国开电大近世代数(四川)第二次形成性考核作业参考答案
《线性代数》第二次作业解答-国家开放大学(中央电大)2020年期末考试复习题及答案
13 20
4 7
8 0
（5） x1
x2
a11 a21
a12 x1
a22
x2
解：
x1
x2
a11
a21
a12 a22
x1 x2
a11x1 a21x2
a12 x1 a22 x2
x1
x2
（a）11（x1 ）a21x2 x1 a12 x1 a22 x2 x2 a11x12 （a）12 a21 x1x2 a22 x22
x1 x2
1 2
3 2
3
0 3
2 1
1 1 0
0 z1
3
z2
2 z3
1（） 3（）3 2 0 1 （ ） 2（）（3）（2）2（ ）（3 ） （1）
11 31 0 0 2 1 211 0
1 0 33 0 2 2 023 3
2
z1 z2 z3
3 13
4 0
9 0
z1 z2 z3
即
x1
x2
3z1 13z1
4z2
9 z3
9.AX=AY,A≠0，问能否确定 X=Y？为什么？ 解：不能，因为 AX=AY，则 A（X-Y）=0，即使 A≠0，X-Y 也不一定为 0，即 X 不一定
等于 Y。例如：
A
2 3
4 2 4 6，X=， 1Y= 2
解：
1
1 1 1
AT B 2 1 1 1 2 2 2
3
3 3 3
1 1 1 1 1 1 ( AT B)2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
111 2 13 111 2 13 21 2 2 2 3 21 2 2 2 3
国开电大近世代数(四川)第四次形成性考核作业参考答案
a. a*b=|a-b|
b. a*b=a+2b
c. a*b=a-b
d. a*b=max{a,b}
【答案】：a*b=max{a,b}
题5.
a.
b.
c.
d.
【答案】：d
题目6.
对
错
【答案】：对
题目7.
对
错
【答案】：错
题目8.
对
错
【答案】：错
题目9.
对
错
题目1.
a.满射而非单射
b.既非单射也非满射
c.一一映射
单射而非满射
【答案】：一一映射
题目2.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。
a. 2
b. 7
c. 5
d. 10
【答案】：10
题目3.指出下列那些运算是二元运算（）。
a.
b.
c.
d.
【答案】：c
【答案】：错
题目10.
对
错
【答案】：错
题目11.
【答案】：1
题目12.
【答案】：素元
题目13.
【答案】：[11]
题目14.整数环上的多项式环Z[x]是一个( )分解环。
【答案】：唯一
题目15.
【答案】：k-1
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案
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[精华版]近世代数期末考试试卷及答案[精华版]近世代数期末考试试卷及答案⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1、设G 有6个元素的循环群，a是⽣成元，则G的⼦集( )是⼦群。
33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下⾯的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在⾃然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( )22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意⼀个具有2个或以上元的半群，它( )。
A、不可能是群,,,B、不⼀定是群C、⼀定是群D、是交换群⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
1、凯莱定理说:任⼀个⼦群都同⼀个----------同构。
2、⼀个有单位元的⽆零因⼦-----称为整环。
4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。
4、a的阶若是⼀个有限整数n，那么G与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。
6、若映射既是单射⼜是满射，则称为-----------------。
,,a,a,？,a01n,FF7、叫做域的⼀个代数元，如果存在的-----使得na，a，,？，a,,001n。
x,A8、是代数系统的元素，对任何均成⽴，则称为---------。
ax,a,xa(A,0) GG9、有限群的另⼀定义:⼀个有乘法的有限⾮空集合作成⼀个群，如果满⾜对于乘法封闭;结合律成⽴、---------。
2022国开电大工程数学(本)形考2试题及答案
