关系，可以证明 σ 各分量之间满足反对易关系:
左乘σy 我们从对易关系:
证： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 2i x
出发 σy
2=1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y y z y z y 2i y x
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ y z y z y 2i x y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z y z 2i x y
（二）光谱线精细结构
3p3/2 D1
58 93 Å 58 96 Å
钠原子光谱中的 一条亮黄线 5893Å， 用高分辨率的光谱仪观 测，可以看到该谱线其 实是由靠的很近的两条 谱线组成。 其他原子光谱中 也可以发现这种谱线由更 细的一些线组成的现象， 称之为光谱线的精细结构。 该现象只有考虑了电子的 自旋才能得到解释
e MS S c
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
MSz
e MB 2 c
Bohr 磁子) (CGS
四）回转磁比率
（1）电子回转磁比率
MSz Sz
（2）轨道回转磁比率
e c
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
ML
则，轨道回转磁比率为：
2
求 Pauli 算符的 其他两个分量 利用反对易 a b 令 关系 ˆ x c d 1 0 a b a b 1 0 得： 0 1 c d c d 0 1 σX 简化为：
通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
ˆ ˆ F ( r , p) ˆ F
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
基于σ 的对易关系，可以证明 σ 各分量之间满足反对易关系:
左乘σy 我们从对易关系:
证： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 2i x
出发 σy
2=1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y y z y z y 2i y x
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ y z y z y 2i x y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z y z 2i x y
（二）光谱线精细结构
3p3/2 D1
58 93 Å 58 96 Å
钠原子光谱中的 一条亮黄线 5893Å， 用高分辨率的光谱仪观 测，可以看到该谱线其 实是由靠的很近的两条 谱线组成。 其他原子光谱中 也可以发现这种谱线由更 细的一些线组成的现象， 称之为光谱线的精细结构。 该现象只有考虑了电子的 自旋才能得到解释
e MS S c
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
MSz
e MB 2 c
Bohr 磁子) (CGS
四）回转磁比率
（1）电子回转磁比率
MSz Sz
（2）轨道回转磁比率
e c
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
ML
则，轨道回转磁比率为：
2
求 Pauli 算符的 其他两个分量 利用反对易 a b 令 关系 ˆ x c d 1 0 a b a b 1 0 得： 0 1 c d c d 0 1 σX 简化为：
通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
ˆ ˆ F ( r , p) ˆ F
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
北京大学量子力学课件 第三章 一维定态问题
( 3) ( 4)
由（4）式
sin 0 cosa 0 cos 0 sina 0
I.
sin 0 0
n a
2 E 2
2
则
cos 1
( n 0 , 1, 2 , )
sin a 0
因
a n
（4）由归一化条件定系数 A
| m | dx
2
a
a
| | dx
I 2 II | m |2 dx
a
a
| | dx
II 2 m
a
| III |2 dx
a
a 2 2 m a | A | sin 2a xdx 1 a | A |2 cos 2 m xdx 1 a 2a
II (a ) III (a )
•
l
A sin(a ) 0,
A sin(a ) 0 .
