《创新设计高考总复习》2014届高考数学(人教B版全国专用)一轮复习：易失分点清零(十三) 计数原理

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[精品]【配套课件】《创新设计·高考一轮总复习》数学

(1)设 z＝xy，求 z 的最小值； (2)设 z＝x2＋y2，求 z 的取值范围．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
[解析]
由约束条件x3－x＋4y5＋y－3≤250≤，0， x≥1，
作出(x，y)的可行域如图所示．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
由x3＝x＋1， 5y－25＝0，
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练3】 (2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
解得
A1，252

.

由xx＝－14， y＋3＝0，解得 C(1,1)，
由x3－x＋4y5＋y－3＝ 25＝0，0，解得 B(5,2)．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
Hale Waihona Puke (1)∵z＝yx＝yx－－00.
∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率．
观察图形可知 zmin＝kOB＝25.
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练 2】 (2012·陕西)设函数 f(x)＝－ln 2xx，－x1＞，0x，≤0， D 是由 x 轴和曲线 y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则 z＝x－2y 在 D 上的最大值为________．解析由题知在点(1,0)处的切线的斜率
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
x＋y－1≥0，【训练 1】若不等式组x－1≤0，
ax－y＋1≥0a为常数
面区域的面积等于 2，则 a 的值为

《创新设计高考总复习》2014届高考数学一轮复习：易失分点清零(五)三角函数与解三角形

易失分点清零(五) 三角函数与解三角形1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析因为cos 2A 2＝b ＋c 2c 及2cos 2A 2－1＝cos A ，所以cos A ＝bc ，则△ABC 是直角三角形．故选A. 答案 A2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12.所得函数解析式为( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －3π2D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π4 解析将原函数向右平移π4个单位长度，所得函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －7π4，再压缩横坐标得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π4.故选D.答案 D3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A 的值等于( )．A.32B.33C.34D.36解析 (3b －c )cos A ＝a cos C ，由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝33，故选B. 答案 B4．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )．A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增解析先将f (x )化为单一函数形式： f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4.由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数，因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x .由0<2x <π，得0<x <π2时，f (x )单调递减，故选A. 答案 A5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )．A.63B.223C ．－63D ．－223解析因为a ＝15，b ＝10，A ＝60°，所以在△ABC 中，由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝10×3215＝33，又由a >b 可得A >B ，即得B 为锐角，则cos B ＝1－sin 2B ＝63. 答案 A6.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )．A ．ω＝1，φ＝π6 B ．ω＝1，φ＝－π6 C ．ω＝2，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π6解析 ∵T ＝π，∴ω＝2.由五点作图法知2×π3＋φ＝π2，∴φ＝－π6. 答案 D7．(2013·龙岩模拟)将函数y ＝f (x )·sin x 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )可以是 ( )．A ．sin xB ．cos xC ．2sin xD ．2cos x解析运用逆变换方法：作y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x 的图象关于x 轴的对称图象得y ＝－cos 2x ＝－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再向左平移π4个单位得y ＝f (x )·sin x ＝－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin 2x ＝2sin x cos x 的图象．∴f (x )＝2cos x .答案 D8．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝( )．A.12B ．－12C.32D ．－32解析由已知，得cos αcos β－sin αsin β＝15，cos αcos β＋sin αsin β＝35，则有cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，所以sin αsin βcos αcos β＝12，即tan αtan β＝12. 答案 A9．(2013·湖州模拟)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．解析由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A ， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ．又A ＋C ＝120° ∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C ) ＝2(2sin C ＋3cos C ) ＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角．由于0°<C <120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27. 答案 2710．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tanα＋β2的值是________．解析因为a >1，tan α＋tan β＝－4a <0， tan α·tan β＝3a ＋1>0，所以tan α<0，tan β<0. 又由α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，得α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以α＋β∈(－π，0)，则α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0.又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－4a 1－(3a ＋1)＝43，又tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝43，整理，得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，解得tanα＋β2＝－2或tan α＋β2＝12(舍去)．答案－211．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间是________．解析即求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 12．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为________．解析由条件，得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3ω－π3＝2sin ωx ，从而T 4＝π2ω≥π4，解之得ω≤2，所以ω的最大值为2. 答案 213．在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C . (1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4B ＋π3的值． (1)证明在△ABC 中，由正弦定理及已知，得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0. 因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0. 所以B ＝C .(2)解由A ＋B ＋C ＝π和(1)，得A ＝π－2B ，故cos 2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝13. 又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 22B ＝223. 从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝429，cos 4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4B ＋π3＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3＝42－7318.14．已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b .(1)当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间；(2)当a >0，且x ∈[0，π]时，f (x )的值域是[3,4]，求a ，b 的值．解 (1)因为f (x )＝1＋cos x ＋sin x ＋b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b ＋1，由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )．(2)因为f (x )＝a (sin x ＋cos x )＋a ＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b ，因为x ∈[0，π]，则x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1.故⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝4，2a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋a ＋b ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝3.。

《创新设计高考总复习》2014届高考数学(人教B版全国专用)一轮复习：易失分点清零(十一) 解析几何(一)

