初中数学数学勾股定理的专项培优练习题(及答案

初中数学数学勾股定理的专项培优练习题(及答案
一、选择题
1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F
是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=︒BEC ，1FG =，则2AB 为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2．如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）
A ．
254
cm B ．
152
cm C ．7cm
D ．
132
cm 3．已知等边三角形的边长为a ，则它边上的高、面积分别是（ ）
A ．2,24
a a
B ．2
3,24a a
C ．2
33,
24a a D ．2
33,
44
a a 4．若直角三角形的三边长分别为-a
b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一
边的长可能为（） A ．22
B ．32
C ．62
D ．82
5．如图，在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若3CM =，则22CE CF +的值为( )
A ．36
B ．9
C ．6
D ．18 6．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ）
A ．1，26
B ．3，5，4
C ．5，12，13
D ．3，213
7．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ）
A ．15--
B ．15-
C ．5-
D ．15-+ 8．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A ．9，7，12
B ．2，3，4
C ．1，2，3
D ．5，11，12
9．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） A ．5
B ．7
C ．5
D ．5或7
10．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::5:12:13a b c = B ．A B C ∠+∠=∠ C ．::2:3:5A B C ∠∠∠=
D ．6a =，12b =，10c =
二、填空题
11．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 12．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上．若3AE =，7AD =
，则AC 的长为_________
13．如图，Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =，DE AC ⊥，1
3
CD BC =
，1
3
CE AC =
，P 是直线AC 上一点，把CDP 沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是__________
14．如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，()20,0A ，()0,8C ，点D 是OA 的中点，点P 在边BC 上运动，当ODP ∆是以OD 为腰的等腰三角形时，则P 点的坐标为______.
15．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.
16．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿着纸箱的表面爬到点B 处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.
17．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．
18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2
2
22
()0c a b a b --+-=，则
△ABC 的形状为___________
19．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．
20．如图所示，圆柱体底面圆的半径是
2
π
，高为1，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是______
三、解答题
21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
22．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．
（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．
23．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______． （2）求证：BED CDF △≌△．
（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．
24．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .
（1）求证:CED ADB ∠=∠； （2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .
25．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.
（1）求CD 的长.
（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.
①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.
②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.
26．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.
(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).
27．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G . ①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形. 28．（知识背景）
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数． （应用举例）
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且 勾为3时，股14(91)2=
-，弦1
5(91)2=+； 勾为5时，股112(251)2=
-，弦1
13(251)2
=+； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝
（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ． （解决问题）
观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空： （3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则
b = ，
c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．
（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37．
29．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．
（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段
AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．
30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．
（体验）（1）从特殊入手 许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持
不动，让
从重合位置开始绕点转动，在转动的
过程，观测
的大小和
的形状，并列出下表：
的大小 的形状
…
直角三角形
…
直角三角形
…
请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；
（2）猜想一般结论在中，设，，（），
①若为直角三角形，则满足；
②若为锐角三角形，则满足____________；
③若为钝角三角形，则满足_____________．
（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面
（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．
（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）
A．一定是锐角三角形
B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
结合等边三角形得性质易证△ABE≌△CAD，可得∠FBG＝30°，BF＝2FG＝2，再求解∠ABE ＝15°，进而两次利用勾股定理可求解．
【详解】
∵△ABC为等边三角形
∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，CD＝AE
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°，
∵BG⊥AD，
∴∠BGF＝90°，
∴∠FBG＝30°，
∵FG＝1，
∴BF＝2FG＝2，
∵∠BEC＝75°，∠BAE＝60°，
∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°，
∴∠ABG＝45°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴2222
BF FG
-=-3
21
AB2=AG2+BG2323)2=6．
故选C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG为等腰直
角三角形是解题关键．
2．A
解析：A 【分析】
由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm ，设AF=xcm ，则DF=(8-x)cm ，在Rt△AFD 中，利用勾股定理即可求得x 的值. 【详解】
∵四边形ABCD 是长方形， ∴∠B=∠D=900，BC=AD,
由翻折得AE=AB=8m ，∠E=∠B=900
,CE=BC=AD 又∵∠CFE=∠AFD ∴△CFE≌△AFD ∴EF=DF
设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm 在Rt△AFD 中，AF 2=DF 2+AD 2,AD=6cm ，
222(8)6x x =-+
254
x cm =
故选择A. 【点睛】
此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.
