全国奥数完美的正方形专

合集下载

奥数专题-正方形队列平均数应用题(竞赛试题)-2021-2022学年数学五年级下册全国通用

五年级奥数专题3正方形队列【同学们，还记得在“纪念抗战胜利70周年”活动上那激动人心的阅兵式吗?陆、海、空三军仪仗队都是方阵。

方阵可以由各种不同的实物排成，既有实心方阵也有空心方阵。

这一讲,我们就来一起研究这些方阵。

”】例1：有一个正方形花圃，四个角各摆了1盆花。

如果每边都摆了5盆花，那么四边一共摆了几盆花?【举一反三】：有一个正方形池塘，四个角各栽了1棵树。

如果每边栽8棵树，那么四边一共栽了多少棵树?例2：80个小朋友手拉手围成一个正方形，四个角上各站着1个小朋友，则正方形的每条边上有多少个小朋友?【举一反三】：在正方形围墙四周等距离地装有96盏灯，四个角上各装有1盏，这样每边有多少盏灯?例3：五年级的部分同学参加运动会队列训练，排成如右图所示的正方形，最外层每边有5人。

这个队列共有多少人?●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●【举一反三】：一个团体操表演队，排成一个空心方阵，共有3层，最内层有20人。

这个团体操表演队共有多少人?例4：一个大型的空心方队，最外层有116人，最内层有36人。

这个方队共有多少人?【举一反三】：有一队学生，排成一个空心方阵，最外层有52人，最内层有28人。

这队学生共有多少人?例5：一个花坛里有120朵花，组成了一个3层的方阵。

这个花坛的最外层每边有多少朵花?【举一反三】：设计一个团体操表演队形，要求排成3层的空心方阵。

已知参加表演的有576人，则最外层每边应排多少人?《巩固练习》【限时15分钟，是时候展现你们真正的技术了】1.在一幢大楼的正方形平顶四周等距离地装着彩灯，四个角各装有一盏，每边装有8盏，则一共装了多少盏彩灯?2.一块正方形草地的四周等距离地种有月季花，一共有52株,四个角上各种有1株，每边种有多少株月季花?3.某公园里的树组成了一个空心方阵，共有3层，中间层有32棵树。

这个公园里共有多少棵树?4.有若干盆菊花，摆放成一个空心方阵，最外层有36盆,最内层有12盆，共有多少盆菊花?5.一个花坛里有360朵花，组成了一个3层的方阵。

小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练(中难度)

小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练（中难度）例题1：在一个正方形的边长为5cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？解析：首先我们知道正方形边长为5cm，正方形砖头的边长可以为1cm、2cm、3cm、4cm或5cm。

由于两种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，所以我们可以分别计算每种颜色砖头的铺法数量，然后相乘得到总的铺法数量。

对于红色砖头的铺法数量，我们可以考虑从左上角开始铺设。

当砖头的边长为1cm时，只有一种铺法。

当砖头的边长为2cm时，有两种铺法，水平或垂直放置。

当砖头的边长为3cm时，有三种铺法，水平放置、垂直放置或者斜放。

同理，当砖头的边长为4cm时，有四种铺法，水平放置、垂直放置、斜放或者两个合并一起放置。

当砖头的边长为5cm时，只有一种铺法，即整个正方形都用红色砖头铺满。

因此，红色砖头的铺法数量为1 + 2 + 3 + 4 + 1 = 11种。

同理，蓝色砖头的铺法数量也为11种。

总的铺法数量为11 * 11 = 121种。

专项练习应用题：1. 在一个正方形的边长为6cm的区域内，用红、蓝、黄三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？2. 在一个正方形的边长为8cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？3. 在一个正方形的边长为10cm的区域内，用红、蓝、绿三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？4. 在一个正方形的边长为7cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头必须完全分开铺，但可以有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？5. 在一个正方形的边长为9cm的区域内，用红、蓝、绿三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头必须完全分开铺，但可以有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？6. 有一条长度为10cm的线段，若将其分成三段长度相等的线段，那么一共有多少种不同的分法？7. 有一条长度为12cm的线段，若将其分成四段长度相等的线段，那么一共有多少种不同的分法？8. 有一条长度为15cm的线段，若将其分成五段长度相等的线段，那么一共有多少种不同的分法？9. 有一条长度为8cm的线段，若将其分成两段长度为整数的线段，且这两段线段的长度之差为1cm，那么一共有多少种不同的分法？10. 有一条长度为11cm的线段，若将其分成三段长度为整数的线段，且这三段线段的长度之差为1cm，那么一共有多少种不同的分法？11. 有一条长度为14cm的线段，若将其分成四段长度为整数的线段，且这四段线段的长度之差为1cm，那么一共有多少种不同的分法？12. 在一个正方形的边长为4cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？13. 在一个正方形的边长为6cm的区域内，用红、蓝、黄三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？14. 在一个正方形的边长为9cm的区域内，用红、蓝、绿三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？15.在一个正方形的边长为5cm的区域内，用红、蓝、黄、绿四种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求四种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？例题2：题目：在一个正方形格子图中，每个格子都填上了数字0或1，使得每行每列的数字和都为偶数。

