质量管理方法-直方图法
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组距 极差 组数 即 H R k
H
R 16.2 1.8 2.0 k 9
③确定组限。 该组的最大值为上限，最小值为下限，上、下 限统称组限。
组距等于相邻两组上限（或下限）之差。
连续取值的计量型数据，要令较低组的上限与 相邻较高组下限为同一数值。 本例中，质量标准下限为 30.0 ，以此作为第一 组下限，其上限为：30.0+2.0=32.0，最高组组限为 46.0~48.0，覆盖了全部数据。
1 ）折齿型：是由于分组不当或组距确定不当 出现的分布状态
折齿型
2 ）缓坡型：主要是由于操作中上限或下限控 制太严造成的。
缓坡型
3）孤岛型：原材料一时发生变化，工人一时变换；
孤岛型
4）双峰型：两组机器、或材料、或操作工人施工； 然后把这两方面数据混在一起整理产生的。
双峰型
5）陡壁型：有意将不合格的产品剔除；
三、质量管理常用的统计方法
5、直方图法
频率直方图，又名质量分布图。
作用：确定质量的分布的基本特征； 判断质量的现状和变化趋势； 分析和判断生产过程是否稳定。
f
频率直方图
质量特性
频率直方图的作法
（1）用随机抽样的方法收集有关质量数据，并对
数据进行筛选处理，去掉小概率事件的数据，一 般应抽取50个以上。例6-4 （2）计算极差R。从数据中找出最大值 Xmax和最 小值Xmin，R= Xmax- Xmin R= Xmax- Xmin=47.0-30.8=16.2
直方图(练习)
1、从数据中找出最小值S和最大值L。 S = 14.2 2、决定组数。 3、计算组距。 4、求界限值。 5、计算组中值。 6、统计频数。 7、列频数分布表。 L = 15.9 计算极差R=15.9-14.2=1.7
k=6
组距 H= R/k≈0.3 下限值 S – H/2 = 14.05
f
i 1
k
x f
i 1 k
k
i i
i
f
i 1
i
xi 第i组组中值 f i 第i组的频数
列表计算例6-4中50个混凝土试块的平均强度
X
x
i 1 k
k
i
fi
i 1
fi
18880 3 7.7 6 50
~ ②计算中位数 X
中位数是全部数据由小到大顺次排列中位置居 中的那个数据，其确定方法有两种。
T B
(S)
SL
( L ) Su
直方图超出标准范围内的情况
直方图的分布范围B超出标准范围T，此时，在标准上界限和下界限都出现不合 格品。这种情况通常是由于产品质量特性值的标准差太大，这时，应及时采取
技术措施，降低分布的标准差。如果属于标准定得不合理，可以放宽标准范围。
T B
(S)
SL
Su
(L)
直方图超出标准范围内的情况
• 尺有所短，寸有所长；物有所不足,智有 所不明。——战国·楚·屈原《卜居》 • [ 解读 ] 尺虽比寸长，但和更长的东西相
比，就显得短，寸虽比尺短，但和更短
的东西相比，就显得长；事物总有它的
不足之处，智者也总有不明智的地方。
人或事物各有长处和短处，不应求全责
备，而应扬长避短。
（3）数据分组。包括确定组数、组距和划分组限。 ①确定组数k。原则是使分组的结果能正确反映数 据的分布规律，参考表6-7.例6-4中，取k=9
数据总数N 分组数k 数据总数N 分组数k 数据总数N 分组数k
50~100
6~10
100~250
7~12
250以上
10~20
②确定组距H。组距即一个组的范围，各组距最好 相等。数值最好取整。
T B
T B
SL ( S )
( L ) Su
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
直方图的分布范围B没有超出标准范围T，但没有余量。此时分布中心稍有偏移
便会出现不合格品，所以应及时采取措施，缩小产品质量特性值的分布范围。
分 析 一 下
T B
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
中位数组组距 ~ X 中位数组下限 中位数组频数 （中位数项数- 中位数组前一组的累计 频数）
③计算极差R 极差是数据最大值与最小值之差。 在数据未分组时的计算式为
R X max X min
在数据分组时极差值等于最高组上限与最低组 下限之差
④标准偏差：描述数据对于平均值的离散程度， 用样本的标准差S表示 A 。当数据未经分组时（ n 足够大时 n-1 可用 n 代 替）
（5）计算累计频数
（6）绘制频率直方图 直方图是用横坐标表示数据的变化，以纵 坐标表示频数（或频率，或频率密度）而绘制
出的描述质量分布状况的图形，直方图将同时
显示数据的所有可能值及这些数值所对应的频 数（或频率）
