根轨迹选择题练习
根轨迹例题——精选推荐
根轨迹例题题4-1 求下列各环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。
（1）2(2)()23g K K s W s s s +=++解1）起点：两个开环极点1211p p -=-+-=--。
终点：系统有一个 2 z -=-开环零点。
2）实轴上根轨迹区间为 (2]-∞-，。
3）渐近线计算由公式()()1118012 0,1,2,n mj i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+==⎪-⎪⎪⎨-⎪⎪-=-⎪-⎩∑∑ 求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180(12)18021μϕ+==-22021k σ--=-=- 4）求分离点，会合点 由'()()'()()0D s N s N s D s -=得223(2)(22)0s s s s ++-++=整理得2410s s ++=解得12s =--22s =-+。
由于实轴上的根轨迹在()2-∞，区间内，所以分离点应为12 3.7s =-≈-。
5）出射角计算由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑得()11809054.7144.7sc β=--=同理，2144.7sc β=- 。
根轨迹如图4-1所示。
图4-1 题4-1(1) 根轨迹图（2）)22)(2()(2+++=s s s s K s W gK解1） 起点：系统四个开环极点为12340,2,1,1p p p j p j -=-=--=---=-+；终点：四个无限零点。
2） 渐近线计算由公式()()1118012 0,1,2,n mj i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+==⎪-⎪⎪⎨-⎪⎪-=-⎪-⎩∑∑求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180(12)451354o μϕ+==±± 、21114k σ+-=-=-＋ 3） 分离点，会合点计算'()()'()()0D s N s N s D s -=整理得 3 (1)0s += 解得1,2,3 1s =- 4） 出射角计算由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑得()1180901354590sc β=-++=-同理，290sc β=+ 。
根轨迹绘制习题及答案
根轨迹绘制习题及答案根轨迹绘制习题及答案根轨迹是控制系统理论中的重要概念，它可以帮助我们分析和评估系统的稳定性和动态响应。
在学习根轨迹绘制的过程中，练习习题是必不可少的。
本文将为大家提供一些根轨迹绘制的习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 习题一：考虑一个开环传递函数为G(s) = K/(s^2 + 2s + 1)的系统，请绘制其根轨迹，并分析系统的稳定性。
解答一：首先，我们需要确定系统的极点和零点。
对于给定的传递函数G(s)，我们可以将其分解为G(s) = K/(s+1)^2的形式，其中极点为-1，零点为无穷远处。
接下来，我们可以根据根轨迹的特性来绘制图形。
根轨迹是极点随着增加K的值而移动的轨迹。
当K趋近于无穷大时，根轨迹会趋近于极点的位置。
根据根轨迹的性质，我们可以得出以下结论：- 当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点移动。
- 当K为负实数时，根轨迹从极点开始，逐渐向零点移动。
- 当K为纯虚数时，根轨迹会绕过零点和极点，形成一个闭合的曲线。
因此，在本例中，当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点-1移动。
系统的稳定性取决于根轨迹是否穿过虚轴。
根据根轨迹的绘制，我们可以发现根轨迹没有穿过虚轴，因此系统是稳定的。
2. 习题二：考虑一个开环传递函数为G(s) = K/(s^2 + 3s + 2)的系统，请绘制其根轨迹，并分析系统的稳定性。
解答二：首先，我们需要确定系统的极点和零点。
对于给定的传递函数G(s)，我们可以将其分解为G(s) = K/(s+1)(s+2)的形式，其中极点为-1和-2，零点为无穷远处。
接下来，我们可以根据根轨迹的特性来绘制图形。
根轨迹是极点随着增加K的值而移动的轨迹。
当K趋近于无穷大时，根轨迹会趋近于极点的位置。
根据根轨迹的性质，我们可以得出以下结论：- 当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点移动。
- 当K为负实数时，根轨迹从极点开始，逐渐向零点移动。
第四章 根轨迹法 习题
第四章 根轨迹法4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()()()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02+=++=4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()()2411+-+=s s s Ks G 的根轨迹。
4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()()()1,42)1(2=+++=s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。
4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。
()()()()1,4122=++=s H s s Ks G4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()()5284)2(2+++++=s s s s s s K s H s G 对应-∞<K<∞的根轨迹。
指明所有根轨迹上的相应特征。
4-7 设一负反馈系统，其开环传递函数 ()()()()()90020040)4(2++++=s s s s s K s H s G a) 画出根轨迹并表明根轨迹上全部特征值。
b) 增益值在一个什么样的范围内，系统才是稳定的？ c) 画出系统的伯德图，并使其稳定性和不稳定性区域，与根轨迹图连系起来说明。
4-8 对应负反馈情况，重做习题4-7.4-9 对应如下的负反馈控制系统，粗略地作出根轨迹，并确定系统稳定下K 的范围。
()()()()1,41)6(=+++=s H s s s s K s G4-10 对应习题4-10图所示系统，根据以下条件，试确定导致系统稳定的正实数增益K 的范围：a) 具有负反馈的系统。
b) 具有正反馈的系统。
习题4-10图4-11 已知反馈系统的开环传递函数*()()(1)(2)K G s H s s s s =++ 试绘制系统的根轨迹图，详细列写根轨迹的计算过程，其中包括零点、极点、渐近线及与实轴交点，根轨迹分离点及与虚轴的交点、渐近线与实轴夹角。
高考动点轨迹方程的常用求法含练习题及答案
轨迹方程的经典求法一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，那么有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 二、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，那么点P 的轨迹是〔 〕 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =---，，(3)PB x y =--，，由2PA PB x =·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+，P ∴点轨迹为抛物线．应选D ．三、代入法：此方法适用于动点随曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、待定系数法：当曲线的形状时，一般可用待定系数法解决.例5：A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =，1()2AE AB AD =+．〔1〕求E 点轨迹方程；〔2〕过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：〔1〕设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =，那么22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； 〔2〕设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，2211k k =+∴，解得33k =±． 将33y =±(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量〔参数〕，把x ，y 联系起来 例4：线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OPOP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，， 那么由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--，．