易失分点清零(十一) 解析几何(一)1.若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )．A ．[－3，3]B ．(－3，3) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33解析易知直线的斜率存在，设直线方程为y＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0，直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －4k k 2＋1≤1，得4k 2≤k 2＋1，k 2≤13，解得－33≤k ≤33，故选C. 答案 C2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析设曲线在点P 处的切线斜率为k ，则k ＝y ′＝－4e x(1＋e x )2＝－4e x＋1e x ＋2，因为e x >0，所以由均值不等式，得k ≥－42e x ×1e x ＋2.又k <0，所以－1≤k <0，即－1≤tan α<0.所以3π4≤α<π. 答案 D3．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线是()．A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析点(x，y)关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，2－x－2y＋1＝0⇒x＋2y －3＝0.答案 D4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()．A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5解析根据圆自身的对称性，原圆心(－2,0)对称后的圆心(2,0)，两圆为等圆，不同处在于圆心变化了，所以对称后圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.答案 A5．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，点P(2,2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()．A．3 5 B．4 5 C．57 D．67解析依题意，知圆的最长弦为直径，最短弦为过点P且垂直于最长弦的弦，所以|AC|＝2×3＝6.又因为圆心到BD的距离为(2－1)2＋(2－1)2＝2，所以|BD|＝232－(2)2＝27.于是，四边形ABCD的面积为S＝12×|AC|×|BD|＝12×6×27＝67.答案 D6．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y ＝0相切，则实数λ的值为()．A．－3或7 B．－2或8C．0或10 D．1或11解析由题意，可知直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位后的直线l为2(x＋1)－y＋λ＝0.已知圆的圆心为O(－1,2)，半径为 5.法一直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有|2×(－1＋1)－2＋λ|5＝5，得λ＝－3或7.法二设切点为C(x，y)，则切点满足2(x＋1)－y＋λ＝0，即y＝2(x＋1)＋λ，代入圆的方程，整理得5x2＋(2＋4λ)x＋(λ2－4)＝0，(*)由直线与圆相切可知，(*)方程只有一个解，因而有Δ＝0，得λ＝－3或7.法三设平移后的直线l与圆相切的切点为C(x，y)，由直线与圆相切，可知CO⊥l，因而斜率相乘得－1，即y－2x＋1×2＝－1，又因为C(x，y)在圆上，满足方程x2＋y2＋2x－4y＝0，解得切点为(1,1)或(－3,3)，又C(x，y)在直线2(x＋1)－y＋λ＝0上，解得λ＝－3或7.答案 A7．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为()．A．(x－1)2＋y2＝6425B．x2＋(y－1)2＝6425C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1解析因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以a＝1，b＝0.又根据|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1＝r，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.答案 C8．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是()．A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]解析已知圆的圆心为(3，－5)，圆心到直线的距离为5，由数形结合，易得r的取值范围是(4,6)．答案 A9．(2013·兰州诊断)若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()．A．至多一个B．2 C．1 D．0解析 ∵直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4，∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B. 答案 B10．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析圆(x －3)2＋(y －2)2＝4的圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1，则弦MN 的长为|MN |＝24－d 2＝2 4－(3k ＋1)2k 2＋1＝2－5k 2－6k ＋3k 2＋1≥23，解得k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0.答案 A11．经过点A (3,2)且在两轴上截距相等的直线方程是________．解析当直线过坐标原点时，直线方程为2x －3y ＝0；当直线不过坐标原点时，设直线在两坐标轴上的截距为a ，由3a ＋2a ＝1，得a ＝5，所以直线方程为x ＋y －5＝0.答案 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝012．已知l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是________．解析由l 1∥l 2知a (a －2)－3＝0，解得a ＝3或a ＝－1. 检验当a ＝3时两直线重合，舍去．故a ＝－1. 答案 a ＝－113．已知直线2x sin α＋2y －5＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是________．解析由题意，得直线2x sin α＋2y －5＝0的斜率为k ＝－sin α. 又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.当－1≤k <0时，倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π；当0≤k ≤1时，倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.故直线的倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π414．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析抛物线y 2＝4x 的焦点(1,0)，圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，所以C (0,1)．设圆C 的半径为r ，点C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝1.因为|AB |＝6，所以r 2＝10.所以圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝10. 答案 x 2＋(y －1)2＝1015．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 作两条相互垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N .求证：直线MN 恒过定点．证明由题设，知F (1,0)，直线AB 的斜率存在且不为0，设l AB ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，得x M ＝x A ＋x B2＝k 2＋2k 2，又y M ＝k (x M －1)＝2k ，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k2，2k .因为CD ⊥AB ，所以k CD ＝－1k .以－1k 代k ，同理，可得N (2k 2＋1，－2k )．所以直线MN 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2＋1－k 2＋2k 2(y ＋2k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k －2k (x －2k 2－1)，化简整理，得yk 2＋(x －3)k －y ＝0，该方程对任意k 恒成立，故⎩⎨⎧y ＝0，x －3＝0，－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0.故不论k 为何值，直线MN 恒过定点(3,0)．。

《创新设计·高考一轮总复习》数学立体几何第1讲

B．棱锥 D．都不对
从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一
样，可以判断是棱台．答案 A
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是 ( )．
A．圆柱
C．球体解析
B．圆锥
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩
正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图． ③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
3．直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′
体是直四棱柱．
答案是
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向一空间几何体的结构特征【例1】►给出下列四个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练1】给出下列四个命题： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中不正确的命题的个数是________个．
形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．答案 C

2014届《创新设计·高考一轮总复习》数学第八篇立体几何第6讲

抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
证明 (1)连接BG，则 → → → → 1 → → EG＝EB＋BG＝EB＋ (BC＋BD) 2 → → → → → ＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理的推论知：E、F、G、 H四点共面．
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
→ → → 1→ 1→ 1 → → 1 → (2)因为EH＝AH－AE＝ AD－ AB＝ (AD－AB)＝ BD，所以 2 2 2 2 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH，所以 BD∥平面 EFGH. (3)找一点 O，并连接 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. → 1→ → 1→ 由(2)知EH＝ BD，同理FG＝ BD， 2 2 → → 所以EH＝FG，即 EH 綉 FG，
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考
所以四边形EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分． 1→ 1 → → 1 → → 故OM＝ (OE＋OG)＝ OE＋ OG 2 2 2
1 → → 1 → 11 → ＝ OA＋OB＋ OC＋OD 22 22
(
)．
C．充要条件
解析
D．既不充分也不必要条件
则a∥b，a≠λb.
b＝0， a＝λb⇒a∥b，但 a≠0，
答案 A
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
→ → → 5．在四面体OABC中， OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，D为BC → 的中点，E为AD的中点，则 OE ＝________(用a，b，c表示)．
————————————————

2014届《创新设计·高考一轮总复习》数学(理)第八篇立体几何第4讲

b⊂β，故C错误．
答案 D
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
5 ．在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E 是 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位置关系
为________．
解析如图．连接 AC 、 BD 交于 O 点，连接 OE ，因为 OE∥BD1 ，而 OE⊂ 平面 ACE ， BD1⊄ 平面 ACE ，所以 BD1∥ 平面 ACE.
又MN⊂平面MGN， ∴MN∥平面ADE. ∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
[方法锦囊] 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立
的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存
在；如果找不到符合题目结果要求的条件 (出现矛盾) ，则不存在．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
[审题视点] (1)由BC⊥面ABE可得AE⊥BC，由BF⊥面ACE可得AE⊥BF.
(2)过M作MG∥AE交BE于G，过G作GN∥BC交EC于N，连接
MN，可得面MNG∥面ADE.
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
(1)证明 ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，
证明如下：如图，取 PD 的中点 E，连接 NE，EC，AE，因为 N，E 分别为 PA，PD 的中点， 1 所以 NE 綉2AD.
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
1 又在平行四边形ABCD中，CM綉 2 AD.所以NE綉MC，即四
边形MCEN是平行四边形．所以NM綉EC.
又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.