频率直方图分析 （1）观察整个图形，可判断质量分布状态。 正常型直方图是“中间高、两侧低、左右接 近对称的图形。 当出现非正常型直方图时，表明生产过程或 者数据的收集、整理方法存在问题，需要进一步分 析判断，找出原因，采取相应措施加以纠正。 折齿型、缓坡型、孤岛型、双峰型、绝壁型
产品质量特性值的分布非常集中，致使直方图的分布范围B与标准范围T之间的
余量过大。此时，可对原材料、设备、工艺等适当放宽要求，从而降低生产成
本;或者加严标准，提高产品的性能，以利于组装等
分 析 一 下
T B
SL
(S)
Su
(L)
直方图在标准范围内的情况
产品质量特性值的分布中心向左(或向右〉偏离标准中心，致使直方图分布范 围B的下界限(上界限)超出标准范围T的下界限(或上界限)，因而在下界限(或 上界限)出现不合格品，此时，应设法提高(或降低)产品质量特性值的平均值， 使直方图的分布中心向右(或向左)移动，从而使直方图的分布范围完全落在标 准范围之内。
1 n 2 S ( xi X ) n 1 i 1
B。当数据分组时（xi为组中值）
1 k 2 S ( x X ) fi i n 1 i 1
⑤变异系数 变异系数是表示数据相对波动大小的数值，用 表示离散程度的数字特征值除以相应的平均值
求得，变异系数指标有：
A 极差系数：
CVR R / X 极差 极差系数 平均数
B 标准差系数
CV S / X 标准差 标准差系数 平均数
生产某种圆形零件，要求其直径x为15.0 ±1.0 (mm)，试用 直方图进行统计分析。
i 1 2 3 4 5
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.6 15.1 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.2 14.2
心近似重合，这是理想的直方图。此时，全部产品合格，工序处于正常管理状
态。
T B
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
直方图的分布范围B位于标准范围T内，数据变化仍比较集中，但分布中心偏移
标准中心，并且直方图的一侧已达到标准界限， 此时状态稍有变化，产品就
可能超出标准，出现不合格品。因此，需要采取措施，使得分布中心与标准中 心重合。
A.数据未经分组处理时，中位数的确定：
数据总个数为奇数时（n为奇数）
中位数项数 n 1 2
~ 即中位数 X xn1
2
数据总个数为偶数时，中位数应该等于居中的 两个数据的平均数，即
~ X
xn xn
2 2
1
2
B.数据经分组整理后，中位数的确定。 先确定中位数所在组，然后用内插法计算中位 数。
µ ý Æ Ê fi 3 5 10 16 8 6 2 50
Æ Â µ Ê Pi 0.06 0.10 0.20 0.32 0.16 0.12 0.04 100%
直方图(练习)
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
频数
X
14.2
14.5
14.8
15.1 15.4
15.7
16.0
直方图(练习)
直方图与标准比较
当产品质量特性值符合规定标准时，其对应的直方图，必定
在标准范围之内。符合规定的直方图大致有下面四种类型：
T B
T B
SL ( S )
( L ) Su
SL ( S )
( L ) Su
T B
T BHale Waihona Puke Baidu
SL ( S )
( L ) Su
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
直方图的分布范围B位于标准范围T内，但有余量;直方图的分布中心与标准中
直方图(练习)
׺ é Å 1 2 3 4 5 6 7 ¡ Æ
 ç Ï ½ Ï Þ ~É Ï ½ ç Ï Þ 14.05~14.35 14.35~14.65 14.65~14.95 14.95~15.25 15.25~15.55 15.55~15.85 15.85~16.15
×Ö é Ð Ö µ 14.2 14.5 14.8 15.1 15.4 15.7 16.0
直方图的分布范围B大大超出标准范围T，此时已出现大量不合格品，必须立即 分析原因，采取紧急措施;如果标准允许改变，就重新修订标准。
T B
(S)
SL
Su
(L)
直方图超出标准范围内的情况
（7）计算质量分布特征值 ①平均数
简单算数平均数
1 n X xi n i 1
加权算数平均数
X
x1 f1 x2 f 2 xk f k
陡壁型
对于正常型直方图，将其分布范围B=[S，L](S 为一批数据中的最小值，L为一批数据中的最大 值)与标准范围T=[SL，Su]， SL为标准下界限， Su为标准上界限)进行比较，就可以看出产品质 量特性值的分布是否在标准范围内，从而可以