奥数专项训练05 方阵问题专项练习30题(有答案

第四讲二方阵问题专项练习30题（有答案）1．36名学生在操场上做游戏．大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人．每边各有几名学生？2．五（3）班的同学排成一个方队做操，小明的前、后、左、右都有7人．五（3）班有多少人？3．一个实心体操方阵，最外层有72人．这个体操方阵有多少人？4．全校学生排成5个方阵做操，每个方阵有8行，每行有10人，5个方阵一共有多少人？5．四（3）班同学排队做操，如果排6队，每队6人，如果排4队，每队几人？6．有一队士兵，排成了一个实心方阵，最外层一周共有240人，这个方阵最外层每边有多少人？7．小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？8．活动课上，小华用围棋摆了一个空心方阵，最外层每边有16枚棋子，最内层每边有10枚棋子，这个空心方阵一共有多少枚围棋子？9．做广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人，求原来有多少人？10．“六一”儿童节，同学们在学校门口用花盆摆了一个正方形空心花坛，四个角各一盆，每边各放8盆花，那么请算算，四周放了_________盆花．11．在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？12．设计一个团体操表演队形，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，求最外层每边应安排多少人？13．在“情系玉树、赈灾义演”的活动中，春晖小学举行团体操表演．四年级同学排成一个方阵，最外层每边站了16名同学，最外层一共有多少名同学？整个方阵一共有多少名同学？14．学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生．女生有72人参加表演，男生有多少人？15．有272个棋子，想摆成4层空心方阵，最外层和最内层每边各放多少棋子？16．四年级共选49位同学参加校运会开幕式，他们排成一个方阵．这个方阵的最外层一共有多少人？17．“六一”儿童节那天，学校举行团体操表演．四年级学生排成一个方阵，最外层每边站了13个人，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？18．同学们排成方形队做操，无论从前数从后数，还是从左数，从右数，小平都是第4个，共有多少人做操？19．一个正方形喷水池的边长为6米，四周有一条一米宽的小路，在小路靠着水池的一边每隔1米插一面红旗，四个顶点都要插；在小路的另一边每隔1米插一面黄旗，四个顶点处也要插．一共插多少面小旗？20．有一列方队，不管从前、后、左、右数，小聪都是在第四位，这列方队共有多少人？21．小朋友站成一个每边10人的方阵，若去掉一行一列，去掉多少人？还剩多少人？22．用24枚棋子围一个一层的正方形空心方阵，每边应放几枚棋子？（画图思考）23．有一队同学排成一个中心空的方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有多少人？24．六一节前夕，光明小学用若干盆鲜花排成了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边有花盆10盆，最外层一共有多少盆花？整个花坛一共有多少盆花？25．育英小学的全校学生排成一个实心方阵列队，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人．育英小学有学生多少人？26．教室里有很多桌子，都整齐地排列着，每列桌子数相等，每排的桌子数相等，小秋的桌从前面数第3张，从后面数第4张，他的左边有3张，右边有1张，小秋的教室一共有多少张？27．用1分的硬币排成一个最大的正方形（每行和每列个数相同），结果余下10枚硬币；如果每行与每列都增加一枚，那么又缺少9枚．1分硬币有多少枚？28．在学校运动会上，五、六年级的学生站成方阵做集体体操表演．小亮站的位置从左数是第8位，从右数是第13位．这个方阵每排有_________人，整个方阵一共有_________人．29．参加军事训练的学生练习排下方形方阵，排成一个大方阵余12人，若将大方阵纵横各减少一行，则余下的人可以组成一个5行5列的方阵，这队学生共有_________人．30．在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外边每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，这个方块队共由多少个同学组成？参考答案：1．（36+4）÷4=40÷4=10（人）；答：每边各有10名学生2．（7+7+1）×（7+7+1）=15×15=225（人）；答：五（3）班有225人．3．最外层每边人数：（72+4）÷4=76÷4=19（人）；19×19=361（人）；答：这个体操方阵有361人4．10×8×5=400（人）；答：5个方阵一共有400人5．6×6÷4=36÷4=9（人），答：每队9人6．240÷4=60（人），60+1=61（人）．答：这个方阵最外层每边有61人7．11×4﹣4=44﹣4=40（枚），（11﹣2）×4﹣4=36﹣4=32（枚），40+32=72（枚），答：这个方阵共有72枚棋子8．最外层一共有16×4﹣4=60枚，最内层一共有棋子数：10×4﹣4=36枚；（60﹣36）÷8=3个间隔，所以这是一个4层的中空方阵，则中间的2层的棋子数36+8=44个枚；44+8=52枚，所以方阵中的棋子总数是：60+52+44+36=192（枚）．答：这个空心方阵一共有192枚围棋子9．扩大的方阵每边上有：（10+15+1）÷2=26÷2=13（人）；原来人数：13×13﹣15=169﹣15=154（人）；答：原来有154人10．8×4﹣4=32﹣4=28（盆），答：四周放了28盆花11．25×4﹣4=100﹣4=96（盏）；答：这个广场一共需要彩灯96盏12．设最外层的每边人数是x人，则：（x﹣6）×6×4=360，24x﹣144=360，24x=504，x=21，答：最外层每边人数是21人13．16×4﹣4=60（人），16×16=256（人），答：最外层人数有60人，整个方阵一共有256名同学14．每边点数为：72÷4+1=18+1=19（人），总点数为：19×19=361（人），男生人数为：361﹣72=289（人），答：男生有289人15．设最内层每边有x个棋子，则从里到外每层依次有x+2、x+4、x+6个棋子，可得方程：4（x﹣1）+4（x+2﹣1）+4（x+4﹣1）+4（x+6﹣1）=272，4x﹣4+4x+4+4x+12+4x+20=272，16x=240，x=15；则最外层棋子有：15+6=21（个）；答：最外层有21个，最内层有15个16．因为7×7=49，所以49人组成的方阵的每边人数是7人，7×4﹣4=28﹣4=24（人）；答：这个方阵的最外层有24人17．13×4﹣4=48（人），13×13=169（人），答：最外层人数有48人，整个方阵一共有169名同学18．解：4+4﹣1=7（人），7×7=49（人），答：共有49人做操19．（1）沿靠水池的一边每边可以插：6÷1+1=7（面），所以一共可以插红旗：7×4﹣4=24（面）；（2）靠小路的另一边，每边可以插：（1+6+1）÷1+1=8+1=9（面），所以一共可以插黄旗：9×4﹣4=32（面），24+32=56（面），答：一共插56面小旗20．4﹣1=3（人），3+3+1=7（人），7×7=49（人）；答：这列方队共有49人21．（1）10+10﹣1=20﹣1=19（人）；（2）10×10﹣（10+10﹣1）=100﹣19=81（人）；答：若去掉一行一列，去掉19人，还剩81人22．如下图：23．（52+4）÷4=14（人），14×14=196（人）（28+4）÷4=8（人），（8﹣2）×6=36（人），196﹣36=160（人）；答：学生有160人24．最外层的花盆数为：10×4﹣4=36（盆），整个花坛的花盆数为：10×10=100（盆）；答：最外层一共有36盆花；整个花坛一共有100盆花25．26+5=31（人），（31+1）÷2=16（人），16×16﹣26=230（人）；答：育英小学有学生230人26．解：（3+4﹣1）×（3+1+1）=6×5=30（张）；答：小秋的教室一共有30张桌子27．解：每行每列都增加一排实际就是增加了：10+9=19（枚），所以原来每行每列有：（19﹣1）÷2=9（枚），所以原来的正方形方阵有：9×9=81（枚），81+10=91（枚），答：原来一共有91枚28．解：每排人数是：8+13﹣1=20（人），这个方阵一共有：20×20=400（人），答：这个方阵每排有20人，整个方阵一共有400人29．大方阵的每边人数为：（5×5﹣12+1）÷2=（25﹣12+1）÷2=14÷2=7（人），总人数为：7×7+12=49+12=61（人），答：这队学生共有61人30．（30﹣5）×5×4+20=500+20=520（人）；或302﹣（30﹣2×5）2+20=900﹣400+20=520（人）；答：这个方块队共由520个同学组成．。

