第十章 第九节 条件概率、事件的独立性与二项分布(理)
条件概率与事件的独立性
P( AB)
P( A)
16 11
4 11
16
变式:若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.
4
P(A| B)
P( AB)
P(B)
16 6
4 6
16
例3.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品， 规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取 得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是 一等品的概率．
∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.7=0.56
⑶1–P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94
⑷P(A·B)+P(A·B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8(1-0.7)+(1-0.6)×0.7=0.38
答：两粒种子都能发芽的概率是0.56；至少有一粒种子能 发芽的概率是0.94；恰好有一粒种子能发芽的概率是0.38
P(A |
B)
P( AB) P(B)
52 1
1 13
P(A)
4
P(A | B) P(A)
P( AB) P( A) P(B)
B发生时A发生的条件概率
A发生的概率
P(AB) P(A)P(B)
则称A，B相互独立
相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
中一等奖的概率为多少？
P
1
C
7 31
（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，
则乙中一等奖的概率为多少？
P
1
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 31
2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分 两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做 事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。
事件的独立性及二项分布
事件的独立性及二项分布【考情分析】考试要求 1. 条件概率及相互独立事件，A级要求；2. n次独立重复试验的模型及二项分布，B级要求．了解条件概率及两个事件相互独立的概念，会求独立事件的概率.理解二项分布X～B(n，p)的特点，会计算n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率，并能解决一些简单的实际问题．【知识清单】1. 相互独立事件（1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B相互独立．（2）若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．（3）若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．（4）若P(AB)＝P(A)P(B)，则A、B相互独立．2. “互斥”与“相互独立”的区别与联系3. 二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P(X ＝k)＝C k n p k qn －k，其中k ＝0，1，2，3，…，n ，q ＝1－p.于是得到随机变量X 的概率分布如下：n n n …＋C k n p k q n －k ＋…＋C n n p n q 0中的第k ＋1项(k ＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X 为二项分布，记作X ～B(n ，p)．【课前预习】1. 甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，假定在这段时间内两市是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两市同时下雨的概率为________． 答案：0.036解析：设甲市下雨为事件A ，乙市下雨为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.2×0.18＝0.036.2. (选修2－3P 66练习2改编)某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为________． 答案：54125解析：此人恰有两次击中目标的概率为C 23(0.6)2·(1－0.6)＝54125. 3. 在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是6581，则事件A 在一次试验中出现的概率是________．答案：13解析：设A 发生概率为P ，1－(1－P)4＝6581，P ＝13.4. 已知X ～B (6，13)，则P (X ＝2)＝________． 答案：80243解析：P (X ＝2)＝C 26(13)2(23)4＝80243.5. 甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________． 答案：12解析：设“从甲袋中取白球”为事件A ，则P (A )＝812＝23.设“从乙袋中取白球”为事件B ，则P (B )＝612＝12. 取得同色球为AB ＋A B .P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝23×12＋13×12＝12. 【典型例题】目标1 相互独立事件发生的概率例1 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710，三名同学是否当选互不影响，是相互独立的.（1）求甲、乙、丙三名同学恰有一名同学当选的概率； （2）求甲、乙、丙三名同学至多有两名同学当选的概率. 解析：设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ，则有()()()437P A P B P C .5510===，，（1）因为事件A ，B ，C 相互独立，则甲、乙、丙三名同学恰有1名同学当选的概率为()P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅42313312747.551055105510250=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= （2）甲、乙、丙三名同学至多有两名同学当选的概率为()()437831P ABC 1P(A)P(B)P C 1.5510125-=-=-⨯⨯=【借题发挥】变式1 本例条件不变，将问题改为“求甲、乙、丙三名同学中恰有两名当选的概率”解析：因为事件A 、B 、C 相互独立，则甲、乙、丙三名同学恰有两名当选的概率为P P(A)P(B)P(C)P(A)P(C)P(B)P(A)P(B)P(C)=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅437473437(1)(1)(1)551051055510365621113.250250250250=⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⨯=++= 变式 2 本例条件不变，将问题改为“求甲、乙、丙三名同学中至少有一名当选的概率”解析：“甲、乙、丙三名同学至少有一名当选”与事件“甲、乙、丙三名同学都不当选”为对立事件，故甲、乙、丙三名同学至少有一名当选的概率为1P(A B C)1P(A)P(B)P(C)4372441221(1)(1)(1).5510250125-=-⋅⋅=--⨯-⨯-== 【规律方法】应用相互独立事件同时发生的概率乘法公式求概率的步骤：（1）确定诸事件是相互独立的； （2）确定诸事件会同时发生；（3）先求出每个事件发生的概率，再求其积. 【同步拓展】面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15、14、13.求：（1）他们都研制出疫苗的概率； （2）他们都失败的概率； （3）他们能够研制出疫苗的概率．解析：令事件A 、B 、C 分别表示A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝15，P (B )＝14，P (C )＝13.