《创新设计高考总复习》2014届高考数学(人教B版全国专用)一轮复习：易失分点清零(四) 导数及其应用

易失分点清零(四) 导数及其应用1．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为 ( )． A ．3 B ．－3 C ．5D ．－5解析 ∵点(1,3)在直线y ＝kx ＋1上，∴k ＝2. ∴2＝f ′(1)＝3×12＋a ×1⇒a ＝－1.∴f (x )＝x 3－x ＋b . ∵点(1,3)在曲线上，∴b ＝3.故选A. 答案 A2．(2013·泰安一中月考)⎠⎛1e 1＋ln x x d x ＝( )．A ．ln x ＋12ln 2x B.2e －1 C.32D.12解析 ⎠⎛1e 1＋ln x x d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln 2x 2e 1＝32. 答案 C3．(2013·广州模拟)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )．解析若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则易得a ＝c .因选项A 、B 的函数为f (x )＝a (x ＋1)2，则[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝a (x ＋1)(x ＋3)e x ，∴x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，满足条件；选项C 中，对称轴x ＝－b2a ＞0，且开口向下，∴a ＜0，b ＞0，∴f (－1)＝2a －b ＜0，也满足条件；选项D 中，对称轴x ＝－b2a ＜－1，且开口向上，∴a ＞0，b ＞2a ，∴f (－1)＝2a －b ＜0，与图矛盾，故答案选D. 答案 D4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( )．A ．0B ．－4C ．－2D ．2解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案 B5．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内不是凸函数的是( )．A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析 A 选项中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－(sin x ＋cos x )，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ″(x )<0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是凸函数；同理可得选项B 和选项C 中的函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是凸函数；对D 选项，f ′(x )＝－e －x ＋x e －x ＝e －x (x －1)，f ″(x )＝e －x －(x －1)e －x ＝e －x (2－x )，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ″(x )>0，故f (x )＝－x e －x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内不是凸函数．答案 D6．(2011·福建)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．答案 D7．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )．A ．a ≤0B ．a <1C ．a <0D ．a ≤1解析 f ′(x )＝3ax 2－1，若a ＝0，则f ′(x )＝－1<0，f (x )在R 上为减函数若a ≠0，由已知条件⎩⎨⎧ a <0，Δ≤0，即⎩⎨⎧a <0，12a ≤0.解得a <0.综上可知a ≤0. 答案 A8．若函数y ＝f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x ，则函数f (x )在(1,0)点处的切线斜率为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析因为2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x ，所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝－ln x ，故f (x )＝ln x ，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝1. 答案 A9．(2013·济宁一中月考)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为( )．A ．1B. 2C.22D. 3解析由已知y ′＝2x －1x ，令2x －1x ＝1，解得x ＝1.曲线y ＝x 2－ln x 在x ＝1处的切线方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0.两直线x －y ＝0，x －y －2＝0之间的距离为d ＝22＝ 2. 答案 B10．幂指函数y ＝f (x )g (x )在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝g (x )ln f (x )，两边求导数得y ′y ＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x )，于是y ′＝f (x )g (x )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x ).运用此法可以探求得知y ＝x 1x 的一个单调递增区间为( )．A ．(0,2)B ．(2,3)C ．(e,4)D ．(3,8)解析将函数y ＝x 1x 两边求对数得ln y ＝1x ln x ，两边求导数得y ′y ＝－1x 2ln x ＋1x ·1x ＝1x 2(1－ln x )，所以y ′＝y ·1x 2(1－ln x )＝x 1x ·1x 2(1－ln x )．令y ′>0⇒1－ln x >0⇒0<x <e ，结合选项只有A 正确．答案 A11．给出如下命题：(1)⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )；(2)⎠⎛0－11－x 2d x＝⎠⎛011－x 2d x ＝π4；(3)曲线y ＝sin x (0≤x ≤2π)与直线y ＝0围成的两个封闭区域的面积之和为2.真命题的个数为________．解析由于⎠⎛b a d x ＝a －b ，⎠⎛a b d t ＝b －a ，故(1)错；由定积分的几何意义知⎠⎛0－11－x 2d x 和⎠⎛011－x 2d x 都表示半径为1的圆面积的14，所以都等于π4，故(2)正确；曲线y ＝sin x (0≤x ≤2π)与直线y ＝0所围成的两个封闭区域的面积之和应该等于4，所以(3)错误．答案 112．抛物线x 2＝12y 在第一象限内的图象上一点(a i,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若 a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6＝________.解析由y ＝2x 2，知y ′＝4x ，则切线方程为y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1＝12a i ，所以a 2，a 4，a 6成首项为32，公比为14的等比数列，故a 2＋a 4＋a 6＝42. 答案 4213．(2013·温州一模)已知a ＝⎠⎛0π(3cos x －sin x )d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5展开式中x的系数为________．解析 a ＝⎠⎛0π(3cos x －sin x )d x ＝(3sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π0＝－2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的通项T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )(－2x －1)r ＝(－2)r C r 5x10－3r，令10－3r ＝1，∴r ＝3.此时x 的系数为(－2)3C 35＝－80.答案－8014．已知f ′(x )为函数f (x )＝13ax 3＋(3－a )x 2－7x ＋5(a >0)的导函数，当x ∈[－2,2]时，|f ′(x )|≤7恒成立，则f (x )＝________.解析由f (x )＝13ax 3＋(3－a )x 2－7x ＋5(a >0)可得f ′(x )＝ax 2＋2(3－a )x －7，因为f ′(x )＝ax 2＋2(3－a )x －7是开口向上的抛物线且f ′(0)＝－7，所以要使x ∈[－2,2]时，|f ′(x )|≤7恒成立，只要f ′(x )的对称轴为y 轴且⎩⎨⎧f ′(2)≤7，f ′(－2)≤7即可，所以对称轴－2(3－a )2a ＝a －3a ＝0，可得a ＝3，经检验满足题意，则f (x )＝x 3－7x ＋5. 答案 x 3－7x ＋515．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是________．解析阴影部分的面积S ＝⎪⎪⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x π0＝－(－1－1)＝2，矩形的面积为2π.概率P ＝阴影部分的面积矩形面积＝22π＝1π.答案 1π。