小学奥数教程：长方体与正方体(一)全国通用(含答案)

对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．cba H GF ED CB A①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体；长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．板块一长方体与正方体的表面积【例 1】右图中共有多少个面？多少条棱？左面【考点】长方体与正方体【难度】1星【题型】解答【解析】如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面．所以共有1112218+++++=(个)面．前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱66618++=(条)．【答案】8个面，18条棱【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？例题精讲长方体与正方体（一）【考点】长方体与正方体【难度】1星【题型】解答【解析】9个面，21条棱．【答案】9个面，21条棱【例2】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10⨯10⨯6=600．【答案】600【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50⨯50⨯6=15000(平方厘米)．【答案】15000【例3】如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】原来正方体的表面积为5⨯5⨯6=150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为(3⨯2)⨯2=12，所以减少的面积就是12．【答案】12【例4】如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【关键词】奥林匹克，初赛，10题【解析】原来正方体的表面积为5 ×5×6=150，现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分之八．【答案】百分之八【例5】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米．【答案】120【例6】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】大立方体的表面积是20⨯20⨯6=2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(2454-2400)÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．【答案】3【例7】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2⨯2⨯2=8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2⨯2⨯4=16(平方厘米)，1⨯1⨯4=4(平方厘米)，12⨯12⨯4=1(平方厘米)，1 4⨯14⨯4=14(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：816++4+1+14=1294(平方厘米).【答案】1 294【例8】从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】小学生数学报【解析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．图1 图2 图3 图4【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．图1 图2 图3 图4【例9】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【关键词】迎春杯【解析】截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体(如图所示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多．剩下部分的表面积最小是： 15⨯15⨯6-7⨯7⨯2=1252．想想为什么不是15⨯15⨯6-7⨯7-8⨯8 ？【答案】1252【例 10】从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是平方厘米．68766【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【解析】可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：87662616661787292⨯-⨯⨯+⨯+++++++=（）（）(平方厘米)．也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个66⨯的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66⨯的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为()8786762292⨯+⨯+⨯⨯=(平方厘米)．【答案】292【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4=，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754>>,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米（如图），第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求.剩下的体积应是()33321151212961107⨯⨯-++=（平方厘米）.【答案】1107【例 11】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增加的面数．原正方体表面积：1⨯1⨯6=6(平方米)，一共锯了(2-1)+(3-1)+(4-1)=6次，6+1⨯1⨯2⨯6=18(平方米)．【答案】18【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1⨯l=1(平方米)，所以表面积增加了9⨯2⨯1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6⨯1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．【答案】24【巩固】一个表面积为2cm．56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为2563168(cm)⨯=．【答案】168【例12】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】 10⨯10⨯6=600(平方厘米)．【答案】600【例 13】有n 个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么n 为多少？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的，从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每个面的面积是144436÷=(平方厘米)．所堆成的长方体的表面积，包含底面的2个正方形和侧面的4n 个正方形，所以(3096362)14421n =-⨯÷=．【答案】21【例 14】边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】三个正方体两两拼接时，最多重合3个正方形面，其中边长为3的正方体与其它两个正方体重合的面积不超过边长为3的正方形，边长为5和边长为8的正方体的重合面面积不超过边长为5的正方形，三个正方形表面积和为6⨯3⨯3+6⨯5⨯5+6⨯8⨯8-2⨯2⨯3⨯3-2⨯5⨯5=502.【答案】502【例 15】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.【答案】54【例 16】由六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】三视图法：表面积为：()454226++⨯=【答案】26【例 17】将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。