3．C
解析：C 【分析】
作出等边三角形一边上的高，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出BD ，利用勾股定理即可求出AD ，再利用三角形面积公式即可解决问题． 【详解】
解：如图作AD ⊥BC 于点D ． ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠B ＝60°，∠B AD ＝30° ∴1122
BD AB a =
=
由勾股定理得，2AD =
==
∴边长为a 的等边三角形的面积为12×a ×2a ＝4
a 2
， 故选：C ．
【点睛】
本题考点涉及等边三角形的性质、含30°角的直角三角形、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
4．B
解析：B
【解析】
由题可知（a-b ）2+a 2=（a+b ）2，解得a=4b ，所以直角三角形三边分别为3b ，4b ，5b ，当b=8时，4b=32，故选B ．
5．A
解析：A
【分析】
先根据角平分线的定义、角的和差可得90ECF ∠=︒，再根据平行线的性质、等量代换可得,ACE CEF ACF F ∠=∠∠=∠，然后根据等腰三角形的定义可得
,EM CM FM CM ==，从而可得6EF =，最后在Rt CEF 中，利用勾股定理即可得．
【详解】 CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，
,1122
ACB ACD BCE ACE DCF ACF ∴∠∠=∠=∠=∠∠=， 111(90222
)ACB AC E D ACB ACD CF ACE ACF ∠=∠+∴∠+∠=∠∠∠=+=︒， //EF BC ，
,BCE CEF DCF F ∠=∴∠∠=∠，
,ACE CEF ACF F ∴∠=∠∠=∠，
3,3EM CM FM CM ∴====，
6EF EM FM ∴=+=，
在Rt CEF 中，由勾股定理得：2222636CE CF EF +===，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．
6．A
解析：A
A. 12+22)2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B. 32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C. 52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D. 32+222，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选A.
7．A
解析：A
【分析】
首先根据勾股定理得出圆弧的半径,然后得出点A的坐标.
【详解】
∴由图可知：点A所表示的数为: 1-
故选：A
【点睛】
本题主要考查的就是数轴上点所表示的数,属于基础题型.解决这个问题的关键就是求出斜边的长度.在数轴上两点之间的距离是指两点所表示的数的差的绝对值.
8．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】
解：A、因为92+72≠122，所以三条线段不能组成直角三角形；
B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；
C、因为12= 22，所以三条线段能组成直角三角形；
D、因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形．
故选C．
【点睛】
此题考查勾股定理逆定理的运用，注意数据的计算．
9．D
解析：D
【分析】
分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．
【详解】
当4是直角边时，斜边，
当4是斜边时，另一条直角边=，
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
10．D
解析：D
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90︒即可．
【详解】
解：A 、22251213+=，ABC ∆∴是直角三角形，故能判定ABC ∆是直角三角形； B 、A B C ∠+∠=∠，90C ∴∠=︒，故能判定ABC ∆是直角三角形；
C 、::2:3:5A B C ∠∠∠=，518090235C ∴∠=
⨯︒=︒++，故能判定ABC ∆是直角三角形；
D 、22261012+≠，ABC ∆∴不是直角三角形，故不能判定ABC ∆是直角三角形； 故选：D ．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
二、填空题
11．310或10
【详解】
分两种情况：
（1）顶角是钝角时，如图1所示：
在Rt △ACO 中，由勾股定理，得AO 2=AC 2-OC 2=52-32=16，
∴AO=4，
OB=AB+AO=5+4=9，
在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90，
∴10；
（2）顶角是锐角时，如图2所示：
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-DC2=52-32=16，∴AD=4，
DB=AB-AD=5-4=1．
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=12+32=10，∴BC=10；
综上可知，这个等腰三角形的底的长度为310或10．
【点睛】
本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．12．5
【分析】
由题意可知，AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠E＝45°，求出∠ACE＝
∠BCD可证△ACE≌△BCD，可得AE＝BD＝3，∠ADB＝90°，由勾股定理求出AB即可得到AC的长．
【详解】
解：如图所示，连接BD，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠E＝45°，
且∠ACE＝∠BCD＝90°-∠ACD，
在ACE和BCD中，
AC=BC
ACE=BCD
CE=CD
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD3E＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°，
∴AB22
AD+BD=7+3=10，
∵AB=2BC，
∴BC ＝2×AB=52
， 故答案为：5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．
53或203
【分析】 根据折叠后点C 的对应点H 与AC 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理求出各边的长，再根据折叠的性质与勾股定理列出对应的方程即可求出结论． 【详解】
解：①当折叠后点C 的对应点H 在AC 的下方时，如下图所示
