魔方中的数学
数学魔方的原理和方法
数学魔方的原理和方法数学魔方，也称为数学方块魔方或数学立方体，是一个由数字组成的立方体。
相比传统的魔方，数学魔方的目标是通过数学方法和原理解决问题，而不是通过色彩的匹配。
数学魔方的原理基于一系列数学概念和技巧。
首先，我们需要了解它的构造。
一个标准的数学魔方通常由3x3x3个小正方体组成，每个小正方体上有一个数字。
魔方的每个面都由9个小正方体组成，分别是一个3x3的矩阵。
在完成魔方时，每个面上的小正方体数字要求相加的结果一致。
解决数学魔方的方法可以分为两种：暴力求解和数学推理。
1. 暴力求解：暴力求解是通过尝试所有可能的组合来解决问题。
这种方法非常耗时且不实用，因为数学魔方的解空间非常大，有很多的组合和排列。
即使使用最快的计算机也需要很长时间才能找到一个解。
因此，暴力求解不是一个可行的解决方法。
2. 数学推理：数学推理是一种更有效的方法，它基于数学原理和技巧来解决魔方。
以下是一些常用的数学原理和方法：2.1. 排列组合：排列组合是数学中常用的方法，用来计算魔方小正方体的排列和组合数。
通过排列组合的计算，可以找到小正方体的可能位置和数字组合。
2.2. 数字和：每个面上的小正方体数字相加要求一致。
可以通过数学逻辑来确定每个面上小正方体数字的值。
2.3. 奇偶性：每个数字都可以划分为奇数或偶数，通过计算魔方上每个面上奇数和偶数的个数，可以得到一些限制条件，从而确定某些位置上数字的值。
2.4. 分割和合并：可以将魔方分割为更小的部分，对每个部分进行分别求解，然后合并成一个完整的解。
2.5. 数学模型：可以将魔方建模为一个数学模型，通过数学模型的分析和计算，可以解决魔方问题。
一些常用的数学模型包括线性规划、图论和树结构等。
通过这些数学原理和方法，可以分析魔方的结构和特点，推理出可能的解，并最终求解出数学魔方的问题。
总结起来，数学魔方的原理和方法涉及到排列组合、数字和、奇偶性、分割和合并以及数学建模等。
通过数学逻辑和推理，可以解决数学魔方的问题。
魔方里的数学(人教版数学五年级下册)
五阶魔方
8
(5-2)×12=36 (5-2) 2×6=54 (5-2) 3=27
七阶魔方色、1面8涂色时(7，-2同)×学12赢=6；0 否(则7-，2) 老2×师6=赢150。你(7认-2为) 3=125
︙ 谁赢的︙可能性大一︙些？为什么？ ︙
︙
n阶魔方 8
(n-2)×12 (n-2) 2×6
(n-2) 3
拼成三阶魔方，需要几个小正方体？
3×3×3=27(个)
活动一：
拼成四阶魔方，需要几个小正方体？
4×4×4=64(个)
活动二：
大正方体表面都涂上颜色，需要涂几个面？ 其中小正方体会有几个面被涂上颜色？有几种情况？
三面涂色 两面涂色
一面涂色 没有涂色
思考：三面涂色、两面涂色、一面涂 色及没有涂色的小正方体在原正方体 的什么位置？
没有涂色： （7-2）× （7-2） × （7-2）=125（个）
魔方
二阶魔方 三阶魔方 四阶魔方 五阶魔方 七阶魔方
三面涂色 的块数
两面涂色的块数
一面涂色的块数 没涂色的块数
1、完成上表。两面涂色、一面涂色以及没有涂 色的块数你能用算式表示吗？
2、如果是n阶魔方呢？（请填在 表格最后一行）
魔方
？没有涂色的小正方体有着怎样的规律呢？
没有涂色：
13
23
33
没有涂色的小正方体块数：
新正方体棱上的块数3
(每条棱上的块数-2) 3
每条棱上有7个小正方体，三面、两面、一面涂色以及 没有涂色的小正方体各有多少块？
三面涂色： 8个
两面涂色：（7-2）×12=60（个）
一面涂色： （7-2）× （7-2） × 6=150（个）
魔方的数学原理
魔方的数学原理
魔方是由26个小立方体组成的立方体结构。
每个小立方体都
可以在三个轴向上自由旋转，形成各种组合和排列。
魔方的数学原理是基于群论的。
群论是一种抽象的数学概念，用来描述一组元素之间的运算规则和性质。
在魔方的情境下，每个小立方体可以看作是一个元素，而旋转操作则是运算规则。
魔方具有三种基本操作，即U（上层顺时针旋转90°）、R
（右侧顺时针旋转90°）和F（前侧顺时针旋转90°）。
这三
个操作可以组合成各种组合，形成不同的排列。
通过对魔方进行不同的操作，可以得到不同的排列。
一般来说，魔方有43,252,003,274,489,856,000种不同的排列，即有近430
亿亿种可能的排列。
解决魔方的关键是找到一种解法，即通过一系列的操作将魔方还原为初始状态。
数学家已经证明，任何一个魔方都可以通过最多20步的操作还原。
这被称为“神奇20步定理”。
魔方的数学原理还涉及到对称性、置换群、生成元等概念。
通过对这些概念的理解和运用，可以更好地解决魔方问题。
总结起来，魔方的数学原理基于群论的概念，通过组合旋转操作可以得到不同的排列。
解决魔方的关键是找到一种最优解法，将魔方还原为初始状态。
对对称性、置换群和生成元等数学概念的理解和运用也是解决魔方问题的重要方法。
关于魔方的数学知识
关于魔方的数学知识
魔方的还原涉及的数学原理主要有交换子法以及降群法。
在魔方的旋转操作中，置换是一个重要的概念。
置换可以被视为一系列的旋转，每次旋转都可以写成一个置换，如 FFRR=（DF UF）（DR UR）（BR FRFL）（DBR UFR DFL）（ULF URB DRF）。
置换操作有一些重要的性质，如：
1. 两个不相连的循环置换是可交换的。
2. 每个置换都可以写成不相连循环置换的乘积。
3. 2-循环简称为对换，无公共元素的循环称为不相连循环。
4. 一个置换若分解成奇数个对换的乘积时，称为奇置换；否则称为偶置换。
5. 每个置换表成对换的乘积时，其对换个数的奇偶性不变。
6. 如果一个处于还原状态的魔方，经过一系列的置换操作，魔方最终会被还原。
此外，魔方的还原还需要用到群论的知识，特别是置换群的知识。
群是一种数学结构，由一个集合和这个集合上的一个二元运算组成。
在魔方的旋转操作中，群论可以被用来研究这些操作的性质和关系。
在魔方的组合问题中，需要考虑所有可能的组合情况。
根据专家计算，魔方的所有组合可能数为×10^19，这是一个天文数字。
如果将魔方拆开随意组合，其组合情况将多达×10∧20种。
也就是说，如果拆散魔方，再随意安装，有11/12的几率无法恢复原状。
最后，对于高阶魔方（如四阶、五阶），其构成和还原过程更加复杂，需要更多的数学知识和技巧。
同时，高阶魔方的制作也需要考虑更多的因素，如角块在转动中可能会因无支撑物而掉落等。
六年级上册数学课件-1 魔方中的数学问题-涂色问题丨苏教版 共36张PPT)
没有涂色（个） （6-2）×（5-2）×（4-2）=24
3
3
