雅可比行列式的应用

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一：雅可比( Jacobi )行列式.

隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形, 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,

由 F 、G 的偏导数组成的行列式

称为F 、G 的雅可比( Jacobi )行列式.

二：二重积分换元法

定理: 变换

: 满足： ，一阶导数连续

（2）在D ’上雅可比行列式

(3) 变换 是一一对应的 ,

则： 面积元素 三：三重积分的一般变量代换

对于三重积分做出变量代换：

定义于 u v w 空间中的区域Ω* 上，且满足:

(1) 函数 在区域Ω*上具有连续偏导数, 且任给 (u , v , w )∈Ω*, 有

【这可以看作是由（r, s, t ）空间到（x, y, z ）空间的一种变换（或映射）关系。如果相关函数均具有连续的一阶偏导数，并且他们的雅可比行列式】

(2) 函数组建立了区域Ω上的点与区域Ω*上的点之间的一一对应关系, 则Ω在直角坐标系下的体积元dv 变为：

因此有： 说明: 当Jacobi 行列式 在区域的个别点或某条曲线、某块曲面上等于零, 而在其它点处均非零时, 换元法仍然成立.

⎩⎨⎧==),(),(:v u y y v u x x T (,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨

=⎩(,)(,)

u u x y v v x y =⎧⎨=⎩(,)(,)u v u v F F F G J G G u v ''∂==''∂(,),f x y D 设在闭域上连续(,)u v D D

'∈→(1)(,),(,)x u v y u v D '在上(,)(,)0;(,)x y J u v u v ∂=≠∂:T D D '→(,)d d D f x y x y ⎰⎰((,),(,))D f x u v y u v '

=⎰⎰

(,,)(,,)(,,)x x u v w y y u v w z z u v w =⎧⎪=⎨⎪=⎩(,,)0(,,)x x x u v w D x y z y y y J D u v w u v w

z z z u v w ∂∂∂∂∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂(,,),(,,),(,,)x u v w y u v w z u v w (,,)(,,)D x y z dv dudvdw J dudvdw D u v w ==(,,)f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰*((,,),(,,),(,,))f x u v w y u v w z u v w J dudvdw Ω=

⎰⎰⎰

(,,)(,,)D x y z D u v w