（1）他们都研制出疫苗，即事件ABC 发生，故P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝15×14×13＝160.（2）他们都失败即事件A ，B ，C 同时发生．故P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝(1－P (A ))(1－P (B ))(1－P (C ))＝(1－15)(1－14)(1－13)＝45×34×23＝25.（3）“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P ＝1－P (A B C )＝1－25＝35.目标2 n 次独立重复试验的概率求法例2 已知一个射手每次击中目标的概率为p ＝35，求他在4次射击中下列事件发生的概率． （1）命中一次； （2）命中两次．解析：（1）命中一次的概率为P ＝C 14·⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝⎛⎭⎪⎫1－353＝125·8125＝96625；（2）命中两次的概率为P ＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝⎛⎭⎪⎫1－352＝6·925·425＝216625.【借题发挥】变式1 在例2的条件下，研究： （1）恰在第三次命中目标；（2）刚好在第二次、第三次两次击中目标．解析：（1）恰在第三次命中目标的概率为 P ＝35·⎝⎛⎭⎪⎫1－353＝35·8125＝24625； （2）在第二次、第三次两次击中目标的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝⎛⎭⎪⎫1－352＝36625.变式2 在例2的条件下，研究： （1）至少命中一次； （2）至多命中两次．解析：（1）至少命中一次的概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－354＝609625；（2）至多命中两次的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－354＋C 14·⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－353＋C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝⎛⎭⎪⎫1－352 ＝16625＋96625＋216625＝328625.【规律方法】理解独立重复试验首先要弄清以下几个问题： （1）独立重复试验必须具备的条件①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变. ②各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立. ③每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的.（2）求事件A 发生的概率时直接套用公式P(X=k)=k nC ·p k ·(1-p)n-k. 【同步拓展】(2017·苏、锡、常、镇四市调研)一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．(1)求恰好摸4次停止的概率；(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的概率分布．解 (1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则P ＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34×14＝9256.(2)由题意得X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256，P (X ＝1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128，P (X ＝3)＝1－81256－2764－27128＝13256， ∴X 的概率分布为目标3 例3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列． 解析：由题意可知：X ～B (3，34)所以P (X ＝k )＝C k 3(34)k (14)3－k(k ＝0,1,2,3)，P (X ＝0)＝C 03(34)0(14)3＝164， P (X ＝1)＝C 13·34·(14)2＝964， P (X ＝2)＝C 23(34)2·14＝2764， P (X ＝3)＝C 33(34)3＝2764.所以X 的分布列为【规律方法】利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．【同步拓展】(2017·南京学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列．解析：（1）设甲第i次投中获胜的事件为A i（i＝1，2，3），则A1，A2，A3彼此互斥．甲获胜的事件为A1＋A2＋A3．P（A1）＝25；P（A2）＝3122 53525创=；P（A3）＝（35）2×（13）2×25＝2125．所以P（A1＋A2＋A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝25＋225＋2125＝62 125．答：甲获胜的概率为62 125．（2）X所有可能取的值为1，2，3．则 P（X＝1）＝25＋35×23＝45；P（X＝2）＝225＋35×13×35×23＝425；P（X＝3）＝（35）2×（13）2×1＝125．即X的概率分布列为【归纳分析】1. 相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)·P(B)，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．当P(AB)＝P(A)P(B)时，事件B与事件A独立．2. 独立重复试验概率求解的关注点：①运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时可依据n次独立重复试验的特征．②解此类题常用到互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．3. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2…n，其中p是一次试验中该事件发生的概率，实际上C k n p k(1－p)n －k正好是二项式[(1－p)＋p]n 的展开式中的第k ＋1项． 【课后作业】1．若事件E 、F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )＝________． 答案：116解析：∵E 、F 相互独立，∴P (EF )＝P (E )·P (F )＝116.2. 在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为910，45，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________． 答案：4950解析：P ＝1－(1－910)(1－45)＝4950.3. 某学生通过英语听力测试的概率为13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________． 答案：49解析：记“恰有1次获得通过”为事件A ，则P (A )＝C 13(13)·(1－13)2＝49.4. 设随机变量ξ服从二项分布ξ～B (6，12)，则P (ξ≤3)等于 ． 答案：2132解析：P (ξ≤3)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝C 06×(12)6＋C 16·(12)6＋C 26·(12)6＋C 36·(12)6＝2132.5. 一个口袋中装有3个白球和2个红球，现从袋中取球，每次任取一个，记下颜色后放回，直到红球出现3次时停止，总取球数记为ξ，则“ξ＝4”的概率为________． 答案：72625解析：当ξ＝4时，即前3次取球恰有一次取到白球，因每次取到白球的概率P ＝35，每次取到红球的概率P′＝25，所以P(ξ＝4)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝72625(或前3次取球中恰有两次取到红球，一次取到白球，而第四次又恰好取到红球，因为每次取到红球的概率P ＝25，所以P(ξ＝4)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252·35·25＝72625)． 6. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是________． 答案：712解析：事件A 、B 一个都不发生的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝12×C 15C 16＝512， 则事件A ，B 中至少有一件发生的概率＝1－P (A B )＝712. 7. 在某道路A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为_______.答案：35192解析：三处都不停车相互独立，则概率为57335.12124192⨯⨯= 8. 某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知某学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且回答两个问题相互之间没有影响．则该学生至少答对第一、二两题中一题的概率为________． 答案：0.8解析：设“该学生答对第一题”为事件A ，“该学生答对第二题”为事件B.则“该学生至少答对第一、二两题中一题”的概率为P ＝P(A B ＋A B ＋AB )＝P(A B )＋P(A B )＋P(AB )＝0.4×0.5＋0.6×0.5＋0.6×0.5＝0.8.9. 在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立． （1）求恰有两个项目成功的概率； （2）求至少有一个项目成功的概率．解析：（1）只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×(1－23)＝29，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为45×(1－56)×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1－45)×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945. （2）三个项目全部失败的概率为(1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，所以，至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.10. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （2）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．解析：（1）任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与事件B 相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75. 所以该下岗人员没有参加过培训的概率是 P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1. 所以该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B(3，0.9)，P(ξ＝k)＝C k30.9k ×0.13－k ，k ＝0，1，2，3， 所以ξ的分布列为11.者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； （2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列．解析：设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球，B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球，则A i 与B j 独立．（1）恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.（2）X 的所有可能值为：0,10,50,200，且P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105， P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105， P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435， P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67. 综上可知，获奖金额X 的分布列为【提优训练】1．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14.其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号) 答案：①③解析：在n 次试验中，事件每次发生的概率都相等，故①正确；②中恰好击中3次需要看哪3次击中，所以不正确；利用对立事件，③正确．2．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．已知三个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为12，且各个元件能否正常工作相互独立，则该部件的使用寿命超过1 000小时的概率是 ．答案：38解析：设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，因此该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B －＋A －B ＋AB)C ，故该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P ＝(12×12＋12×12＋12×12)×12＝38. 3．甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5.（1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数ξ的概率分布．解析：（1） 设甲同学在5次投篮中，恰有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则P ＝P (x ＝4)＋P (x ＝5)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝⎛⎭⎪⎫1－231＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235⎝⎛⎭⎪⎫1－230＝112243.（2）由题意，ξ＝1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝23， P (ξ＝2)＝13×23＝29， P (ξ＝3)＝13×13×23＝227，P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝281，P (ξ＝5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181.ξ的分布列为。
第十章 第八节 二项分布及其应用 (理)
(2)记两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则 P(C)＝(14×12)＋(14×14＋12×12)＋(12×14＋14×12＋14×14)＝34. 答：两人所付的租车费用之和小于6元的概率是34.
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[悟一法] 1.求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． (2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入
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(2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D，“方程x2＋bx
＋c＝0有实根”为事件E，则P(D)＝
11 36
，P(D∩E)＝
7 36
，
P(E|D)＝PPD∩DE＝171.