回顾探索和发现规律的过程，说说你的体会。
找各种小正方 体时，要注意 它们在大正方 体上的位置。
各种小正方体的 个数与正方体顶 点、面和棱的个 （条）数有关。
要把找、数、算 等方法结合起来， 并根据图形的特 征进行思考。
正方体涂色分类统计表
正方体 种类 个数 三面涂色（个） 两面涂色（个）
棱长
3
8 (3-12×)×121=21=212
4
8 (4-22×)×121=22=424
5
8 (5-32×)×121=23=636
一面涂色（个）
1×6=6 4×6=24 9×6=54
（棱长-2）2×6
正方体涂色分类统计表
正方体 种类 个数 三面涂色（个） 两面涂色（个）
棱长3
三面涂色的有几个？ 两面涂色的有几个？ 一面涂色的有几个？
小组合作建议：组内同学分工合作，进行分 类统计并填写统计表的第一行。
探究单一：
正方体涂色分类统计表
正方体 种类
个数
三面涂色（个）
棱长
两面涂色（个）
3
一面涂色（个）
棱长4
探究单二：
正方体涂色分类统计表
正方体 种类 个数
棱长
三面涂色 （个）
2
长6
高4 宽5
三面涂色的有（ 8 ）个
两面涂色的有（ 36 ）个 一面涂色的有（ 52 ）个
没有涂色的有（ 24 ）个
两面涂色（个） (6-2)×4=16
(5-2)×4=12 (4-2)×4=8 16+12+8=36
一面涂色（个）
4×2×2=16 3×2×2=12 4×3×2=24 16+12+24=52
魔方的数学原理
魔方的数学原理
魔方是一种立体解谜游戏，它由一个立方体构成，每个面都被划分为9个小正方形块，总共有6个面，每个面上的小正方形块可以被转动。
魔方的目标是将每个面的9个小正方形块颜色重新排列，使得每个面都呈现一种特定的颜色组合。
魔方的数学原理涉及到群论和全排列的概念。
通过旋转操作，魔方可以改变小正方形块的位置和方向，这些旋转操作可以作为魔方的一种运动，而所有的运动操作组成了魔方的运动群。
魔方的运动群包含大约4.3×10^19个元素，这是一个庞大且复
杂的群体。
解魔方的过程本质上是在解决一种全排列问题。
当魔方打乱后，每个小正方形块的位置和方向都会发生改变，解魔方就是要找到一种操作序列，使得每个小正方形块都回到其原始位置和方向。
全排列是一种数学概念，表示对一组元素进行排列的所有可能性。
通过分析魔方的数学特性，可以使用全排列的算法来解魔方。
解魔方的算法包括复原法、层先法、宽度优先搜索法和逆序对法等，这些算法利用了魔方的对称性和旋转操作的特性，通过一系列的旋转操作将魔方还原到初始状态。
解魔方的过程是一种逻辑思维和空间想象力的结合，需要分析每个小正方形块的位置和方向，以及它们之间的相对关系。
总的来说，魔方是一种基于群论和全排列概念的解谜游戏，通过对魔方的旋转操作进行分析和算法求解，可以将其还原到初
始状态。
解魔方是一项需要逻辑思考和空间想象力的挑战，让人们锻炼思维和处理复杂问题的能力。
魔方里的数学规律
魔方里的数学规律
魔方，是一种由小正方体构成的立体拼图玩具，也被称为魔方立方体。
它的外观看起来简单却包含了复杂且神秘的数学规律。
魔方中的数学规律，主要包括排列组合、对称性、置换等数学概念。
其中，最为重要的是置换理论，即将魔方上的每个小块看作一个可移动的“元素”，对这些元素进行置换操作。
通过置换操作，可以改变魔方的外观，使得原本错乱的小块被排列得当。
这背后，需要一系列复杂的数学推导和计算才能实现。
除此之外，魔方中还包含许多奥秘：比如，它的表面细节呈现出的棱角和切面平均角度都达到了非常精确的水平；外观上的对称性可以延伸到内部，让每个小块的颜色数量相同。
总的来说，魔方里的数学规律不仅仅是玩具中的一部分，更是探索数学领域中的一部分。
通过掌握魔方的数学规律，不仅可以在娱乐中得到乐趣，还对数学理论的深入理解有很大帮助。
浅谈魔方中的数学思想
浅谈魔方中的数学思想学生姓名：之花127一、引言魔方是一种休闲益智玩具.生活中人们所熟知的魔方(Rubik’s cube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克(Rubik)教授于1974年发明的教学道具.这种方魔(Rubik’s cube)是由333⨯⨯个块方的成组, 个每块方都能绕心中转意任向方的体方立.总来的说,方魔的法玩就是转动魔方令其上每个面的方块颜色一致(还原)或排列组合出有规律的图案.魔方转动一次相当于魔方一层上所有的方块(有限元素)进行了一次数学意义上的变换.所以,魔方的构造与操作过程中蕴含着一定的数学思想.简而言之一些数学思想比如变换、坐标、组合等都可以在魔方上找到现实具体的运用.二、魔方的基础知识（一）魔方的历史与结构生活中人们所常见的魔方(Rubik’s cube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克(Rubik)教授于1974年设计的教学道具.这种魔方是由333⨯⨯个方块组成的,每个方块都能绕中心转任意方向的立方体.经过近40年的发展,原始的传统意义上的魔方已经创造性的衍生出了由方块组成的各个方向都能够转动的多种多样的几何体魔方玩具.在外形设计的角度,传播最早的魔方(Rubik’s cube)也可以称作三阶立方体魔方,继相有还阶二、阶四、阶五等种多数阶的体方立方魔,目前络网上一方魔者好爱计设并造制了高最的阶十七体方立方魔(2011).除体方立方魔外之有还它其体面多方魔和型异方魔.设计各种外形的几何体魔方时使其各个组成部分具有良好的旋转性是基本要求.这就使得魔方的内部结构的设计丰富多样、精简巧妙.1.阶从外形设计来看,立方体魔方每条棱上方块数目就是该魔方的阶数.因此,生活中人们普遍见到玩赏的方魔可称作阶三体方立方魔.最初魔方在作为增加学生空间方位感觉的教学道具设计时,魔方发明人Rubik教授考虑到从数学思维角度来说,222⨯⨯(即二阶立方体魔方)理论上是外形结构最简单的体方立魔方,然而在过经验实后作操现发他,在械机计设的度角上虑考话的,333⨯⨯魔方在部内造构上是最易容现实块方各度角转旋并备具最单简械机构结的体方立魔方.2.轴中心块棱块角块如图1所示，在拆开三阶立方体魔方后,可以观察到它的内部构造.一个以可各向方动转的项六头接在处的魔方的心中.其上个六头接是即方魔的轴.一个块方分别用螺丝、垫片、弹簧固定在每个接头,这个方块称为中心块.所以从内部构造的度角阶三方魔被也作称阶三轴六魔方.六个中心块被固定在魔方的六个轴上,而同一面上的四个中心块可以绕垂直或.所以中心块之间的相互位置不会在转魔方过程于这个面的两个轴旋转90180中改变.综上,块心中的色颜以可定确它面在所的色颜,这就示表在面该它其块方的色颜的断判上以应块心中的色颜为准基.