立体几何的解题技巧

立体几何大题的解题技巧

——综合提升

【命题分析】高考中立体几何命题特点：

1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．

2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．

3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现．

4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.

【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角：

“六个距离”：

1两点间距离 221221221)()()(d z z y y x x -+-+-= 2点P 到线l

的距离d = （Q 是直线l 上任意一点，u 为过点P 的直线l 法向量）

3

两异面直线的距离d =

（P 、Q 分别是两直线上任意两点u 为两直线公共法向量） 4点P 到平面的距离

d =

（Q 是平面上任意一点，u 为平面法向量）

5直线与平面的距离【同上】 6平行平面间的距离【同上】

“三个角度”：

1异面直线角【0，

2π

】cos θ=2

121v v v v 【辨】直线倾斜角围【0，π） 2线面角 【0，2π

】sin θ=n

v vn n v =,cos 或者解三角形

3二面角 【0，π】cos 2

121n n n n ±=θ 或者找垂直线，解三角形

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.

求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。

【例题解析】

考点1 点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题

例1（卷）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力． 解：解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，

AO ∴⊥平面11BCC B ．

连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为

1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．

在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥

A

B C

D

1

A

1

C

1

B

A B

C

D

1

A

1

C

1

B

O F

平面1A BD ．

1AF A D ∴⊥， AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．

在1AA D △

中，由等面积法可求得AF =

又112AG AB ==

sin AG AFG AF ∴==∠．

所以二面角1A A D B

--的大小为

（Ⅲ）1

A BD △

中，1

11A BD BD A D A B S ==∴△1BCD S =△．

在正三棱柱中，1A 到平面1

1BCC B 设点C 到平面1A BD 的距离为d ． 由1

1

A BCD C A BD V V --=，得111

33

3

BCD

A BD S S d

=△△

，

1A BD d ∴=

△

∴点C 到平面1A BD 2

．

解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．

ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，

AD ∴⊥平面11BCC B ．

取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，

，(110)D -，，，

1(02A ，(0A ，

1(120)B ，，， 1(12AB ∴=，，

(210)BD =-，，，1(12BA =-． 12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=，

1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．

1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．