反比例函数定义与性质

状元廊学校数学思维方法讲义之三 年级：九年级

§第3讲 反比例函数（1）

【精彩知识】

1．反比例函数的定义 一般地，如果两个变量x ，

y 之间的关系可以表示为x

k y =

（或1

-=kx y ）（k 为常数，且0__k ）的形式，那么称y 是x 的 函数。自变量x 与的取值范围是 。 y 是x 的反比例函数⇔x

k

y =⇔1-=kx y ⇔k xy =⇔y 与x 成反比例函数。

2.反比例函数的图象和性质

反比例函数x

k

y =

（0≠k ）的图象是由两支曲线组成的，称为 ，它们关于原点成 对称，关于直线x y ±=成 对称，与两坐标轴 交点。

①当k ＞0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x

的增大而 ；

②当k ＜0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而 。

3.反比例函数x

k

y =

（0≠k ）中的比例系数k 的几何意义 过双曲线上任一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN 所得的矩形PMON 的面积||||____S PM PN x y =⋅=⋅=；若连接

PO ，则

______==∆∆PON POM S S 。

【典例解析】

考点1: 反比例函数的概念 【例1】已知1

2

2)2(-++=m m x

m m y

（1）如果y 是x 正比例函数，求m 的值； （2）如果y 是x 反比例函数，求m 的值。

【例2】已知12y y y =-，其中1y 与x 成反比例，2y 与2x +成正比例，且12,y y 所表示的函数图象相交于点P （1，5）。求当5x =时y 的值。

变式训练1： 1.已知函数m

m x

m y 3123--+=是反比例函数，则m 的值为 ；

2. 若y 与

x 1成反比例函数，x 与z

1

成正比例函数，则y 是z 的（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 考点2: 反比例函数的图象和性质

【例3】若M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21y 、N ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-2,41y 、P ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21y 三点都在函数x k y 12--=的图象上，则321y y y 、、的大小关系为（ ）

A 、2y ＞3y ＞1y

B 、2y ＞1y ＞3y

C 、3y ＞1y ＞2y 【例4】如图，一次函数y =x +3的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数x

y 4

=

的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =．其中正确的结论

是 。

变式训练2：

1. 如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y =－x +6于A 、B 两点，若反比例函数k

y x

=（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ）

A ．2≤k ≤9

B . 2≤k ≤8

C . 2≤k ≤5

D . 5≤k ≤8

y

x

A B

E

F C

D

O

y

x

A

B

C O

G

2. 如图，P 是函数x y 21=(x >0)的图象上的一点，直线1+-=x y 分

别交x 轴、y 轴于点A 、B ，过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，交AB 于点E ，作PN ⊥y 轴于点N ，交AB 于点F ，则AF ·BE 的值为 。

考点3: 反比例函数x

k

y =（0≠k ）中的比例系数k 的几何意义与面积法的综合运用

【例5】如图，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数

(00)k

y k x x

=><，的图象上．若点R 是该反比例函数图象上异于

点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ．则当S =m (m 为常数，且0

变式训练3：

1.如图，若点M 是x 轴正半轴上的任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分 别交函数x k 1y =

（x ＞0）和x

k

2y =（x ＞0）的图象于点P 和Q ，连接OP 、 OQ ,则下列结论正确的是（ ）

A .∠POQ 不可能等于900

B .

2

1K K QM PM

= C .这两个函数的图象一定关于x 轴对称 D . △POQ 的面积是）（|k ||k |2

1

21+

2.如图，点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）都在双曲线(0)k

y x x

=

>上，且214x x -=，122y y -=；分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为 ．

考点4:函数综合题（待定系数法+数形结合、函数与方程思想、分类讨论思想）

【例6】已知反比例函数x

k y 2=与一次函数12-=x y ，其中一次函数的图象经过（a ,b ）、

（a +1,b +k ）两点.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图，已知A 点是上述两函数图象在第一象限内的交点，求A 点的坐标；

（3）利用（2）的结果，在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请把所有符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.

变式训练4：

如图，一次函数y kx b =+的图象 与坐标轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数m

y x

=的图象在第二象限的交点为C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB =2，OD =4，△AOB 的面积为1，

（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据两函数图象直接写出不等式0m

kx b x

+->的解集。

y

x

C

A

B

O