图1实际上,魔方是由333126⨯⨯-=个方块（除去中心的一块）组成.除了以上所说的6个中心块以外,其它20个方块中:12个方块是两个面涂有颜色,它们的正确位置和朝向将由两个中心块决定,称之为棱块;8个方块有三个面涂有颜色(以下把涂有颜色的面称为有色面),它们的正确位置和朝向由三个中心块决定,称之为角块.如图1在计设上块棱和块角都有具出突的脚小,块棱的侧两有都装弧的口缺,这些脚小和口缺与都块心中扣紧在一起.这样棱块和角块就能够随着所在层的转动而向各个方向转动,并且紧扣在中心块上而不会在转动时从魔方上脱落. （二）魔方的玩法魔方的作操,即针时顺或针时逆动转魔方的某层一或层两90,180,270,360.作操单简得使玩方魔起来看易容.不过玩过的人都明白玩魔方并不容易,而且玩魔方需要记忆一些步骤.对大部分人来说初始接触的魔方都是三阶魔方,它有正方体的外形,6个面上都有9个有色块.大体上而言使每个面的有色块的颜色都相同是玩魔方的游戏目标,也就是还原魔方.自然的,各个有色块是组成魔方的方块的一部分.实际操作魔方,即转动魔方的过程中,方块之间能够互换位置或者方块自身会变换朝向.事实上,Rubik教授在制造出世界上第一个魔方后随意转动之后想要还原魔方就花费了三个多月的时间.还原魔方的困难之处就在于:移动一个方块时伴随着其它多个方块的移动(中心块除外).在还原的初始阶也许这构不成较大的困难，然而随着多数方块达到正确的位置,这时新的转动必然会使这些方块离开正确的位置,如何在转动中不断还原已完成好的部分是个难题.在学数的域领就应对着有元限的换变和逆换变问题.今当的方魔是一种不仅闲休的力智具玩,玩方魔更展发为成了技竞动运.为作技竞动运的魔方法玩富丰样多.种各魔方玩的界世录记不断被新刷,如快最原还魔方录记者持保为生出于亚利澳大岁18Feliks Zemdegs,他的最快记录为6.77秒(2010年).魔方的种类除了传播最早的魔方(Rubik’s cude)也可以称作三阶立方体魔方,相继还有二阶、四阶、五阶等多种阶数的立方体魔方, 前目络网上些一魔方者好爱计设并造制了高最的阶十七体方立魔方.除体方立魔方外之有还它其体面多魔方和型异魔方.魔方的数轴、向轴、数阶、状形在魔方者好爱断不试尝与造创中得变富丰彩多.三、魔方中的数学思想（一）排列组合的思想“意随的动转魔方使魔方的面个六原还能可吗?”通过魔方旋转其上的色块一共可以组合出多少种图案,利用组合的数学思想,我们可以得到魔方可以变换8128!312!243,252,003,274,489,856,000322⨯⨯⨯=⨯⨯种案图.首先,易容到想果如动不转魔方层间中,魔方的个六块心中的置位会不变改,相对的旋转上下两层相当于旋转中间层.通过这种方式可以固定魔方的空间位置,即立建一个间空系标坐.其次,在这个系标坐中8个块角的置位全列排为8!,又因为每个角块有3三个有色面,所以角块所有的图案组合为88!3⨯中.同理,魔方上的棱块有12个,每个棱块有2个有色面,棱块全部图案有1212!2⨯个.再次,魔方上不存在以下的操作结果:只有一个角块或一个棱块的有色面变换了朝向,只有一对角块或者一对棱块相互交换了位置.所以除以322⨯⨯.最后得到以上结果.如果人的平均寿命为100年每秒转动魔方3下,除去重复的图案,每个人吃饭睡觉都在转,46亿人经过4542亿年时间就可以转出所有不同的图案.所以通过随意转魔方而还原魔方有人可能终其一生都无法完成.“拆开重新组装的魔方一定正确吗?”首先,6个中心块固定在魔方中心的六个接头上.其次,剩下的20个方块有:8个角块和12个棱块.8个角块的位置,以及每个角块有3个有色面,一共有88!3⨯种安装角块的方式.同理,共有1212!2⨯种安插12个棱块的方法.魔方有8128!312!2519,024,039,293,878,272,000⨯⨯⨯=种组装方法.相对于魔方转动变换出的图案种类魔方组装的图案要多很多.对比上文可以得到正确组装一个魔方的概率为112.可以想到,在复原魔方的过程中试图通过拆卸魔方方块而简化复原步骤的办法是不可行的.（二）群论的思想1.魔方中的对称生活中,几何体的镜面对称(关于某个平面的对称)是很常见的,魔方的结构也体现了这种对称性.然而,对称的含义远远超出了镜面对称,需要用到群论的思想作为研究的工具.关于面平称对,若一个体何几被某面平成劈分部两,其中任一分部都是另一分部于关给所面平的面镜像映,则该体何几关于面平称对,即该体何几成面镜称对.关于线直称对,若一个体何几上的点每于关线直的点称对在该体何几上,则个这体何几关于该直线对称,即这条直线是该几何体的二阶对称轴.反过来讲,如果一个几何体具有二阶对称轴,那么该几何体围绕轴转3602后与本身重合.类似的,若几何体围绕一条直线旋转360n后与本身重合,则这条直线称为该几何体的n 阶对称轴.关于点称对,即心中称对,若段线AB的点中点为O,则点段,A B于关点O成心中称对.如果某体何几上的每点一个都以可在该体何几上找到于关给点定O成心中称对的点,那么就称该体何几关点于O称对.如图2体方正有具4阶轴称对(如图2()a)、2阶轴称对(如图2()b)、3阶轴称对(如图2()c),同时正方体关于中心(即正方体体对角线的交点)点对称.三阶魔方的外形正是这种具有仅次于球体的对称性质的正方体.图22.魔方中的变换魔方的变换为旋转魔方是方块位置的变换,而在立体空间中,平移、旋转和镜面映像为三种不改变几何体大小的空间运动.在空间中任取一直线a,若空间中点P与点Q关于直线相互对应,则点Q或点P绕轴a转一个确定的角度ϕ后与另一个相重合.所以间空换变转旋是一一应对的换变.同时,在转旋化变中持保了转旋点的轴到离距不变.设合集M,P是M的一个集子,A为M的一个换变,若集子P中每点一个的在换变A用作为仍下的P中点.则集子P是变不的或称对的,或者说换变A画刻了集子P的称对性.设()S P为集合M中保持P不变的所有变换的集合,则()S P满足以下的性质:①()S P给定S P中任意两个元素依次作用于P后依然保持P不变,即在()运算顺序后,()S P的该运算满足封闭率;②()S P中该运算满足结合律;③()S P含S P中必有含等恒换变,有意任素元与等恒换变运作持保变不,则()有位单元;④对()S P中必有一个元素y,使之与x运算后为恒等S P中任一元素x,()变换,则x为y的逆元.3.群的一般概念设空非合集G 中定规一个算运“”,若该算运足满下以的个四质性, 群就为说{;}G .① 封闭律,,,a b G a b G ∀∈∈;② 结合律,,,,()a b c G a b c a b c ∀∈=;③ 单位元,,,,e G a G e a a e a e ∃∈∀∈==使有称为单位元;④ 逆元律,a G b G,b a=a b=e,b a ∀∈∃∈，使称为的逆元.