《数学物理方法》第十二章 积分变换法
合集下载
积分变换 ppt课件
16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数
数学物理方法重点
§3.1 数学模型
• 会辨认三类方程：波方程，热方程，Laplace方程。 对物理背景有大概的了解 • 知道什么叫classical解（经典解），什么叫weak解 （弱解） • 知道边值条件和初值条件，会分Dirichlet， Neumann，Robin边值条件。
§3.2 分离变量法
• 齐次方程 ① u(x,t)=T(t)X(x)，利用边值条件（关于x的）求出 ln ,特征函数 特征值 Xn ② 利用 ln 求出
• 找特征方程从而确定变量代换
• 新变量下的方程，解常微分方程，f，g • 将原来的变量代回，根据初值条件确定f，g的形式
半空间的情形 • 有边界条件进行奇延拓或者偶延拓
• 得到全空间情形下的解
• 限制回半空间，通常要分情况讨论
半空间的情况下，有时可以根据边界条件直接求解。
• 高维的情形知道公式会带进去算即可
数学物理方法
重点
§1.4 分式线性变换
• 会根据某个简单的分式线性变换判断图形的变化 • 会求分式线性变换。
(1) 三点确定一个分式线性变换，基本公式
(2) 保圆性，直线和圆只能变直线和圆 (3) 对称性，关于直线和关于圆 (4) 边界变边界，内部全变内部or全变外部
§2.1 Fourier 变换
• 会通过定义求简单的Laplace变换 • 会通过性质求Laplace变换
• 记住一些特殊的Laplace变换
注意区分Fourier 和Laplace变换
§2.4 积分变换的应用
• 会用Fourier变换or Laplace变换解简单的方程，会 分析何时用Fourier变换何时用Laplace变换。If全空 间，一般用Fourier变换，if有初值条件，一般用 Laplace变换
第十二章 积分变换法
l
傅里叶级数的复数形式（指数形式）： n
令 kn
l
，则
a0 f ( x) (an cos kn x bn sin kn x) 2 n 1 a0 an ikn x bn ikn x ikn x [ (e e ) (e e ikn x )] 2 n 1 2 2i a0 an ibn ikn x an ibn ikn x ( e e ) 2 n 1 2 2
a0 n x n x f ( x) (an cos bn sin ) 2 n1 l l 利用三角函数的正交关系，可得
1 n an f ( )cos d l l l
l
(n 0,1, 2,) (n 1, 2,)
数学物理方法
1 n bn f ( )sin d l l l
问题，积分变换法适宜。 关于无界问题的说明：如果物体的体积很大，而所需要知 道的只是在较短的时间和较小范围内的变化情况，那么边界条 件所产生的影响可以忽略，此时问题就变成只有初始条件、但 没有边界条件的定解问题（柯西问题） ，但无边界条件就无法 构成本征值问题（分离变量法的重要步骤） 。
数学物理方法
由上式可见：正弦项是 k 的奇函数，对 k 的积分为零；余弦 项是 k 的偶函数，为在区间（0，∞）积分值的两倍。
f ( x)
0 0
1
0
dk
f ( ) cos[k ( x )]d
dk{[
[ A(k ) cos(kx) B (k )sin(cos k ( ) d ]cos( kx) [
1
f ( )sin k ( ) d ]sin( kx)}
傅里叶级数的复数形式（指数形式）： n
令 kn
l
，则
a0 f ( x) (an cos kn x bn sin kn x) 2 n 1 a0 an ikn x bn ikn x ikn x [ (e e ) (e e ikn x )] 2 n 1 2 2i a0 an ibn ikn x an ibn ikn x ( e e ) 2 n 1 2 2
a0 n x n x f ( x) (an cos bn sin ) 2 n1 l l 利用三角函数的正交关系，可得
1 n an f ( )cos d l l l
l
(n 0,1, 2,) (n 1, 2,)
数学物理方法
1 n bn f ( )sin d l l l
