等比数列定义及性质
等比数列的定义和性质等差数列和等比数列的区别和联系
等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
1、定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
2、性质：在等比数列｛a n｝中，有（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a m a n=a p a q；当m+n=2p时，a m a n=a p2；（2）若m，n∈N*，则a m=a n q mn；（3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列；（4）下标成等差数列的项构成等比数列；（5）1）若a1＞0，q＞1，则｛a n｝为递增数列；2）a1＜0，q＞1，则｛a n｝为递减数列；3）a1＞0，0＜q＜1，则｛a n｝为递减数列；4）a1＜0，0＜q＜1，则｛a n｝为递增数列；5）q＜0，则｛a n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a n｝为常数列。
3、证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或a n2=a n1a n+1）。
等比数列的性质：在等比数列｛a n｝中，有（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a m a n=a p a q；当m+n=2p时，a m a n=a p2；（2）若m，n∈N*，则a m=a n q mn；（3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列；（4）下标成等差数列的项构成等比数列；（5）1）若a1＞0，q＞1，则｛a n｝为递增数列；2）a1＜0，q＞1，则｛a n｝为递减数列；3）a1＞0，0＜q＜1，则｛a n｝为递减数列；4）a1＜0，0＜q＜1，则｛a n｝为递增数列；5）q＜0，则｛a n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a n｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：如何证明一个数列是等比数列：证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或a n2=a n1a n+1）。
等比数列的概念
等比数列的概念等比数列是数学中常见的一种数列形式，也是数列研究中的基础概念之一。
它具有一定的规律性和特殊的增长方式，其中的每一项都是前一项与公比的乘积。
本文将围绕等比数列的概念展开，探讨其定义、性质以及应用。
一、定义等比数列是指数列中每一项等于其前一项与公比的乘积。
通常用a，ar，ar^2，ar^3，……表示其中的项。
其中，a为首项，r为公比，n为项数。
二、性质1. 比值性质：等比数列中任意两项的比值都相等，即对于任意的正整数i，j，有an/aj = a(i-j)2. 通项公式：对于等比数列中的第n项an，可以利用首项和公比的值来求解通项公式。
通项公式为an = ar^(n-1)3. 等比数列的和：等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式求解：Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)4. 当公比r在区间(-1,1)之间时，等比数列的项数趋于无穷大时，其和会收敛到一个有限值。
而当公比r大于1或小于-1时，等比数列的和则会趋向于正无穷或负无穷。
这一性质在数学和实际问题中都有重要的应用。
三、应用1. 财务问题：在一些财务问题中，等比数列可以用来描述投资的复利增长情况。
例如，银行中的定期存款，每年的利息都是本金的一定比例。
2. 自然科学：在自然科学中，一些循环性或增长性的现象也可以通过等比数列来描述。
例如，生物中的菌落扩张、细胞分裂等。
3. 几何问题：等比数列在几何问题中也有重要的应用。
例如，在一些几何图形的构造中，通过等比数列可以得到一些特殊的比例关系。
另外，用等比数列可以计算球体的体积、三角形的面积等。
4. 理财规划：在个人理财规划中，等比数列也有一定的应用。
例如，通过等比数列可以计算每年的收入增长情况，以制定更为合理的财务计划。
总结：等比数列是数学中一种常见的数列形式，它具有一定的规律性和特殊的增长方式。
通过等比数列的定义、性质以及应用的讨论，我们可以更加全面地理解和应用等比数列。
无论是在数学学习中还是实践中，掌握好等比数列的概念对于解决问题具有重要的意义。
等比数列
2.若 p+q=r+s(p、q、r、s∈N*), 则 apaq=aras . 特别地, 若 m+n=2p, 则 aman=ap2 . 3.等比中项 如果在两个数 a、b 中间插入一个数 G, 使 a、G、b 成等比 数列, 则 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
G= ab . 4.若数列 {an} 是等比数列, m, p, n 成等差数列, 则 am, ap, an 成等比数列. 5.顺次 n 项和性质 若 {an} 是公比为 q 的等比数列, 则 k a , a , a 也成等 =1 k k=n+1 k k=2n+1 k 比数列, 且公比为 qn. an 6.若数列 {an}, {bn} 是等比数列, 则数列 {anbn}, { } 也是等 bn 比数列.
课后练习题
1.四个正数, 前三个数成等差数列, 其和为 48, 后三个数成 等比数列, 其最后一个数是 25, 求此四数. 解: 由已知可设前三个数为 a-d, a, a+d(d 为公差)且 a+d>0. ∵后三数成等比数列, 其最后一个数是 25,
∴a-d+a+a+d=48, 且 (a+d)2=25a.
