第十二章 动能定理1

FDN
T2
T1
W12
1 2
(2m1
3m2
1 4 )vC
(2m1 aC
3m2 (M
R1
)vC2 m2 g s
M (
R1
m2
in )vC
g
s in
)s
vC 2
(M m2gR1 sin )s ,
R1(2m1 3m2 )
aC
2(M m2gR1 sin )
R1(2m1 3m2 )
FOy FOx
2R
车轮纯滚动、质量分布在轮缘
T
1 2
mvC2
1 2
mR2 ( vC R
)2
mv
2 C
思考题
思12-1 求图示各均质物体的动能。设各物体质量皆为m 。
l
l
l/3
l 60
v
l sin 60
v
vc
1 2
l
3v 3
T 1 J 2
2
T 1 J 2
2
T
1 2
mvC2
1 2
J C 2
1 (1 ml2 )2
在某些情况下，内力虽然等值而反向，但所作功的和并不等 于零。例如，汽车发动机的气缸内膨胀的气体对活塞和气缸的 作用力都是内力，但内力功的和不等于零，内力的功使汽车的 动能增加。此外，如机器中轴与轴承之间相互作用的摩擦力对 于整个机器是内力，它们作负功，总和为负。
又如，由两个相互吸引的质点M1和M2 组成的质点系，两质点相互作用的力 F12和F21是一对内力，如图所示。虽然 内力的矢量和等于零，但是当两质点相 互趋近或离开时，两力所作功的和都不 等于零。
解：对重物从位置I到位置Ⅲ 应用动能定理
0
0
mg(h
max)
k 2
2 max
max
mg k
1 k
m2g 2 2kmgh
max
mg k
1 k
m2g 2 2kmgh
例12-2 卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱由静止 沿斜坡上拉。已知鼓论的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘 上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角
dr2 2
一般情况下，滑动摩擦力与物体的相对位移反向，摩擦力作 负功，不是理想约束。
但当轮子在固定面上只滚不滑时，接触点为瞬心，滑动摩擦 力作用点没动。此时的滑动摩擦力也不作功。因此，不计滚动摩 阻时，纯滚动的接触点也是理想约束。
必须注意，作用于质点系的力既有外力，也有内力。
刚体所有内力作功的和等于零。不可伸长的柔绳、钢索等所 有内力作功的和也等于零。
T2 T1 Wi
质点系动能定理的积分形式
质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等 于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
例12-1 质量为m的质点，自高h处自由落下，落到下面有弹簧支 持的板上，如图所示。设板和弹簧的质量可忽略不计，弹簧的 刚度系数为k。求弹簧的最大压缩量。
小结
M2
M1
F21
F12
质点系上的力
外力 内力
主动力 做功 约束力 非理想约束力做功
W内 0 刚体 W内 0
§12-2 动能的概念和计算
1.质点的动能
1 mv2 2
单位：J（焦耳）
2. 质点系的动能
T
1 2
mivi2
(1) 平移刚体的动能
T
1 m 2i
vi2
1 2
vC2
mi
1 2
mvC2
约束力作功等于零的约束称为理想约束。
如光滑接触面、一端固定的绳索、滚动、固定铰支座、向心
轴承、固定端等。
dr2
dr
F
F
2
F2
dr2
B
A
B F1
dr1 1
A dr1
F1
1
dr1
F2
光滑铰链、刚性二力杆以及不可伸长的细绳等作为 系统内的约束时，其中单个的约束力不一定不作功，但 一对约束力作功之和等于零，也都是理想约束。
像重力、弹性力这样，所作的功只与力作用点的初始位置 和终了位置有关，而与路径无关的力，称为有势力或保守力。
3. 定轴转动刚体上作用力的功 定轴转动刚体上作用力F的元功为
W Ft ds Ft Rd M zd
W12
2 1
M
z d
若MZ=常量
W12 M z (2 1)
z
F
1
Ft
A
r
4. 平面运动刚体上力系的功
m1g
2. 弹性力的功
F k(r l0 ) er
W12
A2
F
d
r
A1
A2 A1
k
(r
l0
)
er
d
r
erd r
r
d
r
r
1
d(r r)
2r
dr2 2r
dr
W12
r2 r1
k
(r
l0
)dr
k 2
[(r1
l0
)2
(r2
l0
)2 ]
W12
k 2
(12
2 2
)
弹性力的功只与弹簧的起始变形和终
了变形有关，而与质点运动的路径无关。
mv22
1 2
mv12
W12