据此上文所描述的对称的变换的全体在规定运算后构成一个群,则称该群为对称变换群.通过构建对称变换群的形式来研究几何体的对称性是有效的,例如：三阶魔方的外形是正六面体,因此正六面体对称群成为了魔方的变换研究方面的数学依托.4.魔方群构造魔方有上种六色颜和类三块方, 块角有3个面色有,3个面色有着随块角的动转而换互置位,每交换一次要动转120,此为3阶对称轴的性质,棱块有2个有色面,每交换一次转动180,这是2阶对称轴的性质.一般的以可用字数来1,2,,n 表代量变12,n x x x ,从而可以用数字的置换代替变量12,n x x x 的置换.如正三角形的称对换变用可字数1,2,3的换置表示:123,123I ⎛⎫= ⎪⎝⎭123123123123,,,132321213r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12123123,,231312ρρ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以三角正形的称对换变为群{}612312,,,,,S I r r r ρρ=.若把魔方每一个有色面用数字标记出来(中心块除外),则有48个有色面被标记.如果任何两个有色块能够相互调换位置,则48个有色面的置换的数目就是48!.称这些换置的体全为48次换置群,作记48S .到得可:面六正体的称对群是48S ,则面六正体的称对群的阶为48!.魔方换变的体全为称群方魔(下文证明）.群方魔是48S 群子的一个.原因于在魔方在上块角能只与块角生发置位的换互,不能与块棱进行置位换互,同样块棱也只可以和块棱行进换互位置.3图例如, 顺时针把图3中的1,2,3,4所在面转动90时,就会得到如下置换:12345678123240202113263419113139,,,,41238567201232403421132639191131⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1234用示来表魔方面色有1,2,3,4动转90的换置,则()()()()()12345678123240202113263419113139,a = 自然地,可以写出其它5个面上顺时针旋转90置换:()()()()()910111213141516244427718463214529219,b =()()()()()171819202122232491394814633431243845,c =()()()()()29303132252627281232402046373114135816,d =()()()()()3738394033343536482033042225254717331,e =()()()()()454647484142434417929372315283618103038,f = 可以得到, 群方魔由是a 、b 、c 、d 、e 、f 六个换置在48S 群子中成生的.由一个素元A 成生的群称为群环循.形如,,,,E A AA 111,,.A A A ---的素元成构群环循.这些素元为称A 的幂方,即0,E A =1,A A =2,.AA A =魔方变换112344123A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1,2,3,4表示有色块旋转90,212343412A ⎛⎫= ⎪⎝⎭表示转动为180,22111A A A A ==则有.2341111,,,A A A A 用分别1,2,3,4表示旋转90,180,270,360.上述的六个置换,,,,,a b c d e f 可生成群,,,,,M a b c d e f =,M 就是魔方群.即M 中含有所有的魔方变换.不难想到, 原还魔方的程过使魔方从始初态状,过经干若后的魔方换变,到回始初态状的程过中体现了魔方变换的循环以及魔方变换的逆变换.魔方变换都可以多次重复操作中实现魔方状态的循环.例如,如图5中所示魔方依次完成图中所示的旋转可以现实魔方一层点顶、小弯拐、字一、字十的案图循环.4图5.魔方群性质魔方是由26个方块组成的立方体.6在魔方的个面上每个面有9个有色面,共6954⨯=个有色面.26而魔方的个方块中,3有个有色面的是角块,2有个有色面的是边块,1只有个有色面的是中心块.8魔方共有个角块,126个棱块和个中心块.一个简单的事实是:魔方中间层不进行旋转时,6魔方的个中心块的位置是不变的.因此,中心块可以代表它所在的面,这也建立了一个固定的参考系.图5一般地,魔方还原步骤使用一套公式体系来表示魔方变换的基本操作.首先,6魔方有个面:前、后、上、下、左、右,分别对应字母F B D U L R 、、、、、.应90用这些字母来表示其对应面顺时针旋转的操作(顺时针是魔方在操作者的面前的顺时针方向).6如图,U 展示魔方上操作的方式.图6根据以上的描述中心块建立了一个固定的参考系,如果用,,,,,u d f b l r 表示对应面的中心块,则角块可以用xyz 表示其方位,其含义为:位于x 面y 面z 面相交处的方块.如ufl 表示u (上)面f (前)面l (左)面相交的方块.类似地,用xy 表示棱块,含义为:x 面y 面相交处的边块.()()db d b 如表示下面后面相交的方块.若魔方的变换合成运算顺序是从左到有的.{}12,,,,,,,M M U D F B L R ∀∈即12,M M 表示先操作1M 2M 在操作.如RU 如表示先旋转R ,U 在旋转.用c 表示魔方状态,即各方块和有色面的方位,用()M c 表示魔方在状态c 经过M 操作后所生成的新状态.同时,合成运算是从左向右的,有()()()()1221M M c M M c =.定理1 魔方的全部旋转变换的集合,规定合成作为运算,构成一个群,称为魔方群.证明 ,,,,,G U D F B L R =设是魔方全部旋转变换的集合.G 中的任何元素都能够表示为若干基本旋转的合成,则G 中任意两个元素的合成仍然是有限个基本宣战的合成.所以G 中的合成运算满足封闭律.用c 表示魔方状态,则123,,,M M M G ∀∈有:()()()()()()()()()()()()()()()()()()123312321123231321M M M c M M M c M M M c M M M c M M M c M M M c ====c 因为为魔方的任意状态,()()123123M M M M M M =得到,所以运算满足结合律. c 若魔方状态转动M 的作用下不发生改变,M 则是单位转动,故单位元存在. 