+2 S (n=1, 2, 7.数列 {an} 的前 n 项和记为 Sn, 已知 a1=1, an+1= nn n S 3,…), 证明: (1)数列 { n } 是等比数列; (2) Sn+1=4an. n Sn n-1 (2)证法2: 由(1)知 n =2 . ∴Sn=n2n-1 . ∴Sn+1=(n+1)2n. ∵an=Sn-Sn-1=n2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2 (n≥2). 而 a1=1 也适合上式,
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
等比数列概念及性质
an am q
变通公式
nm
( n, m N )
*
性质1：设an , am为等比数列an 中任意两项， 且公比为q，则an am q
证明
nm
.
设等比数列an 的首项为a1 , 公比为q， 则有an a1q , am a1q
n 1 m 1
an nm nm 从而 q , 即an am q . am
例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知
a 3 20, a 6 160
求an.
四. 应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗?
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
例3.已知等比数列an 的首项为a1 , 公比为q，依次取出数列an 中所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？
变式1：如果依次取出a1 , a4 , a7 , a10 ,构成一个新数列， 该数列是否还是等比数列？
思考：你能得到更一般的结论吗？
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；× ③a，a，a，…，a； ×
④已知a1=2，an=3an+1 ； √
⑤
m, 2m, 4m ,8m ,... ×
2
3
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a，8；(2)－4，b，c， . 2
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特 点？ 正负交替
第二课时
二、新课
等比数列性质公式总结
等比数列性质公式总结引言在数学中，数列是由一系列有序的数字按一定规律排列而成的序列。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将重点总结等比数列的性质公式。
等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项（除首项外）都与它前一项成等比关系的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么该数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)，其中an为第n项。
性质公式一：第n项公式等比数列的第n项公式可通过通项公式进行推导。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么第n项an可表示为：an = a * r^(n-1)这个公式可以帮助我们在已知公比和首项的情况下，快速计算出任意一项的值。
性质公式二：前n项和公式等比数列的前n项和公式可以帮助我们计算等比数列前n项的和。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么前n项的和Sn可表示为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)性质公式三：通项公式与首项之间的关系在等比数列中，通项公式与首项之间存在一定的关系。
设等比数列的通项公式为an = a * r^(n-1)，那么首项a可表示为：a = an / r^(n-1)这个公式可以帮助我们在已知公比、任意一项的值以及项数的情况下，求解出首项的值。
性质公式四：公比和项数之间的关系在等比数列中，公比和项数之间也存在一定的关系。
设等比数列的通项公式为an = a * r^(n-1)，那么公比r可表示为：r = (an / a)^(1 / (n-1))这个公式可以帮助我们在已知首项、任意一项的值以及项数的情况下，求解出公比的值。
性质公式五：等比数列的特殊性质等比数列还有一些特殊性质，如首项为1，公比为正数，则数列的前n项和公式可以简化为：Sn = (1 - r^n) / (1 - r)其中，r不等于1。
总结等比数列是数学中常见的数列类型之一，我们通过总结上述性质公式，可以更好地理解和应用等比数列。
这些性质公式包括了等比数列的第n项公式、前n项和公式以及通项公式与首项之间的关系等。
等比数列的定义和通项公式
等比数列的定义和通项公式一、等比数列的定义和通项公式1、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。
（1）等比数列中任一项都不为0，且公比$q≠0$。
（2）若一个数列为常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，0，$\cdots$。
2、等比数列的通项公式（1）通项公式若等比数列${a_n}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则这个等比数列的通项公式是$a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$。
在记忆公式时，要注意$q$的指数比项数$n$小1这一特点。
注：由$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，可推出$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$。
所以有：① 在已知等比数列${a_n}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。
②已知等比数列${a_n}$中的$a_m$和$a_n$两项，就可以使用$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$求出公比。
（2）等比数列中项的正负对于等比数列${a_n}$，若$q<0$，则${a_n}$中正负项间隔出现，如数列1，-2，4，-8，16，$\cdots$；若$q>0$，则数列${a_n}$各项同号。
综上，等比数列奇数项必同号，偶数项也同号。
3、等比中项如果在$a$与$b$中间插入一个数$G（G≠0）$，使$a$，$G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项。
若$G$是$a$与$b$的等比中项，则$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$，即$G^2=ab$，$G=±\sqrt{ab}$。
等比数列的性质
2a a [解析] 设所求四个数为 －aq， ，aq，aq3. q q
a · aq＝16， q 则由已知 2 a 3 －aq· aq ＝－128. q
① ②
由①得 a ＝16，∴a＝4 或 a＝－4. 由②得 2a q －a q ＝－128.