国开工程数学（本）形考2一、单项选择题1.设线性方程组的两个解，则下列向量中（）一定是的解.A.B.C.D.2.设与分别代表非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组有解，则（）．A.B.C.D.3.以下结论正确的是（）．A.方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B.方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C.方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D.齐次线性方程组一定有解4.若向量组线性无关，则齐次线性方程组（）．A.无解B.有非零解C.只有零解D.有无穷多解5.矩阵的特征值为（）．A.-1,2B.-1,4C.1，-1D.1,46.已知可逆矩阵A的特征值为-3,5，则A-1的特征值为( ) ．A.B.C.D.7.设是矩阵A的属于不同特征值的特征向量，则向量组的秩是（）．A.1B.2C.3D.不能确定8.设A,B为两个随机事件，下列事件运算关系正确的是（）．A.B.C.D.9.如果（）成立，则事件A与B互为对立事件．A.B.C.且D.A与互为对立事件10.袋中有5个黑球，3个白球，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（）．A.B.C.D.二、判断题11.线性方程组可能无解．（）A.对B.错12.当1时，线性方程组只有零解．（）A.对B.错13.设A是三阶矩阵，且，则线性方程组AX=B有无穷多解．（）A.对B.错14.若向量组线性相关，则也线性相关．（）A.对B.错15.特征向量必为非零向量．（）A.对B.错三、填空题16.当______ 时，齐次线性方程组有非零解正确答案:117.向量组线性正确答案:相关18.设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有解正确答案:非零19.线性方程组AX=B中的一般解的自由元的个数是2，其中A是4x5矩阵，则方程组增广矩阵=正确答案:320.设A为n阶方阵，若存在数和n维向量X，使得，则称数为A的特征值，X为A相应于特征值的特征向量．正确答案:非零。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得10=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
近世代数经典题与答案
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载近世代数经典题与答案地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容1．设为整数加群, ,求解在 Z中的陪集有:, , ,, , 所以, .2、找出的所有子群。
解：S3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）}若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。
同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。
这个子群也必然是S3。
用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。
7．试求高斯整环的单位。
解设 () 为的单位, 则存在 , 使得 , 于是因为 , 所以 . 从而 , , 或 . 因此可能的单位只有显然它们都是的单位. 所以恰有四个单位:5．在中, 解下列线性方程组:解: 即 , .12. 试求的所有理想.解设为的任意理想, 则为的子环，则 , , 且 .对任意的 , , 有 ,从而由理想的定义知, 为的理想. 由此知, 的全部理想为且 .13、数域上的多项式环的理想是怎样的一个主理想。
解由于，所以，于是得。
14、在中, 求的全部根. 解共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知共有下列4个元素, , , 为的根.20.设R为偶数环.证明：问：是否成立？N是由哪个偶数生成的主理想？解：：故另外故总之有另方面，由于且而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即，但是因此，.实际上是22、设,求关于的所有左陪集以及右陪集.解 , 的所有左陪集为:;;．的所有右陪集为:;;.1．在群中, 对任意 , 方程与都有唯一解.证明令 , 那么 , 故为方程的解。
《高等代数专题研究》形成性考核册作业答案
《高等代数专题研究》作业参考答案高等代数专题研究作业1一、单项选择题：1-5：BCBDB二、填空题1、交换。
2、不等价、等价。
3、1212()()a a a a σσσ()=⊕，且σ是A 到B 的双射。
4、具有下面性质的自然数的任何集合M 满足：:1;:i M ii ∈如果a M ∈，则'a M ∈。
则M 含有一切自然数，即M N =。
5、对于一个与自然数有关的命题T ，若i ：若n=1时命题T 正确；ii ：假设命题T 对n<k 正确，就能推出命题T 对n=k 正确。
则命题T 对一切自然数正确。
三、计算题1、解：{},A a b =到{},A a b =的映射一共有224=个，它们是：:,a a b a σ1→→，2:,a a b b σ→→，34:,,:,a b b a a b b a σσ→→→→2、解：()(32)3(32)197fg x f x x x =+=++=+，()(31)3(31)295gf x g x x x =+=++=+3、解：1）在G 中，14,41→→，并且26,65,52→→→，σ可表为两个不相交的轮换的乘积：()()14265σ=。
