轨迹方程(平面+空间)

第二章轨迹与方程

本章在上章建立的空间点与径向量及有序实数组的对应基础上，先介绍平面曲线的方程，然后过渡到曲面与空间曲线方程的研究，从而建立轨迹与方程的对应。

§2.1平面曲线的方程

教学目的：正确理解空间曲线与曲线方程的意义，并初步熟悉根据已知条件建立空间曲线方程的基本方法.

教学重难点:正确的理解空间曲线方程的意义, 并掌握根据已知条件建立空间曲线方程.

教学过程:

一.曲线的一般方程

1.平面曲线(包括直线): 具有某种特征性质的点的集合,即:

①曲线上的点都具有这些性质;

②具有这些性质的点都在曲线上.

反映: 曲线上的点)

(y

x满足一定的互相制约的条件.一般用方程)

,

F或

x

(y

,

y=来表达.

f

)

(x

2. 定义2.1.1 当平面上取定了坐标后,如果一个方程与一条曲线有着关系: (1) 满足方程的)

x必是曲线上某个点的坐标; (2) 曲线上任何一点的坐标满足这个

(y

,

方程,那么这个方程就叫做这条曲线的方程,而这条曲线叫做这个方程的图形.

由上定义可得:

①研究曲线的几何问题转化为研究其方程的代数问题.

②已知曲线,要求它的方程,实际上就是在给定的坐标下,将这条曲线上的点的特征性质,用关于曲线上的点的两个坐标y

x,的方程来表达.

例1求圆心在原点,半径为R的圆的方程.

解: 根据圆的定义,圆上任意点)

(y

M在圆上的充要条

x

,

M的特征性质,即)

(y

,

x

=

件是M到圆心O的距离等于半径R,即R

应用两点距离公式,得 R y x =+22 (1) 两边平方得 222R y x =+ (2) 由于方程(2)与(1)通解,所以(2)即为所求圆的方程.

完全类似的,可以求圆心在),(b a 半径为R 的圆的方程是:

222)()(R b y a x =-+-.

注: 求曲线的方程,有时在化简过程中,会增添不属于给定条件的内容, 此时,必须从方程的开始检查一下,把方程中代表那些不符合给定条件的点限制掉.

例2已知两点)2,2(--A 和)2,2(B ,4=-的动点M 的轨迹方程.

解: 动点M 4=-

用点的坐标来表达就是

,4)2()2()2()2(2222=-+--+++y x y x (3) 移项得

,4)2()2()2()2(2222+-+-=+++y x y x 两边平方整理得 ,2)2()2(22-+=-+-y x y x (4) 再两边平方整理得 2=xy (5) 因为方程(2)和(3)同解,而方程(4)与(3)却不同解,但当方程(4)附加了条件

02≥-+y x , 即2≥+y x 后,方程(4)与(3)同解,从而方程(4)与(3)同解,所以方程

)2(,2≥+=y x xy

为所求动点M 的轨迹方程.

二.曲线的参数方程

当动点按照某种规律运动时，与它对应的径向量也将随着时间t 的不同而改变（模与方向的改变），这样的径向量，称为变向量，记做(t r .如果变数)(b t a t ≤≤的每个值对应于变向量的一个完全确定的值（模与方向）)(t r ，那么就说是变数t 的向量函数，并把它记做：

＝(t r ， )(b t a ≤≤ （6）

设平面上取定的标架为},;{21e e O ,向量就可以用它的分量来表达,这样的向量函数（6）就可以写为 21)()((e t y e t x t r += )(b t a ≤≤ （7）

定义2.1.2 若取)(b t a t ≤≤的一切可能取的值,如图2-2,由（7）表示的径向量(t r 的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径向量，而这径向量可由t 的某一值)(00b t a t ≤≤通过（7）完全决定，那么就把表达式（7）叫做曲线的向量式参数方程，其中t 是参数。 由于曲线上点的径向量(t r 的分量为)(),(t y t x ，所以曲线的参数方程也常写成

下列形式： ⎩

⎨⎧==),(),(t y y t x x )(b t a ≤≤ (8) (8)式叫做曲线的坐标式参数方程..

从(8)式中消去t (若可能的话),可以得到曲线的普通方程:0),(=y x F

例3 已知直线l 通过定点),,(000y x M ,并且它与非零向量),(Y X v =共线,求直线l 的方程.

解: 设),(y x M 为直线l 上的任意点,并设00,r OM r OM ==如图2-3,那么点M 在l 上的充要条件为向量M 0与共线,也就是 t M =0

这里的t 是随着点M 而定的实数.又因为 =M 00r -

所以 0r -=v t

即 0r r =+v t

这就是直线l 的向量式参数方程,式中的)(+∞<<-∞t t 为参数.

小结：1. 直线l 的向量式参数方程为: 0r =+t

2. 直线l 的坐标式参数方程为: ⎩⎨⎧+=+=Yt

y y Xt x x 00 3. 直线l 的对称式方程或标准方程为: Y

y y X x x 00-=- 4. 直线的一般方程:0=++C By Ax ,其中).(,,00Xy Yx C X B Y A --=-==

5. 给定两直线: ,0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l 21,l l 的方向向量分别为:},{},,{222111A B v A B v -=-=, 则有如下结论:

01 两直线21,l l 相交的充要条件为: 2

121B B A A ≠ 02 两直线21,l l 平行的充要条件为: 2

12121C C B B A A ≠= 03 两直线21,l l 重合的充要条件为:

212121C C B B A A == 04 在直角坐标系下,两直线21,l l 的交角为:

22

2221212

12121),(cos B A B A B B A A l l +⋅++±=∠ 从而有 2121122121),(B B A A B A B A l l tg +-±

=∠. 例4. 一个圆在一直线上无滑动的滚动,求圆周上的一点P 的轨迹.

解: 取直角坐标系,设半径为a 的圆在x 轴上滚动,开始时点P 恰好在原点O (图2-4),经过一段时间的滚动,圆与直线的切点移到A 点,圆心移到C 的位置,这时有

++==. 设),(CA CP ∠=θ, 于是向量对x 轴所成的有向角为),2(),(θπ

+-=∠