2.4.1 等比数列
第二课时
复习回顾：
1.等比数列的定义： 注意：（1）等比数列无零项； （2）非零常数数列是等比数列；
an 1 2.等比数列的数学表示： q(n N *) an
但不能表示为
a n 1 a n q( n N )
3.等比数列的通项公式： an 证明方法为叠乘法
a1q n m an am q
n 1
4.等比中项
G ab(ab 0) G ab (ab 0)
2
5、等比数列增减性 当q>1, a1>0或0<q<1, a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0,或0<q<1, a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列
a＝8， 解得 q＝2
a＝3， 或 1 q＝ . 3
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16； 1 当 a＝3，q＝ 时，所求四个数为 15,9,3,1. 3 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
（2） 已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中 间两数之积为 16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．
等差数列与等比数列的综合应用 例2：有四个数，其中前三个数成等差数列，后 三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的 和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四 个数． a＋d2 解 法一 设四个数依次为 a－d， a， a＋d， ， a
等比数列前n项和性质
等比数列前n项和性质等比数列是数学中常见的数列之一，它的每一项与前一项的比例是相等的。
在等比数列中，我们可以推导出前n项和的性质。
本文将探讨等比数列的定义、前n项和的计算公式以及性质。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中每一项与前一项的比例都是相等的数列。
若数列的首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式可以表示为an =a * r^(n-1)，其中a为首项，r为公比。
二、前n项和的计算公式接下来，我们将推导出等比数列前n项和的计算公式。
设等比数列的首项为a，公比为r，数列的前n项和为Sn。
我们要找出Sn的计算公式。
首先，我们可以观察到：S1 = aS2 = a + arS3 = a + ar + ar^2S4 = a + ar + ar^2 + ar^3...Sn-1 = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2)Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1)接下来，我们将Sn两次相减，以找到计算Sn的公式：Sn - Sn-1 = (a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1)) - (a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2))通过消去相同的项，我们可以得到：Sn - Sn-1 = ar^(n-1)再进一步整理，我们可以得到：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)这就是等比数列前n项和的计算公式。
三、前n项和的性质通过上述公式，我们可以得出等比数列前n项和的性质如下：1. 当公比r等于1时，等比数列变为等差数列。
此时，前n项和Sn 等于每一项的平均值a与项数n的乘积，即Sn = a * n。
2. 当公比r大于1时，随着项数n的增加，前n项和Sn将无限趋近于无穷大。
此时，Sn的计算公式为Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)。
3. 当公比r小于1且大于0时，随着项数n的增加，前n项和Sn将无限趋近于一个有限值。
2.4等比数列性质及简单应用
猜想3：
性质４：从原数列中取出偶数项组成的 猜想４： 新数列公差为2d.(可推广) 性质５: 若{cn}是公差为d′的等差数列， 猜想５： 则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数 列。
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质 {an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列 性质１： an=am+(n-m)d 猜想1：bm b n q m n
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0,或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列;
(2)an≠0,且anan+2>0 (3)an=amqn-m(n,m∈N*). (4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq, (5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项 的积都相等,且等于首末两项的积
b4 b1b7 b2 b6 b3b5
2
∴前七项之积 3
2 3
3 37 2187
3、在等比数列 a n 中，a2
3
2, a5 54 ，求 a 8
a5 54 解：a8 a5 q a5 54 1458 a2 2
另解：∵
a 5 是 a 2 与 a 8 的等比中项，
性质２：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项 ， 则2an=an+k+ an-k
性质３： 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq
高中数学等比数列知识点总结
高中数学等比数列知识点总结高中数学等比数列知识点总结上学期间，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。
为了帮助大家掌握重要知识点，以下是小编帮大家整理的高中数学等比数列知识点总结，欢迎阅读与收藏。
高中数学等比数列知识点总结篇11.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G 是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an=a1qn-1.3.等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a.特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.4.等比数列的'特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数.(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.5.等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.高中数学等比数列知识点总结篇21.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