2）123456123456326145365412στ123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪463125⎝⎭⎝⎭⎝⎭，123456123456123456326145463125156324τσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3）123456463125123456463125123456453162σ-1⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、证明题 1、证明：()()()()()()A C B C A C C B C C A C C C B C C C ⋃=⋃⇒⋃⋂=⋃⋂⇒⋂⋃⋂=⋂⋃⋂()()()()()()A C B C A C B C A C A C B C B C ⇒⋂⋃∅=⋂⋃∅⇒⋂=⋂⇒⋂⋃⋂=⋂⋃⋂()()A C C B C C A B A B ⇒⋃⋂=⋃⋂⇒⋃∅=⋃∅⇒=2、证明：则于a b a b +-⨯是由a 与b 惟一确定的（即a b a b +-⨯不会得出以上不同的结果），且为实数，所以“”是一个代数运算。
近世代数期末考试试卷与答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多项选择或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集〔 〕是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统〔G ，*〕中，〔 〕不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，以下哪种运算是可结合的？〔 〕A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=〔12〕〔23〕〔13〕，2σ=〔24〕〔14〕，3σ=〔1324〕，则3σ=〔 〕 A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它〔 〕。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶假设是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、假设映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
近世代数期末考试试卷及答案.
近世代数期末考试试卷及答案.⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是⽣成元，则G 的⼦集（）是⼦群。
A 、{}aB 、{},a eC 、{}3,e aD 、{}3,,e a a2、下⾯的代数系统（G ，*）中，（）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在⾃然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1(12)(23)(13)σ=，2(24)(14)σ=，3(1324)σ=，则3σ=（）A 、21σB 、12σσC 、21σσD 、22σ5、任意⼀个具有2个或以上元的半群，它（）。
A 、不可能是群B 、不⼀定是群C 、⼀定是群D 、是交换群 6、12阶有限群的任何⼦群⼀定不是（）。
A 、2阶B 、3 阶C 、4 阶D 、 5 阶7、设G 是群，G 有（）个元素，则不能肯定G 是交换群。
A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个8、有限布尔代数的元素的个数⼀定等于（）。
A 、偶数B 、奇数C 、4的倍数D 、2的正整数次幂9、若I,J 均是环A 的理想，则（）不⼀定是A 的理想。
A 、I+JB 、I ∩JC 、I ∪JD 、IJ10、3S 中元素(123)的中⼼化⼦有（）A 、(1),(123),(132)B 、（12），(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
1、凯莱定理说：任⼀个⼦群都同⼀个同构。
近世代数习题作业参考答案2013(2)
近世代数部分习题参考答案第12章 群12.3：P373.5证明：记)(21e S −=ϕ，则{}12,)(G x e x x S ∈==ϕ，显然1G S ⊆1）S 非空：对2G y ∈∀，由ϕ为满射，则1G x ∈∃，使得)(x y ϕ=，从而)()()(11x e y e ϕϕϕ∗=∗y x x e ===)()(1ϕϕ ，同理有y x e y ==∗)()(1ϕϕ，所以：=∗y e )(1ϕy e y =∗)(1ϕ，则21)(e e =ϕ，所以S e ∈1。
1）封闭性：对S t x ∈∀,，有2)(e x =ϕ，2)(e t =ϕ，则2)()()(e t x t x =∗=ϕϕϕ ， 所以S t x ∈ 。
2）结合律：显然。
3）单位元：S e ∈1。
4）逆元：对S x ∈∀，有2)(e x =ϕ，则：)()()()(1112−−∗===x x x x e e ϕϕϕϕ )()(112−−=∗=x x e ϕϕ，即21)(e x =−ϕ，所以S x ∈−1。
12.4：P378.11．证明：显然对G f ∈∀，f 为双射。
1）封闭性：对G g f ∈∀,，设b ax x f +=)(，d cx x g +=)(，0,0≠≠c a ， 则b ad x ac b d cx a d cx f x g f x g f ++=++=+==)()()())(()( ，所以G g f ∈2）结合律：映射的复合满足结合律。