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[做一题] [例2] (2011·四川高考)本着健康、低碳的生活理念，租 自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准 是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的 部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有 甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车
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5．某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动．从 2 道文 史题和 3 道理科题中不放回地依次抽取 2 道题，在第一次 抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为 ________．
解析：在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的
A23 概率为 P＝AC2513＝12.
C15 答案：12
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所以 ξ的分布列是
ξ
0
12
3
6
P
1 24 8 27 9 27 27
8 27
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[悟一法] 1.独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互
独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只 有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任 何一次试验中发生的概率都是一样的． 2.二项分布满足的条件 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
事件的独立性与二项分布
5
率
．（用数值表示）
简易逻辑
【例13】某人参加一次考试， 4 道题中解对 3 道则为及格，已知他的解题正确率为 0.4 ， 则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）
【例14】某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5% ，现从一批产品中的任意连续取出 2 件， 求次品数 的概率分布列及至少有一件次品的概率．
【例7】 甲，乙两人进行乒乓球比赛， 每局甲胜的概率为 p ，( p ≥ 1 )问对甲而言，采用三 2
局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利．设各局胜负相互独立．
【例8】 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假 设在一局中，甲获胜的概率为 0.6 ，乙获胜的概率为 0.4 ，各局比赛结果相互独立．已 知前 2 局中，甲、乙各胜1局． （1）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （2 求甲获得这次比赛胜利的概率．
【例15】设在 4 次独立重复试验中，事件 A 发生的概率相同，若已知事件 A 至少发生一次的 概率等于 65 ，求事件 A 在一次试验中发生的概率． 81
【例16】设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2 ，机器发生故障时全天停止工作．若一周 5 个工作日里均无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障可获利润 5 万元，只发生 两次故障可获利润 0 万元，发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元．求一周内期 望利润是多少？（精确到 0.001）
Pn (k) Ckn pk (1 p)nk (k 0, 1, 2, , n) ． 2. 二项分布 若将事件 A 发生的次数设为 X ，事件 A 不发生的概率为 q 1 p ，那么在 n 次独立重复试
第十章 第九节 条件概率、事件的独立性与二项分布(理)
高考将二项分布同相互独立事件、互斥事件和对立事件
概率的求解以及分布列等相结合考查，是一个新的考查 方向．
[考题印证]
(2009· 辽宁高考)(12分)某人向一目标射击4次，每次击
中目标的概率为 .该目标分为3个不同的部分，第一、二、 三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分 的概率与其面积成正比． (1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
的分布列．
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)任选1名下岗人员，设“该人参加过财会
培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题 设知，事件A与B互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75. 法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 P1＝P( )＝P( )· P( )＝0.4×0.25＝0.1.
( )
解析：所求概率P＝ 3× 答案：A
)1· (1－
)3－1＝
.
3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为 0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响， 则其中至少有一人被录取的概率为 ( )
A．0.12
C．0.46
B．0.42
D．0.88
解析：至少有一人被录取的概率P＝1－(1－0.6)(1－0.7) ＝1－0.4×0.3＝1－0.12＝0.88. 答案：D
＝1,2.依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，A
＝A1 ∪ B1∪A1B1∪A2B2，┄┄┄┄┄┄(10分)
故所求的概率为
P(A)＝P(A1
＝P(A1)P(
)＋P(
)＋P(
B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)
)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)
条件概率、二项分布及正态分布(讲解部分)
考法二 正态分布问题的解题方法
例2 (2018河北石家庄新华模拟,19)“过大年,吃水饺”是我国不少地方 过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某 种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下:
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 x(同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表);
∴E(X)=4×1 =2.
2
方法总结 1.对于正态分布N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知 (1)P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5; (2)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a); (3)P(X<x0)=1-P(X≥x0); (4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a). 2.服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法: (1)利用P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值直接求; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质 求解.
(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),
利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率; ②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数 学期望. 附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ= 142.75 ≈11.95; 若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 4. 解题导引
复习课件：条件概率、事件的独立性及独立重复试验、二项分布
复习回顾 3、条件概率的性质：
0 P ( B | A) 1; （1）
（2）如果B和C是两个互斥事件，那么
P( B
C | A) P ( B | A) P(C | A).