等比数列的性质
等比数列的性质等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项都是前一项乘以同一个常数。
我将在本文中探讨等比数列的性质和相关概念。
一、定义和表示对于等比数列a，常数比为q，第一项为a₁，我们可以表示这个数列为：a₁, a₁q, a₁q², a₁q³, ...二、通项公式等比数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中aₙ表示第n项，a₁代表第一项。
三、公比的性质1. 若q>1，则等比数列是递增的。
由于q>1，所以每一项都比前一项大，数列呈递增趋势。
2. 若0＜q＜1，则等比数列是递减的。
因为0＜q＜1，所以每一项都比前一项小，数列呈递减趋势。
3. 若q=1，则等比数列是常数列。
当q=1时，每一项都等于前一项，数列中的每一项都相等。
四、公比的绝对值1. 若|q|>1，则数列的绝对值逐项增大，但不会无穷增大。
由于|q|>1，所以每一项的绝对值都比前一项的绝对值大，但不会无穷增大。
2. 若0＜|q|＜1，则数列的绝对值逐项减小，并接近于零。
因为0＜|q|＜1，所以每一项的绝对值都比前一项的绝对值小，并逐渐趋近于零。
五、常用性质1. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sₙ为前n项和。
2. 等比数列的无穷项和若-1＜q＜1，等比数列的无穷项和可以表示为：S∞ = a₁/ (1 - q)，其中S∞为无穷项和。
六、实例分析我们举一个实例来验证等比数列的性质。
假设有一个等比数列的首项为2，公比为3/4。
我们来计算一下该数列的前5项和。
首先，根据通项公式，我们可以得到这个数列的前5项为：a₁ = 2a₂ = 2 * (3/4) = 3/2a₃ = 2 * (3/4)² = 9/8a₄ = 2 * (3/4)³ = 27/16a₅ = 2 * (3/4)⁴ = 81/32然后，根据前n项和的公式，我们可以计算前5项的和：S₅ = (2 - (3/4)⁵) / (1 - 3/4)= (1024/1024 - 243/1024) / (4/4 - 3/4)= (781/1024) / (1/4)= 3124/1024= 781/256所以，该等比数列的前5项和为781/256。
等比数列的有关概念公式与性质
等比数列的有关概念公式与性质一、知识要点：1．等比数列的概念（1）一个数列{}n a ：若满足1(n na q q a +=为常数），则数列{}n a 叫做等比数列 （2）等比数列的证明方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中 0,0nq a ≠≠ 或 11n n n n a a a a +-= (2)n ≥。
（3）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 由此得非零实数,,a A b 成等比数列⇔ab A =22.等比数列主要公式（1）等比数列的通项公式：1*11()n n n a a a q q n N q-==⋅∈；（2）两项之间的关系式：mn m n q a a -= （3）前n 项的和公式为：11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a q q q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩3.等比数列的性质： （1）当m n p q +=+时，则有q p n m a a a a ..=，特别地当2m n p +=时，则有2.p n m a a a =(2)若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列，公比n q Q=；当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S --,…是常数数列各项均为0，它不是等比数列.(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.(4)当1q≠时，b aq qa q qa S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式特征. (5) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.1212321--=⋅⋅⋅n n n a a a a a(6)数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
等比数列的性质及运用
05
CHAPTER
等比数列的解题技巧
整体思想
总结词
整体思想是一种重要的解题策略，通过将问题看作一个整体 ，从宏观上把握问题的本质和规律，从而简化问题。
详细描述
在等比数列中，整体思想常常用于解决与等比数列性质相关 的问题。例如，在求等比数列的通项公式或前n项和时，可以 通过整体代换、整体约简等方法，将复杂的问题转化为简单 的问题。
趋近于常数或无穷大。
这为研究函数的极限性质提供了 新的视角和方法。
等比数列与导数的结合
导数是描述函数在某一点处的 切线斜率的工具。
在等比数列中，每一项都可以 看作是前一项的导数，这为研 究函数的导数性质提供了新的 思路。
通过研究等比数列的性质，可 以更好地理解函数的导数性质， 从而更好地解决一些复杂的数 学问题。
谢谢
加密算法
在加密算法中，等比数列被用于生 成密钥或加密和解密数据。
网络流量分析
在网络流量分析中，等比数列被用 于描述网络流量的变化规律，从而 进行流量控制和优化。
04
CHAPTER
等比数列与其他数学知识的 结合
等比数列与等差数列的结合
等差数列与等比数列都是常见的数列类型，它们各自具有独特的性质和运用场景。
当等差数列的公差为0时，等差数列就变成了等比数列。
等比数列的每一项都可以看作是等差数列的公差的倍数，这为解决一些复杂问题提 供了新的思路。
等比数列与极限的结合
极限是微积分的基础概念之一， 它描述了函数在某个点附近的性
质。
等比数列的各项可以看作是某个 比例的倍数，当这个比例趋近于 0或无穷大时，等比数列就分别
通常用字母a表示等比数列的首项 ，公比用q表示，n表示项数，则 等比数列可以表示为 a_n=a*q^(n-1)。
等比数列定义及性质
常数，所以 等比数列。
a
n
bn 是一个以pq为公比的
结论：如果 a b 是项数相同的等 比数列，那么 a n bn 也是等比数列．
n n
特别地，如果是a 等比数列，c是不等 于０的常数，那么数列 c a 也是等比数列．
n
n
1.求证若数列 {an} 是等差数列, 则 {ban } 是等比数列
(3)a5 4, a7 6, 求a9 ;
(4)a5 a1 15, a4 a2 6, 求a3 .