3）单位元：x x I e =)(4）逆元：显然对G f ∈∀，由f 为双射，故f 可逆，且a b x a x f −=−1)(1，则G f ∈−1。
12.5：P384.11．证明：记}1{==n n x x U ，对n k U x ∈∀，n k i n k x k ππ2sin 2cos+=，1,,1,0−=n k 。
则n U 对复数的乘法构成群。
且)(1x U n =， ni n x ππ2sin 2cos1+=， n k i n k x k ππ2sin 2cos +=k ni n )2sin 2(cos ππ+=k x )(1=P384.5 证明：设r a 的阶为k ，则e a k r =)(，即e a rk =。
近世代数课后练习答案
§1—3 集合、映射及代数运算思考题1：如何用语言陈述“A B ⊄”？定义4：设A B ⊂，且存在B a A a ∉∈但，那么称B 是A 的真子集，否则称B 不是A 的真子集。
思考题2：若A B ⊂，但B 不是A 的真子集，这意味着什么？定义5：若集合A 和B 含有完全一样的元素，那么称A 与B 相等，记为A =B .结论1：显然，A B B A B A ⊂⊂⇔=且.（4）集合的运算 ①集合的并：{}B x A x x B A ∈∈=或 ②集合的交：{}B x A x x B A ∈∈=且 ③集合的差：{}B x A x x B A ∉∈=-且 ④集合在全集内的补：{}A x E x x A ∉∈=且⑤集合的布尔和（对称差）：{})()()()( B A B A A B B A B A x B x A x x B A -=--=∉∈∈=⊕但或 ⑥集合的卡氏积：{}B b A a b a B A ∈∈=⨯且),(卡氏积的推广：{}m i A a a a a A A A A m A A A i i m m mi i m ,,2,1,),,,( ,,,2121121 =∈=⨯⨯⨯=∏=：成的卡氏积为个集合，那么由它们做是令课堂练习：which of the following rules are algebra operations on the indicated set? 1、.,Q set the on ab b a =2、{}.0,ln >∈=x and R x x set the on b a b a3、.,0222R set the on b a x equation the of root a is b a =-4、.,Z set the on n Subtractio5、{}.0,≥∈n and Z n n set the on n Subtractio6、{}.0,≥∈-=n and Z n n set the on b a b aSolution:1、.221Q b a b and a when ∉=⇒==2、.0ln 12121<=⇒==b a b and a when3、⎩⎨⎧⋅-⋅=⇒==32323,2b a b a when4、.Okay5、.0352<-=⇒==b a b and a when6、.Okay§4—6 结合律、交换律及分配律例1、设,Z A =“ ”是整数中的加法：则)()(,,,t s r t s r Z t s r ++=++∈∀∴“+”在Z 中适合结合律。
近世代数参考答案
《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案一、判断题（每题4分，共60分）1、如果循环群G=(a)中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（ √ ）2、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ × ）3、两个子群的交一定还是子群。
（ × ）4、若环R 满足左消定律，那么R 必定没有右零因子。
（ √ ）5、任意置换均可表示为若干个对换的乘积。
（ √ ）6、F （x)中满足条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极小多项式。
（ × ）7、已知H 是群G 的子群，则H 是群G 的正规子群当且仅当g G ∀∈，都有1gHg H -= （ √ ）8、唯一分解环必是主理想环。
( × )9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。
（ √ ）10、欧氏环必是主理想环。
（ √ ）11、整环中，不可约元一定是素元。
（ √ ）12、子群的并集必是子群。
（ × ）13、任何群都同构于某个变化群。
( √ )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。
( √ )15、集合,A Z B N ==，::2f A B n n →+ 是从A 到B 的映射。
（ ×）二、证明题（每题20分，共300分）1Q 上的最小多项式。
解：令=u 32==u u .于是3223323315(32-⋅-=+-+=u u u u u u .移项后得32152(3+-=-u u u 两边平方，得到3222(152)(35)5+-=-⋅u u u .这是u 上满足的Q 上6次方程，故[():]6≤Q u Q .又3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，知2|[():]Q u Q .=u (()=Q u Q u .又[]3=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ，因而[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---⋅=u u u ，故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最小多项式.2、求出阶是32的循环群(a )的所有子群，这些子群是否都是不变子群。