两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.配套训练一、选择题1.椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，那么直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y xD.14922=-x y 二、填空题3.△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,那么动点A 的轨迹方程为_________.4.高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.双曲线2222by a x =1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y 〕,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y 〕，依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)6.解：设P (x 0,y 0〕(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，那么Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),那么A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++① A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y --② ①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0〕,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,那么(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
控制工程基础练习题(一)
控制工程基础练习题（一）一、填空题1、设系统的开环传递函数为2(1)(1)K s s Ts τ++，则其开环幅频特性为 ，相频特性为 。
（；arctan 180arctan T τωω--o (或：2180arctan 1T T τωωτω---+o ) 2、频域性能指标与时域性能指标有着对应关系，开环频域性能指标中的幅值穿越频率c ω对应时域性能指标 ，它们反映了系统动态过程的 。
（调整时间s t ；快速性）3、在经典控制理论中，可采用 、根轨迹法或 等方法判断线性控制系统稳定性。
（劳斯判据(或时域分析法 ；奈奎斯特判据(或频域分析法)4、若某系统的单位脉冲响应为0.20.5()105t t g t e e --=+，则该系统的传递函数G(s)为 。
（1050.20.5s s s s+++） 5、控制系统的 称为传递函数。
一阶系统传函标准形式是 ，二阶系统传函标准形式是 。
（输出拉氏变换与输入拉氏变换在零初始条件下的比值；1()1G s Ts =+；222()2n n nG s s s ωζωω=++或：221()21G s T s T s ζ=++）。
6、反馈控制系统开环对数幅频特性三频段的划分是以ωc（截止频率）附近的区段为中频段，该段着重反映系统阶跃响应的稳定性和快速性；而低频段主要表明系统的稳态性能。
7、根轨迹起始于 ，终止于 。
（开环极点；开环零点）1、自动控制系统有两种基本控制方式，当控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时，称为 ；当控制装置与受控对象之间不但有顺向作用而且还有反向联系时，称为 。
含有测速发电机的电动机速度控制系统，属于 。
（开环控制系统 闭环控制系统 闭环控制系统）2、设系统的开环传递函数为12(1)(1)K s T s T s ++，则其开环幅频特性为 ，相频特性为 。
（()A ω=01112()90()()tg T tg T ϕωωω--=---）3、判断一个闭环线性控制系统是否稳定，可用 、 、等方法。
高考数学轨迹问题专题练习题讲解
高考数学轨迹问题专题练习题讲解第1讲 轨迹问题一．选择题（共12小题）1．方程|1|x −=所表示的曲线是( ) A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆【解答】解：将方程|1|x − 得22(1)(1)1x y −+−=，其中02x 剟，02y 剟．因此方程|1|x −表示以(1,1)C 为圆心，半径1r =的圆． 故选：A ．2．方程||1x −=( ) A ．两个半圆B ．一个圆C ．半个圆D ．两个圆【解答】解：两边平方整理得：22(||1)2x y y −=−， 化简得22(||1)(1)1x y −+−=，由||10x −…得||1x …，即1x …或1x −…， 当1x …时，方程为22(1)(1)1x y −+−=， 表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半圆； 当1x −…时，方程为22(1)(1)1x y ++−=， 表示圆心为(1,1)−且半径为1的圆的左半圆综上所述，得方程||1x −= 故选：A ．3．在数学中有这样形状的曲线：22||||x y x y +=+．关于这种曲线，有以下结论： ①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5． 其中正确的结论有( ) A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解答】解：①曲线C 经过的整点有(0,0)，(1,0)，(1,0)−，(0,1)，(0,1)−，(1,1)，(1,1)−，(1,1)−，(1,1)−−，恰有9个点，即①正确；②点(1,1)和(1,1)−−均在曲线C 上，而这两点间的距离为2，即②错误； ③由于图形是对称的，所以只需考虑第一象限内的部分即可．此时有，22x y x y +=+，整理得，22111()()222x y −+−=，是以11(,)22为半径的圆，作出曲线在第一象限的图形如图所示，面积211111122224AOB C S S S ππ∆=+=⨯⨯+⋅⋅=+圆，故曲线C 的面积为14()2524ππ⨯+=+>，即③正确．故选：A ．4．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a −，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C 、已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线经过原点O ； ②双纽线C 关于原点O 中心对称；③022a ay −剟；④双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个． A ．①②B ．①②③C ．②③D ．②③④【解答】解；根据双纽线C 2a =， 将0x =，0y =代入，符合方程，所以①正确；用(,)x y −−替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，②正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠…，亦即022a ay −剟，③正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，④错误． 故选：B ．5．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a −，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ．已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y −剟；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO ． A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①③【解答】解：根据双纽线C 2a =，用(,)x y −−替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，①正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠…，亦即022a ay −剟，②正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，③错误；因为121()2PO PF PF =+，所以2221121221||[||2||||cos ||]4PO PF PF PF F PF PF =+∠+由余弦定理可得，2221121224||2||||cos ||a PF PF PF F PF PF =−∠+22222121212||||||cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+∠=+∠…，所以|PO ，④正确．故选：B ．6．