《数学物理方法》第十二章 积分变换法
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10
2. 三维形式的傅里叶积分
现在，将傅里叶积分由一维推广到三维
采用矢量记号
则式(12.1.9)可写成
11
3. 傅里叶积分的三角形式 由式(12.1.7)出发，交换积分次序，并利用欧
拉公式可得
被积函数的正弦项是k的奇函数，对k的积分 为零；余弦项是k的偶函数，为(0,∞)积分值的 2倍。故
~f (k
)
为f(x)的傅里叶变换，
称f(x)是 ~f (k) 的傅里叶逆变换，这个运算称为反
演，记作
，即
通常还把 ~f (k) 称为f(x)的像函数，把 f(x) 称为 ~f (k) 的像原函数．
15
由式(12.1.16)和式(12.1.17)可得， f(x)的傅里 叶变换的逆变换等于f(x)的自身，即
本章介绍应用最广的傅里叶变换法及拉普拉斯变换 法。
3
§12. 1 傅里叶变换
本节介绍傅里叶级数、傅里 叶积分、傅里叶变换和傅里 叶变换的性质。
§12.1.1 傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数
1.傅里叶级数 一个以 2l 为周期的函数f (x)，若在区间[-l, l]上满足
狄利克雷条件（即连续或有有限个第一类间断点， 并只有有限个极大值和极小值），则在[-l, l ]上可 展开为傅里叶级数
耐心+坚持+努力 ≈成功
第十二章 积分变换法
积分变换法是物理学与其他应用科学中 求解数学物理方程的一种重要方法， 它适用于求解无界区域及半无界区域的 定解问题。
积分变换法是
通过对数理方程的积分变换，减少自变量的个数， 直至化为常微分方程，使求解问题大为简化。
此外，积分变换法还可以用来计算定积分，求解常 微分方程和积分方程．
(12.1.25b)
25
利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得
式(12.1.25a)的三维形式为
这几个d公式[(12.1.25)和 (12.1.26)]在量子力 学中有着广泛的应用
26
§12.1.4 傅里叶变换的性质
假定下面需要取傅里叶变换的函数，均 满足傅里叶变换的条件．
27
1.线性定理
5
2.复数形式的傅里叶级数 它可由式(12.1.1)导出，为此令kn=np/l,则
6
用e-iknx乘上式两边，再对x从-l到l积分, 利用
进行求和之后，将所得公式的哑指标m全部改用n表 示，即得展开系数
7
§12.1.2 傅里叶积分
1. 傅里叶积分和傅里叶积分定理
周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大2l， 函数值就有一次重复;
30
3.位移定理
设ko为任意常数，则(见习题12.1.9)
31
4.相似定理
设a为不等于零的常数，则
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
28
证明 由定义出发
29
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
12
13
§12.1.3 傅里叶变换
1.傅里叶变换的定义 在傅里叶积分公式(12.1.7)中，令
这表明 f(x)与 ~f (k) 是互相对应的： f(x) 描述的物 理问题，也可以等效地用 ~f (k) 来描述．
14
从数学上讲，函数f(x)与
~ f (k)
的关系就是一个积
分变换的关系．我们称 记作 ~f (k) = F[f(x)]，即
记作
。 将结果代入式(12.1.11)，并采用记号
上两式称为傅里叶正弦变换及其逆变换．
17
2.傅里叶的正弦变换和余弦变换
若f(x)为偶函数，记作fC(x) ，代入式(12.1.12)和式
(12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见B(k)=0，将A(k)
记作
。 将结果代入式(12.1.11)，并采用记号
例4.2.7 的结果，便有
21
【例12.1.3】求单位阶跃函数H(x-a) = 的傅里叶变换(a≥0)
解 由定义 由于积分不收敛, 故单位阶跃函数的傅里叶变换不存
在. 为改善其收敛性质, 考虑函数(b＞0)
22
【例12.1.4 】试证明
解 题设的积分不易直接计算。考虑到 是奇函数，
由傅里叶正弦变换的定义
续点处，傅里叶积分存在
在f(x)的第一类间断点处，积分等于
这称为傅里叶积分定理．
9
现在将傅里叶级数过渡到傅里叶积分． 由于l→ ∞, 相邻两kn，值之差为
将式(12.1.6)与式(12.1.8)代入式(12.1.4)，得 Cn
1/l
后式利用了定积分的定义，上式就是傅里叶积分式 (12.1.7).