1 例4．在4与 之间插入3个数，使这5个数成等 4 比数列，求插入的3个数。
1 解：依题意，a1=4，a5 4
a5 1 由等比数列通项公式得 q a1 16 1
4
所以 q 2
若a，b异号则无等比中项；若a， b同号则有两个等比中项
（1）若b2=ac，则b一定是a、c的等比中项。 （2Байду номын сангаас任何两数一定有等差中项。 （3）任何两数一定有等比中项。
9 1 1、在等比数列中，已知首项为 ，末项为 ， 8 3 2 公比为 ，则项数为（ B ） 3
A ３，Ｂ ４ ，Ｃ ５，Ｄ６ 2.已知数列的前n项和为Sn=an-1(a为不为 零的实数),则此数列( C ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或是等差数列或是等比数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列
an a1 q
n1
a1 a 2 3 a1 (1 q) 3 3 a 4 a5 24 a1 q (1 q) 24
a1 1 q 2
答： q和a1分别是2和1。
例题讲解:
在等比数列 a 中,
初二数学等比数列性质解析
初二数学等比数列性质解析等比数列是中学数学中常见的数列类型，它在数学中有着重要的应用。
本文将对等比数列的性质进行解析。
一、等比数列的定义等比数列是指数列中的任意两个相邻的数之比保持不变的数列。
我们可以用以下方式来表示等比数列的通项公式：如果首项是a₁，公比是q，那么等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)。
其中，an表示等比数列的第n项。
二、等比数列的性质1. 公比的正负性：对于等比数列，公比q的取值既可以是正数，也可以是负数。
当q>0时，等比数列是递增的；当q<0时，等比数列是递减的。
2. 绝对值小于1的公比：当公比q的绝对值满足0<|q|<1时，等比数列的绝对值逐项递减，且随着项数的增加趋近于零。
3. 绝对值大于1的公比：当公比q的绝对值满足|q|>1时，等比数列的绝对值逐项增大，且随着项数的增加趋近于无穷大。
4. 等比数列的前n项和公式：等比数列的前n项和可以用以下公式表示：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)。
其中，Sn表示等比数列的前n项和。
5. 异常情况：当公比q等于1时，等比数列的通项公式变为an = a₁，即等差数列；当公比q等于0时，等比数列的所有项都为0。
三、等比数列的应用等比数列在实际问题中有着广泛的应用，以下举例说明：1. 财务投资：某人每年定期投资一定金额，假设每年的投资金额和投资收益之比保持不变，那么这个投资模型可以用等比数列来表示。
2. 生物学：一些生物的繁殖过程中，每一代的数量和前一代的数量之比保持不变，因此可以使用等比数列来描述繁殖过程。
3. 几何问题：一些几何问题中，诸如等边三角形、等腰三角形等的边长或角度之比也是等比数列。
四、总结等比数列是一种重要的数学概念，在数学中具有广泛的应用。
通过等比数列的定义和性质，我们可以更好地理解和应用等比数列。
无论是在实际生活中还是在数学问题中，了解等比数列的性质都可以帮助我们更好地解决问题。
等比数列的通项
等比数列的通项等比数列是数学中非常重要的一种数列，它的通项公式与等差数列的通项公式相似，但它们的增量是相乘而非相加的。
在本文中，我们将介绍等比数列的通项公式及其性质。
一、等比数列的定义等比数列是一个由各项元素乘以同一个比例数得出的数列，这个比例数叫做等比数列的公比。
用符号 q 来表示公比，第 n 项为 $a_n$ 则有：$$a_n = a_1 q^{n-1}$$其中，$a_1$ 是等比数列的首项。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过递推公式及通项公式推导出来。
1. 递推公式等比数列的递推公式可以表示为：$$a_{n+1}=q\\times a_n$$该公式说明了等比数列中的每一项都是前一项乘以公比。
例如，第二项是第一项乘以公比，第三项是第二项乘以公比，以此类推。
2. 通项公式由递推公式可以得到以下的推导过程：$$a_{n+1}=q\\times a_n$$$$a_n=q\\times a_{n-1}$$$$a_{n-1}=q\\times a_{n-2}$$将第二个式子代入第一个式子中，可以得到：$$a_{n+1}=q\\times q\\times a_{n-1} = q^2\\times a_{n-2}$$继续将第三个式子代入第二个式子中，可以得到：$$a_{n+1}=q\\times q\\times q\\times a_{n-2} = q^3\\times a_{n-3}$$ 以此类推，可以得到通项公式：$$a_n=a_1 \\times q^{n-1}$$三、等比数列的性质1. 通项公式的说明等比数列的通项公式表明，每一项是上一项乘以公比而得。
这说明等比数列是一个不断等比放大的过程，每一项都是前一项的一定倍数。
2. 公比 q 的作用公比 q 决定了等比数列的增量。
如果 q 大于 1，则等比数列是一个不断增长的数列；如果 q 小于 1，则等比数列是一个递减的数列；如果 q 等于 1，则等比数列是一个常数序列。
等比数列性质公式总结
等比数列性质公式总结等比数列是数学中著名的数列，其形式为an=ar，其中a是基数，r是公比，n是项数，a0,a1,a2,a3…是等比数列的项。