如图，设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点，已知OA OB ⊥，OM AB ⊥，则点M 的轨迹方程为( )A ．2220x y px +−=（原点除外）B ．2220x y py +−=（原点除外）C ．2220x y px ++=（原点除外）D ．2220x y py ++=（原点除外）【解答】解：设(,)M x y ，直线AB 的方程为y kx b =+， 由OM AB ⊥得x k y=−， 联立22y px =和y kx b =+消去y 得222(22)0k x x kb p b +−+=，所以2122b x x k=，所以22121212122()()()pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=，由OA OB ⊥得12120x x y y +=，所以2220b pbk k +=，所以2b kp =−， 所以(2)y kx b k x p =+=−，把xk y =−代入得2220(0)x y px y +−=≠，故选：A ．7．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( )A B ．3 C ．D ．4【解答】解：曲线422x y +=围成的平面区域，关于x ，y 轴对称，设曲线上的点(,)P x y ，可得3||2OP ． 所以曲线422x y +=围成的平面区域的直径为：3． 故选：B ．8．由曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积为( ) A ．24π+B ．28π+C ．44π+D ．48π+【解答】解：根据对称性，曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积等于在第一象限围成面积的4倍， 当0x …且0y …时222||2||x y x y +=+等价为2222x y x y +=+， 即22220x y x y +−−=， 即22(1)(1)2x y −+−=，圆心(1,1)C ，半径R ， 则ACO ∆的面积12112S =⨯⨯=，BCO ∆的面积1S =，在第一象限部分的面积211122S ππ=++⨯=+，则四个象限的面积为44(2)84S ππ=+=+， 故选：D ．9．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是( )A ．22(||1)(1)0x y x y −−−+=B ．( 22)(1)0x y −+=C ．2(||1)(10x y x −−−+=D ．(2)(10x −+=【解答】解：如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，选项A 等价于||10x y −−=或2210x y −+=，表示折线||1y x =−的全部和双曲线，故错误； 选项B 等价于22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…，或||10x y −−=，||10x y −−=表示折线||1y x =−的全部，故错误； 选项C 等价于22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…或2210x y −+=，22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…表示折线||1y x =−在双曲线的外部 （包括有原点）的一部分，2210x y −+=表示双曲线，符合题中图象，故正确； 选项D 等价于22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…或22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…， 22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…表示表示折线||1y x =−在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…表示双曲线在x 轴下方的一部分，故错误． 故选：C ．10．已知点集22{(,)|1}M x y y xy =−…，则平面直角坐标系中区域M 的面积是( ) A ．1B ．34π+C ．πD ．22π+【解答】解：当0xy …时，只需要满足21x …，21y …即可；当0xy >时，对不等式两边平方整理得到221x y +…，所以区域M 如下图．易知其面积为22π+．故选：D ．11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=．给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴 围成的矩形面积最大值为18；④四叶草面积小于4π． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【解答】解：四叶草曲线方程为22322()x y x y +=，将x 换为x −，y 不变，可得方程不变，则曲线关于y 轴对称；将y 换为y −，x 不变，可得方程不变，则曲线关于x 轴对称；将x 换为y ，y 换为x ，可得方程不变，则曲线关于直线y x =对称；将x 换为y −，y 换为x −，可得方程不变，则曲线关于直线y x =−对称； 曲线C 有四条对称轴，故①正确；由y x =与22322()x y x y +=联立，可得y x ==或y x ==C 上的点到原点的最大距离为12=，故②错误； 设曲线C 第一象限上任意一点为(,)x y ，(0,0)x y >>，可得围成的矩形面积为xy ，由222x y xy +…， 则223223()8()x y x y xy +=…，即18xy …，当且仅当x y =取得最大值，故③正确； 易得四叶草曲线在以原点为圆心，12为半径的圆内，故四叶草面积小于4π，则④正确． 故选：C ．12．曲线C 为：到两定点(2,0)M −、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为( )（1）曲线C 一定经过原点； （2）曲线C 关于x 轴、y 轴对称； （3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为64的矩形范围内． A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设(,)P x y 22(2)16x −+，对于（1），原点(0,0)代入方程，得2216⨯≠，即方程不成立， 则曲线C 一定经过原点，命题错误；对于（2），以x −代替x ，y −代替y 22(2)16x −−成立，16也成立，即曲线C 关于x 、y 轴对称，命题正确；对于（3），0x =，y =±MPN ∆的最大面积为1482⨯⨯=，命题正确；对于（4），令0y =，可得x =±，根据距离乘积为16可以得出x 的取值只可能在−到同理y 的取值只可能在−所以曲线C 在一个面积为= 综上，正确的命题有（2）（3），共2个． 故选：B ．二．多选题（共2小题）13．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a −，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．若点0(P x ，0)y 是轨迹C 上一点，则下列说法中正确的有( ) A ．曲线C 关于原点O 中心对称 B ．0x 的取值范围是[a −，]aC ．曲线C 上有且仅有一个点P 满足||||PA PB =D ．22PO a −的最大值为22a【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a −，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”． 故点(P x ，0)y 满足2a ，点(M x −，0)y −代入2a ，得2a ，故A 正确；对于B ：设x 轴上0x 范围的最大值为m x ，所以2()()m m x a x a a −+=，解得m x =，故0x 的范围为[]．故B 错误； 对于C ：若PA PB =，则点P 在AB 的垂直平分线上，即0P x =，设点(0,)P P y ，所以22a =，所以0P y =，即仅原点满足，故C 正确；对于2D a =， 化简得2222222()220x y a x a y +−+=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到222cos 2a ρθ=， 所以2PO 的最大值为22a ，22PO a −的最大值为2a ，故D 错误．故选：AC ．14．