若12n M M M M =为生成元的乘积{}{},,,,,,1,2,,i M U D F B L R i n ∈∈,则111121n M M M M ----=所以逆元律成立.所以,,,,,,G U D F B L R =是一个群,称为魔方群.同时魔方群G 的生成元可以用有色面的置换来表示,,,,,,G a b c d e f =即. ⑴交换性1引理 n S 中的不相交循环是可交换的.2引理 n S 中的所有置换都是一系列不相交循环的乘积.定理2 n S 中的不相交置换是可交换的.证明 设,f g 是n S 中不相交的置换.2根据引理1212,n m f f f f g g g g ==， i f 和i g 为互不相交的循环,{}{}1,2,,,1,2,,i n j m ==.1根据引理可知这些循环是可交换的,所以有12121212n m m n f g f f f g g g g g g f f f g f ===,证毕. 推论1 魔方群的对面旋转是可交换的.证明 魔方群,,,,,G D F B L R =中,相对面旋转变换是不相交的.根据定理2,相对面的旋转变换是可交换的,则有,,UD DU FB BF LR RL ===.⑵作用 传递性 轨道用*F 表示魔方的有色面的集合,*B 表示魔方的方块的集合,F E 表示魔方棱块上的有色面的集合,F V 表示魔方角块上的有色面集合,B E 表示魔方上棱块集合,B V ,,:表示魔方上角块的集合显然有**,,F F F F B B B B F E V E V B E V E V ==∅==∅定理3 魔方群G 分别作用在*F 和*B 上.证明 魔方群,,,,,G U D F B L R =,有:()()****,,G F F M G c F M c M c F ⨯→∀∈∈=∈,即,其中,c 表示魔方上有色面的的方位.若魔方状态c 转动0M 的作用下不发生改变,则()()00M c M c c ==; 12,,M M G ∀∈有:()()()()1221M M c M M c =.魔方群G 作用在*F 上同理可以证明魔方群G 作用在*B 上.推论2 魔方群G 分别作用在F E 、F V 、B E 、B V 上.定理4 魔方群G 在F E 、F V 、B E 、B V 上的作用是传递的.证明 以魔方前面左下方的角块为例,用dfl 表示.操作旋转:1M FFFDBBBD -=,后dfl 角块将沿着转动的路径通过全部角块的位置,最终返回起始点.因此B V 中随意在的两个元素G 的作用下都可以完成传递,因此G 在B V 上的作用是传递的.同,样的可以证明G 在F E 、F V 、B E 上的作用是传递的.魔方群G 在*F 和*B 上的作用是不传递的.因为角块不能传递到棱块的位置,角块上的有色面也不能传递到棱块上面,反之亦然.引理3 X 的子集是一个传递的G 集合当且仅当它是一个轨道.引理4 任何一个G 集合X 可唯一的划分为传递G 集合的并.推论3 魔方群G 在*F :上有两个轨道F E 和F V ,在*B :上有两个轨道B E 和B V . ⑶共轭 换位子魔方的还原是一个复杂的旋转操作过程,因为需要到数目较多的置换合成.若没有计划的随意乱转,一定会把魔方状态便得更加复杂.一下描述共轭和换位子在魔方还原中的作用.4引理 {}()()()(),,,1,2,,,,.h n g h S i j n g i j g h i h j ∈∈==若共轭在魔方还原中是一种常见的手法.引理4说明g 把i 映射到j ,则g 的共轭h g 把()h i 映射到()h j .这种性质在魔方还原中有重要的应用.5定理 n S 中两个元素有相同的轮换结构,则它们相互共轭.4推论 魔方群G 中的生成元U ,D ,F ,B ,L ,P 相互共轭.在论群中, 子位换是以可来用量衡合集素元的性换交, 来起看与方魔原还有没点一系关,事实上,换位子在魔方还原中反而起着简化还原步骤的作用.根据上文每个旋转作用是由5个长度为4的不相的交循环合成的.在还原魔方时,每旋转一次,就有5420⨯=个有色面重新排列,因此在无规律的连续旋转后的魔方状态会十分混乱,人们希望尽可能的保持已经还原的部分不变,在这方面换位子的重要性就显现出来了.魔方群中换位子定义的实际操作构成,假设g 和h 是魔方相邻两面的旋转,[]11,g h ghg h --=表示在转动gh 之后再旋转11g h --,最后因为g 和h 旋转而改变的部分方块或有色面可以复原到旋转之前.从而换位子简化了魔方的还原过程.在实践中可以验证:[]2.g h 可以交换3个棱块的位置而不改变角块的位置；[]3.g h 交换2对角块的位置而不改变棱块的位置.一下给出魔方实际操作中的例子: []()[]()()23,,,U F uf ur fl U F ufl fdl fur ubr ==.同时还有比较复杂的换位子的例子,如包含共轭的复合换位子:()()()112,,,,B F R L urf ufl ulb F D U urf ubr ufl ulb --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦.四、小结本文概述方魔中的学数想思.运用论群和组合学数的法方想思以可到得下以论结: 方魔可出转8128!312!243,252,003,274,489,856,000322⨯⨯⨯=⨯⨯种同不的案图;在6种本基换变F ,B ,D ,U ,L ,R 的础基上可以造构群方魔,,,,,G U D F B L R =;且群方魔G 中的元成生F ,B ,D ,U ,L ,R 互相扼共;如果用*F 表示方魔的面色有合集,*B 表示方魔的块方合集,F E 表示方魔块棱上的面色有合集,F V 表示方魔块角上的面色有合集,B E 表示方魔上块棱合集,B V 表示方魔上块角合集.则有: 群方魔G 别分用作在*F 和*B 上; 群方魔G 别分用作在F E 、F V 、B E 、B V 上; 群方魔G 在F E 、F V 、B E 、B V 上的用作是的递传; 群方魔G 在*F 和*B 上的用作是不递传的;群方魔G 在*F 上有个两道轨:F E 和F V ;在*B 有上个两道轨:B E 和B V .。
魔方中的数学问题。数学小论文
魔方中的数学问题。
数学小论文
评比论文题目：魔方中的数学问题
学生姓名：未提供
学校名称：XXX
指导老师：未提供
联系未提供
一、问题的提出
作者是一个热爱数学的小学生。
一天，他手里拿着魔方玩耍，突然被一个小孩子撞倒，魔方散落一地。
作者收集魔方碎块时发现，有些小方块涂了三面，有些涂了两面，有些涂了一面，还有些一面都没涂。
作者好奇，如果是四阶魔方、五阶魔方、六阶魔方，甚至更多，会有多少个小方块？有多少个涂了三面、两面、一面或没涂色呢？这些问题引发了作者的深思。
