第一节二重积分的概念与性质79192

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i.
面积元素
n
f(x ,y)d
D
li m 0 i 1f(i,i)i
积 被积
分 积分 区 函变 域 数量
积 分 和
f(x,y)d------ 被积表达式
对二重积分定义的说明:
(1) 在二重积分的定义中,对闭区域的划分
来自百度文库
是任意的.
(2) 二重积分值仅与 f (x, y)及D有关,与积分
变量符号无关,即
D 1 D 2
D 1
D 2
其中 D1, D2 为两个无公共内点的闭区域.
性质3(单调性)若在区域 D 上 f(x ,y)g (x ,y),
则 f(x,y)dg(x,y)d.
D
D
注1:f(x,y)d f(x,y)d.
D
D
注2:若 f(x,y)0, 则 f(x,y)d0.
D
注3:若函数 f(x,y)、 g(x,y)在闭区域 D 上连续
1.
(0 b a).
解:区域D的面积 ab ,
在D上 0 x2 y2 a2,
因此, 1e0ex2y2ea2,
由性质4知 e d (x2y2) ea2,
D

ab e d (x2y2) ab ea2 .
D
例 2 估计二重积分I ( x2 4 y2 9)d 的值,
d ,( 是区域D的面积).
D
注 2:若函数 f (x, y)在闭区域 D 上连续,且
f ( x, y)不恒为常数,则m f ( x, y)d M .
D
性质 5(中值定理)若函数 f ( x, y)在闭区域 D上 连续, 是区域 D的面积,则在 D上至少有一点 ( ,)使得
f ( x, y)d f ( ,) .
D
D是圆域 x2 y2 4 .
解:先求被积函数 f(x,y)x24y29在区域 D
上可能的最值,由 f 2x0,f 8y0,
x
y
易知 ( 0 , 0 ) 是驻点,且 f(0,0)9;在边界上,
f ( x , y ) x 2 4 ( 4 x 2 ) 9 2 5 3 x 2 ( 2 x 2 ) ,
则面积元素为
dy
D dx
ddxdy
o
x
故二重积分可写为
f(x,y)d f(x,y)d xd y
D
D
1.2 二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质1(线性性质)设 , 为常数,则
[f (x,y)g(x,y)]d
D
f (x,y)dg(x,y)d
D
D
性质2(区域可加性)
f(x ,y )d f(x ,y )d f(x ,y )d
播放
求曲顶柱体体积的方法:
分割、取近似、
求和、取极限。
z
zf(x,y)
o xD
y

(i,i)
i
步骤如下:
z
1. 分割
D任意分成n个小闭区域 1, 2 ,…, n , 其中 i 表示第i 个小闭区 域,也表示它的面积。对应 的小曲顶柱体体积为Vi .
2. 取近似
o
xi
x (i, i )
在每个 i 上任取一点 (i ,i ), Vi f (i ,i ) i .
第八章 重积分
由银俊成制作
第一节 二重积分的概念与性质
1.1 二重积分的概念 1.2 二重积分的性质
1.1 二重积分的概念
引例1.曲顶柱体的体积
柱体体积 = 底面积 × 高 特点:平顶.
zf(x,y)
D
柱体体积 = ? 特点:曲顶. 曲顶柱体
求曲顶柱体的体积采用“分割、取近似、 求和、取极限”的方法,如下动画演示:
f(x ,y)g (x ,y),且 f ( x, y) 与 g( x, y) 不恒相等,
则 f(x,y)dg(x,y)d.
D
D
性质 4(估值定理)若m、M 分别是函数 f ( x, y) 在闭区域 D上的最小值与最大值, 是区域D的
面积,则 m f ( x, y)d M .
D
注 1:若函数 f (x, y) 在闭区域 D 上连续,且 f ( x, y) 1,则有
f
(i ,i ) i ,(i
1, 2,L
,
n)
,并作和
n
f
(i ,i ) i ,
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近
于零时,这和式的极限存在,则称此极限为
函数 f (x, y)在闭区域 D上的二重积分,记为
f ( x, y)d ,即
D
D
f
( x,
y)d
n
lim
0 i1
f
( i
,i
)
将薄片分割成若干小块; y 取典型小块,将其近似
(i,i)
看作均匀薄片;

所有小块质量之和
近似等于薄片总质量 o
n
Ml im 0i 1(i,i)i.
i
x
二重积分的概念
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域D上的有界函数,
将闭区域D任意分成n个小闭区域1, 2,…,
n, 在 每 个 i 上 任 取 一 点 (i ,i ) , 作 乘 积
zi f(i,i)
yi
y
i
3. 求和
n
Vf(i,i)i.
i1
4. 取极限
z
o
xi
x (i, i )
zi f(i,i)
yi
y
i
n
Vl im 0i 1f(i,i)i.
m a x { 1 , 1 , L , n }
引例2.求平面薄片的质量
设有一平面薄片,占有 xoy面上的闭区域D, 在点( x, y)处的面密度为 (x, y),假定(x, y)在 D上连续,平面薄片的质量为多少?
D
注:中值定理结论可以写作
1
D
f
(x,
y)d
f
(,),

1
D
f (x, y)d 为连续函数
f (x, y)
在区域
D
上的平均值,于是二重积分的中值定理表明:
闭区域 D 上连续函数一定可以取得平均值.
例 1 不作计算,估计 I e(x2 y2)d 的值,
D
其中 D 是椭圆闭区域:
x2 a2
y2 b2
f(x,y)df(u,v)d
D
D
(3) 当 f (x, y)在闭区域上连续时,定义中和
式的极限必存在,即二重积分必存在.
(4) 在下列两种情况时, f (x, y)d 为“反常二
D
重积分”:
①区域 D 是无界区域;
②函数 f (x, y)在有界闭区域D上无界.
二重积分的几何意义:
记 V 是 以 在 xOy 平 面 上 区 域 D 为 底 , 曲 面 z f (x, y)为顶,母线平行于z轴的“曲顶柱体” 的体积:
(1)当 f (x, y) 0时, f (x, y)d V ;
D
(2)当 f (x, y) 0时, f (x, y)d V ;
D
(3) 当 函 数 f (x, y) 在 区 域 D 上 变 号 时 ,
f (x, y)d 为“曲顶柱体”体积的代数和.
D
在直角坐标系下用平行于坐
y
标轴的直线网来划分区域D ,
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