1.从事件的前提不同理解来区分； 2.从样本空间的变化来理解； 3从概率的求法来理解
课堂小结
方法技巧 1．条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件P(A)， P(AB)三者之间的关系，由条件概率公式可以解决下 列两类问题．
(1)已知P(A)，P(AB)，求P(B|A)；
(2)已知P(A)，P(B|A)，求P(AB)．
课堂小结
2．P(B|A)表示事件B在“事件A已发生”这个附加条件下发生的
T 题型二事 件的相互独立性
例 2 甲、乙两个人独立地破译一个密码, 他们能译出密码的 概率分别为 和 , 求:
3 4 1 1
(1) 两个人都译出密码的概率; (2) 两个人都译不出密码的概率; (3) 恰有 1 个人译出密码的概率; (4) 至多 1 个人译出密码的概率; (5) 至少 1 个人译出密码的概率.
1. 抛掷甲、 乙两枚骰子, 若事件 A : “ 甲骰子的点数小于 3” , 事件 B : “ 甲、 乙两枚骰子的点数之和等于 6” , 求 P( B| A) 的值 . 【解】事件 A 包含的基本事件有 12 个: ( 1, 1 ), ( 1, 2), (1 , 3 ), (1 , 4 ), ( 1, 5 ), ( 1, 6 ), (2, 1), (2, 2), (2, 3 ), (2, 4 ), (2, 5 ), (2, 6 ), 而在事件 A 发生的条件下, 事件 B 包含的基本事件有以下 2个 : ( 1, 5 ), (2, 4 ), 故所求概率 为 P( B| A )= = .
高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.8n次独立重复试验与二项分布课件理
【变式训练 2】 某中学为丰富教职工生活，国庆节举 办教职工趣味投篮比赛，有 A，B 两个定点投篮位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分．规则是：每 人投篮三次按先 A 后 B 再 A 的顺序各投篮一次，教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是12和13，且在 A，B 两点投中与否相 互独立．
P(A1)
＝
4 10
＝
2 5
，
P(A2)
＝
5 10
＝
1 2
，
所
以
P(B1) ＝ P(A1A2) ＝
P(A1)P(A2)＝25×12＝15，P(B2)＝P(A1 A2 ＋ A1 A2)＝P(A1 A2 )＋
(2)一个正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域 随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧 3 个小正 方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间 的 1 个小正方形区域的事件记为 B，求 P(AB)、P(A|B)．
[解] 如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4， ∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝19， P(A|B)＝nnABB＝14.
[解] (1)记事件 A1＝{从甲箱中摸出的 1 个球是红球}， A2＝{从乙箱中摸出的 1 个球是红球}，B1＝{顾客抽奖 1 次 获一等奖}，B2＝{顾客抽奖 1 次获二等奖}，C＝{顾客抽奖 1 次能获奖}．
由题意，A1 与 A2 相互独立，A1 A2 与 A1 A2 互斥，B1 与
B2 互斥，且 B1＝A1A2，B2＝A1 A2 ＋ A1 A2，C＝B1＋B2.因为
第10章 计数原理、概率、随机变量及分 布列
第8讲 n次独立重复试验与二项分布
板块一 知识梳理·自主学习
独立二项分布条件概率
条件概率【三维目标】：知识与技能：了解条件概率的意义与计算公式，掌握乘法公式及其应用。
过程与方法：通过例子使得学生能运用知识解决问题。
情感态度与价值观：通过学习，体会数学在解决实际问题中的作用。
【重难点】：乘法公式的内涵及其应用。
（乘法公式是用来计算两个或两个以上事件同时发生的概率）【学法指导】：认真阅读教材，结合实例理解概念和应用，并注意解题步骤。
【知识链接】：1、古典概率定义：2、几何概率定义：3、将一质地均匀的硬币掷两次，观察出现正面的情况，令A={至少出现一次正面}，B={两次出现同一面}，则知样本S={HH，HT，TH，TT}，而A={HH，HT，TH}，B={HH，TT}。
P(A)= ，P(B)=那么在事件A发生条件下，B事件发生的条件概率P(B|A)是多少呢？4、条件概率的定义5、条件概率运算公式6、乘法公式【学习过程】例 1一盒子装5只产品，其中3只一等品，2只二等品从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，设事件A={第一次取到一等品}，事件B={第二次取到一等品}，试求条件概率P （B|A）。