问题，积分变换法适宜。 关于无界问题的说明：如果物体的体积很大，而所需要知 道的只是在较短的时间和较小范围内的变化情况，那么边界条 件所产生的影响可以忽略，此时问题就变成只有初始条件、但 没有边界条件的定解问题（柯西问题） ，但无边界条件就无法 构成本征值问题（分离变量法的重要步骤） 。
数学物理方法
由上式可见：正弦项是 k 的奇函数，对 k 的积分为零；余弦 项是 k 的偶函数，为在区间（0，∞）积分值的两倍。
f ( x)
0 0
1
0
dk
f ( ) cos[k ( x )]d
dk{[
[ A(k ) cos(kx) B (k )sin(cos k ( ) d ]cos( kx) [
1
f ( )sin k ( ) d ]sin( kx)}
积分变换
积分变换、数学物理方程与特殊函数经过十二周的学习，我们学到了很多知识，这与以后的学习和工作打下了基础，老师讲解十分认真，讲课效果很好。
由于现在还处于理论的学习阶段，无法将学到的这些内容应用到实际问题中，但我相信，在以后的实验和实际问题中肯定能发挥相当大的作用。
这门课是数学的更深一个层次，与高等数学的关系密不可分。
下面就我学习的状况谈一下我对这门课的认识。
首先学习的是《积分变换》的内容，我们主要学习了Fourier 变换、逆变换及其应用。
Fourier 积分变换相对于后面学到的《数学物理方程》偏重于理论，其中与多种函数和理论密切相关，Fourier 变换中经常用到欧拉公式。
复数形式的欧拉公式：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=+=---x i x e x i e ie e n w t e e n w tix ix inwtinwt inwt inwt sin cos ,sin cos 2sin ,2cos 其中有三个基本函数，在学习《积分变换》时经常用到； 1.单位阶跃函数：⎩⎨⎧<>=0,00,1)(t t t u 可以用阶跃函数吧分段函数表达出来。
2.矩形脉冲函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2,02,τττt t E t P ）（ 3.δ函数：⎩⎨⎧≠=∞+=0,00,)(x x x δ 表示密度分布的极限。
δ函数具有筛选性质：)0()()(-f dx x f x =⎰+∞∞δ其一般形式为：)()()(0-0x f dx x f x x =-⎰+∞∞δ同时还学习了卷积定理：假定)(1t f ，)(2t f 都是满足Fourier 积分定理中的条件，且[])()(11w F t f =℘，[])()(22w F t f =℘，则[][]⎩⎨⎧*=⋅℘⋅=*℘-)()()()()()()()(212112121t f t f w F w F w F w F t f t f卷积并不容易算出，但卷积定理提供了卷积计算的简便方法，即化卷积运算为乘积运算，使卷积在线性系统分析中成为特别有用的方法，即又用到高等数学中求常函数的方法。
数学物理方程课件 积分变换法
设F[ f1(x)] F1(), F[ f2 (x)] F2 (),
则F[ f1(x) f2 (x)] F1() F2 ()
(5)
其中，为常数，逆变换也成立，即
F-1[ F1() F2 ()] f1(x) f2 (x)
(6)
试证明Fourier正弦变换和Fourier余弦变换的公式分别为
Fs1[Fs ()]
f (x)
2
0 fs (x) sin xdx
Fc1[Fc ()]
f
(x)
2
0 fc (x) cos xdx
§4.1.1 Fourier变换法
证明：F () F[ f (x)] f (x)eixdx
i
2
0
Fs
(
)
ei
x
d
(欧拉公式)
即Fourier正弦变换的公式为
f (x) 2
0 Fs () cos xd
§4.1.1 Fourier变换法
例9：证明
x 0 1 x2
sin xdx
2
e
(
0)。
证明：本题直接积分不易计算，考虑到fs
1 l
l l
f (x) cos n
l
xdx, n 0,1, 2,...
bn
1 l
l l
f (x) sin n
l
xdx, n 1, 2,...
