Lagrange插值多项式
第六章 插值法
二、Newton 插值多项式(n次)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 ) f ( x0 , x1 , x2 )( x x0 )( x x1 )
f ( x0 , x1 ,, xn )( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
f ( x0 , x1 )
f ( x1 , x2 ) f ( x0 , x1 , x2 ) f ( x2 , x3 ) f ( x1 , x2 , x3 ) f ( x 3 , x 4 ) f ( x 2 , x 3 , x4 )
f ( x k 1 , x k ) f ( x k 2 , x k 1 , x k )
x
1 1 2
y
一阶差商 二阶差商
2 3 1
1 2 2
5 6
N 2 x f ( x0 ) f ( x0 , x1 ) x x0 f ( x0 , x1 , x2 ) x x0 x x1
1 x 1 5 x 1 x 1 2 2 6
差分表6-2
xi x0 x1 x2 f ( xi ) f0 f1 f1 f2 f 2 x3 x4 xn f3 f4 f n1 2 f 2 f f 0 2 f 3 f 4 f n f
f0
f 0
前插的系数
2 ff 0 2 0 2 f1 0 3 ff 0 f 3 f1 3
解：设 0 1, x1 1, x2 2 x
x x1 x x2 x 1 x 2 1 2 l0 x ( x 3 x 2) x0 x1 x0 x2 1 1 1 2 6 1 2 x x0 x x2 x 1 x 2 l1 x ( x x 2) x1 x0 x1 x2 1 11 2 2 x x0 x x1 x 1 x 1 1 2 l2 x ( x 1) x2 x0 x2 x1 2 12 1 3
拉格朗日插值法
优点与缺点
拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中， 当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整 个公式都会变化，非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代 替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因 此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在 附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差（如右下图）。这类现象也被称为龙 格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。
为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：
。 拉格朗日基本多项式 为0。
的特点是在
上取值为1，在其它的点
上取值
范例
假设有某个二次多项式函数 ，已知它在三个点上的取值为：
要求 的值。 首先写出每个拉格朗日基本多项式：
然后应用拉格朗日插值法，就可以得到 的表达式（ 为函数 的插值函数）：
此时代入数值
拉格朗日插值法
Lagrange polynomial 维基百科，自由的百科全书
定义
对某个多项式函数，已知有给定的 个取值点：
其中 对应着自变量的位置，而 对应着函数在这个位置(每一个y值都不等于0)的取 值。 假设任意两个不同的 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗 日插值多项式为：
其中每个
就可以求出所需之值：
。
证明
存在性 对于给定的k+1个点： ，拉格朗日插值法的思路是找到一个 在一点 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式 。这样，多项式
在点 满足 取值为 ，而在其他点取值都是 0。而多项式 就可以
在其它点取值为0的多项式容易找到，例如： 它在点 取值为： 。由于已 经假定 两两互不相同，因此上面的取值不等于 0。于是，将多项式除以这个取 值，就得到一个满足“在 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：
第二节 插值多项式的构造
π
π
π
π
l1 ( x ) =
− 1296
π4
1296
x( x −
π
4
)( x −
π
3
)( x −
π
2
)
l2 ( x) =
l3 ( x ) = −
π
4
x( x −
π
6
)( x −
π
4
)( x −
π
2
)
x( x − )( x − )( x − ) π 6 3 2 144 π π π l4 ( x ) = 4 x ( x − )( x − )( x − ) π 6 4 3
x − x1 x − x0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
解 :f ( x ) = ln x , x 0 = 1 0 , x1 = 1 1, x = 1 0 .5
10.5 − 11 10.5 − 10 ln(10.5) ≈ P(10.5) = × 2.303 + × 2.398 = 2.350 5 10 − 11 11 − 10
f ( n +1) (ξ ) ω n +1 ( x ) ξ ∈ [ a , b ] 截 断 误 差 ：R n ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ) = ( n + 1)! ω n +1 ( x ) = ( x − x 0 )( x − x1 ) ⋯ ( x − x n )
(1)n = 1 时线性插值 在两个互异节点x0 , x1处的函数 值y0 , y1 , 构造线性函数 p1 ( x) = a0 + a1 x 求出p1 ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) x − x0 x − x1 其中l0 ( x) = ，l1 ( x) = x0 − x1 x1 − x0
研究生数值分析(14)拉格朗日(Lagrange)插值多项式 共22页PPT资料
事实上，