在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则( ) A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈−C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点1(0,)2【解答】解：当0x >，0y >时，曲线C 的方程为22422||4||x y x y +=++， 去掉绝对值化简可得22(1)1()142x y −+−=，将2214x y +=的中心平移到1(1,)2位于第一象限的部分， 因为点(,)x y −，(,)x y −，(,)x y −−都在曲线C 上， 所以曲线C 的图象关于x 轴、y 轴和坐标原点对称， 作出图象如图所示，由图可知曲线C关于原点对称，故选项A正确；令2214xy+=中的0y=，解得2x=，向右平移一个单位可得到横坐标为3，根据对称性可知33x−剟，故选项B错误；令2214xy+=中的0x=，解得1y=，向上平移12个单位可得纵坐标的最大值为32，曲线C第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=，所以曲线C围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C正确；令22(1)1()142xy−+−=中的0x=，可得12 y=所以到点1(0,)2，故选项D正确．故选：ACD．三．填空题（共6小题）15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y xy+=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C③曲线C所围成的“花形”区域的面积小于4．其中，所有正确结论的序号是②．【解答】解：①令0x =，方程化为：21y =，解得1y =±，可得点(0,1)±；令0y =，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,0)±；令x y =±，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,1)±±．由此可得：曲线C 恰好经过8个整点，因此不正确． ②221||2||xy x y xy +=+…，方程化为：||1xy …，∴曲线C 上任意一点到原点的距离d ==，即曲线C③由四个点(1,1)±±作为正方形的顶点，可得正方形的面积为4，曲线C 所围成的“花形”区域的面积大于4．其中，所有正确结论的序号是②． 故答案为：②．16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：根据题意，曲线22:1||C x y x y +=+，用(,)x y −替换曲线方程中的(,)x y ，方程不变，所以曲线C 关于y 轴对称，对于①，当0x …时，221||x y x y +=+，即为，2222112x y x y xy ++=++…，可得222x y +…， 所以曲线经过点(0,1)，(0,1)−，(1,0)，(1,1)，再根据对称性可知，曲线还经过点(1,0)−，(1,1)−，故曲线恰好经过6个整点，①正确；对于②，由上可知，当0x …时，222x y +…，即曲线C再根据对称性可知，曲线C ②正确；对于③，因为在x 轴上方，图形面积大于四点(1,0)−，(1,0)，(1,1)，(1,1)−围成的矩形面积122⨯=， 在x 轴下方，图形面积大于三点(1,0)−，(1,0)，(0,1)−围成的等腰直角三角形的面积12112⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误． 故答案为：①②．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322:()16C x y x y +=恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论： ①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2； ③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程22322()16(0)x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限． 其中正确结论的序号是 ②④ ．【解答】解：22223222()16()2x y x y x y ++=…，224x y ∴+…（当且仅当222x y ==时取等号）， 则②正确；将224x y +=和22322()16x y x y +=联立， 解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，， 则①和③都错误；由0xy <，得方程22322()16x y x y +=表示的曲线C 在第二象限和第四象限，故④正确． 故答案为：②④．18．曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =−的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是(0, ；又已知点(B a ，1)(a 为常数），那么||||PB PA +的最小值d （a ）= ． 【解答】解：（1）设动点(,)P x y|1|3x +=， ①当4x <−时，|1|3x +>，无轨迹；②当41x −−剟4x +，化为231015(1)2y x x =+−−厖，与y 轴无交点；③当1x >−2x −，化为223y x =−+，3(1)2x −<…． 令0x =，解得y =综上①②③可知：曲线C 与y轴的交点为(0,； （2）由（1）可知：231015,(1)2323,(1)2x x y x x ⎧+−−⎪⎪=⎨⎪−+−<⎪⎩剟…．如图所示，令1y =，则10151x +=，或231x −+=， 解得 1.4x =−或1．①当 1.4a −…或1a …时，||||||PA PB AB +…，d ∴（a）||AB ==； ②当11a −<<时，当直线1y =与2323(1)2y x x =−+−<…相交时的交点P 满足||||PA PB +取得最小值， 此抛物线的准线为2x =，∴直线1y =与准线的交点(2,1)Q ，此时d （a ）||2QB a ==−；③当 1.41a −<−…时，当直线1y =与231015(1)2y x x =+−−剟相交时的交点P 满足|||PA PB +取得最小值，此抛物线的准线为4x =−，∴直线1y =与准线的交点(4,1)Q −，此时d （a ）||4QB a ==+．综上可知：d （a） 1.414, 1.412,1 1.a a a a a a −=+−<−⎨⎪−−<<⎪⎩或剠…19．已知点(A B ，动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ=，则点P 的轨迹方程为2213x y += ． 【解答】解：由2||||cos 12PA PB θ=，(0,)θπ∈，则1cos ||||12PA PB θ+=，||AB = 所以|||||||||cos 2PA PB PA PB θ+=，而在三角形ABP 中22222||||||||||8cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+−+−==，所以可得22||||||||62PA PB PA PB ++=，而222||||(||||)2||||PA PB PA PB PA PB +=+−，所以可得2(||||)12PA PB +=，所以||||PA PB +=||AB ，所以可得P的轨迹为椭圆，且长轴长2a =2c =x 轴上，中心在原点的椭圆，即a =c =2221b a c =−=，所以P 的轨迹方程为：2213x y +=，故答案为：2213x y +=．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥（如图所示）．则AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为2233y x =+；【解答】解：显然直线AB 的斜率存在，记为k ，AB 的方程记为：y kx b =+，(0)b ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线方程代入2y x =得：20x kx b −−=，则有：△240k b =+>①，12x x k +=②，12x x b =−③，又211y x =，222y x =212y y b ∴=；AO BO ⊥，12120x x y y ∴+=，得：20b b −+=且0b ≠，1b ∴=，代入①验证，满足；故21212()22y y k x x k +=++=+； 设AOB ∆的重心为(,)G x y ，则1233x x k x +==④，212233y y k y ++==⑤， 由④⑤两式消去参数k 得：G 的轨迹方程为2233y x =+． 故答案为：2233y x =+． 四．解答题（共5小题）21．如图，直线1l 和2l 相交于点M ，12l l ⊥，点1N l ∈．以A ，B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等．若AMN ∆为锐角三角形，||AM =||3AN =，且||6BN =．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．【解答】解：法一：如图建立坐标系，以1l 为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点． 设曲线段C 的方程为22(0)y px p =>，(A B x x x 剟，0)y >， 其中A x ，B x 分别为A ，B 的横坐标，||p MN =． 所以(2p M −，0)，(2pN ，0)．由||AM =||3AN =得 2()2172A A p x px ++=，① 2()292A A p x px −+=．