练习1．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( )例2（课本例2）练习2、盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，从中不放回地取产品，每次1个．求取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是多少？例3设A ，B 为两事件，,已知P(A)=0.5, P(B)=0.6, ,试求练习3、若P (B |A )＝0.5，P (AB )＝0.32，则P (A )等于( ) A ．0.46 B ．0.64 C ．0.48 D ．0.68例4设某种动物活到20岁以上的概率为0.7,活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20的这种动物能活到25岁以上的概率？练习4、甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P (A )＝0.20，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________. 【达标检测】A1、抛掷一颗骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为________．B2、4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回的抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A.14B.13 C.12 D ．1D3、设a ，b 分别为先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数有5的条件下，方程x 2＋ax ＋b ＝0有实数根的概率是( )A.711B.911 C.1118 D.718【课堂小结】：【课堂反思】：2.2.2事件的相互独立性【三维目标】知识与技能：1. 掌握乘法公式及其应用2. 掌握一般两个或n 个事件独立的条件及其在概率计算中的应用过程与方法：通过实例, 理解相互独立性的含义情感态度与价值观：通过学习，体会用数学工具研究相互独立性的意义，体会数学的应用价值 【学习重点】乘法公式的内涵及其应用。
2.2.2事件的独立性和二项分布(修改后)
P( A B C )
(2) A不发生且B不发生且C不发生
P( A B C )
练习3 :已知A、B、C相互独立，试用数
学符号语言表示下列关系 ① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
1 (1 0.6)(1 0.5) = 0.8
练习1、若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( D )
(A)
3 5
(B)
3 4
(C)
12 25
(D)
14 25
练习2.某产品的制作需三道工序，设这三道工序出 现次品的概率分别是P1,P2,P3。假设三道工序互不 影响，则制作出来的产品是正品的概率 是 (1－P1) (1－P2) (1－P3) 。
(3) P( A B C ) P( A B C ) P( A B C )
(4) P( A B C ) P( A B C ) P( A B C )
(5)1 P( A B C )
例题举例
例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定 价值的商品可以获得一张奖券,抽到某一指定 号码为中奖。奖券上有一个兑奖号码，可以 分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如 果两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两 次抽奖中以下事件的概率： （1）“都抽到某一指定号码”； （2）“恰有一次抽到某一指定号码”； （3）“至少有一次抽到某一指定号码”。
（2）经验判断:A发生与否不影响B发生的概率 B发生与否不影响A发生的概率
• 事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念。互 斥说的是两个事件不能同时发生；而相互独立则是允许 两个事件同时发生，只是其中一个事件的发生与否对另 外一个事件发生的可能性不会产生任何影响 • 在逻辑上，可以将互斥事件理解为一次试验下可能出现 的不同基本事件，而将相互独立事件理解为两次或更多 次不同试验下相应出现的不同事件。故此，若A 与B 为 互斥事件，则应使用概率加法公式来计算A或B发生的 概率：P( A + B) = P( A) +P( B)。而若A 与B 为相互独 立事件，则应使用概率乘法公式来计算A和B同时发生 的概率（联合概率）：P( AB) = P( A)P( B)
数学：2.2.3《条件概率与事件的独立性及二项分布》课件
第九页，编辑于星期日：十二点 十三分。
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条件概率与事件的独立性
＝0.648.
(2)X的可能取值为2,3. 由于各局比赛结果相互独立，所以
P(X＝2)＝P(A3A4∪B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4) ＝0.6×0.6＋0.4×0.4 ＝0.52， P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48.
X的分布列为
[题组自测] 3 3 1．(2010· 南京三月模拟)已知P(AB)＝ ，P(A)＝ ，则 10 5 P(B|A)等于________．
PAB 3 5 1 解析：P(B|A)＝ ＝ × ＝ . PA 10 3 2
1 答案： 2
2．某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女
生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若
[归纳领悟] 1．若事件A、B相互独立，则A与 B 、 A 与B、 A 与 B 也都 相互独立． 2．要正确理解含有“恰好”“至少”“至多”等词的相 互独立事件的含义，恰当分类． 3．对于“至少”“至多”型问题，可考虑对立事件求其 概率.