了解生产过程或工序加工能力是否处于所希望
的状态。为了方便，可在直方图上标出标准下 界限值和标准上界限值。
H
R 16.2 1.8 2.0 k 9
③确定组限。 该组的最大值为上限，最小值为下限，上、下 限统称组限。
组距等于相邻两组上限（或下限）之差。
连续取值的计量型数据，要令较低组的上限与 相邻较高组下限为同一数值。 本例中，质量标准下限为 30.0 ，以此作为第一 组下限，其上限为：30.0+2.0=32.0，最高组组限为 46.0~48.0，覆盖了全部数据。
1 ）折齿型：是由于分组不当或组距确定不当 出现的分布状态
折齿型
2 ）缓坡型：主要是由于操作中上限或下限控 制太严造成的。
缓坡型
3）孤岛型：原材料一时发生变化，工人一时变换；
孤岛型
4）双峰型：两组机器、或材料、或操作工人施工； 然后把这两方面数据混在一起整理产生的。
双峰型
5）陡壁型：有意将不合格的产品剔除；
三、质量管理常用的统计方法
5、直方图法
频率直方图，又名质量分布图。
作用：确定质量的分布的基本特征； 判断质量的现状和变化趋势； 分析和判断生产过程是否稳定。
f
频率直方图
质量特性
频率直方图的作法
（1）用随机抽样的方法收集有关质量数据，并对
数据进行筛选处理，去掉小概率事件的数据，一 般应抽取50个以上。例6-4 （2）计算极差R。从数据中找出最大值 Xmax和最 小值Xmin，R= Xmax- Xmin R= Xmax- Xmin=47.0-30.8=16.2
直方图(练习)
1、从数据中找出最小值S和最大值L。 S = 14.2 2、决定组数。 3、计算组距。 4、求界限值。 5、计算组中值。 6、统计频数。 7、列频数分布表。 L = 15.9 计算极差R=15.9-14.2=1.7
k=6
组距 H= R/k≈0.3 下限值 S – H/2 = 14.05
f
i 1
k
x f
i 1 k
k
i i
i
f
i 1
i
xi 第i组组中值 f i 第i组的频数
列表计算例6-4中50个混凝土试块的平均强度
X
x
i 1 k
k
i
fi
i 1
fi
18880 3 7.7 6 50
~ ②计算中位数 X
中位数是全部数据由小到大顺次排列中位置居 中的那个数据，其确定方法有两种。
T B
(S)
SL
( L ) Su
直方图超出标准范围内的情况
直方图的分布范围B超出标准范围T，此时，在标准上界限和下界限都出现不合 格品。这种情况通常是由于产品质量特性值的标准差太大，这时，应及时采取
技术措施，降低分布的标准差。如果属于标准定得不合理，可以放宽标准范围。
T B
(S)
SL
Su
(L)
直方图超出标准范围内的情况
• 尺有所短，寸有所长；物有所不足,智有 所不明。——战国·楚·屈原《卜居》 • [ 解读 ] 尺虽比寸长，但和更长的东西相
比，就显得短，寸虽比尺短，但和更短
的东西相比，就显得长；事物总有它的
不足之处，智者也总有不明智的地方。
人或事物各有长处和短处，不应求全责
备，而应扬长避短。
（3）数据分组。包括确定组数、组距和划分组限。 ①确定组数k。原则是使分组的结果能正确反映数 据的分布规律，参考表6-7.例6-4中，取k=9
数据总数N 分组数k 数据总数N 分组数k 数据总数N 分组数k
50~100
6~10
100~250
7~12
250以上
10~20
②确定组距H。组距即一个组的范围，各组距最好 相等。数值最好取整。
T B
T B
SL ( S )
( L ) Su
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
直方图的分布范围B没有超出标准范围T，但没有余量。此时分布中心稍有偏移
便会出现不合格品，所以应及时采取措施，缩小产品质量特性值的分布范围。
分 析 一 下
T B
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
中位数组组距 ~ X 中位数组下限 中位数组频数 （中位数项数- 中位数组前一组的累计 频数）
③计算极差R 极差是数据最大值与最小值之差。 在数据未分组时的计算式为
R X max X min
在数据分组时极差值等于最高组上限与最低组 下限之差
④标准偏差：描述数据对于平均值的离散程度， 用样本的标准差S表示 A 。当数据未经分组时（ n 足够大时 n-1 可用 n 代 替）
（5）计算累计频数
（6）绘制频率直方图 直方图是用横坐标表示数据的变化，以纵 坐标表示频数（或频率，或频率密度）而绘制
出的描述质量分布状况的图形，直方图将同时
显示数据的所有可能值及这些数值所对应的频 数（或频率）