② 由①，②两式联立解得4A x p =．再将其代入①式并由0p >解得421 2.A Ap p x x ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 因为AMN ∆是锐角三角形，所以2A px >，故舍去22Ap x =⎧⎨=⎩ 所以4p =，1A x =．由点B 在曲线段C 上，得||42B px BN =−=． 综上得曲线段C 的方程为 28(14,0)y x x y =>剟．解法二：如图建立坐标系，分别以1l 、2l 为x 、y 轴，M 为坐标原点．作1AE l ⊥，2AD l ⊥，2BF l ⊥，垂足分别为E 、D 、F ． 设(A A x ，)A y 、(B B x ，)B y 、(N N x ，0)． 依题意有||||||3A x ME DA AN ====，||A y DM =，由于AMN ∆为锐角三角形，故有 ||||N x ME EN =+||4ME = ||||6B x BF BN ===．设点(,)P x y 是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，222)|()N y x x y x −+=，A B x x x 剟，0}y >．故曲线段C 的方程为28(2)(36y x x =−剟，0)y >．22．已知双曲线2212x y −=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点1(P x ，1)y ，1(Q x ，1)y −是双曲线上不同的两个动点．求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程．【解答】解：由题设知1||x 1(A 0)，2A 0)， 直线1A P 的斜率为1k =，∴直线1A P 的方程为y x =，⋯①同理可得直线2A Q 的方程为y x ．⋯②将①②两式相乘，得222121(2)2y y x x =−−．⋯③点1(P x ，1)y 在双曲线2212x y −=上，∴221112x y −=，可得22211111(2)22x y x =−=−，⋯④ 将④代入③，得21222211(2)12(2)122x y x x x −=−=−−，整理得2212x y +=，即为轨迹E 的方程． 点P 、Q 不重合，且它们不与1A 、2A 重合，x ∴≠，轨迹E的方程为221(2x y x +=≠23．设圆C与两圆22(4x y ++=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切，求圆心C 的轨迹L 的方程．【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为1(F 0)、2F 0)， 由题意得：12||2||2CF CF +=−或21||2||2CF CF +=−，2112||||||42||2CF CF a F F c ∴−==<=，可知圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴为4，焦距为 因此2a =，c =2221b c a =−=， 所以轨迹L 的方程为2214x y −=．24．已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，Q 是椭圆外的动点，满足1||10FQ =．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF =，2||0TF =． （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明14||55F P x =+； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△12F MF 的面积9S =，求12F MF ∠的正切值；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：设点P 的坐标为(,)x y ． 记1122||,||F P r F P r ==，则12r r = 由22121211410,16,55r r r r x F P r x +=−===+得；（Ⅱ）解：设点T 的坐标为(,)x y ．当||0PT =时，点(5,0)和点(5,0)−在轨迹上． 当200PT TF ≠≠且时，由20PT TF =，得2PT TF ⊥． 又2||||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点． 在△12QF F 中，11||||52OT FQ ==，所以有2225x y +=． 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是2225x y +=；（Ⅲ）结论：在点T 的轨迹C 上，存在点M 使△12F MF 的面积9S =，此时12F MF ∠的正切值为2． 理由如下：C 上存在点0(M x ，0)y 使9S =的充要条件是22000254||9x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，显然09||54y =<，∴存在点M ，使9S =； 不妨取094y =，则10(4MF x =−−，9)4−，20(4MF x=−，9)4−， 121212||||cos MF MF MF MF F MF =∠0(4x =−−，09)(44x −−，9)4−220916()4x =−+21 / 21 2209()164x =+− 25169=−=， 又12121||||sin 92S MF MF F MF =∠=， 121212121||||cos ||||sin 2MF MF F MF MF MF F MF ∴∠=∠， 12tan 2F MF ∴∠=．。
时域分析法与根轨迹练习题
1． 自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是____________，另一个是__________分量。
2． 函数f(t)=te63-的拉氏变换式是________________________________。
3． 积分环节的传递函数表达式为G （s ）=_________________________。
4．在斜坡函数的输入作用下，___________型系统的稳态误差为零。
四、控制系统结构图如图2所示。
（1）希望系统所有特征根位于s 平面上s ＝－2的左侧区域，且ξ不小于0.5。
试画出特征根在s 平面上的分布范围（用阴影线表示）。
（2）当特征根处在阴影线范围内时，试求,K T 的取值范围。
（20分）五、已知系统的结构图如图3所示。
若()21()r t t =⨯时，试求（1）当0f K =时，求系统的响应()c t ，超调量%σ及调节时间s t 。
（2）当0f K ≠时，若要使超调量%σ＝20％，试求f K 应为多大？并求出此时的调节时间s t 的值。
（3）比较上述两种情况，说明内反馈f K s 的作用是什么？ （20分）图3六、系统结构图如图4所示。
当输入信号()1()r t t =，干扰信号()1()n t t =时，求系统总的稳态误差e ss 。
（15分）图41、 根轨迹是指_____________系统特征方程式的根在s 平面上变化的轨迹。
2、 线性系统稳定的充分必要条件是闭环传递函数的极点均严格位于s______________半平面3、在二阶系统中引入比例-微分控制会使系统的阻尼系数________________。
9、已知单位反馈系统的开环传递函数50 ()(0.11)(5)G ss s s=++，则在斜坡信号作用下的稳态误差为_________。
3、某控制系统的方框图如图所示，试求(16分)(1)该系统的开环传递函数)(sGk、闭环传递函数)()(sRsC和误差传递函数)()(sRsE。
第四章 根轨迹分析习题参考答案
-2j
-3j
4-11 绘出多项式方程的根轨迹 ① s3 2s2 3s Ks 2K 0
解： G(s) K (s 2) K (s 2)
K (s 2)
s3 2s 2 3s s(s 2 2s 3) s(s 1 j 2)(s 1 j 2)
①开环极点：P1=0，P2 1 j 2 开环零点：z1=-2 三条根轨迹
②实轴上根轨迹 （-∞，-3.5），[-1,0]
③渐近线交点、夹角
a
1 3.5 3 2 j 5
32j
2.1
a
(2k 1)
5
36
108
180
渐近线与虚轴的交点： a 2.1tan 36 1.5
④分离点，在[-1，0]之间存在分离点 特征方程：1 G(s) 0
s(s 1)(s 3.5)(s 2 6s 13) K * 0
1
180
渐近线为负实轴
④出射角：
4j
p1
180
arc tan 4 2
90
90
63.4
153.4
3j
p2 -153 .4
2j
⑤分离点：
1j
1 G1(s) s 2 4s 20 b(s 4) 0
-4 -3 -2 -1 -1j
b s 2 4s 20
-2j
(s 4)
-3j
db (2s 4)(s 4) (s2 4s 20) s2 8s 4
0
-4j
ds
(s 4)2
(s 4)2
- 8.4 b1,2 4 2 5 4 4.4 0.（4 舍）
153.4°
4j 3j 2j 1j
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1j -2j -3j -4j
根轨迹典型习题知识讲解