完美的正方形2-

a
90
当a=90°时,这个四边 ° 这个四边形还是菱形,但它是特形还是菱形但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形这个四边形是矩形, 这个四边形是矩形它是特殊的矩形是一组邻边相等的矩形也是正方形
A
A
B
B
什么是正方形？什么是正方形？
有一组邻边相等的矩形是正方形
正方形的定义
四边形平行四边形矩形菱形正方形
矩形
四边形平行四边形正方形菱形
作业
作业
如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使是正方形，如图，四边形ABCD是正方形延长BC到 CE=AC，连接AE， CD于 CE=AC，连接AE，交CD于F，求 ∠AFC的度数. A D
B
C
E
菱形的识别方法: 菱形的识别方法
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.有四条边都相等的四边形是菱形有四条边都相等的四边形是菱形 3.对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形 4.对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形 5.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形， 2.如图四边形如图四边形ABCD和DEFG都是正方形都是正方形，试说明AE=CG 试说明AE=CG D A
因为四边形ABCD是正方形因为四边形ABCD是正方形解：根据正方形的四边相等，根据正方形的四边相等，得 AD=CD 又知四边形DEFG也是正方形又知四边形DEFG也是正方形 DE=DG 所以又因为正方形的每个内角为 90的绳子围成四边形,如用给定长度的绳子围成四边形如何令其面积最大? 何令其面积最大

完美的正方形

《向正方形致敬》是一幅画。画中有
四个正方形，他们一个比一个小，其中三个正方形比把自己小的正方形包在里面。这幅画有价值的地方在于可以联想。数学家说它是几何图形；孩子们说它是积木；艺术家说它是通道。四个绝对标准的正方形严密相套，丝毫没有调皮和欺骗的姿态，然而，颜色却在近于刻板的图形中悄悄变幻，从苍白的橙色到深粉色，微妙的过程消失在人们漫不经心的一瞥中。作品用一种深沉的语言表现色彩本身的魅力，不惜牺牲绘画艺术的趣味和美感，理性的画面使人感到一种可爱的沉默。

由此可见，我们一个向外走，一个向
内走行，这正符合我们彼此的人生秩序。成年人追求更小的“正方形”，意即放下、消融自我。因为到了一定的年纪，你就会明白；外在的追求无穷无尽，而这正是我们焦虑、痛苦、烦恼的原因。那一个大过一个的“正方形”，可以看做不断成长的自我，那一个小于一个的“正方形”，可以看做不断缩减的自我。自我的“扩展”为了生存，为了自我价值的实现，而自我的“缩减”是为了更好地存在，为了充分认识自己真实的身份从而活在当下。这一内一外，有来有回，才是一个完美的人生。
形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀
速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）(2013年浙江省衢州市)
A
B
C
D
链接考纲，详见考纲P45第12题及
P51第12题
函数关系式

23．（2013杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．（1）求证：∠APE=∠CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，． ①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值； ②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y 的值．

完美正方形

完美正方形完美正方形「完美正方形」是指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形.而我们的研究,则放宽条件,允许同样大小的正方形不超过三个.我们先估算出正方形中可切割的最大正方形边长范围,再以方格纸手画的方式找出边长1至25的解,在过程中,我们发现可用放大的方式解决边长为合数的正方形.因此我们将重点放在边长为质数的正方形,我们将正方形分割成两个连续整数边长的正方形,则剩下少一单位的缺角正方形区域.我们探讨缺角正方形区域的解,再讨论分析回原来的正方形.最后解出了边长1至100中全部有解的正方形.对於更大边长的正方形,我们的方法也可行.所以我们以流程图来表示解决问题的过程,并用电脑试算边长1至1000的完美正方形.研究动机在暑假专书研读:名人趣题妙解书中,我们看到了塔尔塔利亚的巧分格纸,觉得很感兴趣,所以我们将完美正方形与巧分格纸两个融合,当作我们科展的题目.研究目的「完美正方形」是指,在一正方形内切割成不同大小,边长为整数的正方形,且这些切割出的正方形,均不能全等,这个主题在文献上有不错的研究成果.而我们的研究,则放宽条件,允许每一种同样大小的正方形不超过三个,希望可以探讨边长1～100中哪些正方形有解,哪些正方形无解如果有解如何切割文献探讨1926年,苏联数学家鲁金对"完美正方形"的存在提出了猜想.到1938年,他们终于找到了一个由63个大小不同的正方形组成的大正方形,人们称它为63阶的完美正方形.次年有人给出了一个39阶的完美正方形.1964年,塔特的学生,滑铁卢大学的威尔逊博士找到了一个25阶的完美正方形.1948年,威尔科克斯提出了一个24阶的完美正方形,在往后的30年中,人们一度以为24就是完美正方形的最小阶.1978年,荷兰特温特技术大学的杜依维斯蒂尤,用大型电子电脑算出了一个21阶的完美正方形.这是完美正方形的最终目标了.因为鲁金曾证明,小於21阶的完美正方形是不存在的.。