二、解决问题的过程
1.初步探究，寻找规律
作者画出了两阶魔方和三阶魔方的平面图。
他发现，两阶魔方红色格子数量除以三等于8个，三阶魔方也是8个。
作者
思考为什么两阶魔方和三阶魔方三面涂色的小方块都是八个。
作者观察草稿图，发现每个三面涂色的小方块都在每个魔方的棱角上。
魔方有八个棱角，因此魔方只有八个三面涂色的小方块。
2.深入探究，发现规律
作者决定继续研究两面涂色的小正方体、一面涂色的小正方体和没有涂色的小正方体。
他发现，在三阶魔方中，一共有十二个两面涂色的小正方体。
然后，作者观察黑色格子的面，发现黑色格子都在红色格子的中间。
作者计算出黑色格子的数量，4×6=24个，再除以二，得出两面涂色的小方块数量。
作者继续思考它的规律是什么。
魔方中的数学知识
魔方中的数学知识风靡全球的魔方也蕴藏着数学，那么你对魔方中的数学知识了解多少呢?以下是由店铺整理关于魔方中的数学知识的内容，希望大家喜欢!魔方中的数学知识通常所说的魔方，其国际标准称呼是鲁比克魔方，由匈牙利布达佩斯应用艺术学院的建筑学教授鲁比克—艾尔内于1974年发明! 关于鲁比克发明魔方的初衷，流传甚广的一个说法是为了发明一种教具，以帮助学生理解、认识立体空间的构造。
鲁比克一开始并没有意识到他发明了一个极其具有挑战性的益智玩具，当他第一次将自己发明的魔方打乱，才发现了这个后来被无数人反复证明的事实：原始状态的魔方一旦被打乱，想要将其复原是一件极其困难的事情。
1980年初，一家玩具公司将魔方带至在巴黎、伦敦和美国召开的国际玩具博览会展出。
此后不久，随着魔方制造技术的改进，魔方迅速风靡全球。
到1982年，短短的3年间魔方在全球就售出了200多万只，而到今天，全世界售出了数亿只魔方，魔方已经成为全球最为流行的玩具之一。
魔方核心是三个相互垂直的轴，保证魔方的顺利转动。
外观上，由26个小正方体组成一个正方体。
其中包括与中心轴相连的中心方块6个，相对位置固定不动，仅一面涂有颜色;棱块12个，两面有颜色;角块8个，三面有色。
复原状态下，魔方每面都涂有相同的颜色，六个面的颜色各不相同。
魔方每个面都可以自由转动，从而打乱魔方，形成变化多端的组合。
魔方组合的数量可以按照如下方式计算：8个角块可以互换位置，存在8!种组合(8=8*7*6*5*4*3*2*1)，又可以翻转，每个角块可以具有’种空间位置，但因为不能单独翻转一个角块，需要除以3，总共存在8!* 37种组合;12个棱块可以互换位置，得到12!，又可以翻转，得到212，但因为不能单独翻转一个棱块，也不能单独交换任意两个棱块的位置，需要分别除以2，得到12!*212/(2*2)种组合。
综上，得到魔方的所有可能组合数为：8!*37*12!*212/(2*2)=43,252,003,274,489,856,000≈4.33*1019这是一个天文数字，如果某位玩家想要尝试所有的组合，哪怕不吃不喝不睡，每秒钟转出十种不同的组合，也要花上千亿年的时间才能如愿，这约是当前宇宙年龄的10倍。
魔方中的数学知识三年级
魔方中的数学知识主要涉及组合数学、线性代数、群论。
关系最密切的是群论。
如果你尝试着玩过魔方，你会发现，无论怎么转动，想要在魔方上造成单个2循环（2个棱块单独交换位置，或者是2个角块单独交换位置）是不太可能的。
这就需要从数学的角度来解释这个问题啦。
简单来说，群泛指具有类似性质的事务的集合。
群论是由德国数学家迦罗瓦在研究高次代数方程求解的问题中创立的。
群论是在实践中发展起来的，从本质上说，它是对对称性的一种抽象描述，而对称性又是宇宙中许多事物的共同特性。
因此群论创立以后，在物理、化学、生物等许多科学中获得了广泛的应用，并取得了许多非凡的成就。
魔方被发明以后，魔方的结构、旋转特性、甚至单独块的循环换位，正是对群论的许多基本概念和定理的最好诠释。
通过魔方来学习群论，会让理论的变得具体，不在抽象难懂。
反过来，在群论的指导下，魔方六面的还原也会变得有规律可循，容易掌握，不在高深莫测、难以捉摸。
即使是对数学不敢兴趣的纯粹魔方玩家，对魔方中的数学有一定的了解，也会提高他玩魔方的技巧和熟练程度，有助于对魔方更深层次的理解。
魔方和数学的直接联系就是魔方的变化总数：三阶魔方总的变化数43、252、003、274、489、856、000。
或者约等于4.3X10^19。
那么这个数字
是怎么算出来的呢？其实就是分别算出棱块角块的状态，然后在减掉对称结构中重复出现的状态。
魔方在小学数学课堂中有效运用的研究
魔方在小学数学课堂中有效运用的研究引言魔方是一种具有挑战性和趣味性的益智玩具，它由多个小块组成，每个小块上都有不同的颜色。
魔方最早由匈牙利的魔术师鲁本•恩鲁比创造，至今已有数十年的历史。
因其复杂的拼图过程和丰富的数学内涵，魔方被越来越多的教师引入到小学数学课堂中，被认为是一种有效的教学工具。
2.培养学生的逻辑思维能力魔方的拼图过程需要学生不断分析、推理和解决问题，因此能够有效培养学生的逻辑思维能力。
通过拼图过程，学生需要运用数学知识、空间想象力和逻辑思维，不断调整，最终达到正确的结果。
3.丰富数学内涵魔方在拼图过程中涉及到的数学知识包括排列组合、置换群、对称性等，这些知识与小学数学课程紧密相关。
通过魔方的拼图过程，学生能够更加深入地理解这些数学知识，丰富数学内涵。
二、魔方在小学数学课堂中的有效运用1.引入魔方的历史和原理在引入魔方时，教师可以向学生介绍魔方的历史和原理，让学生对魔方产生浓厚的兴趣。
通过介绍魔方的组成结构和移动规则，让学生了解魔方的基本知识。
2.组织魔方比赛在小学数学课堂中，教师可以组织魔方比赛，让学生在竞争中学习、进步。
比赛可以分为单人解魔方比赛和团队解魔方比赛，通过比赛形式激发学生的学习积极性。
3.结合数学知识进行教学在教学过程中，教师可以结合魔方的拼图过程，引导学生探讨数学知识。
在解决魔方的排列组合问题时，教师可以引导学生探讨排列组合的概念，并将其与魔方的拼图过程相结合，让学生在实践中理解和掌握数学知识。
4.开展拓展活动除了基本的魔方拼图，教师还可以开展一些拓展活动，如利用魔方制作数学游戏、数学谜题等，让学生在玩中学，增加学习的趣味性。
三、魔方在小学数学课堂中的教学效果通过对魔方在小学数学课堂中的有效运用进行研究，可以得出以下教学效果：1.提高学生学习兴趣通过引入魔方，可以有效提高学生对数学的学习兴趣，激发他们的求知欲望，增加学习的主动性，从而提高学习效果。
3.深化数学知识理解通过魔方的拼图过程，学生能够更加深入地理解和掌握数学知识，丰富数学内涵，提高数学学习的深度和广度。
魔方里的数学规律
魔方里的数学规律
魔方作为一种经典的智力玩具，伴随着人们的童年和成长，深受大家的喜爱。