s5 i0 n 0 L 1 (5 ) 0 0 .01 ; s 05 i0 1 n 0 L ~ 1 ( 0 5 ) 0 0 .005
因此做线性内插时取 x00.2,x10.3 相应地 y01 .2 2 1 4 ,y11 .3 4 9 9
由线性插值公式，得
L 1 (x ) 0 x .2 0 0 .3 .3 1 .2 2 1 4 0 x .3 0 0 .2 .2 1 .3 4 9 9
所得近似值为
e 0 . 2 8 5 L 1 ( 0 . 2 8 5 ) 0 0 . 2 . 2 8 5 0 0 . 3 . 3 1 . 2 2 1 4 0 0 . 2 . 3 8 5 0 . 0 2 . 2 1 . 3 4 9 9 1 . 3 3 0 6
由线性插值余项公式
所以
s in 5 0 0 L 1 ( 5 0 ) 1 2 2 3 ( 1 8 0 )2 2 0 5 0 .0 1 3 1 9 0
同理，由
s5 i 0 n L ~ 0 1 ( 5 ) 1 2 0 ( s) i1 n ( ) 2 ( 8 5 4 0 0 ) 5 5 ( 6 0 )3 0 0 0 6 0
插值多项式⑤称为拉格朗日插值多项式，记作 L n ( x )
当n=2时,由⑤式可得三点插值公式
L 2 ( x ) y 0 ( ( x x 0 x x 1 1 ) ) ( ( x x 0 x x 2 2 ) ) y 1 ( ( x x 1 x x 0 0 ) ) ( ( x x 1 x x 2 2 ) ) y 2 ( ( x x 2 x x 0 0 ) ) ( ( x x 2 x x 1 ) 1 ) 这是一个二次函数。用二次函数 L 2 ( x ) 近似
拉格朗日(Lagrange)插值
Rn ( x ) = K ( Rn(x) 至少有 n+1 个根 ( x ) 充分光滑，x( x 0 )(= ( x)1 ) = 0 ，则 充分光滑， ) Π x xi Rolle’s Theorem: 若 i =0 ) 存在 ξ ∈ (x 0≠, x 1 )(i使得 ′(ξ), = 0 。 ( t ) = R ( t ) K ( x ) n ( t x ) …, n 任意固定 x xi = 0, 求导 考察 注意这里是对 t Π n i = ξ 0 ∈ ( x0 , x1 ), ξ1 ∈i ( 0 1 , x2 ) x 推广： 推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0 1) (x)有 n+2 个不同的根ξx0) …0xn x ξ ∈ (ξ , ( n)+使得 = ′′(,ξ )ξ= 0 ( a , b ) 有 使得 ′(ξ ) = ′( = (ξ x ) 0 x ∈ 0 ξ1 0 1
外插 的实际误差 ≈ 0.01001 利用 x1 = π , x2 = π 4 3 内插 的实际误差 ≈ 0.00596
~ 0.00538 < R1 5π < 0.00660 sin 50° ≈ 0.76008, ° 18
n=2
( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 4 6 6 L2 ( x ) = π π π π3 × + π π π π3 × + π π π π4 × 3 ( 6 4 )( 6 3 ) 2 ( 4 6 )( 4 3 ) 2 ( 3 6 )( 3 4 ) 2
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 + a1 x + L + a n x 使得
Lagrange插值多项式
Ｙ＝sin(X),
Matlap 中没有现成的 Lagrange 插值函数 Ln( x) yk lk ( x) ，所以先编写一个 M 文件实现 Lagrange 插值。 设 n 个节点数据以数组 x， y 输入， 输入我们想求的 x0， 就可获得结果 z。 以 y=sin(x)为例， 取[-pi, pi], 节点为 X＝-pi:0.1:pi, Ｙ＝sin(X), 画出 Lagrange 插值多项式的图像和被插值函数的图像，观察两个函数的拟合程度。 三、 计算过程 （1） 实现 lagrange 插值多项式函数程序如下： function z=lagrange(x,y,x0) n=length(x); s=0; l=1; for i=1:n; for j=1:n if j~=i; l=l*(x0-x(j))/(x(i)-x(j)); end end s=s+l*y(i) end z=s; （2）m文件调用lagrange插值函数 x=-pi:0.1:pi;y=sin(x);plot(x,y,'r') hold on x0=-3:0.1:3; y1=[]; n=length(x0); for i=1:n z=lagrange(x,y,x0(i)); y1=[y1,z]; end
问题的分析涉及的理论知识与求解的方法等matlap中没有现成的lagrange插值函数所以先编写一个m文件实现lagrange个节点数据以数组xy输入输入我们想求的x0就可获得结果z
实验报告一
班级： 数学与应用数学
学号：
姓名：
成绩：
一、 实验问题 编写一个函数实现 Lagrange 插值多项式， 要求 （1）输入: 节点 X, 及节点上的函数值 Y, 某个数 x， 输出: 输出 x 对应的 Lagrange 插值多项式的值。 （2）以 y=sin(x)为例， 取[-pi, pi], 节点为 X＝-pi:0.1:pi, 画出 Lagrange 插值多项式的图像和被插值函数的图像。 二、 问题的分析（涉及的理论知识与求解的方法等）
lagrange插值基函数计算的通项公式
lagrange插值基函数计算的通项公式Lagrange插值基函数是一种常用的数学工具，用于在给定一些离散数据点的情况下，通过插值方法得到一个连续函数。
通项公式是指利用Lagrange插值基函数来计算插值多项式的表达式。
本文将介绍Lagrange插值基函数的概念和计算通项公式的方法。
Lagrange插值基函数的概念很简单，它是一组多项式函数，用于构造插值多项式。
假设我们有n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中每个数据点都有一个对应的自变量x和因变量y。
Lagrange插值基函数的个数等于数据点的个数n。