本文将总结等比数列的特征和相关计算公式。
1、等比数列的定义等比数列是一种数列，其公比恒定，两项之比为该公比。
即an/an-1=r，称之为等比数列。
2、等比数列的特点（1）等比数列的公比为正，则项数增加时，等比数列的大小是增长的；公比为负，则项数增加时，等比数列的大小是减小的。
（2）当公比r>0时，等比数列的和是收敛的；当公比r<0时，等比数列的和是发散的。
（3）如果公比绝对值r的值大于1，则项数增加时，等比数列的项的绝对值变化很大；如果公比绝对值r的值等于1，则项数增加时，等比数列的项的绝对值变化不大；如果公比绝对值r的值小于1，则项数增加时，等比数列的项的绝对值减小很快。
3、等比数列的公式（1）等比数列通型等比数列通型表示法：an=a1r-1其中a1为等比数列的该项，r为等比数列的公比，n为该项所在的位数（从1开始）。
（2）等比数列的求和：S=a1(1-r)/1-r其中a1为等比数列第一项，r为等比数列的公比，n为该项所在的位数（从1开始）。
（3）等比数列期望：<an>=S/n=a1(1-r)/(1-r)*n其中a1为等比数列第一项，r为等比数列的公比，n为该项所在的位数（从1开始），<an>表示等比数列的期望。
（4）连续等比数列的求和：S=a1(1-rn)/1-r其中a1为等比数列第一项，r为等比数列的公比，n为该项所在的位数（从1开始）。
4、等比数列的应用等比数列可以广泛应用于各种对数函数中，最常见的应用是贷款中的等额本息计算。
此外，等比数列还可以广泛应用于基金、股票，甚至人口增长率的估计中，都有其特殊的用途。
综上所述，等比数列是数学中重要的概念，其特点有着特别重要的实际应用价值，同时也有其特定的计算公式，本文对等比数列的定义、特点和公式进行了总结，并介绍了其中的一些重要应用。
等比数列知识点总结及题型归纳
等比数列知识点总结及题型归纳一、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
当这个比值大于1时，称为增长等比数列；当比值在0和1之间时，称为衰减等比数列。
1. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的第n项为：an = a₁ * r^(n-1)。
2. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a₁，公比为r，前n项和为Sn，则有：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)。
3. 等比数列的性质（1）两项间的比值永远相等，即 an / a(n-1) = r。
（2）等比数列从第二项开始，每一项都是前一项与公比的乘积。
（3）等比数列的前n项和与公比无关，只与首项和项数有关。
二、等比数列的题型归纳1. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a₁和公比r，求等比数列的第n项an。
解法：根据通项公式an = a₁ * r^(n-1)进行计算。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，求等比数列的前n 项和Sn。
解法：根据前n项和公式Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)计算。
3. 求等比数列的首项或公比已知等比数列的前两项a₁和a₂，或其中一个项an和其前一项a(n-1)，求等比数列的首项a₁或公比r。
解法：通过已知项之间的比值an / a(n-1) = r，或者利用前n项和公式解方程进行计算。
4. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和第n项an，求等比数列的项数n。
解法：利用通项公式an = a₁ * r^(n-1)解方程求解n的值。
5. 求等比数列的部分项已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，求等比数列的部分项（例如第m项）am。
解法：利用通项公式an = a₁ * r^(n-1)计算am的值。
6. 求等比数列中的缺项已知等比数列的部分连续项，求等比数列中的缺项。
解法：通过项与项之间的比值an / a(n-1) = r进行推导，找出缺项并进行计算。
等比数列的性质的经典总结
1.等比数列的定义: a nan 12.通项公式: na n aQ a1q qA B n a 1推广：a n n ma m q 3.等比中项 （1） 如果a, A,b 成等比数列，那么 注意：同号的两个数才有等比中项,（2） 数列a n 是等比数列a n 2 4.等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时，S n nq . . n a 1 q（2）当 q 1 时，Sn ------- 1 q 5.等比数列的判定方法 (1) 定义法：对任意的 n ,都有a n 2中项公式法：a n an 1an(4) 通项公式法：a n 前n 项和公式法: 等比数列 6.等比数列的证明方法 依据定义：若-an- a n 1A B nS n等比数列的性质总结n 2,且n N , q 称为公比0,A B 0，首项: 从而得q n a i ；公比：qa na mA 2ab 或 A T ab A 叫做a 与b 的等差中项.即： 并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） a n 1 an 1 a 1 an q _ a1a 1 1 q 1q n A A B n A'B n A' ( A,B, A',B'为常数) q 1 q0 q 1a n q或詈 a n 1a n）q （q 为常数，a n 0） {a n }为等比数列.{a n }为等比数列.{a n }为等比数列AS nA'B nA' A,B, A',B'为常数{a n }为n 2,且 nan1 qan{a n }为等比数列7.注意（1） 等比数列的通项公式及前 本元素。