∵Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =，
根据勾股定理可得2210AB AC += ∵13CD BC =，13CE AC =， ∴13CD BC ==103，13
CE AC ==83 ∵DE AC ⊥
根据勾股定理可得222CD CE -=
由折叠的性质可得：DH=CD=
103，CP=PH ∴EH=DH －DE=43
设CP=PH=x ，则EP=CE －CP=8
3－x
在Rt △PEH 中，EP 2＋EH 2=PH 2
即（8
3－x ）2＋（43
）2=x 2
解得：x=53
即此时CP=
53； ②当折叠后点C 的对应点H 在AC 的上方时，如下图所示
根据折叠的性质可得DH=CD=
103，CP=PH ∴EH=DH ＋DE=163
设CP=PH=y ，则EP= CP －CE =y －83
在Rt △PEH 中，EP 2＋EH 2=PH 2 即（y －83）2＋（163
）2=y 2 解得：y=203
即此时CP=203
． 综上所述：CP=
53或203． 故答案为：
53或203
． 【点睛】 此题考查的是勾股定理和折叠问题，掌握利用勾股定理解直角三角形、折叠的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
14．()4,8或()6,8或()16,8
【分析】
当ODP ∆是以OD 为腰的等腰三角形时，分为两种情况①点O 是顶角顶点时，②D 是顶角顶点时，根据勾股定理求出CP ，PM 即可．
【详解】
解：OD 是等腰三角形的一条腰时：
①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以10为半径的弧与CB 的交点， 在直角△OPC 中，CP=22221086OP OC -=-=，则P 的坐标是（6，8）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以10为半径的弧与CB 的交点， 过D 作DM ⊥BC 于点M ，
在直角△PDM 中，PM=22221086PD DM -=-= ，
当P 在M 的左边时，CP=10-6=4，则P 的坐标是（4，8）；
当P 在M 的右侧时，CP=10+6=16，则P 的坐标是（16，8）．
故P 的坐标为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．
故答案为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．
15．12
【分析】
延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()222210210220BO EO +=
+=，可得AB=BE-AE.
【详解】
如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.
因为三角形COA 是等腰直角三角形
所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°
因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，
所以∠BAO+∠BCO=180°,
又∠BAO+∠OAE=180°
所以∠BCO=∠OAE
所以∆BCO ≅∠EAO
所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA
所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°
所以三角形BOE 是等腰直角三角形
所以BE=()()222210210220BO EO +=
+= 所以AB=BE-AE=20-8=12
故答案为：12
【点睛】
考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.
16．100
【解析】
蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线：
第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是90cm 和50cm ，
则所走的最短线段AB==10cm ；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是110cm 和30cm ，
所以走的最短线段AB==10cm ；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是80cm 和60cm ，
所以走的最短线段AB=
=100cm ； 三种情况比较而言，第三种情况最短．
故答案为100cm ．
点睛：本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨． 17．12013
【解析】 ∵AB=AC ，AD 是角平分线，
∴AD ⊥BC ，BD=CD ， ∴B 点，C 点关于AD 对称，
如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，交AD 于E ，
则CF=BE+FF 的最小值，
根据勾股定理得，AD=12，
利用等面积法得：AB ⋅CF=BC ⋅AD ，
∴CF=BC AD AB ⋅=101213⨯=12013
故答案为
12013. 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF ⊥AB 时，CF 有最小值是解题的关键.
18．等腰直角三角形
【解析】
根据非负数的意义，由()2222
0c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角
形是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.
19．5
【解析】
试题分析：作点B 关于AC 的对称点F ，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB +PE 的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF 的长即可，因此要先求AF 的长，证明△ADF ≌△CDB ，可以解决这个问题，从而得出EF =5，则PB +PE 的最小值为5．
解：如图，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，并截取DF =BD ，连接EF 交AC 于P ，连接PB 、AF ，则此时PB +PE 的值最小，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB =CB ,∠ABC =90°，AD =DC ，
∴∠BAC =∠C =45°，
∵∠ADF =∠CDB ，
∴△ADF ≌△CDB ，
∴AF =BC ,∠FAD =∠C =45°，
∵AE =3，BE =1，
∴AB =BC =4，
∴AF =4，
∵∠BAF =∠BAC +∠FAD =45°+45°=90°,
∴由勾股定理得：EF 22AF AE +2243+，
∵AC 是BF 的垂直平分线，
∴BP =PF ，
∴PB +PE =PF +PE =EF =5，
故答案为5.