I -a
II 0 a
III
2）波函数导数连续：
l l
在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是 因为： 若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 则有，0 = A αcos(-αa + δ) 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连 续。
2 d 2 [ V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x ) 2 2 dx [ d V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y ) 2 2 dy
北京大学量子力学课件 第9讲
V(x
)
V0
0
x a 2
x a 2
仅讨论束缚态，所以
V0 E 0
由于是一维对称势的束缚态 。因此其解必 具有确定的宇称。所以，只要在区域 x 0 中求解
A．偶宇称解：
2 u(x) V(x)u(x) Eu(x) 2m
由于，V0 E 0 有解
2
2
若 u n 是 Hˆ 的本征态，相应本征值为 En ，
即
Hˆ u n E n u n
则
Hˆ aˆu n aˆ(Hˆ )u n (E n )aˆu n
aˆu n也是 Hˆ 的本征态，本征值为 E n ，能 量下降了一个 （即称为一个量子）。所以，
一个量子被消灭。通常称 aˆ 为声子消灭算符。
mV0 2 2
a
2
π 2
2
即 ξ 2 η 2 π 2 , 只有一个解。而在区域
2
αx π 2
中无零点，即为基态 ;
当
π 2
2
mV0 2 2
a2
2π 2
2
时，这时交二个点，即有二个分立能级。
基态无零点：第一激发态有一个零点。当
第九讲
。
宇称
(1）已证明，位势在 x x 的变换下不变，
则可选具有确定的宇称的函数作为能量本征态的
解。
把以偶函数描述的态称为偶宇称态
u1n (x) u1n (x)
奇函数描述的态称为奇宇称态。
u2n (x) u2n (x)
宇称的概念是量子力学所特有的 。 (2) 有限对称方位阱：
当 E V0
eikx Reikx u(x) Aeik1x Beik1x
北京大学量子力学课件 第六章 近似方法
(0)
代回前面的第二式并计及第一式得：
akn(1) = <ψk (0) |ψn (1) >
(1) (0) (1) (0) ˆ (0) E (0) ] ˆ (1) [H a kn | k [ H E n ] | n n k 1
k 1
a kn [ E k
第六章 近似方法
§1 引言 §2 非简并定态微扰理论 §3 简并微扰理论
返回
§1
§2
§4 变分法
§3
§4
§1
引
言
返回
（一）近似方法的重要性
前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理 论解决了一些简单问题。如： （1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）势垒贯穿问题； （4）氢原子问题。 这些问题都给出了问题的精确解析解。 然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量 是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂 的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近 似方法）就显得特别重要。
2
|
(2) n
)
乘开得：
2 3
(En
(0)
E n
(1 )
En
2
(2)
)(|
(0) n
|
(1) n
2
|
(2) n
)
(0) ˆ (0) H | n
ˆ ( 0 ) | (1) H (1) | ( 0 ) ] ˆ [H n n ( 2) (1) ˆ (0) ˆ (1) [ H | n H | n ] []
北京大学量子力学课件_第11讲
n 1
例： 求
S 0
ˆn [x, p x]
ˆ x [x, p ˆ x ]p ˆx p
S 0 n 1 s n s 1
n 1 n 1 ˆ ˆx i p x inp S0
n 1
在算符的运算时，要特别小心 。 ˆ ,B ˆ ,B ˆ 对易，可证明 ˆ 和 A 例：如 A
n2
S 0
s 1 ˆ ˆ ˆ n 1 s 1 n 1 ˆ ˆ ˆ ˆ B [ A , B ] B [ A , B ] B
ˆ ,B ˆ ,B ˆ s [A ˆ ]B ˆ n s 1 [A ˆ ]B ˆ n 1 B
S 1
n 1
ˆ ,B ˆ s [A ˆ ]B ˆ n s 1 B
1 m 1 2 ˆ ˆ] [ i ( m ) px x 2
c e
* i t
所以，
ˆ (t ) x
ˆ a ˆ) (a 2m
(ce it c* e it ) 2m
x( 0) cos( t )
ˆ a ˆ) m (a ˆ x (t ) p 2 i
而
[i , r ] 0 另外，对易关系与表象选择无关 如 n ˆ [x, p x ]
[i , pn x] p x
n 1 ˆ inp x
ˆ z , r] [L
（3）算符的厄密性（Hermiticity） A. 算符复共轭：若对波函数（任意）有
ˆ A
ˆ * * B
例如 2. 对不显含时间的薛定谔方程
ˆ E H ˆ 2 E 2 ，则 ˆ 1 E 1 ， H 若 H
c11 c 2 2
E(c11 c 2 2 )
北京大学量子力学课件 第32讲
rr
对于沿 Z 轴入射的定态散射波函数
(e
ikz
e
ikz
) [f ( ) f ( )]
e
ikr
r
() f () f ( )
即散射微分截面为
2
() f () f ( )
（空间对称，总自旋为偶）
散射总截面
4π 2 σT 2 (2l 1) sin δl k l 0
由
2l 1 Yl0 (0, ) 4
4 T I mf k (0) k
Ⅱ．一些讨论 （1）分波法的适用性
A. 中心力场 B. l 不为 0 的数要少，即 () 或 T 对 l 的收敛很快才行。也就是说，分波法的 适用于短力程和低能散射 （2）相移符号： 在 r 较大处，自由粒子的径向波函数 rR kl 为
第六章 量子力学的矩阵形式及表象理论
☆ 给定表象，如何求力学量的矩阵表示； ☆ 算符的本征方程的矩阵形式； ☆ 薛定谔方程和平均值的矩阵表示； ☆ 知道算符矩阵表示，如何求本征值和本 征函数；