每个基函数都是一个多项式，可以通过以下的方式来定义：L_i(x) = \prod_{j=1, j≠i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}其中，L_i(x)表示第i个Lagrange插值基函数，x_i表示第i个数据点的自变量，x_j表示第j个数据点的自变量。
这个定义的意义是，当x等于x_i时，L_i(x)等于1，而在其他数据点上，L_i(x)等于0。
这样的定义保证了插值多项式在每个数据点上都能完全通过。
有了Lagrange插值基函数，我们就可以计算插值多项式的通项公式了。
假设我们要通过插值多项式f(x)来拟合数据，那么f(x)可以表示为：f(x) = \sum_{i=1}^n y_i L_i(x)其中，y_i表示第i个数据点的因变量。
这个公式的含义是，插值多项式f(x)是由每个数据点的因变量与对应的Lagrange插值基函数的乘积累加而成的。
通过这个公式，我们可以通过已知的数据点来计算插值多项式在任意点x处的值。
只需要将x代入公式中，根据给定的数据点和Lagrange插值基函数的定义，就可以得到插值多项式在该点的值。
Lagrange插值基函数的优点在于它简单易懂，计算方法也相对简单。
然而，它也有一些缺点。
首先，Lagrange插值基函数的计算量随着数据点的增加而增加，当数据点很多时，计算插值多项式的效率会比较低。
多项式插值_Lagrange插值
l1( x)
(x ( x1
x0 x0
)( )(
x x2) x1 x2 )
l2
(
x)
(x ( x2
x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
则有
l j ( xi
)
ij
1, 0,
i j i j
称 l0(x) , l1(x)，l２(x)为二次插值多项式的基函数。
An
(
xn
x0 )(
xn
yn x1)( xn
xn1 )
将
A0
(
x0
x1 )(
x0
y0 x2 )(x0
xn )
A1
(
x1
x0
)(
x1
y1 x2
)(
x1
xn
)
代入下式：
,
An
(xn
x0
)(
xn
yn x1 )(
xn
xn1 )
Ln(x) A0(x x1)( x x2 )(x xn ) A1(x x0 )( x x2 )(x xn )
xi yi
x0 y0
x1 y1
求解 L1(x)=a1 x+a0
使得 f(x) ≈ L1(x), x ∈[x0 , x1].
根据点斜式得到
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
拉格朗日插值多项式推导
拉格朗日插值多项式是一种近似函数，它可以通过给定一组离散数据点，来估算出其他数据点的值。
拉格朗日插值多项式是由18世纪法国数学家Joseph-Louis Lagrange提出的，他是一位杰出的数学家和物理学家。
拉格朗日插值多项式的推导可以从一个简单的例子开始。
假设我们有一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)}，我们想要通过这些点来拟合一个函数，使得在这些点上的函数值与给定的数据点相等。
首先，我们假设要拟合的函数是一个n-1次多项式：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + an-1x^n-1我们的目标是找到多项式中的系数a0, a1, …, an-1，使得在给定的数据点上函数值与数据点的y值相等。
根据插值的思想，我们希望在每个数据点上函数值与给定的数据点相等，即对于每个数据点(xi, yi)都满足：P(xi) = yi我们可以将这个条件用一个方程表示出来。
将插值多项式代入方程中，我们得到：a0 + a1xi + a2xi^2 + … + an-1xi^n-1 = yi现在我们有n个方程，通过解这个方程组，我们可以求解出多项式的系数。
为了方便求解，我们引入拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数Li(x)的定义是一个n 次多项式，它可以满足以下条件：1.对于所有的i≠j，Li(xj) = 02.Li(xi) = 1根据拉格朗日基函数，我们可以将插值多项式表示为：P(x) = L0(x)y0 + L1(x)y1 + … + Ln-1(x)yn-1其中Li(x)可以表示为：Li(x) = (x - x0)(x - x1)…(x - xi-1)(x - xi+1)…(x - xn-1) / (xi - x0)(xi - x1)…(xi - xi-1)(xi - xi+1)…(xi - xn-1)现在我们可以使用拉格朗日基函数来表示插值多项式，并求解多项式的系数。
Lagrange插值
10
线性插值函数
f(x)
(x0 ，y0) (x1，y1) ，
P1(x)
x0
x1
可见
是过
和
两点的直线。 两点的直线。
11
抛物插值函数
p2(x) ≈ f(x)
f(x)
x0
x1
x2
因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。 因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。
12
N次插值函数
b]上对给定 1个不同结点 个不同结点： 设连续函数 y = f ( x ) 在[a, b]上对给定n + 1个不同结点： 分别取函数值 其中 试构造一个次数不超过n的插值多项式
n n
27
N次插值多项式7 次插值多项式7
n 设节点 a ≤ x0 < x1 < < xn ≤ b ，且 f 满足条件 f ∈C [a, b] ,
内存在, 内存在 f ( n + 1 )在[a , b]内存在 考察截断误差
Rn (x) = f (x) Ln (x)
罗尔定理 : 若 ( x ) 在［x0 ,
线性插值基函数 l0 ( x), l1 ( x) 满足下述条件
xi
l0 ( x) l1 ( x)
x0
1 0
x1
0 1
并且他们都是一次函数。 并且他们都是一次函数。 注意他们的特点对下面的推广很重要
18
一次Lagrange插值多项式(6) 一次Lagrange插值多项式(6)
我们称 l0 ( x ) 为点 x0 的一次插值基函数，( x ) 为点 的一次插值基函数， l1
P ( x) = a0 + a1x + a2 x2 ++ an xn n
数值分析Lagrange插值多项式
其余的将M值及f2[x_]修改即可，得到插值函数修改分f3[x_]即可。
1 n+1 !