根轨迹典型习题1、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s 5.0)(1s 2.0(s k)s (G ++=，试概略绘出系统根轨迹。
解： )2s )(5s (s K10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++=三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]5,-∞-, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--=σ,33)1k 2(373520a a③ 分离点：02d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。
④ 与虚轴的交点： 特征方程为0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++=令 ⎩⎨⎧=ω+ω-=ω=+ω-=ω010)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[32 解得⎩⎨⎧==ω7k 10与虚轴的交点（0，j 10±）。
根轨迹如图所示。
2、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s 2(s )1s (k )s (G ++=，试概略绘出系统根轨迹。
解： )21s (s 2)1s (K )1s 2(s )1s (K )s (G ++=++=根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0-② 分离点： 1d 15.0d 1d 1+=++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。
根轨迹如图所示。
3、已知单位反馈系统的开环传递函数)3s )(2s (s )5s (k )s (G *+++=，试概略绘出系统根轨迹。
解：① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点：5131211+=++++d d d d 用试探法可得 886.0-=d 。
根轨迹如图所示。
4、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++=，试概略绘出系统根轨迹。
自动控制原理
第一章绪论随堂练习提交截止时间：2020-06-14 23:59:59当前页有10题，你已做10题，已提交10题，其中答对10题。
1.(单选题) 闭环系统的特点不包含下列哪项（）。
A．负反馈B．控制精度较低C．可减少或消除偏差D．适应性好答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：2.(单选题) 系统采用负反馈形式连接后，则( )。
A．一定能使闭环系统稳定B．系统动态性能一定会提高C．一定能使干扰引起的误差逐渐减小，最后完全消除D．需要调整系统的结构参数，才能改善系统性能答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：3.(单选题) 自动控制系统中根据某种函数规律变换控制信号，以利于改善系统的动态品质或静态性能的元件是（）。
A．比较元件B．校正元件C．测量反馈元件D．执行元件答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.(单选题) 闭环控制系统的基本环节有给定输入、比较元件、控制对象、执行元件、（）等环节。
A.测量反馈元件B.积分元件C.微分元件D.比例元件答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：5.(单选题) 火炮自动瞄准系统的输入信号是任意函数，这就要求被控量高精度地跟随给定值变化，这种控制系统叫（）。
A.恒值调节系统B.离散系统C.随动控制系统D.数字控制系统答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：6.(单选题) 随动系统对（）要求较高。
A.快速性B.稳定性C.准确性D.振荡次数答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：7.(单选题) 衡量系统稳态精度的重要指标时（）A．稳定性B．快速性C．准确性D．安全性答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：8.(单选题) 下面不属于对控制系统基本要求的是（）A 稳定性；B 快速性；C 准确性；D 预测性答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：9.(单选题) 自动控制的基本方式不包括（）。
自控 根轨迹法习题及答案
1第四章 根轨迹法习题及答案1系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于31j s +-=，由相角条件=∠)()(11s H s G=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j jππππ-=---6320满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：1431231131)(*11=++-⋅++-⋅++-=j j j K s H s G ）（解出 ： 12*=K ， 238*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
2解根轨如图解4-2所示：3已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：（1）确定)20)(10()()(2+++=*ssszsKsG产生纯虚根为1j±的z值和*K值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(jsjssssKsG-+++++=*的闭环根轨迹图（要求3确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。
解（1）闭环特征方程020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D有 0)30()200()(324=-++-=**ωωωωωK j z K j D令实虚部分别等于零即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-**0300200324ωωωωK z K 把1=ω代入得： 30=*K ， 30199=z 。
（2）系统有五个开环极点：23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-==① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15(21)3,,555a a j j k σπππϕπ--+-++--⎧==-⎪⎪⎨+⎪==±±⎪⎩③ 分离点：02312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=*05.455.43 )Im(05.795.10)Re(3524ωωωωωωωj K j解得：⎩⎨⎧==*00K ω ，⎩⎨⎧=±=*90.7102.1K ω，⎩⎨⎧-=±=*3.1554652.6K ω（舍去）⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为74..923..1461359096..751804=----=p θ由对称性得，另一起始角为74.92，根轨迹如图解4-6所示。
第4章 根轨迹分析法 参考答案(基础教育)
习题4.1 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A)A *(2)(1)K s s s -+B *(1)(5)K s s s -+C *2(31)K s s s -+D *(1)(2)K s s s --4.2 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A)A 闭环零点和极点B 开环零点C 闭环极点D 阶跃响应4.3 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为*()()(6)(3)K G s H s s s s =++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)；(2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。
解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。
系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。
实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为()()36 33a σ-+-==-，() (0)321 (1)3 (2)3a k k k k πϕππ⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩求分离点方程为111036d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。
