苏教版圆锥曲线习题精选(含答案详解)

答案：
（常州期末）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若 ，则该椭圆的离心率的值为。
答案：
（苏锡常一模）已知点 与双曲线 的左，右焦点的距离之比为 ，则点 的轨迹方程为.
答案：
（天一）14.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的焦点为F.设M是抛物线上的动点，则 的最大值为▲.
答案： .
（天一）6.已知 为双曲线 的左准线与x轴的交点，
点 ，若满足 的点 在双曲线上，则该双曲线
的离心率为▲.
答案：
（南通期末）设 是双曲线 的右焦点，双曲线两条渐近线分别为 ，过 作直线 的垂线，分别交 于 两点。若 成等差数列，且向量 与 同向，则双曲线离心率 的大小为___________.
由 ,消去y,得 ,解得x=－1或 ,
∴点 ……………11分 同理,有 ,而 ,
∴ …12分∴直线BC的方程为 ,
即 ,即 ………………………14分
所以 ,则由 ,得直线BC恒过定点 …………………16分
(注:第(3)小题也可采用设而不求的做法,即设 ,然后代入找关系)
（南京三模）在平面直角坐标系 中，过点A(-2,-1)椭圆 的左焦点为F,短轴端点为 、 ， 。
（2）设 ，则 ，
故 ， ．………………………………………………6分
①由题意，得 ．
化简，得 ，所以点 在以原点为圆心，2为半径的圆上．…………8分
(2012年栟茶高级中学高三阶段考试)以知F是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为▲.
答案：9
（南师附中最后1卷）已知F是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，B1B2是双曲线的虚轴，M是OB1的中点，过F、M的直线交双曲线C于A，且＝2，则双曲线C离心率是______________．
答案：
（江苏最后1卷）7．已知双曲线 的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为▲．
【答案】
（苏锡常二模）已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 .设线段 的中点为 ，若 ，则该椭圆离心率的取值范围为.
答案：
(苏锡常二模)已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的值为.
答案：4
（南京二模）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则该双曲线的离心率e=_______
（2）证明：直线 与 轴总围成等腰三角形．
解：（1）根据 ，可设椭圆方程为 ，
将 代入可得 ，
所以椭圆 的方程为
因此左焦点为 ，斜率
所以直线 的方程为 ，即
（2）设直线 的斜率分别为 ， ，则 ，
（*）
设 ，由 ，得
所以， ，
代入（*）式，得
所以直线 与 轴总围成等腰三角形．
（南师大信息卷） ,
(1)求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程.
①证明点A在定圆上；
②设直线AB的斜率为 ，若 ≥ ，求 的取值范围。
分析：（2）①证明点A在定圆上，本质是证明 可设点 的坐标，用点的坐标表示 的位置关系，从而得出结论；
②由 推出 ，也可由前两个方程解出 后代入第三个方程得到。
解：（1）由 ，c=2，得a= ，b=2．
所求椭圆方程为 ．…………………………………………………………4分
【答案】
解法一：由 得 ，进一步求得直线BD的斜率为 ，由 ，
∴直线CD的斜率为 。
解法二：由 得 ，因为 ，所以 ，故 .
说明：解法一中，在明确条件和目标的过程中，发现能整体代换是简化运算的关键，否则计算量较大；解法二中，要注意体会椭圆中“ ”这一重要结论.
（南师大信息卷）已知点 是双曲线 右支上一点， 、 分别是双曲线的左、右焦点. 为 内心，若 ，则双曲线的离心率为2.
18．解:(1)由 ,解得 ,所以椭圆 的方程为 ………………………4分
(2)设 , ,则 ………………………………………6分
又 , 所以 ,
当且仅当 时取等号…………………………………………………………………………8分
从而 , 即 面积的最大值为 …………………………………………………… 9分
(3)因为A(－1,0),所以 ,
答案：
（苏州调研）与双曲线 有公共的渐近线,且经过点 的双曲线方程是__________.
答案：
（南通一模）在平面直角坐标系 中，双曲线 的离心率为▲
答案：
（南通二模）若抛物线 上的点 到焦点的距离为6，则 ▲.
解析：考查抛物线的定义。可知：抛物线 上的点 到焦点的距离为
答案：8
（2012年常州）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则 的值为。
（1）求 、 的值；
（2）过点A的直线 与椭圆C的另一交点为Q，与 轴的交点为R．过原点O且平行于 的直线与椭圆的一个交点为P．若AQ AR=3 OP2，求直线 的方程。
（百校联考）已知中心在原点 、焦点在 轴上的椭圆 过点 ，离心率为 ．如图，平行于 的直线 交椭圆 于不同的两点 ．
（1）当直线 经过椭圆 的左焦点时，求直线 的方程；
即＋＝1．
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…………………14分
（盐城二模）已知椭圆 的离心率为 , 且过点 , 记椭圆的左顶点为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)设垂直于 轴的直线 交椭圆于 两点, 试求 面积的最大值；
(3) 过点 作两条斜率分别为 的直线交椭圆于 两点, 且 , 求证: 直线 恒过一个定点.
解析：本题考查双曲线的几何性质，等差数列的概念，基本运算能力，数型结合思想等．
设OA=m－d，AB=m，OB=m+d，由勾股定理，得(m－d)2+m2=(m+d)2．解得m=4d．
设∠AOF=α，则cos2α= ．cosα= ，所以，离心率e= ．
（南通一模）如图，在平面直角坐标系 中， 分别为椭圆 的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线 与椭圆的另一个交点为D，若 ，则直线CD的斜率为．
(2)点P在椭圆E上，点C(2,1)关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由.
(3)平行于CD的直线 交椭圆E于M、N两点，求 面积的最大值，并求此时直线 的方程.
解：
(2)依题意得D点的坐标为（-2，-1），且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，设P(x,y),
17．（本小题满分14分）
解：（1）由题意知b＝＝．…………………………3分
因为离心率e＝1．…………………………6分
（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则
直线PM的方程为y＝x＋1，①
直线QN的方程为y＝x＋2．②…………………………8分
.
.
(3) 直线CD的斜率为 ，CD平行于直线 ，
设直线 的方程为
由 ，
消去 ，整理得 ，
,
.
点C到直线MN的距离为
当且仅当
（南通三模）已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 。
（1）若 ，求椭圆的方程；
（2）设A、B为椭圆上关于原点对称的两点， 的中点为M， 的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上。
证法一联立①②解得x＝，y＝，即T(，)．………11分
由＋＝1可得x02＝8－4y02．
因为()2＋()2＝
＝＝＝＝1，
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…………………14分
证法二设T(x，y)．
联立①②解得x0＝，y0＝．………………………11分
因为＋＝1，所以()2＋()2＝1．
整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，
提示： , .
（南京二模）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C： 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T。求证：点T在椭圆C上。