f
n+1
(εx )
n i=0(x
− xi )
其中 εx 为区间内一点
但 Lagrange 插值法没有承接性，可以进行改良。
【Lagrange 插值算法描述】 1. 对给定函数选取其区间上的一系列节点并计算其函数值，得到点列 （x0 ， y0 ）,…,( xn , yn )； 2. 通过上述点列构造 Lagrange 基函数li x = 出 Lagrange 插值函数Ln x =
【实验】 通过 Mathematica 编写程序得到如下结果： N=5： 1. 取xi = 5 −
10 N
i ， i = 0,1， … ，N 得到：
（1） 插值点为：
（2） 由上述插值点构造出 Lagrange 插值函数：
（3）由题目所给出的条件计算误差得到：
插值函数与原函数的图像为：
其中蓝色为原函数图像，红色为插值函数图像，可以看出在 0 点误差最大，与 我们的计算结果相吻合。
n k=0 yk lk (x)； n x −x i j=0 x −x i j j ≠i
,并由该基函数构造
3. 由多项式插值误差定理来估计其误差： f x −p x =
1 n+1 !
f
n+1
(εx )
n i=0(x
− xi )
其中 εx 为区间内一点
但此题有自己的估计误差的要求，则我们依照题意估计误差。
n x −x i j=0 x −x i j j ≠i
,
li x = δij
n k=0 yk lk (x)
来构造 Lagrange 插值多项式： Ln x =
Lagrange插值多项式
n
二、Lagrange插值多项式——
1、线性插值与抛物插值
p n (x) 的构造
由Th1知，p n (x) 中系数的计算只需求解一个 n 1元方 程组，如此不但计算复杂，且难以得到 p n (x) 的简单表达 式；下面来介绍便于使用的简单插值多项式 p n (x) ，先看 特殊情形：
(1) n 1 ：已知 f ( xk ) yk，f ( xk 1 ) yk 1 ，求L1 ( x) ， L1 ( xi ) yi ，i k ，k 1 ； 即求过 ( xk ，yk ) ，( xk 1 ，yk 1 ) 的直线
注：简单函数:可用四则运算进行计算的函数,常指多项式函数、
分段多项式函数、有理函数；
相应插值法称为：代数插值法、分段插值、有理函数插值； 我们主要介绍插值函数为多项式的插值，相应的 (x)称为 插值多项式，记作 pn (x) 。 特别： 1 ，所求 p1 ( x) 是过两点的直线 ——线性插值 n
pn ( x j ) y j f ( x j ) ，j 0 ，， ，n 的n次多项式： 1 pn ( x) a0 a1 x an x n是存在且唯一的；
证明： 只要证得 系数ai 存在唯一即可 ，由pn ( x j ) y j
a0 a1 x0 an 1 x0 n 1 an x0 n y0 n 1 n a0 a1 x1 an 1 x1 an x1 y1 ， a a x a x n 1 a x n y n 1 n n n n 0 1 n
n 2 ，所求 p2 ( x) 是过三点的二次曲线 ——抛物线插值
§4.1
Lagrange插值多项式
拉格朗日(Lagrange)插值
p2(7) =
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4)
+ (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
例5.4 已知函数y=f(x)在节点上满足
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x2
使之满足 p(xi) = yi
li (x的) 插值
lk (x0 ) 0,,lk (xk1) 0,lk (xk ) 1,lk (xk1 ) 0,,lk (xn ) 0
即
lk
(xi )
ki
1 0
(i k) (i k)
由条件 lk (xi ) 0 ( i k)知, x0 , x1,, xk1, xk1,, xn
都是n次 lk (x) 的零点,故可设
l0 (x)
再由另一条件 l0 (x0
c(x
) 1
x1 )( x x2
确定系数
)
c
(x0
1 x1)( x0
x2
)
从而导出
l0 (x)
(x (x0
x1)( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似地可以构造出满足条件： l1(x1) 1, l1(x0 ) 0,
的插值多项式
l1 ( x)
lk (x)
j0 jk
n
x xj
n
(xk x j )
j0 xk x j
jk
j0 jk
称 lk (x) 为关于基点 xi 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
以n+1个n次基本插值多项式 lk (x)(k 0,1,, n) 为基础,就能直接写出满足插值条件
第5章 实四Lagrange插值多项式
第5章 实验四Lagrange 插值多项式实验目的：理解Lagrange 插值多项式的基本概念，熟悉Lagrange 插值多项式的公式及源代码，并能根据所给条件求出Lagrange 插值多项式，理解龙格现象。
5.1 Lagrange 插值多项式 Lagrange 插值多项式的表达式： 1,,2,1,)()()(,)()(1111+=--==∏∑+≠=+=n i x x x x x l x l y x L n ij j j i j i n i i i 。
其中)(x l i 被称为插值基函数，实际上是一个n 次多项式。
)(x l i 的这种表示具有较好的对称性。
公式具有两大优点：（1）求插值多项式，不需要求解线性方程组，当已知数据点较多时，此公式更能显示出优越性。
（2）函数值可以用符号形式表示，数据点未确定的纵坐标可用多项式表示。