非周期函数没有这个性质，但可认为它是周
期2l→ ∞的“周期函数”，从而可以由式 (12.1.4)和式(12.1.6)出发，利用l→ ∞, 把符合
一定条件的非周期函数展开为傅里叶积分．
8
可以证明①，如果定义在(-∞,∞)的函数f(x) ,在任一 有限区间上满足狄利克雷条件，且绝
对可积 = [
有界 ]，则在 f(x) 的连
可见，只要证明
, 也Байду номын сангаас证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
23
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
24
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
上两式称为傅里叶余弦变换及其逆变换．
18
3. 三维傅里叶变换
正如由式(12.1.7)可以得到式(12.1.14)，式 (12.1.15)一样，由式(12.1.10)可得
19
【例12.1.1】求 的傅里叶变换
解
20
【例12.1.2】求f(x)=exp[2ax2] 的傅里叶变换， 其中a为正数 解 由傅里叶变换的定义出发，并利用4.2节
在量子力学中，粒子的状态是用波函数来描 述的．以粒子动量为自变量的波函数c(p, t)就
是以粒子坐标为自变量的波函数c(x, t)的傅里
叶变换。
16
2.傅里叶的正弦变换和余弦变换
若f(x)为奇函数，记作fs(x) ，代入式(12.1.12)和式 (12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见A(k)=0，将B(k)
2. 三维形式的傅里叶积分
现在，将傅里叶积分由一维推广到三维
采用矢量记号
则式(12.1.9)可写成
11
3. 傅里叶积分的三角形式 由式(12.1.7)出发，交换积分次序，并利用欧
拉公式可得
被积函数的正弦项是k的奇函数，对k的积分 为零；余弦项是k的偶函数，为(0,∞)积分值的 2倍。故
~f (k
)
为f(x)的傅里叶变换，
称f(x)是 ~f (k) 的傅里叶逆变换，这个运算称为反
演，记作
，即
通常还把 ~f (k) 称为f(x)的像函数，把 f(x) 称为 ~f (k) 的像原函数．
15
由式(12.1.16)和式(12.1.17)可得， f(x)的傅里 叶变换的逆变换等于f(x)的自身，即
本章介绍应用最广的傅里叶变换法及拉普拉斯变换 法。
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§12. 1 傅里叶变换
本节介绍傅里叶级数、傅里 叶积分、傅里叶变换和傅里 叶变换的性质。
§12.1.1 傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数
1.傅里叶级数 一个以 2l 为周期的函数f (x)，若在区间[-l, l]上满足
狄利克雷条件（即连续或有有限个第一类间断点， 并只有有限个极大值和极小值），则在[-l, l ]上可 展开为傅里叶级数
耐心+坚持+努力 ≈成功
第十二章 积分变换法
积分变换法是物理学与其他应用科学中 求解数学物理方程的一种重要方法， 它适用于求解无界区域及半无界区域的 定解问题。
积分变换法是
通过对数理方程的积分变换，减少自变量的个数， 直至化为常微分方程，使求解问题大为简化。
此外，积分变换法还可以用来计算定积分，求解常 微分方程和积分方程．
(12.1.25b)
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利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得
式(12.1.25a)的三维形式为
这几个d公式[(12.1.25)和 (12.1.26)]在量子力 学中有着广泛的应用
26
§12.1.4 傅里叶变换的性质
假定下面需要取傅里叶变换的函数，均 满足傅里叶变换的条件．
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1.线性定理
5
2.复数形式的傅里叶级数 它可由式(12.1.1)导出，为此令kn=np/l,则
6
用e-iknx乘上式两边，再对x从-l到l积分, 利用
进行求和之后，将所得公式的哑指标m全部改用n表 示，即得展开系数
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§12.1.2 傅里叶积分
1. 傅里叶积分和傅里叶积分定理
周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大2l， 函数值就有一次重复;
30
3.位移定理
设ko为任意常数，则(见习题12.1.9)
31
4.相似定理
设a为不等于零的常数，则
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
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证明 由定义出发
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2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
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§12.1.3 傅里叶变换
1.傅里叶变换的定义 在傅里叶积分公式(12.1.7)中，令
这表明 f(x)与 ~f (k) 是互相对应的： f(x) 描述的物 理问题，也可以等效地用 ~f (k) 来描述．
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从数学上讲，函数f(x)与
~ f (k)
的关系就是一个积
分变换的关系．我们称 记作 ~f (k) = F[f(x)]，即
记作
。 将结果代入式(12.1.11)，并采用记号
上两式称为傅里叶正弦变换及其逆变换．
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2.傅里叶的正弦变换和余弦变换
若f(x)为偶函数，记作fC(x) ，代入式(12.1.12)和式
(12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见B(k)=0，将A(k)
记作
。 将结果代入式(12.1.11)，并采用记号
例4.2.7 的结果，便有
21
【例12.1.3】求单位阶跃函数H(x-a) = 的傅里叶变换(a≥0)
解 由定义 由于积分不收敛, 故单位阶跃函数的傅里叶变换不存
在. 为改善其收敛性质, 考虑函数(b＞0)
22
【例12.1.4 】试证明
解 题设的积分不易直接计算。考虑到 是奇函数，
由傅里叶正弦变换的定义
续点处，傅里叶积分存在
在f(x)的第一类间断点处，积分等于
这称为傅里叶积分定理．
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现在将傅里叶级数过渡到傅里叶积分． 由于l→ ∞, 相邻两kn，值之差为
将式(12.1.6)与式(12.1.8)代入式(12.1.4)，得 Cn
1/l
后式利用了定积分的定义，上式就是傅里叶积分式 (12.1.7).
非周期函数没有这个性质，但可认为它是周
期2l→ ∞的“周期函数”，从而可以由式 (12.1.4)和式(12.1.6)出发，利用l→ ∞, 把符合
一定条件的非周期函数展开为傅里叶积分．
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可以证明①，如果定义在(-∞,∞)的函数f(x) ,在任一 有限区间上满足狄利克雷条件，且绝
对可积 = [
有界 ]，则在 f(x) 的连
可见，只要证明
, 也Байду номын сангаас证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
23
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
24
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
上两式称为傅里叶余弦变换及其逆变换．
18
3. 三维傅里叶变换
正如由式(12.1.7)可以得到式(12.1.14)，式 (12.1.15)一样，由式(12.1.10)可得
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【例12.1.1】求 的傅里叶变换
解
20
【例12.1.2】求f(x)=exp[2ax2] 的傅里叶变换， 其中a为正数 解 由傅里叶变换的定义出发，并利用4.2节
在量子力学中，粒子的状态是用波函数来描 述的．以粒子动量为自变量的波函数c(p, t)就
是以粒子坐标为自变量的波函数c(x, t)的傅里
叶变换。
16
2.傅里叶的正弦变换和余弦变换
若f(x)为奇函数，记作fs(x) ，代入式(12.1.12)和式 (12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见A(k)=0，将B(k)