频率直方图分析 （1）观察整个图形，可判断质量分布状态。 正常型直方图是“中间高、两侧低、左右接 近对称的图形。 当出现非正常型直方图时，表明生产过程或 者数据的收集、整理方法存在问题，需要进一步分 析判断，找出原因，采取相应措施加以纠正。 折齿型、缓坡型、孤岛型、双峰型、绝壁型
产品质量特性值的分布非常集中，致使直方图的分布范围B与标准范围T之间的
余量过大。此时，可对原材料、设备、工艺等适当放宽要求，从而降低生产成
本;或者加严标准，提高产品的性能，以利于组装等
分 析 一 下
T B
SL
(S)
Su
(L)
直方图在标准范围内的情况
产品质量特性值的分布中心向左(或向右〉偏离标准中心，致使直方图分布范 围B的下界限(上界限)超出标准范围T的下界限(或上界限)，因而在下界限(或 上界限)出现不合格品，此时，应设法提高(或降低)产品质量特性值的平均值， 使直方图的分布中心向右(或向左)移动，从而使直方图的分布范围完全落在标 准范围之内。
1 n 2 S ( xi X ) n 1 i 1
B。当数据分组时（xi为组中值）
1 k 2 S ( x X ) fi i n 1 i 1
⑤变异系数 变异系数是表示数据相对波动大小的数值，用 表示离散程度的数字特征值除以相应的平均值
求得，变异系数指标有：
A 极差系数：
CVR R / X 极差 极差系数 平均数
B 标准差系数
CV S / X 标准差 标准差系数 平均数
生产某种圆形零件，要求其直径x为15.0 ±1.0 (mm)，试用 直方图进行统计分析。
i 1 2 3 4 5
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.6 15.1 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.2 14.2
心近似重合，这是理想的直方图。此时，全部产品合格，工序处于正常管理状
态。
T B
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
直方图的分布范围B位于标准范围T内，数据变化仍比较集中，但分布中心偏移
标准中心，并且直方图的一侧已达到标准界限， 此时状态稍有变化，产品就
可能超出标准，出现不合格品。因此，需要采取措施，使得分布中心与标准中 心重合。
A.数据未经分组处理时，中位数的确定：
数据总个数为奇数时（n为奇数）
中位数项数 n 1 2
~ 即中位数 X xn1
2
数据总个数为偶数时，中位数应该等于居中的 两个数据的平均数，即
~ X
xn xn
2 2
1
2
B.数据经分组整理后，中位数的确定。 先确定中位数所在组，然后用内插法计算中位 数。
µ ý Æ Ê fi 3 5 10 16 8 6 2 50
Æ Â µ Ê Pi 0.06 0.10 0.20 0.32 0.16 0.12 0.04 100%
直方图(练习)
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
频数
X
14.2
14.5
14.8
15.1 15.4
15.7
16.0
直方图(练习)
直方图与标准比较
当产品质量特性值符合规定标准时，其对应的直方图，必定
在标准范围之内。符合规定的直方图大致有下面四种类型：
T B
T B
SL ( S )
( L ) Su
SL ( S )
( L ) Su
T B
T BHale Waihona Puke Baidu
SL ( S )
( L ) Su
SL ( S )
( L ) Su
直方图在标准范围内的情况
直方图的分布范围B位于标准范围T内，但有余量;直方图的分布中心与标准中
直方图(练习)
׺ é Å 1 2 3 4 5 6 7 ¡ Æ
 ç Ï ½ Ï Þ ~É Ï ½ ç Ï Þ 14.05~14.35 14.35~14.65 14.65~14.95 14.95~15.25 15.25~15.55 15.55~15.85 15.85~16.15
×Ö é Ð Ö µ 14.2 14.5 14.8 15.1 15.4 15.7 16.0
直方图的分布范围B大大超出标准范围T，此时已出现大量不合格品，必须立即 分析原因，采取紧急措施;如果标准允许改变，就重新修订标准。
T B
(S)
SL
Su
(L)
直方图超出标准范围内的情况
（7）计算质量分布特征值 ①平均数
简单算数平均数
1 n X xi n i 1
加权算数平均数
X
x1 f1 x2 f 2 xk f k
陡壁型
对于正常型直方图，将其分布范围B=[S，L](S 为一批数据中的最小值，L为一批数据中的最大 值)与标准范围T=[SL，Su]， SL为标准下界限， Su为标准上界限)进行比较，就可以看出产品质 量特性值的分布是否在标准范围内，从而可以
了解生产过程或工序加工能力是否处于所希望
的状态。为了方便，可在直方图上标出标准下 界限值和标准上界限值。