近世代数练习题(附答案)
《近世代数》练习题（附答案）一.选择题1. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算2a b a b =+ ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律2. 在群G 中,a G ∈, a 的阶为12, 则8a 的阶为 ( B )(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 63．在7次对称群7S 中(25)(437)π=和(13)(546)λ=, 则πλ等于（ A ）(A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253)4．在一个无零因子环R 中,,a b R ∈,,0a b ≠对加法来说,有( C )(A) a 的阶<3b 的阶 (B) a 的阶>3b 的阶(C) a 的阶=3b 的阶 (D) 4a 的阶>3b 的阶5．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子6. 假定φ是A 与A 间的一一映射,A a ∈, 则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为 ( D )(A) a , a (B) 无意义, a (C) 无意义,无意义 (D) a ,无意义7. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 ( B )(A) 1-ba , b a 1- (B) b a 1-, 1-ba (C) a b 1-, b a 1- (D) b a 1-, 1-ab8. 设M 是正整数集, 则对任意的,a b R ∈, 下面“o ”是代数运算的是( B ) (A) b a b a = (B) b a b a = (C) 2a b a b =+- (D) 2a b ab =- 9. 设M 是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M 的自同构的是( D )(A) 2x x → (B) sin x x → (C) x x → (D) 5x x →-10. 在偶数阶群G 中阶等于2的元数为 ( A )(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定11．在5次对称群5S 中元1(15)(24)π=和2(154)π=的乘积12ππ是（ D ）(A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142)12．若群G 的阶为48, G 的真子群H 的阶不可能为 ( C )(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 2413．群G 中元a 的阶为24中，那么G 的循环子群9()a 的阶为 ( C )(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 914.在一个环R 里如果有一个消去律成立，那么下面不正确的是( B )(A) 另一个消去律也成立 (B) R 中非零元都有逆元(C) R 是无零因子环 (D) R 中非零元对加法的阶都一样15．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( A )(A) 欧式环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定16．设12,εε为唯一分解环I 中单位, a 是I 中任意元， 则下列正确的是 ( B )(A) 12εε+ 也是单位 (B) 12,εε互为相伴元(C) 12,εε 都是a 的真因子 (D) a 有唯一分解17．一个30个元的域的特征可能是( A )(A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 1518．假定域R 与R 同态, 则R 是（ C ）(A) 域 (B) 整环 (C) 环 (D) 除环19．若I 是一个唯一分解环,I a ∈且a 21p p =和a 21q q =(其中2121,,,q q p p 都为素元),则下列说法正确的是 ( D )(A) 1p 与1q 互为相伴元 (B) 1p 与1q 互为相伴元和2p 与2q 互为相伴元(C) 2p 与2q 互为相伴元 (D) 1p 与1q 互为相伴元或1p 与2q 互为相伴元20．假定)(a 和)(b 是整环I 的两个主理想, 若)()(b a =, 则 ( A )(A) b 是a 的相伴元 (B) b 与a 互素 (C) b 是a 的真因子 (D) |b a 21．=A {所有整数},令τ: 2a a →,当a 是偶数;21+→a a ,当a 是奇数.则τ为 ( B )(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换22．