小学三年级奥数方阵问题练习题(最新)

1.小学三年级奥数方阵问题练习题一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。

这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？解：车队间隔共有30-1=29（个），每个间隔5米，所以，间隔的总长为：（30-1）×5=145（米），而车身的总长为30×4=120（米），故这列车队的总长为（30-1）×5+30×4=265（米）。

解析：由于车队要行265+535=800（米），且每秒行2米，所以，车队通过检阅场地需要（265+535）÷2=400（秒）=6分40秒。

答：这列车队共长265米，通过检阅场地需要6分40秒。

2.小学三年级奥数方阵问题练习题晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个。

晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？答案与解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个。

知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数。

知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。

解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）。

摆这个方阵共用棋子：52+44+36=132（个）还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。

解：（14-3）×3×4=132（个）答：摆这个方阵共需132个围棋子。

3.小学三年级奥数方阵问题练习题1、某班抽出一些学生参加节日活动表演，想排成一个正方形的方阵，结果多出7人；如果每行每列增加一个再排，却少了4人，问共抽出学生多少人？（7+4+1）÷2=6（人），6×6-4=32（人）答：共抽出学生32人2、棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？8×8=64（粒）（8-1）×4=28（粒）答：棋子总数64粒，最外层28粒。

六年级下册奥数专题练习-立体图形的计算(含答案) 全国通用

立体图形的计算【表面积的计算】例1 一个正方体木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体60块（如图5.69）。

那么，这60块长方体的表面积的和是平方米。

（1988年北京小学数学奥林匹克邀请赛试题）讲析：不管每次锯的长方体大小如何，横着锯2次一共增加了4个正方形面；前后竖直方向锯3次共增加了6个正方形面；左右竖直方向锯4次共增加了8个正方形面。

原来大正方体有6个正方形面，所以一共有24个正方形面。

所以，60块长方体的表面积之和是（1×1）×24＝24（平方米）。

例2 图5.70是由19个边长都是2厘米的正方体重叠而成的。

求这个立体图形的外表面积。

（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：如果按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻烦。

于是，我们可采用按不同的方向来观察的方法去计算。

俯视，看到9个小正方形面；正视，看到10个小正方形面；侧视，看到8个小正方形面。

所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。

【体积的计算】例1 一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如图5.71，纸盒的容积有多大？（π取3.14）（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。

故可设正方即：正方体纸盒的容积是800立方厘米。

例2 在一个棱长4厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长1厘米的正方形小孔（如图5. 72所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。

（北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题）。

讲析：打完孔之后，在大正方体正中央就有一个1×1×1的空心小正方体。

三个孔的体积是（1×1×4）×3-（1×1×1）×2=10（立方厘米）。

三年级下册奥数试题-方阵问题全国通用

方阵问题来源：士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵,方阵问题也叫做乘方问题。

方阵问题的根本就是边和周长的关系或者边和面积的关系,推广到现实题目中就是四周人或者物数,每边人或物数之间的关系。

方阵的基本特点是：1、方阵中,无论哪一层,每边上人或物相同。

每向里一层,每边人或物减少2,里一层比外一层的人或物的总数减少8。

2、四周人或物数=（每边人或物数—1）×4 每边人或物数=四周人或物数÷4＋13、中实方阵总人数或物数=每边人或物数×每边人或物数4、中空方阵总人或物数=（最外层每边人数-层数）×层数×4=（最外层人数+最内层人数）×层数÷25、实心方阵的总人数是一个完全平方数,空心方阵的总人数是4的倍数解题方法：解决方阵问题的关键在于首先判断方阵是实心还是空心,这样才能找到对应的公式。