[题组自测]
1．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概
此时称随机变量X服从参数为n、p的二项分布， 记作 X～B(n，p) ．
[究 疑 点] 1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？
提示： P(B|A)是在A发生条件下B发生的概率．
P(A|B)是在B发生条件下A发生的概率，不一样． 2．“相互独立”与“事件互斥”有何不同？ 提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两 事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生 的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥．
1 P(X＝1)＝C4×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6， 2 P(X＝2)＝C4×0.42×(1－0.4)2＝0.345 6， 3 P(X＝3)＝C4×0.43×(1－0.4)＝0.153 6，
人教a版高考数学(理)一轮课件：10.8条件概率、事件的独立性及独立重复试验、二项分布
为在事件 A 发生的条件下,
事件 B 发生的条件概率
2. 相互独立事件 (1) 对于事件 A , B, 若 A 的发生与 B 的发生互不影响, 则称 A , B 是相互独立 事件 . (2) 若 A 与 B 相互独立, 则 P( B| A)=P ( B ), P (AB )=P ( B| A)·P (A )=P (A)·P ( B ). (3) 若 A 与 B 相互独立, 则 A 与������ ,������与 B , ������与������ 也都相互独立. (4) 若 P (AB )=P (A) P( B ), 则 A 与 B 相互独立 .
“ 互斥事件” 与“ 相互独立事件” 的区别与联系 (1 ) “ 互斥” 与“ 相互独立” 都是描述的两个事件间的关系. (2)“ 互斥” 强调不可能同时发生, “ 相互独立” 强调一个事件的发生与 否对另一个事件发生的概率没有影响. (3 ) “ 互斥” 的两个事件可以“ 相互独立” , “ 相互独立” 的两个事件也可 以“ 互斥” .
1 5 7 2 6 12 1 2 1 6
3. 从 1, 2, 3, 4, 5 中任取 2个不同的数, 事件 A=“ 取到的 2个数之和为偶数” , 事件 B =“ 取到的 2个数均为偶数” , 则 P( B| A) 等于( ) A.
1 8
B.
1 4
C.
2 5
D.
1 2
【答案】B
2 C2 C2 2 +C 3 4 2 1 【解析】∵ P (A )= 2 = , P (AB )= 2= , C 5 10 C 5 10
1. 条件概率及其性质
条件概率的定义 设 A, B 为 两 个 事 件 ,且 P ( A) >0 , 称 P( B| A) =
2.2.2 二项分布-事件的相互独立性
C
C 42 8.在100件产品中有4件次品. C 41· C 31 2 C100 ①从中抽2件, 则2件都是次品概率为___ C1001· C991 ②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___ (不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取) C 4 1· C 41 C1001· C1001
事件B“最后一名同学抽到中奖奖券”，则分别计算P(B)
与P(B|A)
n( B) 3 31 1 P ( B) n( ) 3 3 3 3 n( AB) 2 3 1 1 P ( B A) n( A) 233 3
P ( AB) P ( AB) P B AP ( A) P( (AB B A) ) P P ( A ) P ( B A ) P ( A ) P ( B ) P ( A)
解法2：两人都未击中的概率是 P( A B) P( A) P( B) (1 0.6) (1 0.6) 0.16,
因此，至少有一人击中 目标的概率 P 1 P( A B) 1 0.16 0.84 答： 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
解：记“开关J1闭合”为事件A,“开关J2闭合” 为事件B,“开关J3闭合”为事件C.
P 1 P( ABC ) 1 0.3 0.3 0.3 0.973
解题步骤：
1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B. 2.理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥; 互独; 对立). 关键词 如“至多” “至少” “同时” “恰
击中目标的概率都是0.6，计算： (4)至多有一次中靶的概率 解：两人都未击中的概率是 P( A B) P( A) P( B) (1 0.6) (1 0.6) 0.16,
条件概率与独立性及二项分布和超几何分布
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号____________________一、条件概率1.定义设A 和B 为两个事件，0)(>A P ，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率. )(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率．)(A B P 定义为)()()(A P AB P A B P =。
由这个定义可知，对任意两个事件B A 、，若0)(>B P ，则有)()()(A P A B P AB P ⋅=.并称上式为概率的乘法公式. 2．(|)P B A 的性质：（1）非负性：对任意的Ω∈A . 1)(0≤≤A B P ； （2）规范性：1)(=ΩB P ；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则)()()(A C P A B P A C B P +=⋃. 更一般地,对任意的一列两两部相容的事件),,2,1( =i A i ，有[])(11B A P B A U P i i i i ∑=∞=∞=3、例题例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．例2、一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．4、练习1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为{}6,5,4,3,2,1=S ，令事件{}5,3,2=A ，{}6,5,4,2,1=B ，求)(),(),(),(B A P AB P B P A P 。
2、一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求)(),(B A P AB P 。
复习课件：条件概率、事件的独立性及独立重复试验、二项分布共77页
42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚
43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊
44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
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第十章第九节条件概率、事件的独立性与二项分布
（理）
题组一条件概率
1.已知盒中装有3
现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为() A.