第七章：自旋
自旋引入的实验证据； ☆ 电子自旋算符，本征值及表示； ☆ 泡利算符性质，泡利矩阵； ☆ 自旋存在下的波函数和算符的表示； ˆ ˆ ˆ ☆ ( L2 , J 2 , J z ) 的共同本征态的矩阵形式； ☆ 自旋为1/2的两粒子的态矢量； ☆ 碱金属的双线结构及反常塞曼效应的现 象及形成原因； ☆ 泡利原理。全同粒子的波函数结构。
含 义。 ☆ 散射 ⊙ 定态散射波函数的形式； ⊙ 散射振幅 1 i q r (1) 一级Born近似：f k (θ) 4π e U(r )d r
☇ 有心势时，
1 (1) f k (θ) 0 U(r ) sin qr rdr q
北京大学量子力学课件 第30讲
t i ( kn )t1 dt e dA() 2 0 1
ke
i(nr c ) ˆ
Pn
t dt1 e i( kn )t1 dA* ( ) 2 0
ke
i(nr c ) ˆ
Pn
*
2
m e2 t
2
t 0 dt1 e i( kn )t1 dA* () k ei(nr
B．散射振幅： 我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒 子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况 考虑一个质量为 的粒子被一位势 V(r ) 散射（当 r ， (r ) 趋向0比 1 r 快）。感 V 兴趣的是满足这一条件的物理问题。至于库仑散 射这里不讨论。 实验室系： 1 2 E0 m1v1
§8.4 散射 （1） 一般描述： 在束缚态问题中，我们是解本征值问题，以 期与实验的能量测量值比较。而在散射问题中， 能量是连续的，初始能量是我们给定的（还有 极化）。这时有兴趣的问题是粒子分布（即散 射到各个方向的强度）。所以散射问题（特别 是弹性散射），主要关心的是散射强度，即关 心远处的波函数。
z
f (, ) f ()
下面我们给出 f ( ) 的物理意义：对于渐近 解的通量（对单粒子，即为几率流密度）
i i kr * e e i k r j {[e f () ][e f () ] 2 r r eikr e ikr i k r i k r * [e f ( ) ][e f ( ) ]} r r
ikr
ikr
k k f () k 1 * ikr(1cos ) ˆ n r [f ()e r2 r
f ()e
ikr (1 cos )
北京大学量子力学课件_第26讲
1 Eg N 2
每个粒子平均能量为
1 2
f ( ) f ( ) [ f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 3
2
1 2 *
*
B. 费米子（自旋 1 2 ） 自旋为 1 2 的费米子非极化的散射几率
1 23 2 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 4 4
2 r 22 1 r l 1 a e r P (cos )( ) d cos dr ] 2 l 2 r r l 0 2 2 r 0 1
由于
2 P (cos ) P (cos ) d cos (cos ) 1 P l l l l 0 2 l 1
2 2 a 2 5 5 5 8 e a a a 6( ) 64 32 8 a 2 5e 8a
4 r 2 r 1 1 2 3 3 2 8 e a2 a a a a r dr [( r r ) e r e ] 1 1 1 1 1 6 2
2
所以，准至一级的能量为
A. 一级微扰近似
( 1 ) ˆ0 0 0 ( 1 ) 1 0 0 ˆ H ' a H E ' a E 0 1 k i ik k k i ik k
0 以 k 标积 1 0 * 0 0 0 ˆ ˆ E H d r H k 1 1 k k k k
( 2 )ˆ 0 ( 1 ) 00 ( 2 ) 10 ( 1 ) 2 0 0 ˆ H ' a H ' a E ' a E ' a E 0 1 k k i ik i ik k i ik i ik k i i i i
北京大学量子力学课件_第13讲
第 十 三讲
Ⅰ. 力学量算符的本征值和本征函数性质 A. 力学量的每一可取值都是实数（即本征 值）； B. 相应不同本征值的本征函数是正交的
( u ,u ) n m nm
C.Schmit正交化方法 如果一个本征值An对应S个线性无关的本征 函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通 过Schmit正交化方法来实现正交归一化 。 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1； c 取 n , n ) n 1 n 使 ( 取
对于 a, b都大于零或都小于零，两式相等； 但a<0, b>0或a>0, b<0,则两式不等，从而可定 出c，即
b
d 1 ln x i ( x ) dx x
☆ ☆
f ( x ) ( x a ) f ( a ) ( x a )
1 ( g ( x )) ( x x ) n ( x ) n ng
由于是一常数，所以在任何态下平均都不 可能为0。我们有
这即为海森堡（Heisenberg）的测不准 关系的严格证明。
x px 2
例2
1 但在态 Y 时 00 4 π
2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ Δ L Δ L [ L , L ] 0 x y x y
ˆx ˆy ˆz [ L ,L ] i L
但这仅是某一特殊态。 例3
ˆy ˆz ˆx [ L ,L ] i L
在态 Ylm 下
这时
2 ˆ Δ Lz 0
2 2 2 ˆ Δ L [ l ( l 1 ) m ] / 2 y
（2） 算符的共同本征函数组 定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组 正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符 ˆ ,B ˆ] 0 。 ˆ ， ˆ 必对易 ，[A A B 定理2：如果两力学量所相应算符对易，则 它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。