5.2 Lagrange 插值多项式源代码I% 功能： 对一组数据做Lagrange 插值 % 调用格式：yi=Lagran_(x,y,xi) % x,y 数组形式的数据表 % xi:待计算y 值的横坐标数组 % yi 用Lagrange 插值算出的y 值数组 function fi=Lagran_(x,f,xi)fi=zeros(size(xi)); np1=length(f); for i=1:np1z=ones(size(xi)); for j=1:np1if i~=j,z=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));end endfi=fi+z*f(i); end return例5.1 已知4对数据（1.6，3.3），（2.7，1.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94）。
写出这4个数据点的Lagrange 插值公式，并计算出横坐标xi=[2.101,4.234]时对应的纵坐标。
解：4个数据点的Lagrange 插值公式为：)9.36.1(*)7.26.5(*)6.16.5()9.3(*)7.2)(6.1(*94.2)6.59.3(*)7.29.3(*)6.19.3()6.5(*)7.2(*)6.1(*9.3)6.57.2(*)9.37.2(*)6.17.2()6.5(*)9.3(*)6.1(*22.4)6.56.1(*)9.36.1(*)7.26.1()6.5(*)9.3(*)7.2(*3.3)(3------+------+------+------=x x x x x x x x x x x x x L清单5.1 clearx=[1.6, 2.7, 3.9, 5.6]; y=[3.3, 1.22, 5.61, 2.94]； xi=[2.101,4.234]; yi=Lagran_(x,y,xi); xx=1.5:0.05:6.5; yy=Lagran_(x,y,xx); plot(xx,yy,x,y,'o')其结果为：yi =1.0596 6.6457xg (x ):-, d a t a p o i n t s :o图5.1 插值多项式曲线图5.3 Lagrange插值多项式源代码II% 输入：x是插值节点横坐标向量；y是插值节点对应纵坐标向量。
四个点拉格朗日插值多项式的导数
四个点拉格朗日插值多项式的导数拉格朗日插值多项式是一种常用的插值方法，用于通过已知的数据点来构建一个近似于这些数据点的函数。
它的原理是假设函数通过已知数据点的连线，并且在每个数据点上具有相同的函数值和导数。
设已知的n个数据点为(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中xi表示自变量的取值，yi表示相应的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：P(x) = L0(x)y0 + L1(x)y1 + ... + Ln(x)yn其中Lk(x)表示Lagrange插值基函数，定义如下：Lk(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xk-1)(x - xk+1)...(x - xn) / (xk - x0)(xk - x1)...(xk - xk-1)(xk - xk+1)...(xk - xn) 我们需要求的是这个拉格朗日插值多项式的导数，即P'(x)。
根据导数的定义，我们可以对P(x)进行求导，得到其导数的表达式。
由于拉格朗日插值多项式的形式较为复杂，为了简化计算，我们可以采用数值计算的方法。
以下将分别讨论四个点拉格朗日插值多项式的导数的计算方法。
一、二点拉格朗日插值多项式的导数当已知两个数据点(x0, y0)和(x1, y1)时，拉格朗日插值多项式为：P(x) = (x - x1)y0 / (x0 - x1) + (x - x0)y1 / (x1 - x0)对其进行求导，得到导函数P'(x)为：P'(x) = y0 / (x0 - x1) + y1 / (x1 - x0)二、三点拉格朗日插值多项式的导数当已知三个数据点(x0, y0)，(x1, y1)和(x2, y2)时，拉格朗日插值多项式为：P(x) = (x - x1)(x - x2)y0 / (x0 - x1)(x0 - x2) + (x -x0)(x - x2)y1 / (x1 - x0)(x1 - x2) + (x - x0)(x - x1)y2 / (x2 - x0)(x2 - x1)对其进行求导，得到导函数P'(x)为：P'(x) = [(x - x1)(2x - x2 - x1)y0 / (x0 - x1)(x0 - x2) + (x - x0)(2x - x2 - x0)y1 / (x1 - x0)(x1 - x2) + (x - x0)(2x - x1 - x0)y2 / (x2 - x0)(x2 - x1)]三、四点拉格朗日插值多项式的导数当已知四个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)和(x3, y3)时，拉格朗日插值多项式为：P(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)y0 / (x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3) + (x - x0)(x - x2)(x - x3)y1 / (x1 - x0)(x1 - x2)(x1 -x3) + (x - x0)(x - x1)(x - x3)y2 / (x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3) + (x - x0)(x - x1)(x - x2)y3 / (x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2) 对其进行求导，得到导函数P'(x)为：P'(x) = [(x - x1)(x - x2)(3x - x3 - x2 - x1)y0 / (x0 -x1)(x0 - x2)(x0 - x3) + (x - x0)(x - x2)(3x - x3 - x2 - x0)y1 / (x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3) + (x - x0)(x - x1)(3x - x3 - x2 - x0)y2 / (x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3) + (x - x0)(x - x1)(x -x2)y3 / (x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2)]通过以上的计算方法，我们可以得到四个点拉格朗日插值多项式的导函数的表达式。
Lagrange插值多项式
成 绩 评 定 表 类 别 评 分 标 准 积极出勤、遵守纪律 主动完成设计任务 比较规范、基本正确 功能达到实验要求 及时递交、填写规范 内容完整、体现收获 分值 30 分 30 分 40 分 得分 合 计
上机表现 程序代码 实验报告
计算机科学与工程学院
说明：
评阅教师：
日 期：
年
月
日
2
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已知函数 y=f(x)在若干点 xi 的函数值 y i = f xi （i=0,1, ,n） 一个差值问题就是 求一“简单”的函数 p(x)：p( xi )= y i ,i=0,1, ,n, (1)
则 p(x)为 f(x)的插值函数，而 f(x)为被插值函数会插值原函数， x 0 ， x1 ， x 2 ，..., xn 为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点 x 求 f( x )数值解，我们称 x 为一 个插值节点，f( x ) p( x )称为 x 点的插值，当 x [min( x 0 ，x1 ，x 2 ，..., xn )，max( x 0 ，
4
计算机科学与工程学院 cin>>x; y=lagrange(x,count); cout<<y<<endl; } else { cout<<"输入有误"<<endl; } }
测试用例：
线性插值内插
线性插值外插
5
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抛物线插值
实验总结：
由测试用例可知，一般来说，内插时插值收敛于实际函数，一旦超出内插的范围，插值函 数会发散，且离插值区间越远外推误差越大。使用不用的插值方法在同一点外推的值也会 相差很多，这说明外推本身就存在很大的不确定性。相对来说，线性插值内插比外插较为 准确， 抛物线插值比线性插值更为准确， 函数变化陡峭时节点增多可以增加插值的准确性。
拉格朗日多项式插值
拉格朗日多项式插值法浅析摘要拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。
“学以致用 ”是每一门学科都致力追求的境界，数学自然也不例外。
下面，探讨拉格朗日插值法的基本原理、如何构造拉格朗日多项式、拉格朗日多项式的误差界，并用 MATLAB 程序来实现这一数学算法的自动化，为复杂的分析研究提供了一条数学算法的捷径。
【关键词】：拉格朗日多项式 算法实现 MATLAB在科学研究和实际的工程设计中，几乎所有的问题都可以用)(x f y =来表示其某种内在规律的数量关系。
但理想化的函数关系在实际工程应用中是很难寻找 的，对于那些没有明显解析式的函数关系表达式则只能通过实验观察的数据，利用多项式对某一函数的进行逼近，使得这个逼近函数能够反映)(x f 的特性，而且利用多项式就可以简便的计算相应的函数值。
例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。
这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f （x ）。
应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。
一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越 准确。
当然，构造组合多项式方法比较多，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的分段差分和系数表等等，这里只对拉格朗日多项式插值法进行深入探讨。
一、拉格朗日多项式插值算法基本原理函数)(x f y =在区间[a,b]上有定义,在是[ a,b]上取定的 N + 1个互异节点, 且在这些点处的函数值)(0x f , )(1x f ,…,)(n x f 为已知, 即 yi =f (xi ) , (N i ...1,0=)，若存在一个和)(x f 近似的函数)(x P N ，满足)()(i i N x f x P = (N i ...1,0=) （1）则称 φ(x) 为 f (x) 的一个插值函数, 点i x 为插值节点，（1）称为插值条件, 区间[a,b]称为插值区间, 而误差函数)()(x P x f E N N -=称为插值余项。
拉格朗日(Lagrange)插值
( n 1) !