只要已知这 5个元素中的任意3个,（2） 为减少运算量，要注意设项的技巧，n 和公式中, 涉及到 便可求出其余2个， 般可设为通项； a n5个元素: a 1、q 、n 、 即知3求2。
n 1a 1qa n 及S n ,其中a 1、q 称作为基如奇数个数成等比，可设为…，-ar,-,a,aq,aq 2…（公比为q ，中间项用a 表示）；q qa m q n m ,特别的，当 m 1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果一个数列从第 _二_项起，每一项与它 的前一项的比_等于同_ 一个常数，那么这个 数列就叫做 这个常数叫做等 比 数 列的 _公__比__
公差通常用字母d表示 公比通常用字母q表示
(1)你能用数学式子表示等比数列的定义吗？
等差数列
等比数列
an –an-1=d(n≥2) 或 an+1-an=d(n≥1)
04或xy＝＝195
四个数依次为0,4,8,16或15,9,3,1
等差数列
等比数列
如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第2项起，每
定义
每一项与它前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列
一项与它的前一项的比等于同 一个常数，那么这个数列就叫
就叫做等差数列。
做等比数列。
数学 表达
an+1-an= d(常数)
（4）1，±1 ，1
2、判断
若a，b异号则无等比中项；若a， b同号则有两个等比中项
（1）若b2=ac，则b一定是a、c的等比中项。
（2）任何两数一定有等差中项。
（3）任何两数一定有等比中项。
1、在等比数列中，已知首项为9 ，末项为 1 ，
公比为 2 ，则项数为（ B ） 8
3
A ３3，Ｂ ４ ，Ｃ ５，Ｄ６
因为
an1 an
• bn1 • bn
a1b1 pqn a1b1 pq n1
pq，它是一个与n无关的
常数，所以 an • bn 是一个以pq为公比的
等比数列。
结论：如果an bn是项数相同的等
比数列，那么an bn也是等比数列．
特别地，如果是 an 等比数
1,
1 2
,
1 4
,
1 8
,
…
(2)
2.对于数列(2),从第2项起,每一项
与前一项的比都等于_1_/_2_
1，20，202，203 ，… (3) 3.对于数列(3),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于_2__0_
等差数列定义
1.等比数列定义：
如果一个数列从第 二项起，每一项与它 的前一项的差等于同 一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数 列的公差
等比数列中：
(1) aq110或0a1q0 1 an递增
(2)
0a1q0
或 1
aq110
an
递减
(3)q＝1 an为常数列
(4)q=-1 an为摆动数列
等差数列通项公式推导:
设公差为 d 的
等比数列通项公式推导:
设公比为 q的等比数列{ a n} ，则有:
等差数列 { a n } 的首项为 a 1， 公差为 d 的通项公式为
a__n _=_a__1_+__( _n_－__1_)_d_，n ∈N +
an q n1 (n≥2）
a1 首项为 a 1，公比为 q 的等比数 列的通项公式：
a n= a 1 q n－1 (a 1 ≠0 且 q ≠0
n ∈N +)
an • bn 是等比数列。
证明： 设数列 an 的首项为 a1 ，公比为p ；bn
的首项为 b1，公比为q，那么数列 anbn
的第n项与第n+1项分别为 a1 pn1 • b1qn1与
a1 pn • b1q n ，即为 a1b1 pq n1与 a1b1 pq n
a2 a5
3 24
a1aq13((11qq))
3 24
aq1
1 2
答： q和a1分别是2和1。
例4．在4与 1 之间插入3个数，使这5个数成等 4
比数列，求插入的3个数。
解：依题意，a1=4，a5
1 4
由等比数列通项公式得 1
q4
a5 a1
1 16
3.若数列{an}的前n项和为 Sn
3 2
an
3
,
那么这个数列的通项公式是( D )
A.an=2×3n-1
B. an=3×2n
C. an=3n+3
D. an=2×3n
4.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成
等比数列,则a2=( B )
A. －4 B. －6 C. －8 D. －10
(７)
1,
x
,
x
2
，x
3
，…
是,公比 q=3 是,公比 q= 1
2 是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
等比因数为x的列正的负性有不确关概念
观察数列定增，减( 1所性) 以等2该尚，数不4，列能8的确，16，32，64.