Ⅰ. 力学量算符的本征值和本征函数性质 A. 力学量的每一可取值都是实数（即本征 值）； B. 相应不同本征值的本征函数是正交的
( u ,u ) n m nm
C.Schmit正交化方法 如果一个本征值An对应S个线性无关的本征 函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通 过Schmit正交化方法来实现正交归一化 。 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1； c 取 n , n ) n 1 n 使 ( 取
对于 a, b都大于零或都小于零，两式相等； 但a<0, b>0或a>0, b<0,则两式不等，从而可定 出c，即
b
d 1 ln x i ( x ) dx x
☆ ☆
f ( x ) ( x a ) f ( a ) ( x a )
1 ( g ( x )) ( x x ) n ( x ) n ng
由于是一常数，所以在任何态下平均都不 可能为0。我们有
这即为海森堡（Heisenberg）的测不准 关系的严格证明。
x px 2
例2
1 但在态 Y 时 00 4 π
2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ Δ L Δ L [ L , L ] 0 x y x y
ˆx ˆy ˆz [ L ,L ] i L
但这仅是某一特殊态。 例3
ˆy ˆz ˆx [ L ,L ] i L
在态 Ylm 下
这时
2 ˆ Δ Lz 0
2 2 2 ˆ Δ L [ l ( l 1 ) m ] / 2 y
（2） 算符的共同本征函数组 定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组 正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符 ˆ ,B ˆ] 0 。 ˆ ， ˆ 必对易 ，[A A B 定理2：如果两力学量所相应算符对易，则 它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。
北京大学量子力学课件 第10讲
e
2 2 2 2
e
n 2 n!
e
H n x
其中
H n (x ) (1) n e
2
d
n n
d
e
2
它是一多项式，最高幂次为n，系数为2 ； n 宇称为 1 ，被称为厄密多项式（ Hermit Polynomials ）。
1 2 V(x) x 2
d 1 ( mω 2 x 2 )u Eu 2m dx 2 2
（1）能量本征值 定义二个无量纲的算符
ˆ a m ˆ ˆ [i(m)1 p x x] 2
m ˆ ˆ [ i(m)1 p x x] 2
ˆ a
则有
1 ˆ 1 aa H 2 ˆ ˆ
具体而言
u0
12
e
12
2 x 2 2
u1 (x) 2
u 2 (x) 8
e
2 x 2 2
2x
12
e
2 x 2 2
[4(x) 2 1]
B. u 0 显然是偶函数，而 a 1 ( d ) 是 ˆ
2
0
11 2 2m 2 42 m 4
2
2
而
x 0
px 0
x x
p
x
2 0
2 0
x2 0
p2 0 x
px
所以
x 0 p x 0
2
但由测不准关系要求
x 0 p x 0 2
因而，只有
x 0 p x 0
2
于是有
∴
北京大学量子力学课件_第23讲
第 二 十 三讲Ⅰ.自旋(1) 考虑自旋后，状态和力学量的描述A. 自旋波函数（电子的自旋态）对于 的本征方程为在其自身表象s s s z m m m Sˆ zS ˆ而相应本征态的表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10012)S (z αχ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==01)21S (21z βχ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--10)21S (21z是 的本征值为 的本征态在表象 中的表示 ； 是 的本征值为 的本征态在表象 中的表示 。
显然 正交 对于任何一旋量 在表象 中，其表示为 αα2)S (z =ββ2)S (z -=αz S ˆ2 z S z S ˆ2 -z S ββα,χz S而 和 可由 与 标积获得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2()2( χχχ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2121a a βαχχ212121212121a a a a ---+=+=21a 21a -βα,χ212121a a a )0,1(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+χαB. 考虑自旋后状态的描述 由于电子除了 之外，还有第四个 动力学变量 ，它的特点仅取二个值，而 。
所以，可在表象 中表示体系波函数。
对处于某状态 的体系可按自旋波函数展开。
212121a a a )1,0(--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=χβz ,y ,x z S ˆ0]S ˆ,r [z=)S ˆ,r (z ψ代表体系处于 而自旋向上的几率密度 代表体系处于 而自旋向下的几率密度 如同一般变量可分离型一样，当 对 和 是变量可分离型的，则其特解为 rd )]t ,r ()t ,r ()t ,r ()t ,r ([21212121-+-++=⎰ψψψψ221ψr 221-ψrH ˆr zS ˆ)S ()t ,r ()t ,S ,r (z z χϕψ=则 表象 中的表示为若 是归一化的态矢量，则ψ)S ,r (z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-)t ,r (ψ)t ,r (ψ)t ,2,r (ψ)t ,2,r (ψ)ψm ,r (2121s β)t ,r (ψα)t ,r (ψ2121-+=ψψψψψs s m m,r m ,r r d s∑⎰=C．