【优选】备战2020中考数学专题复习分项提升第23讲 与圆有关的计算(教师版)

第23讲 与圆有关的计算

1．弧长与扇形面积的相关计算

(1)半径为r 的圆的周长：C ＝2πr ；半径为r ，n °的圆心角所对的弧长：l ＝n πr

180

；

(2)半径为r 的圆的面积：S ＝πr 2

；半径为r ，圆心角为n °，弧长为l 的扇形面积：S 扇形＝n πr 2

360＝1

2

lr.

2．圆锥的侧面积和全面积

(1)圆锥与其侧面展开图的关系：圆锥侧面展开图是扇形；

圆锥底面周长＝其侧面展开所得扇形的弧长；圆锥母线长＝其侧面展开所得扇形的半径； (2)圆锥侧面积＝底面周长×母线长

2

＝πrl ；

圆锥全面积＝侧面积＋底面积＝πrl ＋πr 2

(r 表示底面圆半径，l 表示圆锥的母线长)．

3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法：直接用公式求解；

(2)割补法：将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解；

(3)拼凑法：将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影移位后，组成规则图形求解； (4)等积变形构造方程法：将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解； (5)去重法：将阴影部分图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差求解．

考点1：弧长计算

【例题1】（2019•湖北武汉•3分）如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是»AB （异于A.B ）上两点，C 是¼MN

上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C.E 两点的运动路径长的比是（ ）

A ．2

B ．

2

C ．

3

2

D ．

52

【分析】如图，连接EB ．设OA ＝r ．易知点E 在以D 为圆心DA 为半径的圆上，运动轨迹是»GF

，点C 的运动轨迹是¼MN

，由题意∠MON ＝2∠GDF ，设∠GDF ＝α，则∠MON ＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题． 【解答】解：如图，连接EB ．设OA ＝r ．

∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵E 是△ACB 的内心， ∴∠AEB ＝135°， ∵∠ACD ＝∠BCD ，

∴»AD ＝»DB

， ∴AD ＝DB 2r ， ∴∠ADB ＝90°，

易知点E 在以D 为圆心DA 为半径的圆上，运动轨迹是»GF

，点C 的运动轨迹是¼MN ， ∵∠MON ＝2∠GDF ，设∠GDF ＝α，则∠MON ＝2α

∴¼»MN GF 的长的长

＝2180a r πg g ÷． 故选：A ．

归纳：1．求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式计算即可．

2．同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边长．边长为a 的正n 边形的渐开线第m 段弧长为2π×ma n .

考点2：阴影部分面积的计算

【例题2】如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为________.

解析：如图，连接CD ，作DM⊥BC，DN ⊥AC.DF 交BC 于点G ，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，

点D 为AB 的中点，∴DC ＝12AB ＝1，四边形DMCN 是正方形，DM ＝22，则扇形FDE 的面积是：90π×12

360＝π

4，

∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，∴CD 平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN ⊥AC ，∴DM ＝DN ，∵∠GDH ＝∠MDN＝90°，∴∠GDM ＝∠HDN ，在△DMG 和△DNH 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠DMG＝∠DNH ∠GDM＝∠HDN DM ＝DN ，∴△D MG≌△DNH(AAS )，

∴S 四边形DGCH ＝S 四边形DMCN ＝12，则阴影部分的面积是：π4－1

2

归纳：在圆中求阴影部分面积大致有以下方法：

(1)弓形或弓形的一部分可转化成扇形减去三角形的面积；

(2)新月形可以用扇形减去一个弓形的面积；

(3)可以利用等积变换求阴影部分的面积；

(4)可以利用轴对称、中心对称求阴影部分的面积；

(5)旋转形成阴影部分的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积．

考点3：关于圆锥的计算

【例题3】（2019浙江丽水3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）

A．2 B．3C．D2

【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD2AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD2AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．

【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AD，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∴∠ABD＝45°，BD2AB，

∵∠ABC＝105°，

而CB＝CD，

∴△CBD为等边三角形，

∴BC＝BD＝2AB，

∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，

∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，

∴下面圆锥的侧面积＝2×1＝2．

故选：D．

一、选择题：

1. （2019，山东枣庄，3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）

A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π

【答案】C

【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣

2

454

360

πg g

＝8﹣2π，

故选：C．

2. （2018•山东淄博•4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（）

A．2π B．8

3

π

C．

3

4

π

D．

4

3

π

【答案】D

【解答】解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，