其次,去题目中寻找方阵的几个特征值,每边的人数,最外层人数,总数,层数等信息。

如果题目中没有明确给出这些条件,那么就对已有条件进行转化,转化为简单的方阵问题。

组合方阵的问题可以最后转化为实心方阵和空心方阵的问题。

易错点：如果对题目中的要求或者边角问题有疑问,可以通过画图来解决加1还是减1的问题。

有一个正方形操场,每边都栽17棵树,四个角各种1棵,共种多少棵？1.1.学校有一个正方形的花坛,张老师在这个花坛的四周摆上花盆,每边放12盆花（四个角上各放一盆）,一共放了多少盆花？2.2.某校四年级的同学排成一个实心方阵,最外层的人数为80人,问最外一层每边上有______人？这个方阵共有四年级学生______人？（答案格式：数字中间请用一个空格隔开（从前到后））3.3.小刚用围棋子围成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子16个,小刚摆这个方阵共用了多少个围棋子？4.4.小明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有______棋子？摆这个三层空心方阵共用了______棋子？（答案格式：数字中间请用一个空格隔开（从前到后））五年级学生,排成一个中空的方阵,最外层人数共52人,最内层人数共28人,问五年级学生有多少人？运动员排成每边15人的实心方阵余35人,若排成每边16人的实心方阵,还余多少人？2.2.同学们做早操,排成一个正方形的方阵,从前、后、左、右数,小明都是第5个这个方阵共有多少人？一个正方形的队列横竖各减少一排共27人,求这个正方形队列原来有多少人？一队学生站成20行20列方阵,如果去掉4行4列,那么要减少多少人？1.1.有一堆棋子排成16行16列的方阵,如果把最外层拿走3行3列,那么拿走了多少棋子？2.2.有64名少先队员排成一个每边两层的中空方阵,现要在外面增加一层,成为一个三层中空方阵,需要增加少先队员多少人？3.3.用80枚棋子摆成一个两层中空方阵,如果想在外面再增加一层,问需要增加多少枚棋子？以若干粒棋子排成正方形,余12粒；若纵横添一粒而排成正方形,则不足17粒。

小学四年级奥数讲义专题一正方形

小学四年级奥数讲义专题一正方形小学四年级奥数讲义专题一: 正方形
简介
正方形是一种特殊的四边形，它具有四条边相等且四个角均为90度的特点。

在数学奥林匹克竞赛中，正方形常常是一个重要的考察对象。

本讲义将重点介绍关于正方形的性质、运算和问题解决方法。

正方形的性质
1. 边长：正方形的四条边长度相等，可以用一个变量a表示。

2. 内角：正方形的四个内角都是直角（90度），记为
∠A=∠B=∠C=∠D=90度。

3. 对角线：正方形的对角线相等且垂直平分，记为BD=AC且BD⊥AC。

正方形的运算
1. 周长：正方形的周长等于4倍的边长，即周长=4a。

2. 面积：正方形的面积等于边长的平方，即面积=a²。

正方形的问题解决方法
1. 求边长：当已知正方形的周长时，可以通过周长除以4得到
边长。

2. 求面积：当已知正方形的边长时，可以将边长平方得到面积。

练题
1. 若一个正方形的边长为5cm，求其周长和面积。

2. 若正方形的周长为24cm，求其边长和面积。

答案
1. 边长为5cm的正方形，其周长为20cm，面积为25cm²。

2. 周长为24cm的正方形，其边长为6cm，面积为36cm²。

希望本讲义能够帮助同学们更好地理解正方形的性质和运算，
并在日常学习和解决问题中灵活运用。

下一讲义将继续介绍正方形
的相关知识，请大家继续关注。

长方形正方形周长奥数题专项训练

长方形正方形周长奥数题专项训练介绍：在奥数领域中，长方形和正方形的周长是一个常见的考题。

通过熟练掌握相关的计算方法和技巧，可以帮助我们更好地解决周长相关的问题。

接下来，我们将以长方形和正方形周长奥数题为主题，深入探讨这个话题，掌握解题的方法和技巧。

一、长方形周长的计算方法1. 定义：长方形是指具有四个角都为直角的四边形，其中相对的两边长度相等。

周长是指一个图形的边界的长度总和。

2. 公式：设长方形的长为a，宽为b。

根据长方形周长的计算公式可知，周长C 等于所有边长之和，即C=2a+2b。

这个公式告诉我们，长方形的周长等于长的两倍加宽的两倍。

3. 解题技巧：（1）已知长方形的周长，求长和宽的关系：已知周长C，要求长方形的长a和宽b的关系。

根据周长的计算公式，可得2a+2b=C，化简得a+b=C/2。

由此可知，长和宽的和等于周长的一半。

（2）已知长方形的边长，求周长：已知长方形的长a和宽b，求周长C。

根据周长的计算公式，可得C=2a+2b。

二、正方形周长的计算方法1. 定义：正方形是指四个边都相等、角都为直角的四边形。

周长同样是指一个图形的边界的长度总和。

2. 公式：设正方形的边长为a。

根据正方形的定义，可知正方形的周长C等于四个边长之和，即C=4a。

这个公式告诉我们，正方形的周长等于边长的四倍。

3. 解题技巧：（1）已知正方形的周长，求边长：已知周长C，要求正方形的边长a。

根据周长的计算公式，可得C=4a，解方程得a=C/4。

（2）已知正方形的边长，求周长：已知正方形的边长a，求周长C。

根据周长的计算公式，可得C=4a。

三、综合练习：长方形正方形周长奥数题现在，我们通过几个实际的例题来巩固对长方形和正方形周长计算方法的理解和应用。

1. 题目：一个长方形的长是6cm，宽是4cm，求它的周长是多少？解答：根据长方形周长的计算公式，周长C=2a+2b。

将已知的长和宽代入公式中，可得C=2*6+2*4=12+8=20。

五年级奥数专题二十二：用割补法求面积

五年级奥数专题二十二:用割补法求面积关键词：三角正方图中面积题图奥数正方形三角形阴影图形在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