§4.1.1 Fourier变换法
二、Fourier变换
设f (x)在(-, )上满足
i)逐段光滑（可导）；
数学物理方程——8 积分变换法
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
拉普拉斯逆变换
1 σ + i∞ f (t ) = F ( p )e pt dp, 2π i ∫σ −i∞
p = σ + iω
又称 f (t )为 原函数 ⇔ F ( p )
为像函数
13
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
例2
(1) 求 L[1]
1 L[1] = ∫ 1 ⋅ e − pt dt = − e − pt 0 p
∞ ∞ 0
=
1 . p
(2) 求 L[t ]
1 ∞ 1 − pt ∞ 1 ∞ − pt 1 ∞ − pt 1 − pt L[t] = ∫ t ⋅ e dt = − ∫ t ⋅ d(e ) = − [t ⋅ e ] 0 + ∫ e dt = ∫ e dt = 2 . 0 p 0 p p 0 p0 p
− pt ∞
数学物理方法
第五章
积分变换法
1. Fourier变换 1.1 Fourier变换的定义
+∞ +∞
1 f ( x) = 2π
∫ ∫
−∞
(
−∞
f (τ )e −iωτ dτ )e iω x dω ,
（*）
傅里叶积分定理:设f 在 (−∞,+∞) 内满足下面两个条件：
+∞
（1）积分
−∞
∫
f ( x) dx 存在；
⎧ d 2U (ω , t ) t>0 = − a 2ω 2U (ω , t ), ⎪ ⎪ dt 2 ⎨ ⎪U (ω ,0) = Φ (ω ), dU (ω ,0) = Ψ (ω ), ⎪ dt ⎩ U (ω , t ) = A cos aωt + B sin aωt Ψ (ω ) B= U (ω , 0) = A = Φ (ω ) aω Ψ (ω ) U (ω , t ) = Φ (ω ) cos aωt + sin aωt aω
Chapter3.2 积分变换法
x2 x2
1 2a
t
( )e
( x )2 4a t
2
1 d 2a
d
0
t
f ( , ) 4 a2 (t ) e d t
( x )2
2 u u 2 , x , t 0 a 2 x Ex.1 解定解问题 t u ( x, 0) 1, x
1 a 2 2t
]
1 2a t
e
x2 4 a 2t
u( x, t ) F (U ( x, t )) F (( )e
1 a2 2t
1
) F (G(, )e
1 0
t
a 2 2 ( t )
)d
2 1 2 t 1 ( x)* e 4a t f ( x, )* e 4a (t ) d 2a t 0 2a (t )
dU (, t ) 2 2 a U (, t ) G(, t ) dt U ( ) t 0
从而可得 U ()e
a2 2t
G(, )e
0
t
a2 2 ( t )
d
再利用Fourier逆变换可得原问题的解。
由Fourier变换表知 F [e
3. 微分性质 若L[ f (t )] F ( p)，则L[ f ' (t )] pF ( p) f (0), Re(p) 0 L[ f ( n ) (t )] p n F ( p ) p n 1 f (0) p n 2 f ' (0) f ( n 1) (0)
1 2a
t
( )e
( x )2 4a t
2
1 d 2a
d
0
t
f ( , ) 4 a2 (t ) e d t
( x )2
2 u u 2 , x , t 0 a 2 x Ex.1 解定解问题 t u ( x, 0) 1, x
1 a 2 2t
]
1 2a t
e
x2 4 a 2t
u( x, t ) F (U ( x, t )) F (( )e
1 a2 2t
1
) F (G(, )e
1 0
t
a 2 2 ( t )
)d
2 1 2 t 1 ( x)* e 4a t f ( x, )* e 4a (t ) d 2a t 0 2a (t )
dU (, t ) 2 2 a U (, t ) G(, t ) dt U ( ) t 0
从而可得 U ()e
a2 2t
G(, )e
0
t
a2 2 ( t )
d
再利用Fourier逆变换可得原问题的解。
由Fourier变换表知 F [e
3. 微分性质 若L[ f (t )] F ( p)，则L[ f ' (t )] pF ( p) f (0), Re(p) 0 L[ f ( n ) (t )] p n F ( p ) p n 1 f (0) p n 2 f ' (0) f ( n 1) (0)
《积分变换法》课件
信号处理
在频域中，积分变换法可用于 滤波、降噪和信号分析。
电路分析