i0
( ( 1 0 (x Rolle’s f ( x ) Ln (若)至少个有 n+1根 ( x 0 ) Rnx)x )K ( x)，则 xi ) R n ( x ) Theorem: x ( x ) 充分光滑， i 0 n 存在 ( x 0 , x 1 ) 使得 ( ) 0 。 任意固定 x xi (i = 0, 求导 考察 ( t ) Rn ( t ) K ( x ) ( t x i ) 注意这里是对 t …, n), 0 ( x 0 , x 1 ), 1 i ( 0 1 , x 2 ) x 推广：若 ( x 0 ) ( x 1 ) ( x 2 ) 0 (x)有 n+2 个不同的根x0) …0xn x ( , ( n) 1 ) ( x ) 0(, ) ( a , b ) x 0 使得 ( 0 ) ( 1 0 1 使得
于是 : L 2 ( x )
再利用 l 0 ( x 0 ) 1 C
1 ( x 0 x 1 )( x 0 x 2 )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
l ( x) y
i i0
2
i
l 0 ( x ) y 0 l1 ( x ) y1 l 2 ( x ) y 2
i0 n
[证明]上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合 系数均为1。显然，函数f(x) 1在这n +1个节点取值 为1，即yi=f (xi) 1 (i=0,1,…,n)， 它的n次Lagrange插值多项式为：
Ln ( x ) l i ( x ) y i l i ( x )
Lagrange插值
二、插值余项 /* Remainder */
定理1 若 f (n1) ( x) 在[a , b]内存在, 则在[a , b]上
的n+1个互异的点，对 f（x)所作的n次Lagrange插
值多项式Ln (x) 有误差估计
Rn (x)
f (x) Ln (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
cos x
3!
(x
6
)( x
4
)( x
3
);
1 2
cos x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
关于Langrange插值的几点说明
(1) Ln (x) 仅与已知数据 (xi , yi ) (i 0,1,,n) 有关， 与 f (x) 的原来形式无关，但余式与 f (x)密切
L1
(
x)
x /
/ 6
4 /
4
1 2
x /
/ 4
6 /6
1 2
sin 500
5
L1( 18
)
0.77614
R1(x)
f
(2) (x )
2!
(x
6
)( x
4
),
1 2
sin x
3 2
0.01319
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lk 1 ( x)
xk 1
( x xk 1 )( x xk ) lk 1 ( x) ； o ( xk 1 xk 1 )( xk 1 xk ) y y
1 1
xk
xk 1
x
lk 1 ( x)
lk (x)
o
xk 1 xk
xk 1
x
o
xk 1
xk
xk 1
x
例1：设 sin 0.32 0.314567 ， 0.34 0.333487 ， sin
pn ( x j ) y j f ( x j ) ，j 0 ，， ，n 的n次多项式： 1 pn ( x) a0 a1 x an x n是存在且唯一的；
证明： 只要证得 系数ai 存在唯一即可 ，由pn ( x j ) y j
a0 a1 x0 an 1 x0 n 1 an x0 n y0 n 1 n a0 a1 x1 an 1 x1 an x1 y1 ， a a x a x n 1 a x n y n 1 n n n n 0 1 n
函数 y f (x) 的零点、导数、积分等等。
插值法基本思想：
已知f ( x)在 n 1个节点上的值 ，求一个简单函数 ( x) ， ( xi ) f ( xi ) yi ， 0 ，， ， ，n ，以 ( x) 近似 i 1 2 替代 f ( x) ，以 ( x) 的性态来近似替代 f ( x) 的性态；
sin 0.36 0.352274 ，试用线性插值、抛物 线插值计算sin 0.3367的值。
解：1) 记 x0 0.32 ，1 0.34 ， 2 0.36 ， ( x x
由0.3367 0.32 ， .34 ，取x0与x1为节点得： 0
x 0.34 内插 L1 ( x) 0.314567 0.32 0.34 x 0.32 0.333487 0.34 0.32 sin 0.3367 L1 (0.3367 ) 0.330365 ； —四位有效
基函数法：称 l k ( x) ，l k 1 ( x)为线性（一次）插值基函数，
或称为基本插值多项式，则线性插值可以看 作线性插值基函数的线性组合。 类比： n 的一组基 i ( 0 , , 1 , , 0 )T ，i 1 , 2 , , n， R
(i)
T 则x R n，有x x1 , x2 , , xn） xi i 。 （ i 1 y y n
(2) L2 ( x) l0 ( x) 0.314567 l1 ( x) 0.333487 l2 ( x) 0.352274 ( x x1 )( x x2 ) 0.314567 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x x0 )( x x2 ) 0.333487 ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) 0.352274 ( x2 x0 )( x2 x1 ) sin 0.3367 L2 (0.3367 ) 0.330374 ；
i 0
n
二、Lagrange插值多项式——
1、线性插值与抛物插值