除了考验人们的手速和智力外，魔方中也蕴藏着丰富的数学规律。
首先，魔方的结构是由27个小立方体组成的，分为内层、中层和外层三层结构。
通过不同的旋转方式，这27个小立方体可以组合成无数的排列方式。
这种排列方式可以用数学中的置换来表示，而每一个置换都可以用公式进行描述。
其次，魔方的旋转过程中，每个小立方体都有固定的位置和方向。
这种位置和方向可以用群论中的群表示来描述。
魔方的旋转过程可以看作是一种群的运算过程，而每个旋转操作都对应着一个群元素。
在解魔方的过程中，人们往往需要运用到数学中的算法和策略。
其中一些策略是基于魔方的群性质和置换规律的。
比如，离散对称群和循环群的性质可以用来解决一些特定的魔方排列问题。
此外，魔方还涉及到了数学中的图论和拓扑学。
通过对魔方中不同的旋转方式进行分析，可以得到不同的图形和拓扑性质。
比如，魔方的对称性可以用来生成不同的图案，而魔方的拓扑特性则可以用来描述魔方的复杂性和解决难题。
总之，魔方中蕴藏着丰富的数学规律和知识，它既是一种娱乐玩具，也是一种深入数学领域的入门工具。
通过研究魔方中的数学规律，我们可以更好地理解数学的本质和魅力。
- 1 -。
魔方蛋糕中的数学
魔方蛋糕中的数学
XXXX年，西X发表了三条定理，并于XX年后提供了证明，现在称为西罗定理。
XXXX年,他和索XXX一同编辑数学家阿贝尔的全部论文,并在其中作了决定性的工作。
西罗定理是群论中重要的基础定理，而群论和我们经常玩的一种玩具之间有着很大的关系,那就是魔方。
接下来,就来讲讲魔方中的数学。
1、魔方的起源与演变
魔方是由匈牙利布达佩斯建筑学院的鲁比克教授发明的，最初是用来锻炼学生的空间想象能力的。
经过数十年的发展演变,魔方有了更多的变形和玩法。
2、魔方中的数学
在魔方发明之后，数学家发现玩魔方是有助于直观掌握有限群理论的一种有效途径;而物理学家发现，可以采用魔方作为反映一些基本粒子的直观模型。
计算机学家又发现，“解魔方”可以通过计算机算法来实现，而寻求步数最少的最佳算法，仍是悬而未决的难题。
因此，不仅要从智力玩具的角度揭示魔方的奧秘，还应该发掘它深刻的科学内涵。
3、魔方的循环性
三阶魔方，按照同-种方式循环往复地拧(比如上左下右，上左下右
不妨拿魔方试一试) ,总会回到初始状态。
有时候不小心拧错了，但逆向拧又比较容易出错，就可以按同一种方式拧下去，总能回到起点。
这类性质可以用大学数学中的群论来解释，也因此魔方成为了研究群论的一个绝佳素材。
与此类似，一副去掉大小王的扑克牌，按照完美洗牌法(即分成两堆，然后一张隔一张的插在一起)洗X次,总会回到初始状态。
魔方中的数学问题
（指 导教 师 ： 吴 国和 ）
ห้องสมุดไป่ตู้
魔方与数学的关系
魔方与数学的关系
魔方与数学有着密切的关系，特别是在解魔方的过程中涉及到很多数学原理和技巧。
以下是魔方与数学相关的几个方面：组合数学：魔方的每一种状态可以看作是一种排列或组合，涉及到组合数学的知识。
解魔方的过程就是通过一系列的排列组合操作将魔方还原到初始状态。
群论：魔方是一个群论中的典型例子。
解魔方的算法本质上就是在群的框架下进行的一系列置换操作。
群论的概念帮助我们理解魔方各种可能的状态和解法。
算法与公式：解魔方的过程中，使用的是一系列特定的算法和公式。
这些算法和公式是经过深思熟虑、通过数学方法得出的，旨在以最少的步骤将魔方还原。
图论：魔方的状态和解法可以通过图论的方式进行建模。
每个状态可以看作是图中的一个节点，而解法则是节点之间的路径。
图论的概念可以用于优化解法的算法。
概率论：在魔方还原的过程中，通过随机打乱魔方来找到一些解法是一种常见的方法。
概率论的知识可以帮助我们理解在随机过程中获得特定状态的可能性。
总体而言，魔方是一个融合了数学多个分支的复杂问题。
解魔方既是一个富有挑战性的娱乐活动，也是一个锻炼数学思维和技能的过程。
对于数学爱好者来说，通过解魔方可以更深入地理解和应用数学原理。
1。
魔方我的数学模型【精选】
数学模型M一、基本概念魔方的6个面分别记为：前--Front (F),后--Back(B),左--Left(L),右--Right (R),上--Up (U),下-- Down(D).分别记为：F=1;B=-1;L=-j;R=j;U=k;D=-k魔方有26块，分类为:（1）中心块----六个面的中心就叫中心块只有一个面。
（2) 边块----和中心块相邻的有两个面。
记为：上面前后左右用s=1+0+k;-s=-1+0+k;-t=0-j+k，t=0+j+k表示。
下面前后左右用下面：m=1+0-k；-m=-1+0-k；-n=0-j-k；n=0+j-k表示。
中间层按前左右为Z=1-j+0；H=1+j+0。
后左右为Q=-1-j+0；P=-1+j+0表示。
（3) 角块----8个在角上有三个面。
按顺时针把角块记为：前上右角7=1+k+j；.前上左角5=1-j+k；后上左角4=-1+k-j.；后上右角6=-1+j+k；前下右.角3=1+j-；前下左角1=1-k-j；后下左角0=-1-j-k；后下右角2=-1-k+j。
这样我们给各个块以名称和坐标。
不管怎样旋转魔方,中心块的位置是不会变的。
边块和角块都会移动,但边块不会移动到角块的位置,同样角块也不会移动到边块的位置。
另一种分法：魔方分为3层---- 上层; 中层; 底层.旋转魔方归纳起来一共有3种方法:（1）顺时针旋转(90度)，例如：顺时F针直角旋转右面，记为 R。
（2)逆时针旋转(90度),例如：逆时针直角旋转上面，记为U'（或-U）。
（3) 半圈旋转(180度)，例如：旋转前面180度，记为F2。
把坐标写为两套，其中一套用斜体表示，在魔方的块动起来时走到哪里带到哪里不会发生变化，称为色向函数，即各块各面原来的颜色，不会因为位置不同而变化。
另一套用正常字体表示，称随位置变化而变化，称为位置函数。
12定义一：关于边块及角块的方向，因为每一个边块有两个面，相对于三个坐标轴的方向x 先于y ；y 先于z ；x 先于z 。
魔方中的数学问题 数学小论文
论文题目：魔方中的数学问题学生姓名：***学校名称：瓯北第七小学指导老师：联系电话：魔方中的数学问题一、问题的提出我是一个热爱数学的小学生，在生活中不管是什么地方，都会以数学的方式去探究思考。
一天，我正走在街上，手里玩着爱不释手的魔方，突然，一个小孩子撞在我的身上，而我手里的魔方全部变成了一个个小方块。
我把这些魔方碎块收拾起来，惊奇的发现这些小方块，有些小方块的颜色涂了三面，有些上方块只涂了两面，有些小方块只涂了一面，而有些小方块是一面都没涂。
我手里的只是一个三阶魔方，但如果是四阶魔方、五阶魔方、六阶魔方、甚至更多，那一共会有多少个小方块。