点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.
205【分析】
先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
【详解】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽
即高等于圆柱的母线长．
∵AB=π•2π=2，CB=1． ∴AC= 22AB ＋BC = 222=5＋1， 故答案为：5.
【点睛】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
三、解答题
21．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米
【解析】
试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；
（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.
试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，
梯子距离地面的高度AE=22257-=24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，
∴22CD CE -222520-，
∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米．
22．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2．
【分析】
（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒，由此即可得；
（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直
角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒，由此即可得；
（3）先利用勾股定理求出
102AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得．
【详解】
（1）AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：
如图1，延长AE 交BD 于H ，
由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，
∴()ACE BCD SAS ≅，
∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，
∵90DBC BDC ∠+∠=︒，
∴90EAC BDC ∠+∠=︒，
∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，
即AE BD ⊥，
故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；
（2）成立，理由如下：
如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，
∵90ACB ECD ∠=∠=︒，
∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，
在ACE △和BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ACE BCD SAS ≅，
∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，
∵90ACB ∠=︒，
∴90EAC AOC ∠+∠=︒，
∵AOC BOH ∠=∠，
∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，
∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，
即AE BD ⊥；
（3）设AD x =，
10,90AC BC ACB ==∠=︒， 2102AB AC ∴==，
由题意，分以下两种情况：
①如图3-1，点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，
同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，
12DE =，
12BD AE AD DE x ∴==-=-，
在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x +-=，
解得14x =或2x =-（不符题意，舍去），
即14AD =，
②如图3-2，点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间，
同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，
12DE =，
12BD AE AD DE x ∴==+=+，
在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x ++=，
解得2x =或14x =-（不符题意，舍去），
即2AD =，
综上，AD 的长为14或2．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．
23．（1）90°；（2）证明见解析；（3
）变化，24l +≤<．
【分析】
（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求
DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；
（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；
（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．
【详解】
解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD=DE
∴∠DAE=∠DEA=30°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，
故答案为：90°；
（2）∵AD=DE=DF ，
∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，
∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，
∴∠DEA+∠DFA=60°，
∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，
∴∠EDB=∠DFA ，
∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，
∴∠CDF=∠DEA ，
在△BDE 和△CFD 中
∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△BDE ≌△CFD （ASA ）
（3）∵△BDE ≌△CFD ，
∴BE=CD ，
∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，
当D 点在C 或B 点时，
AD=AC=AB=2,
此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；
当D 点在BC 的中点时，
∵AB=AC ，
∴BD=112
BC =
，AD ==
此时223l AD =+=+
综上可知234l +≤<．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．
24．（1）见解析；（2）27BC =.
【分析】
（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.
（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．
【详解】
（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，
∴△ABD 是等边三角形.
∴60ADB ∠=︒.
∵CE ∥AB ，
∴60CED A ∠=∠=︒.
∴CED ADB ∠=∠.
（2）解：连接AC 交BD 于点O ，
∵AB AD =，BC DC =，
∴AC 垂直平分BD .
∴30BAO DAO ∠=∠=︒.
∵△ABD 是等边三角形，8AB =
∴8AD BD AB ===，
∴4BO OD ==.
∵CE ∥AB ，
∴ACE BAO ∠=∠.
∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.
∵60CED ADB ∠=∠=︒.
∴60EFD ∠=︒.
∴△EDF 是等边三角形.
∴2EF DF DE ===,
∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.
在Rt △COF 中， ∴2223OC CF OF =-=.
在Rt △BOC 中，
∴22224(23)27BC BO OC =
+=+=. 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
25．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=
t v t (26t ≤<) 【分析】
（1）作AE ⊥BC 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=
12
BC ，然后利用勾股定理求出AE ，再用等面积法可求出CD 的长；
（2）①过B 作BF ⊥AC 于F ，易得BF=CD ，分别讨论Q 点在AF 和FC 之间时，根据△BQF ≌△CPD ，得到PD=QF ，建立方程即可求出t 的值；
（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q 在FC 之间求出t 的取值范围即可.