《创新设计高考总复习》2014届高考数学(人教B版全国专用)一轮复习：易失分点清零(八) 不等式

易失分点清零(八) 不等式1.已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的 ( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析由a >b 且c >d 不能推知a －c >b －d ，如取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1；反过来，由a －c >b －d 与c >d 可得a －c ＋c >b －d ＋c >b －c ＋c ，即有a >b .综上所述，选B. 答案 B2．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( )．A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b解析若a <b ，可取特殊值验证A ，B ，D 均不正确，∵1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0，∴1ab 2<1a 2b ，故应选C. 答案 C3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧23x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )<a ，则实数a 的取值范围为 ( )．A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(3，＋∞)D ．(0,1)解析不等式f (a )<a 等价于⎩⎪⎨⎪⎧23a －1<a ，a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1a<a ，解得a ≥0或－1<a <0，即不等式f (a )<a 的解集为(－1，＋∞)．答案 A4．对x∈R，下列不等式恒成立的是()．A．lg(x2＋1)≥lg 2x B．x2＋1>2xC.1x2＋1<1 D．x2＋4≥4x解析选项A中当x<0时无意义，选项B中当x＝1时不成立，选项C中当x ＝0时不成立．选项D成立．答案 D5．已知a>b>c>0，若P＝b－ca，Q＝a－cb，则()．A．P≥Q B．P≤Q C．P>Q D．P<Q解析P－Q＝b－ca－a－cb＝b2－bc－a2＋acab＝(b＋a－c)(b－a)ab.因为a>b>c>0，所以P－Q<0，即P<Q. 答案 D6．已知a>0，b>0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()．A．2 B．2 2 C．4 D．5解析依题意得1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab≥41ab·ab＝4，当且仅当1a＝1b，即a＝b时，取等号，故应选C.答案 C7．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()．A．2∈M,0∈M B．2∉M,0∉MC．2∈M,0∉M D．2∉M,0∈M解析不等式(1＋k2)x≤k4＋4可变形为x≤k4＋4k2＋1.即得M＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，k4＋4k2＋1.∵k4＋4 k2＋1＝(k2＋1)＋5k2＋1－2≥25－2>2，∴2∈M，0∈M，故应选A.答案 A8．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab＋1ab ≥2＋2＝4.等号成立，当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22，所以式子的最小值为4. 答案 D9．(2013·衡阳六校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的最小值是( )．A ．2B ．5C.255D.45解析根据题意作出的不等式组表示的平面区域如图所示，注意到x 2＋y 2＝[(x －0)2＋(y －0)2]2，故x 2＋y 2可视为该平面区域内的点(x ，y )与原点的距离的平方．结合图形可知，该平面区域内的所有点与原点的距离的最小值等于原点到直线2x ＋y －2＝0的距离，即为|2×0＋0－2|22＋12＝25.因此，x 2＋y 2的最小值是⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，选D.答案 D10．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－1的最小值为________．解析 y ＝x ＋22x ＋1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－32≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－32＝12，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为12.答案 1211．不等式|2x －1|－x <1的解集是________．解析 |2x －1|－x <1⇒|2x －1|<x ＋1⇒－x －1<2x －1<x ＋1⇒0<x <2.答案 {x |0<x <2}12．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________．解析 z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋(x ＋y )2－2xy xy ＝2xy ＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14.由f (t )＝t ＋2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t ＝14时f (t )＝t ＋2t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值254. 答案25413．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，y ≥1，x －y ＋1≥0，x ＋y ≤6，则z ＝x ＋2y2x ＋y的取值范围是________．解析作出满足x ≥1，y ≥1，x ＋y ≤6，x －y ＋1≥0的可行域如图中的阴影部分，四个顶点的坐标分别为A (1,1)、B (1,2)、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72、D (5,1)，将目标函数变形为z ＝x ＋2y 2x ＋y＝1＋2y x2＋y x＝1＋2k 2＋k ，而k ＝yx 表示可行域中的点(x ，y )与原点连线的斜率，数形结合易得可行域中的点D 、B 与原点连线的斜率分别取得最小值、最大值，故k ＝y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，2，再由函数的性质易得z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤711，54.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤711，5414．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇔(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇔x ≤－1； (2)当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇔x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a ＞－1，即a ＜－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； ②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a ＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.15．已知函数f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0，f (m )＋f (n )m ＋n>0.(1)证明：函数f (x )在[－1,1]上是增函数； (2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若不等式f (x )≤4t －3·2t ＋3对所有x ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． (1)证明设任意x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则由函数y ＝f (x )为奇函数，知 f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)．因为f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在[－1,1]上是增函数．(2)解因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32≤x <－1. (3)解由(1)，知f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (1)＝1，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )≤1.因为不等式f (x )≤4t －3·2t ＋3对所有x ∈[－1,1]恒成立，所以4t －3·2t ＋3≥1恒成立．所以(2t )2－3·2t ＋2≥0，即2t ≥2或2t ≤1. 所以t ≥1或t ≤0.。

《创新设计高考总复习》高考数学（人教B版全国专用）一轮复习：易失分点清零(一)

易失分点清零(一) 集合与常用逻辑用语1.设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析 ∵A ∩B 有2个元素，故A ∩B 的子集的个数为4.答案 A2．设集合A ＝{x ||x －2|≤2，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则∁R (A ∩B )＝( )．A ．RB ．{x |x ∈R ，x ≠0}C ．{0}D ．∅ 解析 A ＝{x ||x －2|≤2}＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}＝{y |－4≤y ≤0}，∴A ∩B ＝{0}，则∁R (A ∩B )＝{x |x ∈R ，x ≠0}．答案 B3．若条件p ：|x ＋1|≤4，条件q ：x 2<5x －6，则綈p 是綈q 的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 p ：A ＝{x ||x ＋1|≤4}＝{x |－5≤x ≤3}，q ：B ＝{x |x 2<5x －6}＝{x |2<x <3}，则q 是p 的充分不必要条件⇔綈p 是綈q 的充分不必要条件．答案 A4．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2,3，…)”是“{a n }为递增数列”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵a n ＋1>|a n |，∴a n ＋1>a n ，∴数列{a n }为递增数列，但是{a n }为递增数列不一定能得到a n ＋1>|a n |，如数列为－4，－2，－1，….虽然为递增数列，但是不满足a n ＋1>|a n |.故选A.答案 A5．下列命题的否定中真命题的个数是( )． ①p ：当Δ<0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈R )无实根；②q ：存在一个整数b ，使函数f (x )＝x 2＋bx ＋1在[0，＋∞)上是单调函数； ③r ：存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1≥0不成立．A ．0B ．1C ．2D ．3解析由于命题p 是真命题，∴命题①的否定是假命题；命题q 是真命题，∴命题②的否定是假命题；命题r 是假命题，∴命题③的否定是真命题．故只有一个正确的，故选B.答案 B6．已知集合A ＝{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }＝B ，则x ＋y ＝________.解析由A ＝B 知需分多种情况讨论，由lg(xy )有意义，则xy >0.又0∈B ＝A ，则必有lg(xy )＝0，即xy ＝1.此时，A ＝B ，即{0,1，x }＝{0，|x |，y }．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝|x |，xy ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y ，xy ＝1，|x |＝1，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝－1.当x ＝y ＝1时，A ＝B ＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去；当x ＝y ＝－1时，A ＝B ＝{0，－1,1}满足题意，故x ＝y ＝－1.答案－27．已知集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a －b ＝________.解析由b a 可得a ≠0，又a ≠1，故a ≠a 2，从而a ＝a ＋b ，有b ＝0，{a,0,1}＝{a 2，a,0}，从而由a 2＝1且a ≠1得a ＝－1.故a －b ＝－1.答案－18．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ⊆A ，则实数p 的取值范围为________．解析 A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，∵B ⊆A ，分两种情况：①当B ＝∅时，即2p －1<p ＋1，解得p <2；②当B ≠∅时，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2p －1≤5，p ＋1≥－2，2p －1≥p ＋1，解得2≤p ≤3.故实数p 的取值范围是(－∞，3]．答案 (－∞，3]9．已知命题p ：幂函数y ＝x 1－a 在(0，＋∞)上是减函数；命题q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1>0恒成立．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．解若命题p 真，1－a <0⇔a >1，那么p 假时，a ≤1；若命题q 真，则⎩⎨⎧ a >0，a 2－4a <0或a ＝0⇔0≤a <4，那么q 假时，a <0或a ≥4.∵p ∧q 假，p ∨q 真，∴命题p 与q 一真一假．当命题p 真q 假时，⎩⎨⎧ a >1，a <0或a ≥4⇔a ≥4. 当命题p 假q 真时，⎩⎨⎧a ≤1，0≤a <4⇔0≤a ≤1. ∴所求a 的取值范围是[0,1]∪[4，＋∞)．10．已知集合A ＝{1,3，－x 3}，B ＝{1，x ＋2}，是否存在实数x ，使得B ∪(∁A B )＝A？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．解存在．假设存在实数x，使得B∪(∁A B)＝A，则B是A的真子集，若x ＋2＝3，则x＝1，符合题意．若x＋2＝－x3，则x＝－1，不满足集合元素的互异性，∴x＝1，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}满足题意．。

