【高中数学】第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

一、知识梳理

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/p

p是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒p

p是q的充要条件p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p

真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用结论

1．充要条件的两个结论

(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．

(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．

2．一些常见词语及其否定

词语是都是都不是等于大于

否定不是不都是至少一个是不等于不大于

1．(选修1-1P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是() A．“若xy，则x2>y2”

C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”

解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.

2．(选修1-1P10练习T3(2)改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：选B.若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()

(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()

(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()

(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()

答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√

二、易错纠偏

常见误区

(1)不明确命题的条件与结论；

(2)对充分必要条件判断错误；

(3)含有大前提的命题的否命题易出错．

1．命题“若△ABC有一内角为π

3，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆

命题()

A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成

等差数列，则△ABC有一内角为π

3”，它是真命题．

2．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．

解析：綈p：a≥0；綈q：a2≤a，即0≤a≤1，故綈p是綈q的必要不充分条件．

答案：必要不充分

3．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．

答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.

四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)

(2020·长春质量检测(二))命题“若x2<1，则－1

A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B．若－1

C．若x>1或x<－1，则x2>1

D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1

【答案】 D

(1)判断命题真假的两种方法

(2)由原命题写出其他三种命题的方法

由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()

A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0

B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0

D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0

解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.

2．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是()

①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；

②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；

③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；

④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．

A．①②B．①②③④

C．②③④D．①③④

解析：选B.①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；

②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－