长方形正方形周长奥数题专项训练

长方形、正方形、周长、奥数题、专项训练1. 长方形和正方形的特点在数学中，长方形和正方形是我们经常接触到的几何图形之一。

长方形有着独特的属性，它的四个角都是直角，即90度；而正方形则是特殊的长方形，四条边长度相等，每个角也是直角。

这些特点赋予了长方形和正方形许多有趣的性质，在数学领域中也经常出现。

2. 周长的概念和应用周长指的是一个几何图形边界上所有边长的总和。

在长方形和正方形中，周长的计算方法非常简单，只需要将所有边的长度相加即可。

周长的概念在日常生活和数学中都有着广泛的应用，比如在围栏施工、草坪修剪等方面都需要考虑到周长的计算。

3. 奥数题专项训练的重要性奥数题是指奥林匹克数学竞赛中的数学题目，它们通常涉及到较高水平的数学知识和较复杂的问题解决能力。

在奥数题中，长方形和正方形的周长问题经常出现，并且会涉及到更深层次的思考和推理。

进行奥数题的专项训练对于提高数学能力和解题能力非常重要。

4. 专项训练的方法和技巧针对长方形和正方形的周长问题，我们可以通过专项训练来提高解题能力。

我们需要掌握周长的计算方法，包括长方形和正方形周长的简单公式推导和应用。

我们可以通过大量的练习题来提高解题速度和准确度，锻炼自己在奥数题中的应对能力。

5. 我对长方形正方形周长奥数题的个人理解在我看来，长方形和正方形的周长问题虽然表面上看起来很简单，但是在实际的数学竞赛中，它们往往蕴含着许多深刻的数学内涵和解题技巧。

通过专项训练，我们可以更好地理解和掌握这些内涵和技巧，并在实际竞赛中得心应手。

总结长方形和正方形的周长问题是数学竞赛中常见的题型，通过专项训练可以提高解题能力。

掌握周长的计算方法和相关技巧，对于提高数学能力和解题能力都有着重要的作用。

希望通过不断的练习和专项训练，能在奥数竞赛中取得更好的成绩。

长方形和正方形不仅在数学竞赛中常见，而且在日常生活中也随处可见。

在房屋建筑中，大多数的房间都是长方形或者正方形的，通过了解它们的周长特性，我们可以更好地规划和设计房屋的布局和空间利用。

【八年级数学竞赛讲座】第16讲完美的正方形

第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3(江苏省泰州市中考题)思路点拨AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM 且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l 的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ．探究：设A ，P 两点间的距离为x(1)当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的关系式，并写出x 的取值范围；(3)当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ 是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ 是等腰三角形的两种情形．注数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学力训练1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ．河南省中考题)2．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为． (苏州市中考题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为． (南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是．5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( ) (河北省中考题)A ．22B ．21C ．23D ．32 6．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD 中，C 为CD 上的一点，延长月C 至F ，使CF=CE ，连结DF ，BE 与DF 相交于G ，则下面结论错误的是( )A ．BE=DFB ．BG ⊥DFC ．∠F+∠CEB=90°D ．∠FDC+∠ABG ＝90°(山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为200，则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．109．(1)如图甲，若点P 为正方形ABCD 边AB 上一点，以PA 为一边作正方形AEFP ，连BE 、DP ，并延长DP 交BE 于点H ，求证：DH ⊥BF ；A B C D A B C D A B C D 图1 图2 图3(2)如图乙，若点P 为正方形ABCD 内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(泰州市中考题)10．如图，P 为正方形ABCD 的对角线BD 上任一点，PF ⊥CD ，PE ⊥BC ，C 、F 分别为垂足，探索AP 与EF 的关系．11．如图，正方形ABCD 中，AB=3，点E ，F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30°， ∠DAF=15°，求△AEF 的面积．( “希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=3，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，OC=24，则BC 边的长为．( “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则△CDE 的面积等于 cm 2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为． (北京市竞赛题)16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )A ．4B ．5C ．8D ．9(江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( ) A ．22 B ．32 C ．23 D ．33 ( “希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°20．图甲中，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR 为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH 的面积．(江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD 中，P 是CD 上一点，且AP=BC+CP ，Q 为CD 中点，求证：∠BAP=2∠QAD ．22．如图，有4个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的4个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动．(1)判定四边形PQEF 的形状；(2)PE 是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF 的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a ，D 为线段AE 上任一点，分别以AD 、DE 为边作正方形ABCD 和正方形DEFG ，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。