2014届《创新设计·高考一轮总复习》数学(理)第八篇立体几何第3讲

抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
两种判定方法异面直线的判定方法
(1)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内
不经过该点的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两直线异面．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点自测 1．下列命题是真命题的是 ( )．
DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱， 12×4 排除两棱的重复计算，共有异面直线＝24(对)． 2
答案 24
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向一平面的基本性质及其应用【例1】► 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E 、 F
分别是AB和AA1的中点．求证：
的平面，有下列四个命题：
①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α； ②若α∥β，m⊂α，则m∥β； ③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β.
其中正确命题的序号是
A．①③ C．③④ B．①② D．②③
抓住3个考点突破3个考向
(
)．
揭秘3年高考
解析
若m⊂β ， α⊥β ，则m⊥α 或 m∥α ，或 m与 α相交，故①
BD所成的角．
抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考
1 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝ AC，求得∠FEG＝45° ，即异 2 面直线EF与BD所成的角为45° .
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
热点突破15 准确判断空间点、线、面的位置关系【命题研究】通过近三年的高考试题分析，主要结合线线、
共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A 、 B 、 C 、 D 在同一平面内，这与 A 是

《创新设计高考总复习》2014届高考数学一轮复习：第八篇第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图

均以选择题的形式出现，难度不大．
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【真题探究】► (2011· 山东)如图所示，长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：
①存在三棱柱，其正视图、俯视图如右图
所示；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正视图，俯视图如图．其中真命等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中不正确的命题的个数是________个．解析认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不准确，②中对等腰
形．
③棱台：棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考
(2)旋转体一边所在直线 ①圆柱可以由矩形绕_____________旋转一周得到．
②圆锥可以由直角三角形绕其___________旋转得到．任一直角边
③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到． ④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．
均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥O－ABC，当OA、OB、OC两两垂直且OA ＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小
均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其
三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.
答案
D
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
5. 如图，过BC的平面截去长方体的一
答案
D
抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考
对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积 S 与其直观图面积 S′之间的关系 S′ 2 ＝ S，能进行相关问题的计算． 4

《创新设计高考总复习》2014届高考数学一轮复习：易失分点清零(五)三角函数与解三角形

答案
D
易失分点2 图象变换方向把握不准
π 【示例 2】► 将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移个 5 单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )． π 2π A．y＝sin2x－ 5 B．y＝sin2x－ 5 1 1 π π C．y＝sin2x－ 5 D．y＝sin2x＋ 5 π 解析将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移个单 5 π 位长度，所得函数图象的解析式为 y＝sinx＋5 ；再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图 1 π 象的函数解析式是 y＝sin2x＋ 5.故选 D. 答案 D
易失分点清零（五）三角函数与解三角形
易失分点1
忽视角的范围
【示例 1】► 已知 tan α，tan β 是方程 x2＋3 3x＋4＝0 的 π π 两根，若 α，β∈－2，2 ，则 α＋β＝ ( )． π π 2 A. B. 或－ π 3 3 3 π 2 2 C．－或 π D．－ π 3 3 3
易失分点4
解三角形时出现漏解或增解
π 【示例 4】► 在△ABC 中，a＝2，b＝ 2，A＝，求 B. 4 a b 解由正弦定理得＝， sin A sin B
π 2sin 4 1 bsin A ∴sin B＝ a ＝＝ . 2 2 π ∵a>b，∴A>B，∴B＝ . 6
警示已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，
a 5 (2)当 <0，即 a<0 时，则当 t＝0，即 cos x＝0 时，ymax＝ a 2 8 1 12 －＝1，解得 a＝，由于 a<0，故这种情况不存在满足条 2 5 件的 a 值； a (3)当 >1，即 a>2 时，则当 t＝1，即 cos x＝1 时，ymax＝a 2 5 3 20 20 ＋ a－＝1，解得 a＝，由于 <2，故这种情况下不存在 8 2 13 13 满足条件的 a 值． 3 综上可知，存在 a＝符合题意． 2

2014届《创新设计·高考一轮总复习》数学 (理)第八篇立体几何第2讲

解析由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所
示，其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5， BE＝2，ED＝3，AE＝4.∴AD＝5. 又CD⊥BD，CD⊥AE，则CD⊥平面ABD，
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
故CD⊥AD，所以AC＝ 41且S△ACD＝10. 在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2 5. 在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝ 41. 在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.
7πa2 3 .
7πa2 答案 (1)16π (2) 3
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
[方法锦囊] (1)已知与球有关的组合体的三视图，要将其还原为几何体，对组合体的表面积和体积可以分割计算．
(2)处理与几何体外接球相关的问题时，一般需依据球和几何
体的对称性，确定球心与几何体的特殊点间的关系．解决与棱柱有关的问题时需注意运用棱柱的体对角线即为外接球直径这一知识．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
两个关注点 (1)“切”“接”问题一般要过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． (2)特殊图形可以用补图的方法解答．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点自测 1．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 A．4πS C．πS B．2πS 2 3 D. πS 3 ( )．
(2)旋转体的侧面积和表面积
①若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则 S侧＝ 2πrl ，S表＝ 2πr(r＋l) ．
抓住2个考点

【创新设计】高三数学一轮复习 9

∵DE⊥平面PAE.∴平面PAE⊥平面PDE. ∴过F作FQ⊥PE于Q，则FQ⊥平面PDE. ∴FQ的长即F点到平面PDE的距离．在△PAE中，PA＝AE＝2a，F为AE中点，FQ⊥PE， ∴FQ＝ a.∴点C到平面PDE的距离为 a.
．
∵
＝(－4,0,0)·(0, ，－ )＝0，∴AC⊥SB.
(2)由(1)得
，设n＝(x，y，z)为平面CMN的
一个法向量，则
取z＝1，则
x＝，y＝－，∴n＝( ，－，1)．
又
为平面ABC的一个法向量，∴
.
∴二面角N－CM－B的大小为arccos .
(3)由(1)(2)得
为平面CMN的一个法向量，
∴∠PAB＝60°.而PB是四棱锥P－ABCD的高，PB＝AB·tan 60°＝ a，
∴V锥＝
；
(2)证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与面PCD恒为全等三角形．如图，作AE⊥DP，垂足为E，连结EC、AC，则△ADE≌△CDE.
∴AE＝CE，∠CED＝90°，故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角．
(2)设SC的中点为F，连结BF和DF，
∵△BCS和△DCS都是正三角形，∴DF⊥SC，BF⊥SC，
∴∠DFB为相邻两侧面所成二面角的平面角，即∠DFB＝β.由DF＝BF＝ a，BD＝
a，得cos β＝
.
(3)证明：∵cos 2α＝2cos2α－1＝，0°＜2α＜180°，0°＜β＜180°.
∴β＝2α.
当k＝时，
设平面PBC的法向量为n＝(1，y，z)，
由
得
解得
∴n＝(1,1， )．cos〈，n〉＝
，
∴〈，n〉＝arccos

《创新设计高考总复习》2014届高考数学(人教B版全国专用)一轮复习：易失分点清零(十二) 解析几何(二)