考虑自旋后，力学量的表述在 表象中，直接由 在 表象中表示来获得表象 中的表示)S ,r (z)r r ()P ˆ,r (L ),P ˆ,r (L )P ˆ,r (L ),P ˆ,r (L )S ,r L ˆS ,r (22211211z z '-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=''δ)S ˆ,P ˆ,r (L ˆi z Sˆ)S ,r (z对任一算符的平均值为τψψd L ˆL ˆ⎰+=r d L ˆL ˆL ˆL ˆ),(212122211211*21*21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--⎰ψψψψ+=⎰r d L ˆ2111*21ψψ+-⎰r d L ˆ2112*21ψψr d L ˆ2121*21ψψ⎰-+r d Lˆ2122*21--⎰+ψψ（2）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程 A. 动能项 在非相对论极限下，电子的动能为 当计及电子的自旋后，波函数是两分量。
北京大学量子力学课件第七章量子跃迁
（2）将 an(t) 展开成下列幂级数； an an(0) an(1) 2an(2)
（3）代入上式并按幂次分类；
i
dam(0)
dam(1)
2
dam(2)
dt
dt
dt
n
[an(0) an(1) 2an(2) ]Hˆ m neimn t
[an(0) 2an(1) 3an(2) ]Hˆ m neimn t
am (t) am(1)(t)
所以体系在微扰作用下由初态 k 跃迁到末态m 的 几率在一级近似下为：
Wkm | am(1)(t ) |2
1 i
t 0
2
Hm k eimk t dt
（二）一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
设 H’ 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，
因此我们只需讨论 ω≈ ± ωmk 的情况即
可。
（3）跃迁几率
当 ω=ωm k 时， 略去第一项，则
am(1)
Fmk
e i[mk ]t
mk
1
此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换：H 'mk→ Fmk , ωmk → ωmk-ω，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微 扰情况下的跃迁几率为：
本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰， 即：
Hˆ (t) Hˆ 0 H(t)
因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态 微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。
含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰 存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰 后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
（3）代入上式并按幂次分类；
i
dam(0)
dam(1)
2
dam(2)
dt
dt
dt
n
[an(0) an(1) 2an(2) ]Hˆ m neimn t
[an(0) 2an(1) 3an(2) ]Hˆ m neimn t
am (t) am(1)(t)
所以体系在微扰作用下由初态 k 跃迁到末态m 的 几率在一级近似下为：
Wkm | am(1)(t ) |2
1 i
t 0
2
Hm k eimk t dt
（二）一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
设 H’ 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，
因此我们只需讨论 ω≈ ± ωmk 的情况即
可。
（3）跃迁几率
当 ω=ωm k 时， 略去第一项，则
am(1)
Fmk
e i[mk ]t
mk
1
此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换：H 'mk→ Fmk , ωmk → ωmk-ω，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微 扰情况下的跃迁几率为：
本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰， 即：
Hˆ (t) Hˆ 0 H(t)
因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态 微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。
含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰 存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰 后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
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1. Wien 公式
能 量 密 度
Wien 线
0
5
10
(104 cm)
Wien 公式在短波部分与实验还相符合， 长波部分则明显属上，有电子从金属上逸出的现象。 这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有 两个突出的特点：
•1.临界频率v0 只有当光的频率大于某一定值v0 时， 才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论 光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的 这一频率v0称为临界频率。
3
Brackett
4
Pfund
5
氢原子光谱
n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,......