显然分离点位于实轴上[]3,0-间，故取2 1.268d =-。
求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为32*()9180D s s s s K =+++=令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有[][]2*3Re (j )(j )190Im (j )(j )1180G H K G H ωωωωωωω⎧+=-+=⎪⎨+=-+=⎪⎩解之得 *00K ω=⎧⎨=⎩、*32162K ω⎧=±⎪⎨=⎪⎩显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。
根轨迹与虚轴的交点为j32s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。
根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第三个闭环极点可由根之和法则求得1233036j32j32λλλλ--=++=+解之得39λ=-。
自动控制习题
第一章自动控制概论一、单项选择题1、采用负反馈形式连接后（)。
（分数:2分）A. 一定能使闭环系统稳定B。
系统动态性能一定会提高C。
一定能使干扰引起的误差逐渐减小,最后完全消除D。
需要调整系统的结构参数,才能改善系统性能正确答案：D2、按系统结构来分，控制系统可分为:开环控制，闭环控制和（）。
（分数：2分) A。
温度控制B。
压力控制C。
流量控制D。
复合控制正确答案：D3、恒值控制系统的参考量为（）。
(分数:2分)A。
常数B. 无规律变化C. 按程序设定变化D. 0 A第二章控制系统的数学模型一、单项选择题1、方框图化简时，串联连接方框总的输出量为各方框输出量的( ）。
（分数：2分）A. 代数和B. 乘积C。
平均值D. 加权平均值正确答案：B2、单位阶跃信号1（t)的拉氏变换为（）。
(分数：2分)A。
1B. 1/sC. sD. 1/（Ts+1）正确答案：B3、如果单回路单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)，则其闭环传递函数为:( ）。
(分数：2分）A。
G（s）/[1+G(s)］B. G(s)/[1+G(s）H（s）]C。
1/[1+G(s)]D。
1/［1+G(s）H(s)]正确答案:A4、方框图化简时，并联连接方框总的输出量为各方框输出量的（）。
（分数：2分)A. 代数和B. 乘积C. 平均值D. 加权平均值正确答案：A5、令线性定常系统闭环传递函数的分母多项式为零，则可得到系统的（ ). (分数：2分）A. 代数方程B. 差分方程C。
特征方程D. 状态方程正确答案：C6、线性定常系统的传递函数是在零初始条件下（ )。
(分数:2分）A。
系统输出信号与输入信号之比B。
系统输入信号与输出信号之比C。
系统输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比D。
系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比正确答案:D7、线性定常系统的传递函数由（）决定。
（分数：2分）A。
输入信号的形式B。
初始条件C。
自动控制原理-第四章-根轨迹
snm 1 p1 1 pn
s
s
0
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s
s
s pi i 1, 2, n
K*
s p1 s pn
snm 1 p1 1 pn
s
s
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s(0.5s 1) s(s 2)
通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进行 分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨 迹图，这对高阶系统将是很繁重的和不现实的。
为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函 数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的内容。
① (s1 p2 ) 、(s1 p3 ) 两向量对称于实轴，引起的相角大小 相等、方向相反； (s1 z2 ) 、(s1 z3 ) 两向量也对称于实轴，引起的相角大 小相等、方向相反;
∴ 判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。
② 位于s1左边的实数零、极点：(s1 z1) 、(s1 p4) 向量引起的相
GK
(s)
kg s(s 1)
解：判断某点是否在根轨迹上，应使用相角条件。求某点对应的根轨迹增益值，应使用 幅值条件。
s1 ： m (s zi ) n (s p j ) 0 (s1 p1) (s1 p2 )
i 1
j 1
s1 (s1 1) 135 90 225
s2： 0 (s2 p1) (s2 p2) (116.6 ) (63.4 ) 180
根轨迹法
相遇又分开，该点为二重根。三条根轨迹相遇又分开，该点为为三重根等等。重根的确
定可以借助于代数重根法则。
代数重根法则
已知 n 次代数方程为
f (x) = xn + an−1xn−1 + Λ + a1x + a0 x = 0
(4-14)
方程(4-14)有 n 个根。
如果方程(4-14)的 n 个根全部是单根，则满足其导数方程 f ′(x) = 0 的根不是原方程
实轴分离点和会合点的判别 (1)如果实轴上相邻开环极点之间是根轨迹(由实轴根轨迹的判别得到)，则该段根轨 迹上必有分离点(向复平面出射)见图 4-7(a)； (2)如果实轴上相邻开环零点( 包括无穷远零点)之间是根轨迹，则该段根轨迹上必 有会合点(来自复平面)见图 4-7(b)。 (3)如果实轴上根轨迹在一个开环零点与一个开环极点之间，则存在两种情况，或者 既无分离点也无会合点，或者既有分离点也有会合点，如图 4-7(c)、(d)所示。
迹是如何作出的？s 平面上的哪些点在根轨迹上？如何根据系统的根轨迹图来分析自动 控制系统等问题就是本章要解决的问题。
一般控制系统
一般系统的结构图如图 = G(s)H (s)
(4-1)
闭环传递函数为
R(s) + -
C(s) G(s)
H(s)
图 4-3 一般系统
所示。
当增益 K g > 0.25 后，闭环极点为
kg→∞
kg=0.5 kg=0.25 kg=0 -1 -0.5
kg=0.5
jω s 平面
σ 0
kg=0
s1,2
=
−
1 2
±
1 2
1− 4Kg
共 轭 复 数 根 的 实 部 为 常 数 值 -0.5 ， 虚 部 随 着
3.1.1第2课时 轨迹问题 练习册答案
第2课时 轨迹问题1.D [解析] ∵|F 1F 2|=8,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=8,∴点M 在线段F 1F 2上.故选D .2.C [解析] 设点P 的坐标为(x ,y ),由题意得|x|=|y|,即y=±x.故选C .3.C [解析] 设点P (x 0,y 0)为圆x 2+y 2=1上的点,点P 经过变换后对应的点为P'(x ,y ),则x=3x 0,y=2y 0,又因为x 02+y 02=1,所以所得曲线的方程为x 29+y 24=1.故选C .4.B [解析] 设G (x ,y )(y ≠0),P (m ,n ),易知F 1(-2√2,0),F 2(2√2,0),∵G 为△PF 1F 2的重心,∴{x =m3,y =n 3,∴{m =3x ,n =3y ,∴P (3x ,3y ),又P 在椭圆E :x 29+y 2=1上,∴(3x )29+(3y )2=1(y ≠0),即x 2+9y 2=1(y ≠0),∴G 的轨迹方程为x 2+9y 2=1(y ≠0).故选B .5.C [解析] ∵a>0,∴a+9a≥2×3=6=|F 1F 2|(当且仅当a=3时取等号),∴当a+9a=6时,点P 的轨迹为线段,当a+9a>6时,点P 的轨迹为椭圆.故选C .6.C [解析] 根据正弦定理,可得|BA|+|BC|=2|AC|=4>|AC|,所以点B 在以A ,C 为焦点,4为长轴长的椭圆上,其方程为x 24+y 23=1,又A ,B ,C 为三角形的顶点,所以动点B 的轨迹方程为x 24+y 23=1(y ≠0),故选C . 7.B [解析] 圆x 2+y 2=1与坐标轴的交点为A ,B ,C ,D ,不妨设A (-1,0),B (1,0),C (0,-1),D (0,1),则A ,B 为椭圆x 24+y 23=1的焦点,而P 为椭圆x 24+y 23=1上一点,所以|PA|+|PB|=4.因为|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=8,所以|PC|+|PD|=4,又|PC|+|PD|=4>|CD|=2,所以根据椭圆的定义知点P 在以C ,D 为焦点的椭圆上,其方程为x 23+y 24=1,由{x 24+y 23=1,x 23+y 24=1,消去x 2得y 2=127,则|y|=2√217,故点P 到x 轴的距离为2√217.