若)(a G =,且a 的阶为有限整数n ,则下列说法正确的是 ( A )(A) G 与模n 的剩余类加群同构 (B) G 的阶可能无限(C) 元21012,,,,,---n a a a a a 中没有相同元 (D) G 与整数加群同构23．若R 是一个特征为有限整数n 的无零因子环，且R b a ∈,，则 （ D ）(A) 0,00≠≠⇒=b a b a (B) 21n n n =，其中21,n n 为素数(C) 存在R 中元c 的阶为无限整数 (D) R 对乘法成立两个消去律24. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)22a b b a b =+ (B)b a b a= (C) 22a b a ab b =-+ (D) 10a b a b += 25. 在群G 中, ,,a b c G ∈, 则方程xaxba xbc =的唯一解为 ( D )(A)11abca b -- (B) 111bca a b --- (C) 111a b a bc --- (D) 111a bca b ---26．在6次对称群6S 中123456326514π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ A ） (A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 627．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个28．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( B )(A) 除环 (B) 欧式环 (C) 域 (D) 无法确定29．若Q 是一个域, 不正确的是 ( B )(A) Q 是交换除环 (B) Q 对乘法作成群(C) Q 无零因子 (D) Q 中不等于零的元都有逆元30．若I 是主理想环, p 是I 中素元, 且I b a ∈, 则 ( C )(A) 主理想)(p 不是I 的最大理想 (B) a 没有唯一分解(C) 若p |ab ,有p |a 或p |b (D) I /()p 不是域31. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律32. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( A )(A) 2a b a b =+ (B)b a b a= (C) a b b a = (D) 10a a b = 33. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( D )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 11ba b -- (D) 1a -34．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 535．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个36．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定37. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 838．一个有8个元的域的特征是( A )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 839．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子40．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 441. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律42. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)a b b a = (B)b a b a= (C) 2a b a b =+ (D) 10a a b = 43. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( C )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 1a - (D) 11ba b --44．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 545．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个46．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定47. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 848．一个有8个元的域的特征是( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 849．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子50．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二．填空题1.设是集合A 的元间的一个等价关系,那么满足反射律、 对称律 、 推移律 .2.