易失分点清零(十二) 解析几何(二)1. 已知动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －11|，则P 点的轨迹是( )．A ．直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆解析由已知，得(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －11|5，即动点P (x ，y )到定点(1,2)和定直线3x ＋4y －11＝0的距离相等，而定点(1,2)在直线3x ＋4y －11＝0上，所以P 点的轨迹是过点(1,2)且与直线3x ＋4y －11＝0垂直的直线．答案 A2．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析要使mx 2＋ny 2＝1，即x 21m ＋y21n ＝1是焦点在y 轴上的椭圆须有⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，1m <1n⇔m >n >0，故互为充要条件．答案 C3．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( )．A.52B.32C.352D.23解析双曲线的一个焦点为(c,0)，一条渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，所以焦点到渐近线的距离为|bc |b 2＋a2＝53c ，整理得b 2＝54a 2，所以有c 2－a 2＝54a 2，c 2＝94a 2，即c ＝32a ，离心率e ＝32，选B.答案 B4．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程是( )．A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1D ．2y ＝8x 2＋1解析设AP 中点为(x ，y )，则P (2x,2y ＋1)在2x 2－y ＝0上，即2(2x )2－(2y ＋1)＝0，∴2y ＝8x 2－1.答案 C5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线x 212－y 24＝1的一个焦点重合，直线y ＝x －4与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |等于( )．A ．28B ．32C ．20D ．40解析双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)，因此p ＝8，故抛物线方程为y 2＝16x ，易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．所以|AB |＝2p sin 2α＝2×8⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝32(α为直线AB 的倾斜角)．答案 B6．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )．A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 解析由题意，得22＝a 2＋1，即a ＝3，设P (x ，y )，x ≥3，FP→＝(x ＋2，y )，则OP →·FP →＝(x ＋2)x ＋y ·y ＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－74，因为x ≥3，所以OP →·FP→的取值范围为[3＋23，＋∞)．答案 B7．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是点M 的坐标满足方程y ＝－2x 的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析点M 在曲线y 2＝4x 上，其坐标不一定满足方程y ＝－2x ，但当点M 的坐标满足方程y ＝－2x 时，则点M 一定在曲线y 2＝4x 上，如点M (4,4)时，故选B. 答案 B8．设θ是三角形的一个内角，且sin θ＋cos θ＝15，则方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1所表示的曲线为( )．A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线解析由条件知sin θ·cos θ＝－1225，且θ∈(0，π)，从而sin θ>0，cos θ<0，故选C. 答案 C9．(2012·山东)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为9.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y . 答案 D10．已知F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率为e ，且|PF 1|＝e |PF 2|，则e 的值为( )．A.22B ．2－ 3C.33D ．2－ 2解析设椭圆的中心在原点，焦距为2c ，则由题意，知抛物线的准线为x ＝－3c ，由|PF 1|＝e |PF 2|，得|PF 1|PF 2＝e ，由于P 为椭圆与抛物线的一个公共点，设点P 到抛物线的准线的距离为d ，则由抛物线的定义，知|PF 1|d ＝e .又点P 是椭圆上的点，故抛物线的准线也是椭圆的左准线，所以a 2c ＝3c ，解得e ＝33. 答案 C11．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1(m >0)的离心率等于32，则m ＝________.解析 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，则由方程，得a 2＝4，即a ＝2.又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝22－(3)2＝1.(2)当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1. 则由方程，得b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故a 2－b 2a ＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ，所以a ＝4.故m ＝a 2＝16. 综上，m ＝1或16. 答案 1或1612．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)，直线l 过点A (a,0)和B (0，b )，且原点到直线l 的距离为34c (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为________．解析因为直线l 过点A (a,0)和B (0，b )，所以其方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.又原点到直线l 的距离为34c ，所以ab a 2＋b2＝34c .又a 2＋b 2＝c 2，所以4ab ＝3c 2，即16a 2(c 2－a 2)＝3c 4.所以3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a >0，e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a 2>a 2＋a 2a 2＝2.所以e 2＝4，故e ＝2.答案 213．已知F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →.当点P在y 轴上运动时，N 点的轨迹C 的方程为________．解析 ∵MN →＝2 MP →，故P 为MN 中点．又∵PM →⊥PF →，P 在y 轴上，F 为(1,0)，故M 在x 轴的负半轴上，设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，(x >0)，∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2，又∵PM →⊥PF →，∴PM →·PF →＝0，即－x ＋y 24＝0，∴y 2＝4x (x >0)是轨迹C 的方程．答案 y 2＝4x (x >0)14．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，则F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2.当y ≠0时，则kF 1P ＝cy b 2＋2c 2，kQF 2＝cy b 2－2c2，由kF 1P ·kQF 2＝－1，得y 2＝(b 2＋2c 2)(2c 2－b 2)c 2，y 2>0，即2c 2－b 2>0，即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1；当y ＝0时，此时F 2为PF 1的中点，由a 2c －c ＝2c ，得e ＝33.综上，得33≤e <1. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，115.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M (3,1)．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，且交椭圆于A ，B 两不同点． (1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2＝0. (1)解设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ，9a 2＋1b2＝1⇒⎩⎨⎧a 2＝18，b 2＝2.所求椭圆的方程为x 218＋y 22＝1.(2)解 ∵直线l ∥OM 且在y 轴上的截距为m ， ∴直线l 的方程为y ＝13x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ＋m ，x 218＋y 22＝1⇒2x 2＋6mx ＋9m 2－18＝0.∵直线l 交椭圆于A ，B 两点，∴Δ＝(6m )2－4×2×(9m 2－18)>0⇒－2<m <2，所以m 的取值范围是(－2,0)∪(0,2)． (3)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－3，k 2＝y 2－1x 2－3.由2x 2＋6mx ＋9m 2－18＝0，得 x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝92m 2－9. 又y 1＝13x 1＋m ，y 2＝13x 2＋m ，代入k 1＋k 2＝(y 1－1)(x 2－3)＋(y 2－1)(x 1－3)(x 1－3)(x 2－3)，整理得k 1＋k 2＝23x 1x 2＋(m －2)(x 1＋x 2)＋6－6m(x 1－3)(x 2－3)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫92m 2－9＋(m －2)(－3m )＋6－6m (x 1－3)(x 2－3)＝0，∴k1＋k2＝0.。

《创新设计高考总复习》高考数学一轮复习：易失分点清零导数及其应用

警示 (1)因为点P(1,-2)在曲线f(x)=x3-2x-1上，故容易认为点P就是切点，从而遗漏了过点P与曲线切于其它点的切线. （2）求过一点P（m,n）的函数图象的切线方程一般步骤：设切点（x0,y0）→求导数f′(x0)→设切线方程y-y0=f′(x0)·(xx0)→代入点P的坐标n-f(x0)=f′(x0)·(m-x0)→解方程求出x0 的值→写出切线方程.
警示容易把fx0－4ΔΔxx－fx0错看成函数 f(x)在 x＝x0 附近的平均变化率，这是因为对函数导数定义理解不透．
易失分点2 导数与极值关系不清致误
【示例 2】已知函数 f(x)＝13x3＋(b－1)x2＋bx 存在极值点，求实数 b 的取值范围．解因为 f′(x)＝x2＋2(b－1)x＋b＝0 有两个不等实根，所以 Δ ＝ 4(b － 1)2 － 4b>0 ，故 b 的取值范围是－∞，3－2 5∪3＋2 5，＋∞.
易失分点清零（四）导数及其应用
易失分点1 错误理解导数的定义致误【示例 1】设 f(x)在 x＝x0 的导数值为 f′(x0)，已知当 Δx→0
时，fx0－4ΔΔxx－fx0无限趋近于 1，求 f′(x0)．解设－4Δx＝Δx′，当 Δx→0 时，Δx′→0，则fx0＋ΔΔxx′′－fx0→f′(x0)，则fx0－4ΔΔxx－fx0→－4f′(x0)．故－4f′(x0)＝1，所以 f′(x0)＝－14.
为
3
1
y－1y
dy
＝
＝4－ln 3.
12y2－ln
y
3 1
答案 D
D．4－ln 3
警示利用定积分求曲边形的面积时，易弄错被积函数或积分上、下限，或不能结合图形选择合适的积分变量.因此在具体解题中，可根据两个函数的图象位置的高低，用分段的形式将面积表示出来.