3
10 B.
2
9
C.7
8 D.
7
9
解析：设事件A为“第1次抽到是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到是卡口灯泡”，
则P(A)＝3
10
，P(AB)＝3
10×
7
9
＝21
90
＝7
30.在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽
到卡口灯泡的概率为P(B|A)＝P(AB)
P(A)
＝
7
30
3
10
＝7
9.
答案：D
2．设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为
3
10，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为
1
2，则事件A发生的概率为________________．
解析：由题意知，P(AB)＝
3
10
，P(B|A)＝1
2
，
∴P(A)＝
P(AB)
P(B|A)
＝
3
10
1
2
＝3
5.
答案：
3
5
3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：
P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.
根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的
概率为0.72. 答案：0.72
题组二
相互独立事件
4.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，1
5.假定三人的
行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ( ) A.5960 B.35 C.12 D.1
60
解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，1
5.因此，他们不去北京旅游的概率
分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35.
答案：B
5．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是1
2，且
是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 ( ) A.18 B.14 C.12 D.116
解析：理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯亮应为事件AB －
C ，且A ，C ，B 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )
＝12，所以P (AB － C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝18
. 答案：A
6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则
P (A )＝C 26C 14＋C 3
6C 310＝23.
P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310
＝1415.
(2)因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为 P (A －B －
)＝P (A －
)P (B －
)＝(1－23)(1－1415)＝1
45
，
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P (A －·B －
)＝1－145＝44
45
.
7.( )
A.81125
B.54125
C.36125
D.27125 解析：所求的概率为C 230.62×0.4＋C 330.63＝0.648＝81125. 答案：A
8．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率
是 ( ) A ．(12)3 B ．C 25(12)5 C ．C 35(12)3 D ．C 25C 35(12
)5 解析：质点由原点移动到(2,3)，需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点的移动方法有C 25种，而每一次移动的概率都是12，所以所求的概率等于C 2
5(12)5
. 答案：B
9．2009年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34
. (1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；
(2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．
解：(1)记“该考生正确做出第i 道题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P (A i )＝3
4，由于每一道
题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率为
P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3) ＝34×34×14＝964
.
(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B ，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道题或4道题，
故P (B )＝C 34×(34)3×14＋C 44×(34)4＝189256.
10.在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为65
81，则
事件A 在1次试验中出现的概率为________．
解析：A 至少发生一次的概率为65
81，则A 的对立事件A ：事件A 都不发生的概率为1
－6581＝1681＝(23)4，所以，A 在一次试验中出现的概率为1－23＝13. 答案：13
11．某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频
率如下表：
(1)从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是多少？
(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)，乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就要考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？
解：(1)每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约为0.1＋0.15＋0.25＋0.20＝0.7.
(2)从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为0.20＋0.20＋0.1＝0.5， 途经10个停靠点，没有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为(1－1
2)10，
途经10个停靠点，只有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率C 110(12)1(1－12)9
. 所以，途经10个停靠点，有2个以上(含2个)停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率
P ＝1－(1－12)10－C 110(12)1(1－12)9 ＝1－1210－529＝1 0131024
>0.9.
∴该线路需要增加班次．
12．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3
4.假设两人射击是否击中目标相互
之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
解：(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1.由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验． 故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)4＝65
81
，
所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为65
81
.
(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2，则
P (A 2)＝C 24×(23)2×(1－23)4－2＝8
27， P (B 2)＝C 34
×(34)3×(1－34)4－3＝2764. 由于甲、乙射击相互独立，故 P (A 2B 2)＝P (A 2)·P (B 2)＝827×2764＝1
8
.
所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为1
8.
(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则
A 3＝D 5D 4·D 3·(D 2D 1)， 且P (D i )＝14
.
由于各事件相互独立，故
P (A 3)＝P (D 5)·P (D 4)·P (D 3)·P (D 2D 1)
＝14×14×34×(1－14×14)＝451 024
. 所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为451 024.。