若G 为群,,,a b c G ∈,则3211()b c a c --- 123c ac b .3.循环群()a 的阶是50，则它的子群15()a 的阶是 10 .4. 群G 的中心N 是G 的一个 不变 子群.5.n 次对称群n S 的阶为 !n .6.假定B A ⊂,那么B A A , B A B .7. 假定A 和A 同态, A 和A 同态, 则A 和A 也同态 .8. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ya =有唯一解为 1ba .9.设集合A 的元数为3 ，那么A 共有子集 8 个，A 的元间的关系共有 512 个.10.若G 为群, 方程1x ax bx -=的唯一解为 1ba .11.一个有限非可换群至少含有______ 6 ______个元素 .12.设~是集合A 的元间的一个等价关系,那么~满足自反律、对称律 、 推移律 .13.若G 为群,,,a b c G ∈,则211()bc a --- 21ac b .14.5次对称群5S 的阶为 120 .15.若φ是环R 与R 的同态满射, 则同态核中元都是R 中 单位元 e 的逆象，且同态核是R 的一个 理想 .16.设A 是有单位元的交换环R 的一个最大理想，那么剩余类环R A 是一个 域 .17.在整数环Z 中，理想(3,7)等于主理想 （1） .18.设9Z 为模9的剩余类环，那么[5]的负元为 [4] ，逆元为 【2】 .19.设G 是17阶群，则G 的生成元有 16 个.20.除环的最大理想是 零理想 .21.设R 是模7的剩余类环，在多项式环[]R x 中2([6][4])([2][5])x x x +-+=32[6][6]x x x -++22.设10Z 为模10的剩余类环，那么[3]的负元为 [7] ，逆元为[7] .23.在整数环I 中，主理想()()a b =当且仅当b 是a 的 相伴元 .24.设{,,}A a b c =,{,,,}R aRa aRc cRa cRc =.那么由R 决定的A 的分类为 {,},{}a c b .25.设I 是一个唯一分解环，那么多项式环[]I x 是 唯一分解 环.26.设9Z 为模9的剩余类环，那么[7]的负元为 [2] ，逆元为[4] .27.设I 是一个唯一分解环，那么I 的元12,,,n a a a 的两个最大公因子d 和d '相差一个相伴元 .28.若群的元a 的阶是15，b 的阶是8,且ab ba =, 则8a 和ab 的阶分别是 15 和 120 .29.在一个特征为p 的无零因子的交换环R 中,有p 为 素 数,且()p a b += p p a b + .30. 若群G 的阶为60, G 的子群H 的阶为15，则H 在G 中的指数为 4 .31. 若φ是环R 与R 的同态满射,则对,,a b c R ∈，它们的象分别为,,a b c ,则元()a b c +的象为 ()a b c + .32.设A 是环R 的一个最大理想，那么包含A 的R 的理想仅有 A 和R .33.在整数环Z 中，理想(42,35)等于主理想 （7） .34.在唯一分解环I 中，若素元p 能整除ab ，则p 必能整除 ,a b 中一个元 .35. 若G 是由集合A 的全体一一变换所作成, 则G 是一个 变换 群.36.若R 是有单位元的交换环,则R 的主理想)(a 中的元有形式为 ,ra r R . 37.0R 是有单位元的交换环, x 是0R 的子环R 上的未定元, 则仅当 010n a a a时,才有010=+++n n x a x a a 成立.38. R 是一个有单位元的环, 且}0{≠R ，则在R 中必有一个元没有逆元, 它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .39．唯一分解环I 中的元a 和b 的两个最大公因子d 和d '只能差一个 相伴元 .40.设}2,1{=A ,}4,3{=B .那么=⨯B A { （1，3），（1，4），（2，3），（2，4） } .41.若群G 和集合G 同态,则G 是 群 ,并且有G 中元e 和1-a 的象为G 中元e 和1a .42.在无零因子环R 中,如果对R b a ∈,有0=ab , 那么必有 0a 或0b .43.群的元a 的阶是n ，若d 是整数r 和n 的最大公因子，则r a 的阶是 n d. 44.在一个域Q 中,若有0,0,,≠≠∈d b Q d c b a ,则=+d c b a ad bc bd. 45.设φ是环R 与R 的同态满射, 则φ的核是环R 的一个 理想 . 46.在整环中必有一个元没有逆元,它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .47.整环I 的元a 是][x I 的多项式)(x f 的根, 当且仅当)(x f 能被 xa 整除.三．判断题1．设}4,3,2,1{=A ,则能找到A A ⨯到A 的一一映射. ( × )2．无限群中的元的阶都无限. ( × )3．除环的最大理想是单位理想. ( × )4．整环中的素元只能有有限个数的因子. （ × ）5．任何欧式环一定是主理想环，也一定是唯一分解环. ( √ )6．A 为不等于零的实数的全体,那么普通除法适合结合律. ( × )7．有限群中存在某个元的阶无限. ( × )8．假定域R 与R 同态, 则R 也是域. ( × )9．整环中的单位ε同素元p 的乘积p ε还是一个素元. ( √ )10．除环除了零理想和单位理想还有其它理想. ( × )四．解答题1. 用循环置换的方法写出三次对称群3S 的全体元.