【创新设计(内容详细)】高考数学第一轮复习全套一

【创新设计】高考数学第一轮复习全套第一篇集合与常用逻辑用语细致讲解练理新人教A版第1讲集合及其运算[最新考纲]1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．5．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.知识梳理1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?U A＝{x|x∈U，且x?A}辨析感悟1．元素与集合的辨别(1)若{,2x1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×）(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.(√）(3)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(×）2．对集合基本运算的辨别(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)总成立．(√）(5)(2013·浙江卷改编)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(?R S)∪T＝{x|－4≤x≤1}．(×）(6)(2013·陕西卷改编)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则?R M＝{x|x＞1，或x＜－1}．(√）[感悟·提升]1．一点提醒求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．如第(3)题就是混淆了数集与点集．2．两个防范一是忽视元素的互异性，如(1)；二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，如(6)．3．集合的运算性质：①A∪B＝B?A?B；②A∩B＝A?A?B；③A∪(?U A)＝U；④A∩（?U A)＝?.考点一集合的基本概念【【例1】】【例1】(1)(2013·江西卷)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )．A．4 B．2 C．0 D．0或4(2)(2013·山东卷)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )．A．1 B．3 C．5 D．9解析(1)由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠０时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．(2)x－y∈{－2，－1,0,1,2}．答案(1)A (2)C规律方法集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．【训练1】已知a∈R，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则a2 014＋b2 014＝________.解析由已知得ba＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 014＋b2 014＝1.答案 1考点二集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围．(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(?U A)∩B＝?，求m 的值．审题路线(1)分B＝?和B≠?两种情况求解，当B≠?时，应注意端点的取值．(2)先求A，再利用(?U A)∩B＝??B?A，应对B分三种情况讨论．解(1)当B＝?时，有m＋1≥２m－1，则m≤2.当B≠?时，若B?A，如图．则m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋1<2m－1，解得2<m≤4.综上，m的取值范围是(－∞，4]．(2)A＝{－2，－1}，由(?U A)∩B＝?，得B?A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．【训练2】(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A ?C?B的集合C的个数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4(2)(2014·郑州模拟)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B?A，则实数a的所有可能取值的集合为( )．A．{－1} B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}解析(1)由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A?C?B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)a＝0时，B＝{x|1≠0}＝??A；a≠０时，B＝x x＝－1a?A，则－1a＝－1或－1a＝1，故a＝0或a＝1或－1.答案(1)D (2)D考点三集合的基本运算【例3】(1)(2013·湖北卷)已知全集为R，集合A＝x 12x≤１，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩?R B＝( )．A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2，或x＞4} D．{x|0＜x≤2，或x≥4}(2)(2014·唐山模拟)若集合M＝{y|y＝3x}，集合S＝{x|y＝lg(x－1)}，则下列各式正确的是( )．A．M∪S＝M B．M∪S＝SC．M＝S D．M∩S＝?解析(1)A＝x|12x≤１＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以?R B＝{x|x＜2，或x＞4}，此时A∩?R B＝{x|0≤x＜2，或x＞4}．(2)M＝{y|y＞0}，S＝{x|x＞1}，故选 A.答案(1)C (2)A规律方法一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．【训练3】(1)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?U A)∪B为( )．A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)＜1}，则A∩（?U B)＝________.解析(1)?U A＝{0,4}，∴(?U A)∪B＝{0,2,4}．(2)由log2(x－2)＜1，得0＜x－2＜2,2＜x＜4，所以B＝{x|2＜x＜4}．故?U B＝{x|x≤2，或x≥4}，从而A∩（?U B)＝{x|－1≤x≤2}．答案(1)C (2){x|－1≤x≤2}数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．学生用书第3页创新突破1——与集合有关的新概念问题【典例】已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )．A．3 B．6 C．8 D．10解析法一(列表法) 因为x∈A，y∈A，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及x －y的取值如下表所示：xx－y1234 5y10－1－2－3－4210－1－2－33210－1－243210－1543210由题意x－y∈A，故x－y只能取1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的取值满足条件的共有10个，即B中的元素个数为10，故选 D.法二(直接法) 因为A＝{1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，x＞y.当y＝1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；当y＝2时，x可取3,4,5，共有3个数；当y＝3时，x可取4,5，共有2个数；当y＝4时，x只能取5，共有1个数；当y＝5时，x不能取任何值．综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为4＋3＋2＋1＝10.答案 D[反思感悟] (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．【自主体验】1．(2013·广东卷)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是( )．A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)?SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)?S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)?S，(x，y，w)?S解析题目中x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x＝1，y＝2，z＝3，w＝4满足题意，且(2,3,4)∈S，(1,2,4)∈S，从而(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S成立．答案 B2．(2013·浙江部分重点中学调研)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1? A，且k＋1?A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有( )．A．6个 B．12个 C．9个 D．5个解析依题意，可知由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数．故这样的集合共有6个．答案 A对应学生用书P219基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )．A．A∩B＝? B．A∪B＝RC．B?A D．A?B解析集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2，或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R.答案 B2．(2013·广东卷)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝( )．A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}解析S＝{－2,0}，T＝{0,2}，∴S∩T＝{0}．答案 A3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )．A．2个 B．4个C．6个 D．8个解析P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集共有4个．答案 B4．(2013·辽宁卷)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝( )．A．(0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2]解析0＜log4x＜1，即log41＜log4x＜log44，∴1＜x＜4，∴集合A＝{x|1＜x＜4}，∴A∩B ＝{x|1＜x≤2}．答案 D5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为( )．A．{x|x≥1} B．{x|－4＜x＜2}C．{x|－8＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}解析阴影部分是A∩?R B.集合A＝{x|－4＜x＜2}，?R B＝{x|x≥1}，所以A∩?R B＝{x|1≤x ＜2}．答案 D二、填空题6．(2013·江苏卷)集合{－1,0,1}共有________个子集．解析所给集合的子集个数为23＝8个．答案87．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．解析根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.答案 48．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．解析由|x－2|≤5，得－5≤x－2≤5，即－3≤x≤7，所以集合A中的最小整数为－ 3.答案－3三、解答题9．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B. 解由A∩B＝{－3}知，－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－ 3.①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2，1}，A∩B＝{1，－3}．故a＝0舍去．②当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，满足A∩B＝{－3}，从而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．10．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，(1)若B?A，求a的值；(2)若A?B，求a的值．解(1)A＝{0，－4}，①当B＝?时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)＜0，解得a＜－1；②当B为单元素集时，a＝－1，此时B＝{0}符合题意；③当B＝A时，由根与系数的关系得：－a＋＝－4，解得a＝1.a2－1＝0，综上可知：a≤－1或a＝1.(2)若A?B，必有A＝B，由(1)知a＝1.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )．A．5 B．4 C．3 D．2解析当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共含有3个元素．答案 C2．(2013·江西七校联考)设全集U＝R，集合M＝{x|y＝lg(x2－1)}，N＝{x|0＜x＜2}，则N∩（?U M)＝( )．A．{x|－2≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|－1≤x≤1} D．{x|x＜1}解析M＝{x|y＝lg(x2－1)}＝{x|x2－1＞0}＝{x|x＞1，或x＜－1}，所以?U M＝{x|－1≤x≤1}，结合数轴易得N∩（?U M)＝{x|0＜x≤1}．答案 B二、填空题3．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.解析A＝{x|－5<x<1}，因为A∩B＝{x|－1<x<n}，B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，所以m＝－1，n＝1.答案－1 1三、解答题4．已知集合A＝{y|y＝2x－1,0＜x≤1}，B＝{x|(x－a)[x－(a＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a的取值范围．(1)A∩B＝A；(2)A∩B≠?.解因为集合A是函数y＝2x－1(0＜x≤1)的值域，所以A＝(－1,1]，B＝(a，a＋3)．(1)A∩B＝A?A?B?a≤－1，a＋3＞1，即－2＜a≤－1，故当A∩B＝A时，a的取值范围是(－2，－1]．(2)当A∩B＝?时，结合数轴知，a≥１或a＋3≤－1，即a≥１或a≤－4. 故当A∩B≠?时，a的取值范围是(－4,1).学生用书第3页第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件[最新考纲]1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.知识梳理1．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p?q且q pp是q的必要不充分条件p q且q?pp是q的充要条件p?qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p辨析感悟1．对四种命题的认识(1)(2012·湖南卷改编)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命是“若α＝π4，则tanα≠1”．(×）(2)若原命题“若p，则q”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数为1或2.(×）(3)命题“若x2－3x＋2＞0，则x＞2或x＜1”的逆否命题是“若1≤x≤2，则x2－3x＋。