积分变换法可帮助分析电路的 稳定性、频率响应和系统性能。
总结
优缺点
积分变换法具有数学表达简单、普适性强等优点，但对初始条件敏感。
与其他方法的比较
相比其他方法，积分变换法可以更方便地处理连续和离散函数。
发展趋势
未来，积分变换法将继续应用于自动控制、信号处理和电子技术等领域，不断发展和完善。
《积分变换法》PPT课件
欢迎来到本次《积分变换法》PPT课件。让我们一起探索积分变换法的定义、 分类、常见方法以及在控制工程、信号处理和电路分析中的应用。
什么是积分变换法？
定义
积分变换法是一种数学方法，通过对函数的积分来研究和处理一些问题。
分类
积分变换法分为拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等不同类型。
1 参考文献
常见的积分变换频域，可用于信号
处理和频谱分析。
3
拉普拉斯变换
将函数从时域转换到频域，广泛应用于 控制系统和信号分析。
Z变换
将离散信号从时域转换到Z域，在数字信 号处理和系统分析中有重要应用。
积分变换法的应用
控制工程
积分变换法可用于控制系统的 建模、参数估计和控制器设计。
数学物理方程积分变换
3.1.1傅立叶级数 为了考察一个函数与一正交函数系之间的关系 ，针对 研究振动和波动现象 ，在有限区间上函数用傅立叶 三角级数表示，在无限区间上函数用某种特殊的积 分形式表示，如傅立叶变换，拉普拉斯变换，梅林 变换，汉克尔变换等. 3.1.1.1三角级数与傅立叶级数 1)正交函数系 一个函数系ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ), ⋯ , ϕ n ( x ), ⋯ (1) 其中每个函数都是定义在区间上的实函数或实变量的 复值函数，如果满足
n = −∞ ∞
∑ cn exp
∫α
β
inπ ( 2 x − α − β ) β −α
( n = 0,1,2, ⋯)
( n = 1,2, ⋯)
2 an = β −α
nπ (2t − α − β ) f ( t ) cos dt β −α
β 2 nπ (2t − α − β ) bn = f ( t ) sin dt ∫α β −α β −α β 2 − inπ (2t − α − β ) cn = dt ∫ α f ( t ) exp β −α β −α
3.1.2傅立叶级数
设函数 f (x ) 在区间 [0, 2π ] 上绝对可积，且令
1 2π a n = π ∫ 0 f ( x) cos nxdx b = 1 2π f ( x) sin nxdx n π ∫0 (n = 0,1,2,⋯) (n = 1,2,⋯)
以 a n , bn 为系数作三角级数
若 f ( x ) 是奇函数，则 a n = 0 ，得到f ( x ) 的傅立叶 正弦级数 ∞ ∞
f (x ) ～
∑b
n=1
n
sin n x =
∑sin n x∫ π
n=1
n = −∞ ∞
∑ cn exp
∫α
β
inπ ( 2 x − α − β ) β −α
( n = 0,1,2, ⋯)
( n = 1,2, ⋯)
2 an = β −α
nπ (2t − α − β ) f ( t ) cos dt β −α
β 2 nπ (2t − α − β ) bn = f ( t ) sin dt ∫α β −α β −α β 2 − inπ (2t − α − β ) cn = dt ∫ α f ( t ) exp β −α β −α
3.1.2傅立叶级数
设函数 f (x ) 在区间 [0, 2π ] 上绝对可积，且令
1 2π a n = π ∫ 0 f ( x) cos nxdx b = 1 2π f ( x) sin nxdx n π ∫0 (n = 0,1,2,⋯) (n = 1,2,⋯)
以 a n , bn 为系数作三角级数
若 f ( x ) 是奇函数，则 a n = 0 ，得到f ( x ) 的傅立叶 正弦级数 ∞ ∞
f (x ) ～
∑b
n=1
n
sin n x =
∑sin n x∫ π
n=1
重积分的积分变换和积分替换
重积分的积分变换和积分替换积分是高等数学中的一个重要概念，它被广泛应用在各个领域中，包括物理学、统计学、经济学等。
在微积分中，一类重要的积分就是重积分。
和单变量积分不同，重积分涉及到多个变量，其计算难度往往更大。
近年来，学者们发现，利用积分变换和积分替换的技巧，可以有效地简化重积分的计算过程。
本文就介绍一些有关积分变换和积分替换的基本知识和重要应用。
一、积分变换积分变换是将一类积分变换成另一类积分的过程，通常是通过一些数学技巧来实现的。
积分变换有很多种，包括线性变换、仿射变换、圆柱变换、球坐标变换等。
在这里，我们主要介绍球坐标变换和柱坐标变换两种。
