立体几何中线面平行的经典方法经典题附详细解答

高中立体几何证明平行的专题(基本方法)

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为

线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：

(1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。

(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分别为棱AB、 PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平

行四边形

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，

BC＝2，CD＝1＋3，

过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；

分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形

3、已知直三棱柱ABC－A

1B

1

C

1

中，

1

, AB

M为BE的中点, AC⊥BE. 求证：

（第1题

D

E B 1

A 1

C 1C A

B

F

M

（Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面

B 1FM.

分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是

MF//EA

4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;

分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形

(2) 利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。

分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线

6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；

分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是

△B 1AC 的中位线

8、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，

090,BAD FAB BC

∠=∠=//=

1

2

AD ，BE //=

1

2

AF ，,G H 分别为,FA FD 的中点 A

B

C

D

E

F G M

P

E

D

C

B

A

（Ⅰ）证明：四边形BCHG 是平行四边形；

（Ⅱ）,,,C D F E 四点是否共面？为什么？

（.3） 利用平行四边形的性质

9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O//平面A 1BC 1;

分析：连D 1B 1交A 1C 1于O 1点，易证四边形OBB 1O 1 是平行四边形

10、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=21

DC ，中点为PD E .

求证：AE ∥平面PBC ；

分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形

11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠?ACB=90 ，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I ）证法一：

因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=︒， 所以90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆ 由于AB=2EF ，因此，BC=2FC ，

连接AF ，由于FG//BC ，BC FG 2

1

=

在ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM//BC ，且BC AM 21

=

因此FG//AM 且FG=AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM//FA 。 又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM//平面AB 。

(4)利用对应线段成比例

12、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N

分别

是SA 、BD 上的点，且SM AM =ND BN

，

求证：MN ∥平面SDC

分析：过M 作ME//AD ，过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形

13、如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN 求证：MN ∥平面BEC

分析：过M 作MG//AB ，过N 作NH/AB

A

F

E

B

C

D

M

N

利用相似比易证MNHG 是平行四边形 (5)利用面面平行

14、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，PB=BC=CA ，E 为PC 的中点，

M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；

分析: 取AF 的中点N ，连CN 、MN ，易证平面CMN//EFB

直线、平面平行的判定及其性质 经典题（附详细解答）

一、选择题

1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截

面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3