《创新设计高考总复习》2014届高考数学(人教B版全国专用)一轮复习：易失分点清零(十) 立体几何(二)

易失分点清零(十) 立体几何(二)1．将下面的平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ 是异面直线的是( )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③答案 C2．已知空间直角坐标系O －xyz 中有一点A (－1，－1,2)，点B 是平面xOy 内的直线x ＋y ＝1上的动点，则A ，B 两点的最短距离是( )．A. 6B.342C ．3D.172解析点B 在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上，设点B 为(x ，－x ＋1,0)，所以AB ＝(x ＋1)2＋(－x ＋2)2＋(0－2)2＝2x 2－2x ＋9＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋172，所以当x ＝12时，AB 取得最小值342，此时点B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.答案 B3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )．A.12B.22C ．－12D ．0解析因为OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA →||OB →|cos 〈OA →，OB →〉又因为〈OA →，OC →〉＝〈OA →，OB →〉＝π3，|OB →|＝|OC →|，所以OA →·BC →＝0，所以OA →⊥BC →，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案 D4．已知a ，b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析因为AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1. 所以cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12.所以AB 与CD 所成的角为60°，即异面直线a 与b 所成的角为60°. 答案 C5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值是( )．A ．0B.37070 C ．－37070D.7070解析分别以直线DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,3)，AC →＝(－1,2,0)，BD →1＝(－1，－2,3)，cos 〈AC →，BD 1→〉＝AC →·BD 1→|AC →||BD 1→|＝－1×(－1)＋2×(－2)＋0×3(－1)2＋22＋02×(－1)2＋(－2)2＋32＝－37070，故AC 与BD 1所成角的余弦值为37070. 答案 B6．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是( )．A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析 ∵cos 〈a ，b 〉＝12×2＝12，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝60°. 答案 B7.二面角α－l －β为60°，A ，B 是棱l 上的两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )．A ．2a B.5a C ．aD.3a解析 ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴〈AC →，BD →〉＝60°，且AC →·BA →＝0，AB →·BD →＝0， ∴CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴|CD →|＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝a 2＋a 2＋(2a )2＋2a ·2a cos 120°＝2a . 答案 A8．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n|PC →||n |＝－12，所以〈PC →，n 〉＝120°，所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC 与平面ABCD 所成角为30°. 答案 A9．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为( )．A ．10B ．3C.83D.103解析 P A →＝(1,2，－4)，∴P 到平面α的距离d ＝|P A →·n ||n |＝|1×(－2)＋2×(－2)＋(－4)×1|4＋4＋1＝|－2－4－4|3＝103.答案 D10.如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C －BF －D 的正切值为( )．A.36 B.34 C.33D.23 3解析如图所示，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF .以O 为原点，OB 、OC 、OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .设P A ＝AD ＝AC＝1，则BD ＝ 3.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0. 结合图形可知，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．所以cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277，所以tan 〈n ，OC →〉＝23 3. 答案 D11．(2013·兰州模拟)已知点A (λ＋1，μ－1,3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.解析因为AB →＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2,6)，若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，即λ－12＝－12＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.答案 012．已知A (2,5，－6)，在xOy 平面上存在点B ，使得|AB →|＝35，则点B 到原点的最短距离为________．解析设B (x ，y,0)，由|AB →|＝(x －2)2＋(y －5)2＋62＝35，得(x －2)2＋(y －5)2＝9，所以点B 在xOy 平面内以C (2,5)为圆心，以3为半径的圆上，到原点的最短距离是|OC |－3＝29－3. 答案29－313．(2013·泰安模拟)如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F 、G 分别是线段AE 、BC 的中点．AD 与GF 所成角的余弦值为________．解析以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，A (0,2,0)，B (2,0,0)，D (0,0,2)，G (1,0,0)，F (0,2,1)，AD →＝(0，－2,2)，GF →＝(－1,2，1)，|AD →|＝22，|GF →|＝6，AD →·GF →＝－2，cos 〈AD →，GF →〉＝AD →·GF →|AD →||GF →|＝－36.故AD 与GF 所成角的余弦值为36. 答案 3614．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AD ＝1，AB ＝2，点E 是AB 上一点．AE 等于________时二面角P －EC －D 的平面角为π4.解析以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (0,2,0)，PC →＝(0,2，－1)．设E (1，y 0,0)，则EC →＝(－1，2－y 0,0)，设平面PEC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EC →＝0，n 1·PC →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋y (2－y 0)＝0，2y －z ＝0，令y ＝1，得n 1＝(2－y 0,1,2)，而平面ECD 的法向量n 2＝(0,0,1)，设二面角P －EC －D 的平面角为θ，∴cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝2(2－y 0)2＋12＋22×1＝22⇒y 0＝2－3，即AE ＝2－ 3.答案 2－ 315．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．(1)证明设P A ＝1，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系如图所示．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，所以CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12，SN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0.因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN .(2)NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧a ·CM →＝0，a ·NC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0，令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈a ，SN →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22.所以SN 与平面CMN 所成角为45°.。

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