而又有多少个涂了三面，有多少个涂了两，多少个涂了一面，又有多少个没涂色呢？这系列的问题引发了我的深思。
二、解决问题的过程1.初步探究，寻找规律我先拿来了纸和笔，在草稿本上画出了两阶魔方以及三阶魔方的平面图：首先，我们要先把两阶魔方红色格子的数量除以三，即为：4×6÷3=8(个)之所以要除以3，是因为它是三面涂色，要求出它的个数就要除以3。
而三阶魔方则需要4×6÷3=8（个）咦，怎么都是八个，而且两阶魔方只有三面涂色的上方块。
根据这个问题……（为什么两阶魔方和三阶魔方三面涂色的小方块都是八个？）我展开了深思。
我仔细的端详了一下我草稿上的图（见上图），我骤然发现，每一个三面涂色的其小方块其实都在每一个魔方的棱角上。
根据这一条我又回忆起了魔方的基本结构，自然就想到了棱角。
魔方一共有八个棱角，对，就是这句话。
根据这句话在联系上文，我得出了一个结论，魔方只有八个三面涂色的小方块。
2.深入探究，发现规律我决定一不做，二不休，继续研究两面涂色的小正方体和一面涂色的小正方体以及没有涂色的小正方体。
先看两面涂色的小正方体，根据上面的草稿图（见上图），可以知道在三阶魔方中，一共有十二个两面涂色的小正方体。
然后，我们在看黑色格子的面，发现黑色格子其实都在红色格子的中间。
魔方中的数学
• 魔方总的变化数为 8!*3^8*12!*2^12/(3*2*2)=432520032744898 56000种或者约等于4.3·10^19。如果你一秒 可以转3下魔方，不计重复，你也需要转 4542亿年，才可以转出魔方所有的变化， 这个数字是目前估算宇宙年龄的大约30倍。
• 三阶魔方总变化数的道理是这样：六个中 心块定好朝向后，就构成了一个坐标系， 在这个坐标系里，8个角色块全排列8!，而 每个角色块又有3种朝向，所以是8!*38，12 个棱色块全排列每个有2种朝向是12!*212， 这样相乘就是分子，而分母上3×2×2的意 义是，保持其他色块不动，不可以单独改 变一个角色块朝向(对应3)，单独改变一个 棱色块朝向(对应2)，和单独交换一对棱色 块或一对角色块的位置(对应另一个2)。
• 如果不去除旋转相同，那么4个角就是可以 区分的，这个答案很简单就是3^4=81种情 况。但是如果去除旋转相同，就 比较复杂 了，比如1113和3111是同一种标法，只是 魔方顶面转了90度而已。
• 枚举法得出答案——24种。
• 至于为什么，我建议大家自己先想想，我 初步写了一些。现在，请大家观看几个视 频——————
视频
视频
• 让我们来看看魔方的基本构造。
• 魔方六面的中心块的相对位置是固定的， 这个你拆过魔方就会知道，我敢保证在你 照说明书上的方法拧来拧去的时候，很容 易就忘记前后左右是什么颜色，这样就拧 乱了。
• 所以你开始一定要定好一个你喜欢的朝向。 在这里我选蓝色做为顶面，绿色为底面， 红色前面，橙色后面，白色左面，黄色右 面。 当然你可能贴纸贴的就跟我不一样， 魔方六面贴纸应该有5*3!=30种贴法。
• 首先，我们出个题啊，要是魔方顶面4个角 位置可以标号1、2、3，就像上面一样可以 标成是（1113）（1233）等等，去除旋转 后相同的情况，共有多少种标法？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
魔方中的数学
教学目标：
1、知识目标：通过观察、操作，使学生巩固并进一步认识正方体的特征，并在操作中培养学生的空间观念。
2、能力目标：培养学生动手操作和观察事物的能力，培养学生的思考能力，建立空间观念。
3、情感目标：（1）通过数学活动，培养学生用数学进行交流、合作探究和创新意识；（2）使学生感受到数学与现实生活的密切联系，渗透美育和德育教育。
重难点：表面积的变化情况，发展学生的空间观念。
教学准备：多媒体课件，魔方
教学过程：
一、创设情境导入新课
同学们，今天老师给大家带来一份礼物，想知道是什么吗？根据大屏幕上的提示猜猜是什么？
大屏幕显示：
四方一件宝，
变化真不少。
左旋再右转，
赏玩须用脑。
常玩常出新，
熟能生技巧。
（猜一游戏器具）
魔方，华容道，九连环是世界三大益智玩具。
小小的魔方蕴藏哪些数学知识呢？我们今天一起探讨。
板书课题：魔方中的数学
二、探究新知
大家观察一下，魔方是什么形体？为了能灵活转动，把它分成很多小块。
问题一：每个小块上都有颜色吗？有几种颜色？
（有的小块一面有色，二面有色，三面有色）
（单色6块，双色块12块，三色块8块）板书：6 12 8
问题二：看到这些数据，你会想到什么？
正方体有6个面，12条棱，8个顶点。
问题三：从数据上看确实一样，这会是巧合吗？
问题四：6个单色块在魔方的什么位置？双色块在哪里？三个颜色的小块在魔方的什么位置？
（单色的在每一个面的中间，不会与别的颜色相接，所以有6个。
双色的在棱的位置，两种颜色相交产生棱，所以有6个，双色的在棱的位置，有两种颜色相交产生棱，所以有12块，三种颜色的都在顶点上的小块）。
总结：看来，这并不是与面、棱、顶点数量的巧合，而
是由正方体结构特点决定的。
问题五：“残缺”魔方
当我们从魔方表面任意取一块，魔方的表面积会发生什么样的变化？
分组讨论：
从不同的位置拿，变化情况不一样。
①拿顶点块，表面积没有变化。
②拿双色块，表面积增加两个小正方形的面积。
③拿单色块表面积增加4个小正方形的面积。
三、大显身手
小小的魔方蕴藏了这么多知识，观察你手里的魔方，你能提出哪些数学问题呢？小组合作交流，把提出的问题写在练习本上，讨论并解决。
小组展示交流。
预设的问题有：
1、魔方是有多少个小正方体组成的？如果用魔方拼成一个较大的正方体至少需要多少块？
2、如果魔方的表面积是24d㎡；把他分成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是多少平方分米？
3、至少要几个小正方体才能平成一个大正方体，如果一个小正方体的棱长是5cm，那么大正方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？
4、有8个魔方平成一个长方体或正方体，怎样拼表面
积最大？
5、有两个正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积与原来两个正方体的表面积、体积的和相比有没有变化？如果有变化，是怎样变化的？
总结：同学们从一个小小的玩具中，提出这么多数学问题。
用大学者朱熹的一句话：问渠那得清如许，为有源头活水来。
魔方正如源头，是知识的源泉。
魔方是一个典型的正方体。
通过本节课得到的启示：正方体棱角分明，大大方方。
人也要有自己的特点：光明磊落，坦坦荡荡。
魔方中的数学
教学设计
单位：清丰县第三实验小学执教老师：刘素敏。