1. 球坐标变换球坐标变换是将三维空间中的积分转化为球坐标系下的积分。
通过这种变换，可以将具有各向同性的问题转化为与方向无关的问题，从而简化积分的计算。
球坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和方位角φ。
一般来说，球坐标变换的步骤如下：（1）将被积函数写成球坐标的形式；（2）将坐标变量x、y、z表示为r、θ和φ的函数；（3）将分子（dx dy dz）替换成球坐标系下的积分元素r²sinθ dr dθ dφ；（4）对变量r、θ和φ进行变量替换，计算出新的积分区域。
例如，设空间中有一个函数f(x,y,z)，要求其在球形区域内的积分。
那么，将被积函数转化为球坐标系下的形式：f(x,y,z)→f(r,θ,φ)然后，把直角坐标系下的坐标写成球坐标系下的形式：x=r sinθ cosφ；y=r sinθ sinφ；z=r cosθ。
接着，计算出雅可比行列式，替换分子，并对积分区域进行调整。
最终得到球坐标下的积分表达式：∫∫∫f(x,y,z) dxdydz = ∫∫∫f(r,θ,φ) r²sinθ dr dθ dφ2. 柱坐标变换柱坐标变换是将三维空间中的积分转化为柱坐标系下的积分。
柱坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和高度z。
柱坐标变换的一般步骤如下：（1）将被积函数写成柱坐标系下的形式；（2）将直角坐标系下的坐标表示为柱坐标系下的形式；（3）将分子（dx dy dz）替换成柱坐标下的积分元素r d r dθ dz；（4）对变量r、θ和z进行变量替换，计算出新的积分区域。
数学物理方法第十二章积分变换法课件
方程(12.2.4)的通解为
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
53
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
54
第二、四项应用延迟定理和积分定理
特别是
证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的 傅里叶展开式，便有
41
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如 计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
42
【例12.1.5】 求解积分方程
解设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
22
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
23
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
27
证明 由定义出发
28
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
《数理方程》积分变换法解析
x2
x2
1 p2
dU dx
2x p
x2 p3
.
而 u |x1 cos y
变为
U
x,
p
|x1
1
p p2
,
解常微分方程得
U x, p
1 3 p3
x3
1 p
x2
p 1 p2
1 3 p3
1 p
.
取拉普拉斯逆变换，得
L(t n )
n! pn1 , n 0,1,
u
|x
0
f
t.
思考：需要对哪一个自变量进行哪一种积分变换？
对 t 进行拉普拉斯变换，设
u x,t U x, p, f t F p
于是方程变为
a2
d 2U x,
dx 2
p
pU
x,
p,
U x, p |x0 F p
这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为
根据傅里叶变换的微分性质，
方程转化为
dU ,
t
2U , t
dt
U , t |t0 F
于是 U ,t F e2t .
为了求出原方程的解,下面对 U ,t 关于 进行
傅立叶逆变换.
U ,t F e2t .
再由边值条件 U x, p |x0 F p 可知，C = F(p).
U
x,
p
F
pe
p a
x
.
为求出 u(x,t), 需要对 U(x,p) 进行拉普拉斯 逆变换。
积分变换法
dU (,t) a22U (,t) G(,t),
dt
它满足初值条件
U (, t) |t0 ().
(39) (40)
为了求解常微分方程初值问题(39)(40)，记
19
例1 求解下列问题的解 ut a 2uxx f (x,t) ( x , t 0), (37)
u |t0 (x).
(38)
10
例3 求fˆ() e2t 的傅里叶逆变换，其中t 0.