公比 q=2 递增数列
(2) 定1，。3，9，27，81，243，…公比 q=3 递增数列
5.已知a,b,c成等比数列,a,x,b和b,y,c都成
等差数列,且xy≠0,那么 a c 的值为
(B)
xy
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
61的.,已b值1,知b是2数,b3列, －－141成,a等1,a比2,. －数4列成,则等差a2数b2列a,1 －
2
等差数列 由于等差数列是 作差 故a 1 d 没 有要求
等差数列{ a n }，则有:
a 2 －a 1 = d a 3 －a 2 = d
叠加法
叠乘法 a2
q
___
a1
a3 _q__
a2
n－1个
a 4 －a 3 = d ……
n－1个
×)
…
an an1
q
___
+ ) a n －a n －1 = d a n －a 1 = ( n－1 ) d (n≥2）
一、温故知新：
1、等差数列定义： an－an－１=d(d为常数) 2、等差数列单调性：d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列
3、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d
用什么方法推出的呢？
观察以上数列各有什么特点：
1, 2, 4, 8, … (1) 1.对于数列(1),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于___2_
(2)求{an}的通项公式.
2.已知数列{an}满足
a1
7 8
, an1
1 2
an
1 3
,n
N*
(1)求证:数列{an
2 3
}是等比数列.
(2)求{an}的通项公式.
补充: 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数 成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16， 第二个数与第三个数的和是12，求这四个数
(3) 1, x, x2 , x3, x4 , (x 0)公比 d= x
(4) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(5) 5，5，5，5，5，5，…
公比 q=
1 递减数列
2
公比 q=1 非零常数列
(6) 1，-1，1，-1，1，…
公 比q= -1 摆动数列
以上6个数列的公比分别为…
判断数列是等差数列的方法
an –an-1=d(n≥2)
或 an+1-an=d(n≥1)
等比数列 由于等比数列的每一 项都有可能作分母，
故a 1 ≠0 且 q ≠0
判断数列是等比数列的方法
an q(n 2) an1
或 an1 q(n 1) an
例3 已知 an 、bn 是项数相同的等比数列，求证
列，c是不等于０的常数，那么
数列 can 也是等比数列．
1.求证若数列 {an} 是等差数列, 则 {ban} 是等比数列 2求证 若数列 {an} 是正项等比数列, 则 {logban} 是等差数列.
1.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).
(1)求证:数列{an+1}是等比数列.
如果在a与b中间插入一个数G， 使a，G，b成等比数列，那么
G叫做a与b的等比中项。
2
2
练习：
（1）求45与80的等比中项
60
（2）已知b是a与c的等比中项，且 abc 27,求b
b3
练习：求下列各组数的等比中项
（1）1，±3 ， 9
（2）-1， ±2 ，-4
（3）-12，±6 ，-3来自所以 q 21
因此插入的3个数依次是2，1 1
，
2
或－2，1，－ 2
3、等等比所比数有中列偶项所数的有项定奇义符数：号项相符同号。相同；
探究：类比等差数列，等差数列有等差中项公式， 请你给出等比中项公式。
等差数列
等比数列
如果在a与b中间插入一个数A， 使a，A，b成等差数列，那么
A a b 即GG abab A叫做a与b的等差中项。
an 等比数列通项公式的推导：an1
q n
2
方法一:叠乘法
方法二:归纳法
a2 q
a1
a3 q a2 a4 q
…a3 …
(n-1)个 式子
an q
an1
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
……
an a1
9
3
解：设它的第一项是 a ，则由题意得 1
a1
(
1 )51 3
4 9
解得， a1 36
答：它的第一项是36 .