区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
RH
C
1 m2
1 n2
人们自然会提出如下三个问题：
1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
nm
3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写。
从前，希腊人有一种思想认为：
自然之美要由整数来表示。例如：
奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。
这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能 建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子 核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的 能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量 损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是， 现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它 实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。
(2) 光的波动性在1803年由杨的衍射实验有力揭示出来，麦 克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动 性置于更加坚实的基础之上。
（二）经典物理学的困难
但是这些信念，在进入20世纪以后， 受到了冲击。经典理论在解释一些新 的试验结果上遇到了严重的困难。
（1）黑体辐射问题 （2）光电效应 （3）氢原子光谱
目录
第一章 量子力学的诞生 第二章 波函数和 Schrodinger 方程 第三章 一维定态问题 第四章 量子力学中的力学量 第五章 态和力学量表象 第六章 近似方法 第七章 量子跃迁 第八章 自旋与全同粒子
附录 科学家传略
第一章 量子力学的诞生
• §1 经典物理学的困难 §2 量子论的诞生 §3 实物粒子的波粒二象性
黑体：能吸收射到其上的全部辐
射的物体，这种物体就
能
称为绝对黑体，简称黑体。 量
密
度
黑体辐射：由这样的空腔小孔发 出的辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔 壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所 吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡 状态。
0
实验发现：
5
10
(104 cm)
RH
C
1 22
1 n2
n 3,4,5,
其中RH 1.09677576 107 m 1是氢的Rydberg常数, C是光速。
•这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一
系列线系，它们都可以用下面公式表示：
RH
C
1 m2
1 n2
nm
谱系
m
Lyman
1
Balmer
2
Paschen
§1 经典物理学的困难
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力 学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论， 取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。
•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光 强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典 理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定 于光的强度而与频率无关。
（3）原子光谱，原子结构
氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就 发现了的。1885年瑞士巴尔末发现紫外光附近的 一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：
•1900年１２月１４日Planck 提出： 如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处
于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子 的能量分布就应有一种对应。作为辐射原 子的模型，Planck 假定：
（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v 振荡；
（2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量， 而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
§2 量子论的诞生
（一）Planck 黑体辐射定律 （二）光量子的概念和光电效应理论 （四）波尔（Bohr）的量子论
（三）Compton 散射 ——光的粒子性的进一步证实
（一）Planck 黑体辐射定律
究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观 察到的黑体辐射能量分布，对此问题的研 究导致了量子物理学的诞生。
总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使 人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学就在
这场物理学的危机中诞生。
§2 量子论的诞生
（一）Planck 黑体辐射定律 （二）光量子的概念和光电效应理论 （四）波尔（Bohr）的量子论
（三）Compton 散射 ——光的粒子性的进一步证实
热平衡时，空腔辐射的能量密度， 与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只 与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和 材料无关。
能 量 密 度
Wien 线
0
5
10
(104 cm)
Wien 公式在短波部分与实验还相符合， 长波部分则明显不一致。
1. Wien 公式
从热力学出发加上一些 特殊的假设，得到一个 分布公式：
能 量 密 度
•该式称为 Planck 辐射定律
0
Planck 线
5
10
(104 cm)
对 Planck 辐射定律的
三点讨论：
d
8h
C3
3
exp(h
1 /
kT
)
1
d
•（1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)， 于是 Planck 定律 化为 Wien 公式。
d
8h 3
C3
exp(h
1 /