【详解】
解：（1）如图，作AE ⊥BC 于E ，
∵AB=AC，
∴BE=1
2
BC=25
在Rt△ABE中，
()2
222
AE=AB BE=1025=45
--
∵△ABC的面积=11
BC AE=AB CD 22
⋅⋅
∴
BC AE4545 CD===8
AB
⋅⨯
（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，
∵△ABC的面积=11
AC BF=AB CD
22
⋅⋅，AB=AC
∴BF=CD
在Rt△CPD和Rt△BQF中
∵CP=BQ，CD=BF，
∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）
∴PD=QF
在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴22
AD=AC CD=6
-
同理可得AF=6
∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t 由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，
∴此种情况不符合题意，舍去；当Q点在FC之间时，如图所示，
此时PD=6-t ，QF=2t-6
由PD=QF 得6-t=2t-6，
解得t=4，
综上得t 的值为4.
（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，
∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ，
∴PD=6-t ，QF=vt-6，
由PD=QF 得6-t=vt-6， 整理得12-=t v t
， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC
∴610<≤vt ，代入12-=t v t
得 61210<-≤t ，解得26t ≤< 所以答案为12-=
t v t (26t ≤<) 【点睛】
本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.
26．（1）见解析；（2）26；（3）
33a +3 【分析】
（1）由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ，再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ，即可得到AD=BE ；
（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12
DE ，同（1）可证△ACD ≌△BCE ，得到AD=BE ，然后可求AE 的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB 的长；
（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出3，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.
【详解】
证明：（1）∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE
在△ACD 和△BCE 中，
AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACD ≌△BCE （SAS ）
∴AD=BE
（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ，
∴△DCE 为等腰直角三角形，
∵CM ⊥DE ，
∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点
∴
CM=12
DE ， ∴DE=2CM=14，
∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE
在△ACD 和△BCE 中，
AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACD ≌△BCE （SAS ）
∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE
∴AE=AD+DE=24
如图，设AE ，BC 交于点H ，
在△ACH 和△BEH 中，
∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH ，而∠CAH=∠EBH ，
∴∠BEH=∠ACH=90°，
∴△ABE 为直角三角形
由勾股定理得2222AB=AE BE =2410=26++
（3）由（1）（2）可得△ACD ≌△BCE ，
∴∠DAC=∠EBC ，
∵△ACB ，△DCE 都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°
∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，
∵CM ⊥DE ，
∴∠CMD=90°，DM=EM ，
∴CD=CE=2CM ，CM
∴
∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°， ∴∠NBE=30°，
∴BE=2EN ，EN
∵BN=a
∴BE=2EN=3
a =AD
∴AE=AD+DE=
3
+a 【点睛】 本题考查全等三角形的旋转模型，掌握此模型的特点得到全等三角形是关键，其中还需要用到等腰三角形三线合一与30度所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本知识点是关键.
27．(1)①见解析；②()22012x y x x -=
<<-；（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；
②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证
△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.
（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接DN 交AC 于点Q ，问题即得解决.
【详解】
（1）①证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，
∴CB=CD ，∠BCE =∠DCE =45°，
又∵CE=CE ，∴△CBE ≌△CDE （SAS ），
∴EB=ED ，∠CBE =∠1，
∵∠BEC =90°，∠BCF =90°，
∴∠EBC +∠EFC =180°，
∵∠EFC +∠2=180°，
∴∠EBC =∠2，
∴∠1=∠2.
∴ED=EF ，
∴BE=EF .
②解：∵正方形ABCD
的边长为2，∴对角线AC =2.
将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点A 与点C 重合，点E 落在点P 处，如图2， 则△BAE ≌△BCP ，
∴BE =BP ，AE=CP=x ，∠BAE =∠BCP =45°，∠EBP =90°，
由①可得，∠EBF =45°，∴∠PBG =45°=∠EBG ，
在△PBG 与△EBG 中，PB EB PBG EBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.
∴PG=EG =2－x －y ，
∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，
∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2222x y x y +=--，
化简，得()22012x y x x
-=<<-. （2）如图3，作法如下：
①延长BE 交AD 于点M ，
②连接MO 并延长交BC 于点N ，
③连接DN 交AC 于点Q ，
④连接DE 、BQ ，
则四边形BEDQ 为菱形.。