解 由定义知
f (x) 1 fˆ ()eixd 1 e2t eix d
2
2
1 e2t (cosx i sin x)d,
2
1 e2t cos xd,
0
对 f (x) 求导，并利用一次分部积分得
df (x) x f (x) 0. dx 2t
( ) L1
s
1
2a 2
L1
s
1
2 a 2
G
(, s)
L[eat ] 1 sa
()ea22t
G(,t) ea22t
()ea22t t G(, )ea22 (t ) d . 0
(42)
为了求出问题(37)(38)的解，还需要对U (,t)
取傅氏逆变换。
22
例1 求解下列问题的解 ut a 2uxx f (x,t) ( x , t 0), (37)
t t0 t t0
证明 由拉氏变换的定义知
L[ f (t t0 )u(t t0 )]
0
f
(t
t0 )u(t
t0 )est dt
t0
f
(t
t0
)e st
dt
令 y t t0 , 则上式变为
积分变换法
F ( λ ) = F [ f ( t )] =
1 ⎡ f ( x0 + 0 ) + f ( x0 − 0 ) ⎤ . ⎦ 2⎣
7
δ 函数的 Fourier 变换
F (ω ) = F ⎡δ ( x ) ⎤ = ⎣ ⎦
∞
高维 Fourier 变换
1 . 2π
1 2π
∫
∞
−∞
δ ( x ) e − iω x dx =
F ( p) 称为 f ( x) 的象函数或象, f ( x) 称为 F ( p) 的原象。
1 2
Fourier 变换及其逆变换
1 F (ω ) = F ⎡ f ( x ) ⎤ ≡ ⎣ ⎦ 2π
在这种变换下，原来的偏微分方程的自变量个数 减少，原来的常微分方程可以变成代数方程。通过求 解变换后的方程然后再对其解进行逆变换，就可以得 到原问题的解。
3. 延迟性质 设 x0 为任意常数, 则
F ⎡ f ( x − x0 ) ⎤ = e − iω x0 F (ω ) . ⎣ ⎦
4. 相似性质 设 a 为不为零的常数, 则
dn n F ⎡ f ( x ) ⎤ = F ⎡ ( −ix ) f ( x ) ⎤ . ⎦ ⎣ ⎦ dω n ⎣
∞
8. 卷积性质 F [ f1 ∗ f 2 ] = 2π F [ f1 ] F [ f 2 ] , 其中卷积定义为:
r rr f ( x ) eiλ ⋅x dx1 L dxn ,
⇒ δ ( x) =
1 2π
∫
∞
−∞
cos ω xd ω =
1 2π
∫
∞
−∞
e − iω x d ω.
r f (x) =
∫
1 ⎡ f ( x0 + 0 ) + f ( x0 − 0 ) ⎤ . ⎦ 2⎣
7
δ 函数的 Fourier 变换
F (ω ) = F ⎡δ ( x ) ⎤ = ⎣ ⎦
∞
高维 Fourier 变换
1 . 2π
1 2π
∫
∞
−∞
δ ( x ) e − iω x dx =
F ( p) 称为 f ( x) 的象函数或象, f ( x) 称为 F ( p) 的原象。
1 2
Fourier 变换及其逆变换
1 F (ω ) = F ⎡ f ( x ) ⎤ ≡ ⎣ ⎦ 2π
在这种变换下，原来的偏微分方程的自变量个数 减少，原来的常微分方程可以变成代数方程。通过求 解变换后的方程然后再对其解进行逆变换，就可以得 到原问题的解。
3. 延迟性质 设 x0 为任意常数, 则
F ⎡ f ( x − x0 ) ⎤ = e − iω x0 F (ω ) . ⎣ ⎦
4. 相似性质 设 a 为不为零的常数, 则
dn n F ⎡ f ( x ) ⎤ = F ⎡ ( −ix ) f ( x ) ⎤ . ⎦ ⎣ ⎦ dω n ⎣
∞
8. 卷积性质 F [ f1 ∗ f 2 ] = 2π F [ f1 ] F [ f 2 ] , 其中卷积定义为:
r rr f ( x ) eiλ ⋅x dx1 L dxn ,
⇒ δ ( x) =
1 2π
∫
∞
−∞
cos ω xd ω =
1 2π
∫
∞
−∞
e − iω x d ω.
