直线上一动点到两定点距离之和最小问题

如何求直线上一动点p到（同侧）两定点距离之和的最小值

解题思路和步骤：

一、作出点p的位置：即其中一定点关于点p所在直线的对称点与另一定点的连线跟点p所在直线的交点。

1、作其中一定点关于点p所在直线的对称点；

2、连接该对称点和另一定点，所得直线与点p所在直线的交点即点p的位置。

二、其中一定点关于动点p所在直线的对称点与另一定点连结成的线段长即所求。

例题讲解

1、平面直角坐标系内有A（2，-1），B（3，3）两点，点P是y轴上一动点，求：

（1）P到A、B距离之和最小时的坐标；

（2）P到A、B距离之和的最小值；

（3）三角形PAB的周长的最小值。

例2、正方形ABCD的边长为8，点M在CD上且DM=2，动点N在对角线AC上，则DN+MN的最小值是多少？

A D E

P

B

C 例3．（2009，深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标和 △BOC 的最小周长；若不存在，请说明理由.

巩固提高

1、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ， 则△PBQ 周长的最小值为____________㎝。

2、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，

点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．6

3、已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取 最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、17

17

2

B 、

17174 C 、 17

178

D 、3 B A O y x

O

x

y

B

D A

C P 4、（2008，荆门）如图，菱形ABC

D 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别 是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是 。

5、（2009，南通）如图，MN 是O 的直径，MN=2，点A 在O 上，∠AMN=300

，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上的一 个动点，则PA+PB 的最小值是 。

6、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ ED 的最小值为_______。

7、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．

8、一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式；

（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点， 求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．

9、已知：抛物线的对称轴为x =－1，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标和此时PBC △的周长．

A C x y

B O

C 10、如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，

D 为OA 的中点．设点P 是AOC 平分线上的一个动点（不与点O 重合）．

（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；

（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；

（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；

作 业

1、已知⊙O 的直径CD 为4，∠AOD 的度数为60°，点B 是AD ︵

的中点，在直径CD 上找一点P ，使BP+AP 的值最小，且BP+AP 的最小值=

1题图 2题图 2题图

2、如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若CD ＝18cm ，则△PMN 的周长为________。

3、已知，如图DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E ，且AC ＝5，BC ＝8，则 △AEC 的周长为__________。

4、已知，如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝ 8，△ABE 的周长为14，则AB 的长

4题图 5题图

5、如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，若AC ＝5cm ，BC ＝4cm ，则△BDC 的周长为________．

6、（1）如图1，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 ；

（2）几何拓展：如图2，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值

7、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。试 画出图形，并说明理由。