故选B .8.AC [解析] 对于A,若定点F 1,F 2满足|F 1F 2|=8,动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=8=|F 1F 2|,则动点P 的轨迹为以F 1,F 2为端点的线段,所以A 中说法不正确;对于B,若定点F 1,F 2满足|F 1F 2|=8,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=10>|F 1F 2|,由椭圆的定义,可得动点M 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的椭圆,所以B 中说法正确;对于C,当4-k=k-1,即k=52时,曲线C :x 24-k +y 2k -1=1表示圆,所以C 中说法不正确;对于D,若动点M 的坐标满足方程x 24+y 22=1,则点M 的轨迹是椭圆,其中a 2=4,b 2=2,可得c=√a 2-b 2=√2,所以焦点坐标为(±√2,0),所以D 中说法正确.故选AC .9.AD [解析] 对于A,由√(x +1)2+y 2+√(x -1)2+y 2=4,得|PF 1|+|PF 2|=4>|F 1F 2|=2,所以点P 的轨迹为以F 1,F 2为焦点的椭圆,且2c=2,2a=4,则c=1,a=2,b=√a 2-c 2=√3,故点P (x ,y )的轨迹方程为x 24+y 23=1,故A 正确;对于B,D,因为14+13<1,所以点A (-1,1)在椭圆内,所以|PA|+|PF 2|=|PA|+2a-|PF 1|≤2a+|AF 1|=4+1=5,当且仅当F 1在线段PA 上时等号成立,|PA|+|PF 1|=|PA|+2a-|PF 2|=4+|PA|-|PF 2|,由||PA|-|PF 2||≤|AF 2|,得-√5≤|PA|-|PF 2|≤√5,所以|PA|+|PF 1|=4+|PA|-|PF 2|≥4-√5>1,当且仅当P 在F 2A 的延长线上时等号成立,故B 错误,D 正确;对于C,S △PAF 1=12|AF 1|h=12×1×h=ℎ2,其中h 为点P 到直线AF 1的距离,若S △PAF 1=ℎ2=32,则h=3,又当点P 为(2,0)时,此时h 取到最大值3,故满足条件的点P 只有一个,故C 错误.故选AD .10.4π [解析] 以A 为原点,直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系,则B (3,0).设M (x ,y ),依题意得√x 2+y 2√(x -3)+y 2=2,化简整理得x 2+y 2-8x+12=0,即(x-4)2+y 2=4,则点M 的轨迹为圆,围成区域的面积为4π.11.x 216+y 212=1或y 216+x 212=1 [解析] 因为椭圆以点B ,C 为焦点,经过点A ,则2c=4,a=4,即c=2,a=4,所以b=√a 2-c 2=√16-4=2√3.若椭圆的焦点在x 轴上,则椭圆的标准方程为x 216+y 212=1;若椭圆的焦点在y 轴上,则椭圆的标准方程为y 216+x 212=1.12.x 24+y 23=1(x ≠±2) [解析] 取点E (-1,0),连接ME.设线段FM 的中点为P ,圆P 与圆O 内切于点Q ,连接OP ,PQ.易知O ,P ,Q 三点共线,因为O ,P 分别为线段EF ,MF 的中点,所以|ME|=2|OP|,所以|ME|+|MF|=2|OP|+2|PQ|=2|OQ|=4>|EF|,故点M 的轨迹是以E ,F 为焦点的椭圆(除去与x 轴的交点),且2a=4,则a=2,又c=1,则b=√a 2-c 2=√3,故动点M 的轨迹方程为x 24+y 23=1(x ≠±2).13.解:当A ,B ,C 三点共线时,若C 在A 的右侧,则由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,结合|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,可得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,故C (0,0),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)+(1,0)=(3,0),则P (2,0). 同理,若C 在A 的左侧,则|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,故C (-4,0),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)+(-3,0)=(-1,0),故P (-2,0). 当A ,B ,C 三点不共线时,因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以四边形ACPB 是平行四边形,所以|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 由|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,得|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4>2,所以P 的轨迹是以A ,B 为焦点的椭圆(除去与x 轴的交点),且a=2,c=1,b=√3,所以P 的轨迹方程为x 24+y 23=1(y ≠0). 综上,P 的轨迹方程为x 24+y 23=1.14.解:设M (x 0,y 0),因为M 在圆x 2+y 2=4上,所以x 02+y 02=4.设R (x ,y ),又NR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=x 0,y=12y 0, 即x 0=x ,y 0=2y ,将其代入x 02+y 02=4可得x 2+(2y )2=4,化简得x 24+y 2=1,故点R 的轨迹方程为x 24+y 2=1.15.x 24+y 23=1 [解析] 由题意,不妨令C (-1,0),A (1,0),设折痕与A'C 和AA'分别交于M ,N 两点,则MN ⊥AA',连接MA ,所以|MA'|=|MA|,所以|MA|+|MC|=|MA'|+|MC|=|A'C|=4>|AC|=2,故所有折痕与A'C 的交点M 的轨迹为以C ,A 为焦点的椭圆,故曲线S 的方程为x 24+y 23=1.16.x 24+y23=1(xy ≠0) [解析] 设△ABC 的内角A ,B 所对的边分别为a ,b ,C (x ,y )(y ≠0),因为GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以G 是△ABC 的重心.因为GP ⃗⃗⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)(λ>0),即GP ⃗⃗⃗⃗⃗ -GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)(λ>0),所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)(λ>0),所以点P 在∠BAC 的平分线上.因为∠ACB 的平分线与点P 的轨迹相交于点I ,所以点I 为△ABC 的内心,所以点I 的坐标为(-a+b+2x a+b+2,a×0+b×0+2y a+b+2),即(-a+b+2x a+b+2,2ya+b+2),又GI ⃗⃗⃗⃗ =μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以GI ⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以GI 与x 轴平行,又G (x 3,y 3),所以2y a+b+2=y 3,所以a+b=4>|AB|,所以点C 的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆.当C 是椭圆长轴的端点时,不能构成三角形,不符合题意,当C 是椭圆短轴的端点时,GI ⃗⃗⃗⃗ =0,与存在非零实数μ,使得GI ⃗⃗⃗⃗ =μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 矛盾,不符合题意.椭圆的焦距为2,长轴长为4,可得椭圆的方程为x 24+y 23=1,所以顶点C 的轨迹方程为x 24+y 23=1(xy ≠0).。
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1. 设系统开环传递函数为：12*()()H(s)=
(22)
K s z G S s s s -++当附加的开环实数零点1z 趋近无穷时，对应的根轨迹图为
2. 选出下例中正确的根轨迹图是
3. 下面关于稳定性的叙述不正确的有
A. 如果闭环极点全部位于S 左半平面，则系统一定是稳定的。
B. 系统稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。
C. 附加位置适当的开环零点，可以改善系统的稳定性能。
D. 线性系统的稳定性与输入信号的类型有关。
4. 系统的瞬态响应的基本特征取决于系统（）在S 复平面上的位置。
A. 开环零点
B.开环极点
C. 闭环零点
D.闭环极点
5．选出下例中正确的根轨迹图是
6．选出下例中正确的根轨迹图是
7．选出下例中正确的根轨迹图是
8．选出下例中正确的根轨迹图是
9．选出下例中正确的根轨迹图是。