r f (x) =
∫
第十二章 积分变换
1 f (x, t )e −iωt dx, Φ (ω ) = ∫ 2π −∞
−∞
ϕ ( x )e −iωt dx. ∫
方程 (1)的解为
U (ω , t ) = Φ (ω )e F
−1
−a ω t
2 2
+ ∫ G (ω ,τ )e
0
t
− a 2ω 2 ( t −τ )
dτ .(3)
[e
− a 2ω 2 t
F [u ( x, y )] = u (ω , y ) F [ f ( x )] = F (ω )
__
lim u = 0
x
2
+ y
2
→ ∞
解:对定解问题作 对定解问题作Fourier变换 设 变换,设 对定解问题作 变换
__
−ω
__
__ 2
u
__
d u + =0 dy 2
2
u (ω ,0 ) = F (ω ),
得出:
由初始条件得 :
1 1 Φ (k ) + Ψ (k ) 2 2iak 1 1 B (k ) = Φ (k ) − Ψ (k ) 2iak 2 1 1 1 1 ikat ikat − ikat Ψ (k )e + Φ (k )e − Ψ (k )e − ikat U (t , k ) = Φ (k )e + 2 2iak 2 2iak 延迟迟与积分定理 : 1 1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + 2 2a
第十二章 积分变换法
– .Fourier 变换法 当求解的方程中的一个变量是在 (-∞,∞)范围 内时,可用Fourier 变换法. 例1 求解无限长弦的自由振动.
北京大学数学物理方法经典课件第十二章——积分变换法
即为
最后得到定解问题的解为
编辑ppt
17
12.1.3 稳定场问题
我们先给出求半平面内
拉普拉斯方程的第一
边值问题的傅氏变换系统解法（读者可以与格林函数解法进 行比较） 例 5 定解问题
解 对于变量 作傅氏变换，有
编辑ppt
18
定解问题变换为常微分方程
因为 可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为
因为
12.2.2半无界区域的问题 例 2 求定解问题
解首先作变量
的拉氏变换
原定解问题即为
编辑ppt
(12.2.6)
27
易得到(12.2.8)式的解为
编辑ppt
28
又 故 由于
及拉氏变换的卷积定理 最后,得原定解问题的解为
编辑ppt
29
12.2.2半无界区域的问题
例 2 求定解问题
【解】首先作变量 的拉氏变换 原定解问题即为
编辑ppt
30
易得到(12.2.8)式的解为
因为 所以 又
故
编辑ppt
31
利用
及拉氏变换的卷积定理 最后,得原定解问题的解为
编辑ppt
32
例3 求解在无失真条件下 电报方程的定解问题
（12.2.16）
解令
并考虑到无失真条件则原方程(15.2.16)化为
编辑ppt
（15.2.17）
33
若对时间 作拉氏变换有 于是定解问题(15.2.16)化为下列常微分方程的边值问题:
上述问题的解为 因为
编辑ppt
(12.2.18)
34
所以 于是 最后利用拉氏变换的延迟定律,得定解问题(15.2.16)的解为：
或
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
23
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
24
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
~f (k
)
为f(x)的傅里叶变换，
称f(x)是 ~f (k) 的傅里叶逆变换，这个运算称为反
演，记作
，即
通常还把 ~f (k) 称为f(x)的像函数，把 f(x) 称为 ~f (k12.1.17)可得， f(x)的傅里 叶变换的逆变换等于f(x)的自身，即
非周期函数没有这个性质，但可认为它是周
期2l→ ∞的“周期函数”，从而可以由式 (12.1.4)和式(12.1.6)出发，利用l→ ∞, 把符合
一定条件的非周期函数展开为傅里叶积分．
8
可以证明①，如果定义在(-∞,∞)的函数f(x) ,在任一 有限区间上满足狄利克雷条件，且绝
对可积 = [
有界 ]，则在 f(x) 的连
记作
。 将结果代入式(12.1.11)，并采用记号
上两式称为傅里叶正弦变换及其逆变换．
17
2.傅里叶的正弦变换和余弦变换
若f(x)为偶函数，记作fC(x) ，代入式(12.1.12)和式
(12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见B(k)=0，将A(k)
记作
。 将结果代入式(12.1.11)，并采用记号
在量子力学中，粒子的状态是用波函数来描 述的．以粒子动量为自变量的波函数c(p, t)就
是以粒子坐标为自变量的波函数c(x, t)的傅里
叶变换。
16
2.傅里叶的正弦变换和余弦变换
若f(x)为奇函数，记作fs(x) ，代入式(12.1.12)和式 (12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见A(k)=0，将B(k)
续点处，傅里叶积分存在
在f(x)的第一类间断点处，积分等于
这称为傅里叶积分定理．
9
现在将傅里叶级数过渡到傅里叶积分． 由于l→ ∞, 相邻两kn，值之差为
将式(12.1.6)与式(12.1.8)代入式(12.1.4)，得 Cn
1/l
后式利用了定积分的定义，上式就是傅里叶积分式 (12.1.7).