说明集合})23(,)1({=N 是3S 的子群,并且写出N 的所有左陪集.解: )}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ,(2分) 因为N 是有限集合, 由)1()1)(1(=,)23()23)(1(=,)23()1)(23(=,)1()23)(23(=知N 是封闭的,所以N 是3S 的子群.(4分) N 的全体左陪集为(6分):)}23(),1{()23()1(==N N ,)}132(),12{()132()12(==N N ,)}123(),13{()123()13(==N N .2. 求模6的剩余类环F 的所有子环.解：因为剩余类环F 是循环加群，所有子环为主理想：([1]),([2]),([3]),([6]).3. 设A 是整数集,规定A 中元间的关系R 如下:)6(b a aRb ≡⇔说明R 是A 中元间的等价关系,并且写出模6的所有剩余类.解： 因为对任意的整数 c b a ,,有（1）反射律： a 与a 模6同余;(2分)（2）对称律： 若a 与b 模6同余，那么必有b 与a 模6同余;(2分)（3）推移律： 若a 与b 模6同余，b 与c 模6同余，那么必有a 与c 模6同余, 所以R 是A 中元间的等价关系.(2分)模6的全体剩余类为(6分):},12,6,0,6,12,{]0[ --=, },13,7,1,5,11,{]1[ --=,},14,8,2,4,10,{]2[ --=, },15,9,3,3,9,{]3[ --=,},16,10,4,2,8,{]4[ --=, },17,11,5,1,7,{]5[ --=.4.求出阶是32的循环群()a 的所有子群.这些子群是否都是不变子群.解: 因为()a 为循环群,所以()a 为交换群,又因为32的所有正整数因子为：1，2，4，8，16,36. (2分) 所以循环群()a 的所有子群为循环子群：()a ，2()a ,4()a ，8()a ，16()a 360()(){}a a e ==. (8分)并且这些子群都是不变子群. (10分)5.设Z 是整数环，请把Z 的理想(3)(4)和(3,4)的元列出来.解: Z 是整数环，理想(3)(4)和(3,4)如下：(3)(4){,9,6,3,0,3,6,9,}{,12,8,4,0,4,8,12,}=------ (2分){,24,12,0,12,24,}=-- (4分)(12)= (6分) (3,4)(1){,3,2,1,0,1,2,3,}Z ===--- (10分)6.设R 是模8的剩余类环，在一元多项式环[]R x 中把32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+计算出来，并求432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数. 解: R 是模8的剩余类环(1) 32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+543322[2][5][2][2][2][7][5][7][7][2][3][5][3][3][2]x x x x x x x x =-++-+-+- (1分)543322[2][2][4][3][7][6][7][3][6]x x x x x x x x =-++-+-+- (3分) 5432[2][2][7][6][6]x x x x x =-+-+- (5分)(2) 多项式432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数为32()4[1]3[4]2[5][2]f x x x x '=-+- (2分)32[4][4][2][2]x x x =-+-.7.找出对称群3S 的所有子群.解:因为3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =，它的子群的阶只可能为：1，2，3，6.所以它的所有子群为：1阶子群1{(1)}H =； (1分) 2阶子群21{(1),(12)}H =，22{(1),(13)}H =，23{(1),(23)}H =； (4分) 3阶子群3{(1),(123),(132)}H =； (5分) 6阶子群3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =。
国开作业近世代数-形考二（第1~2章）06参考（含答案）
题目：【填空题】全体正有理数对于数的普通乘法作成群，称其为回答群。
答案：正有理数乘
题目：【填空题】设G是一个群，H是G的一个非空子集，如果H本身对G的乘法也作成
一个群，则称H为群G的一个回答群。
答案：子
题目：【填空题】设M是一个非空集合， M的双射变换群与非双射变换群都是M的回答群。
答案：变换
题目：【填空题】一个n次置换群中的置换或者全是偶置换，或奇、偶置换各占回答。
答案：一半
题目：【填空题】设M是一个非空集合，则由M的若干个变换关于变换的____法所作成的群，称为M的一个变换群。
答案：乘
题目：【选择题】）
选项A：对
选项B：错
答案：错
题目：【判断题】在一个有限群里，阶数大于2的元素的个数一定是偶数。
（）
选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：【判断题】阶群只有两个，一个是循环群，一个是非交换群。
（）
选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：【判断题】）阶循环群有且只有一个非平凡子群。
选项A：。