动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的 改变量等于作用于质点的力作的功。
2. 质点系的动能定理
对于第i个质点有
d
(
1 2
mi
vi2
)
Wi
n个方程相加
d (12mii2 ) Wi
dT Wi
(T
1 2
mivi2 )
质点系动能定理的微分形式
质点系动能的增加量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。
基本要求：
了解功和功率的定义，会计算力所做的功
能熟练计算质点、质点系的动能以及刚体作 平动、定轴转动和平面运动时的动能
能熟练运用动能定理和机械能守恒定律求解 动力学问题
能综合应用动力学普遍定理求解比较复杂的 动力学问题
§12-1 功的概念和计算
功的定义：力的功是力沿路程累积效应的度量。
一、常力的功
23
1 (1 ml2 )2
29
1 m( 3 v)2 1 1 ml 2 ( v )2
23
2 12 l sin 60
1 ml 2 2
6
1 ml22
18
2 mv2 9
y
45º 2a
a
x
R
ຫໍສະໝຸດ Baidu
v R
a
T 1 J 2
2
5 ma2 2
12
T 1 J 2
2
1 ( 3 mR2 ) 2
22
3 mR22
Fydy
Fz dz
三、常见力的功
1. 重力的功
Fx Fy 0 Fz mg
W12
z2 mgdz
z1
mg (z1 z2 )
质点系
W12 mi g(zi1 zi2 )
zC
mi zi
m
W12 mg (zC1 zC2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心 的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
力系全部力的元功之和为
W F i d rC MC (F i )d
质心C为基点
主矢
主矩
FR ' d rC MCd
即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体 上所受各力作功的代数和,也等于力系向
W12
C2 C1
F'R
d
rC
2 1
M
C
d
质心简化所得的力和力偶作功之和。
5. 理想约束及内力作功
4
T
1 2
mvC2
1 2
J C 2
1 mv2 1 (1 mR2 )( v )2
2
22
R
3 mv2 4
§12-3 动能定理
1. 质点的动能定理
m
d
v
F
dt
m vd v Fd r
m
d
v
d
r
F
d
r
dt
d (1 mv2 ) W
2
动能定理的微分形式
质点动能的增加量等于作用在质点 上力的元功。
1 2
为，圆柱只滚不滑。求圆柱中心C经过路程s时的速度与加速度。
解：取鼓轮和圆柱体组成的质点系
M
T1 0
T2
1 2
J112
(1 2
m2vC2
1 2
J
2
22
)
J1 m1R12
J2
1 2
m2 R22
C
2 vC / R2 1 vC / R1
m2g
W12 M m2g sin s s / R1
FS
第十二章 动能定理
Theorem of Kinetic Energy
§12-1 功的概念和计算 §12-2 动能的概念和计算 §12-3 动能定理 §12-4 功率和机械效率 §12-5 势力场•势能•机械能守恒定律 §12-6 动力学普遍定理的综合应用
基本内容：
动能定理---描述质点系动能的变化与力的 功之间的关系
取刚体的质心C为基点，当刚体有无限小位移时，任一力Fi
作用点Mi的位移为随着质心的平动和绕质心的转动的微小位移
d ri d rc d ric
作用在Mi上的力Fi的元功为
Wi F i d ri F i d rC F i d riC
Fi d riC Ficos CMid M C (F i )d
(2) 定轴转动刚体的动能
z
T
1 2
mivi2
1 2
miri2 2
1 2
(mi ri 2
)
2
T
1 2
J z2
ri
vi
mi
(3) 平面运动刚体的动能
T
1 2
J P 2
(P 为瞬心)
1 2
(JC
md T
2 )2
1 2
mvC2
1 2
J C 2
d
C P
平面运动刚体的动能，等于随质心平移的动能与绕质心转
动的动能的和。
W F s F cos s
功是代数量 单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m
二、变力的功
力的元功 W F d r
力F 在M1~M2路程上的功为
W12
M2 W
M1
M2
F
d
r
M1
F
F Fx i Fy j Fz k
d r dx i dy j dz k
W12
M2 M1
Fxdx