例4.2.7 的结果，便有
21
【例12.1.3】求单位阶跃函数H(x-a) = 的傅里叶变换(a≥0)
解 由定义 由于积分不收敛, 故单位阶跃函数的傅里叶变换不存
在. 为改善其收敛性质, 考虑函数(b＞0)
22
【例12.1.4 】试证明
解 题设的积分不易直接计算。考虑到 是奇函数，
由傅里叶正弦变换的定义
12
13
§12.1.3 傅里叶变换
1.傅里叶变换的定义 在傅里叶积分公式(12.1.7)中，令
这表明 f(x)与 ~f (k) 是互相对应的： f(x) 描述的物 理问题，也可以等效地用 ~f (k) 来描述．
14
从数学上讲，函数f(x)与
~ f (k)
的关系就是一个积
分变换的关系．我们称 记作 ~f (k) = F[f(x)]，即
5
2.复数形式的傅里叶级数 它可由式(12.1.1)导出，为此令kn=np/l,则
6
用e-iknx乘上式两边，再对x从-l到l积分, 利用
进行求和之后，将所得公式的哑指标m全部改用n表 示，即得展开系数
7
§12.1.2 傅里叶积分
1. 傅里叶积分和傅里叶积分定理
周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大2l， 函数值就有一次重复;
上两式称为傅里叶余弦变换及其逆变换．
18
3. 三维傅里叶变换
正如由式(12.1.7)可以得到式(12.1.14)，式 (12.1.15)一样，由式(12.1.10)可得
19
【例12.1.1】求 的傅里叶变换
解
20
【例12.1.2】求f(x)=exp[2ax2] 的傅里叶变换， 其中a为正数 解 由傅里叶变换的定义出发，并利用4.2节
耐心+坚持+努力 ≈成功
第十二章 积分变换法
积分变换法是物理学与其他应用科学中 求解数学物理方程的一种重要方法， 它适用于求解无界区域及半无界区域的 定解问题。
积分变换法是
通过对数理方程的积分变换，减少自变量的个数， 直至化为常微分方程，使求解问题大为简化。
此外，积分变换法还可以用来计算定积分，求解常 微分方程和积分方程．
(12.1.25b)
25
利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得
式(12.1.25a)的三维形式为
这几个d公式[(12.1.25)和 (12.1.26)]在量子力 学中有着广泛的应用
26
§12.1.4 傅里叶变换的性质
假定下面需要取傅里叶变换的函数，均 满足傅里叶变换的条件．
27
1.线性定理
本章介绍应用最广的傅里叶变换法及拉普拉斯变换 法。
3
§12. 1 傅里叶变换
本节介绍傅里叶级数、傅里 叶积分、傅里叶变换和傅里 叶变换的性质。
§12.1.1 傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数
1.傅里叶级数 一个以 2l 为周期的函数f (x)，若在区间[-l, l]上满足
狄利克雷条件（即连续或有有限个第一类间断点， 并只有有限个极大值和极小值），则在[-l, l ]上可 展开为傅里叶级数
10
2. 三维形式的傅里叶积分
现在，将傅里叶积分由一维推广到三维
采用矢量记号
则式(12.1.9)可写成
11
3. 傅里叶积分的三角形式 由式(12.1.7)出发，交换积分次序，并利用欧
拉公式可得
被积函数的正弦项是k的奇函数，对k的积分 为零；余弦项是k的偶函数，为(0,∞)积分值的 2倍。故
30
3.位移定理
设ko为任意常数，则(见习题12.1.9)
31
4.相似定理
设a为不等于零的常数，则
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
28
证明 由定义出发
29
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)