p n (x) 的构造
由Th1知，p n (x) 中系数的计算只需求解一个 n 1元方 程组，如此不但计算复杂，且难以得到 p n (x) 的简单表达 式；下面来介绍便于使用的简单插值多项式 p n (x) ，先看 特殊情形：
(1) n 1 ：已知 f ( xk ) yk，f ( xk 1 ) yk 1 ，求L1 ( x) ， L1 ( xi ) yi ，i k ，k 1 ； 即求过 ( xk ，yk ) ，( xk 1 ，yk 1 ) 的直线
yk 1 yk L1 ( x) yk ( x xk ) ——点斜式 xk 1 xk xk 1 x x xk 或 L1 ( x) yk yk 1 ——两点式 xk 1 xk xk 1 xk
y y1 x x1 x2 x x x1 y y1 y2 y 2 y1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 x1
替原来复杂的函数。
常用寻求近似函数的方法 插值、曲线拟合
问题的提出
实际问题中，往往要研究变量之间的函数关系，但多数
情形下只能由测量或实验观察，得到一系列的数据：
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
xn yn
，y f (x)？
2 问题：无法求出不在表中的某点 x xi ( i 1 ， ， ，n ) 处的函数值，因而亦无从研究函数的相关性质，如求
1
lk (x)
1
lk 1 ( x)
o
xk
xk 1
x
o
xk
xk 1
x
(2) n 2 ：已知 f ( xk 1 ) yk 1 ，f ( xk ) yk ，f ( xk 1 ) yk 1 ， 求L2 ( x) ， L2 ( xi ) yi ，i k 1 ，k ，k 1 ； 即求过 ( xk 1 ，yk 1 ) ，( xk ，yk ) ，( xk 1 ，yk 1 ) 的抛物线； 考虑L2 ( x) lk 1 ( x) yk 1 lk ( x) yk lk 1 ( x) yk 1，其中li ( x) 为二次多项式，且满足： 1 ，i j li ( x j ) ij ，i ，j k 1 ，k ，k 1 ； 0 ，i j 易得：lk 1 ( x) A( x xk )( x xk 1 ) ，再由lk 1 ( xk 1 ) 1 ，
注：简单函数:可用四则运算进行计算的函数,常指多项式函数、
分段多项式函数、有理函数；
相应插值法称为：代数插值法、分段插值、有理函数插值； 我们主要介绍插值函数为多项式的插值，相应的 (x)称为 插值多项式，记作 pn (x) 。 特别： 1 ，所求 p1 ( x) 是过两点的直线 ——线性插值 n
1 A ； ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 )
( x xk )( x xk 1 ) lk 1 ( x) ； y ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) lk ( x ) ； ( xk xk 1 )( xk xk 1 )
1 x0 x0 A 1 x1 x1
n
n 1 n 1
x0 x1 xn
n n
i 1
n 1
1 xn xn
i 1 j 0
n
( xi x j ) 0 由 Cramer法则 ，得证。
注：若不限定次数，则插值多项式不唯一；
Vandermo件，则 p n ( x) ( x xi ) 亦满足；
( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
i 0 ik
n
x xi ；k 0 ，， ，n 。 1 xk xi
1 为简单，记 n 1 ( x) ( x xi ) ( x x0 ) ( x x1 ) ( x xn )
i 0
注：
n
( x ) ( xk ) ( x) n 1 ( xk ) lim lim x xk x xk x x x xk k
第1章 插值法 本章内容
§4.1 Lagrange插值多项式 §4.2 Newton插值多项式 §4.3 分段低次插值
逼近
—近似代替，计算法中最基本的概念和方法之一。
实际问题中，经常会出现函数不便于处理或计算的情形： 函数关系没有明显的解析表达式，需要根据实验数据 或其他方法来确定与自变量的某些值相对应的函数值 函数虽然有明显的解析表达式，但是使用很不方便 需要对实际使用的函数建立一个简单的便于处理和计算的 近似表达式，即用一个简单的函数表达式来近似代
n 2 ，所求 p2 ( x) 是过三点的二次曲线 ——抛物线插值
§4.1
Lagrange插值多项式
本节内容提要
插值多项式的存在唯一性 Lagrange插值多项式
线性插值、抛物插值、 Lagrange插值多项式、 插值余项、 Hermite插值
一、插值多项式 pn (x)的存在唯一性
Th1： 已知 x0 ，x1 ， ，n是 n 1 个互异节点， x 则满足条件
其中：xi — 插值节点或基点； f ( x) — 被插值函数；
( x) — f ( x)关于节点xi的插值函数； ( xi ) yi — 插值条件；
分类：
(1) 若插值点 x 位于 x0 ，x1 ， ，xn 所在区间之内； —内插 (2) 若插值点 x 位于 x0 ，x1 ， ，xn 所在区间之外； —外推
x xk 1 x xk 记 lk ( x ) ，lk 1 ( x) ， xk xk 1 xk 1 xk 则有：L1 ( x) lk ( x) yk lk 1 ( x) yk 1 ； 即 li ( x j ) i j 1， i j ， i，j k ，k 1； 0 ，i j
( xk x0 ) ( xk xk 1 ) ( xk xk 1 ) ( xk xn ) lk ( x )
—六位有效
高度(m) 0 100 300 1000 1500 2000 . 压强 (kgf/m2) 0.9689 0.9322 0.8969 0.8515 0.7984 0.7485