三年级奥数专题：长方形与正方形的面积

三年级奥数专题：长方形与正方形的面积(A)(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--六、长方形与正方形的面积（A 卷）年级班姓名得分一、填空1.右图是一幢楼房的平面图形,它的面积是平方米.(单位:米)2.北京某四合院子正好是个边长10米的正方形,在院子中央修了一条宽2米的“十字形”甬路,如图.这条“十字形”甬路的面积是平方米?3.右图中有四个正方形,图①的边长是32厘米,图②的边长是图①边长的一半;图③的边长是图②边长的一半;图④的边长是图③边长的一半.(1)图中图①(最大的正方形)的面积是图④(最小的正方形)面积的倍?并说出图④的面积是图①面积的)()(. (2)图中图①的周长是图④的周长的倍?并说出图④的周长是图①周长的)()(. 4.右图中有3个长方形,图①长32厘米,宽16厘米;图②的长、宽分别是图①长、宽的一半;图③的长、宽分别是图②长、宽的一半.(1)图①的面积是图③面积的倍?并说出图③的面积是图①面积的)()(. (2)图①的周长是图③周长的倍?并说出图③的周长是图①周长的)()(.5.有大、小两个长方形,对应边的距离均为1厘米,如果两个长方形之间(阴影部分)部分的面积是16平方厘米,且小长方形的长是宽的2倍.求大长方形的面积是小正方形的倍.1 2 4 5①③ ②6.将边长为24厘米的正方形纸剪成四块同样大小的长方形纸,每块长方形纸的边长是 ,宽是 ;周长是 ;面积是 .7.一个长方形原来的长是12厘米,宽是7厘米.现在把长和宽都减少2厘米,那么面积共减少了平方厘米?8.长方形花坛四周有一条2米宽的路,这条路的面积是156平方米.该花坛的周长是米.9.有一个长方形,长与宽各增加8分米,面积增加208平方分米,求原长方形的周长是分米.10.大正方形中有一个小正方形,两正方形的周长差是8厘米,面积差是20平方厘米.大正方形的边长是厘米?二、解答题11.把20分米长的线段分成两段,并在每一段上作一正方形(如下图).已知两个正方形的面积差为40平方分米,求每个正方形的面积.12.有一块长方形的玻璃,从长边截去20厘米宽的一块后,剩下的玻璃正好是块正方形,它的周长是160厘米.原来长方形玻璃的周长和面积各是多少?13.有一个机器零件,如图.中间是一个大正方形,边长是6厘米;每边正中向外凸出一个小正方形,边长都是2厘米.(1)这个机器零件的周长是多少?(2)这个机器零件的面积是多少?20分米14.右图中有六个正方形,较小的正方形都由较大的正方形的四边中点连接而成.已知最大的正方形的边长为10cm ,那么最小的正方形的面积等于 2cm .———————————————答案——————————————————————1. 11平方米. 1×5+(4-1)×2=11(平方米).2. 36平方米. 2×10+(10-2)÷2×2×2=36(平方米).3. (1)64倍;641. (2)8倍;81. 4. (1)16倍;161. (2)4倍;41. 5. 3倍.6. 24厘米;6厘米;60厘米;144平方厘米.7. 34平方厘米. 12×2+(7-2)×2=34(平方厘米).8. 140米.9. 36分米.10. 24厘米.二、解答题 1.解:阴影部分的长20分米相当于两个正方形边长的和,宽相当于两个正方形边长的差.40÷20=2(分米)(20+2)÷2=11(分米) 11×11=121(平方分米) 20-11=9(分米) 9×9=81(平方分米)答:大正方形面积是121平方分米,小正方形面积是81平方分米.2.周长:200厘米.160÷4=40(厘米)(40+20)×2+40×2=200(厘米).面积:2400平方厘米.(40+20)×40=2400(平方厘米).3.周长40厘米. 2×5×4=40(厘米)20 dm面积52平方厘米. 2×2×4+6×6=52(平方厘米). 4.2813cm . ()281321212121211010cm =⨯⨯⨯⨯⨯⨯。

寻找完美正方形

寻找完美正方形
顾东春
【期刊名称】《数学小灵通：小学中高年级班》
【年(卷),期】2004(000)011
【摘要】所谓完美正方形是指用若干个互不相等的小正方形拼成的大正方形。

用
多少个互不相等的小正方形才能拼成一个大正方形呢?你会拼吗?
【总页数】2页(P27-28)
【作者】顾东春
【作者单位】安徽淮南市谢区杨公小学
【正文语种】中文
【中图分类】G623.5
【相关文献】
1.为不“完美”的喷墨印刷寻找“完美”商机 [J], 金世华;
2.当完美正方形"邂逅"特殊45°角r——一节初三中考专题复习课的分析与思考 [J], 楚秉晶
3.在不完美的世界寻找完美 [J], 瞿丹萍;
4.完美正方形 [J],
5.完美矩形与完美正方形 [J], 吴振奎
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

全国奥数完美的正方形专

奥数专题-正方形队列 平均数应用题(竞赛试题)-2021-2022学年数学五年级下册全国通用

小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练(中难度)

奥数专项训练05 方阵问题专项练习30题(有答案

小学奥数教程：长方体与正方体(一)全国通用(含答案)

完美的正方形2-

完美的正方形

完美正方形

小学三年级奥数方阵问题练习题(最新)

六年级下册奥数专题练习-立体图形的计算(含答案) 全国通用

三年级下册奥数试题-方阵问题 全国通用

小学四年级奥数讲义专题一 正方形

长方形正方形周长奥数题专项训练

五年级奥数专题二十二：用割补法求面积

长方形正方形周长奥数题专项训练

【八年级数学竞赛讲座】第16讲 完美的正方形

三年级奥数专题：长方形与正方形的面积

寻找完美正方形

奥数专题-正方形队列平均数应用题(竞赛试题)-2021-2022学年数学五年级下册全国通用

三年级下册奥数试题-方阵问题全国通用

小学四年级奥数讲义专题一正方形

【八年级数学竞赛讲座】第16讲完美的正方形