第十章 第三节 二项式定理及应用
课件1：10.3 二项式定理
❖ 【方法与技巧】
❖ [思维升华]
1．二项展开式的通项Tr＋1＝C an－rbr是展开式的第r＋1 项，这是解决二项式定理有关问题的基础．
2．求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对r的限 制．
3．性质 1 实际上反映了组合数的下列性质：C0n＝1，Cnn＝1， Cnm＋1＝Cmn －1＋Cnm，性质 2 是组合数公式 Crn＝Cnn－r的再现，性质 4 是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
(2) (2015·郑州模拟)设 a∈Z，且 0≤a＜13，若 512 012＋a
能被 13 整除，则 a＝( )
A．0
B．1
C．11
D．12
(3)(2014·山东高考) 若ax2＋bx6 的展开式中 x3 项的系数为 20，则 a2＋b2 的最小值为________．
(4)令 x＝y＝1，得到 a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1， ①
令 x＝1，y＝－1(或 x＝－1，y＝1)，
得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，
②
①＋②得 2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510， ∴奇数项的系数和为1＋2510； ①－②得 2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510， ∴偶数项的系数和为1－2510. (5)x 的奇次项系数和为 a1＋a3＋a5＋…＋a9＝1－2510； x 的偶次项系数和为 a0＋a2＋a4＋…＋a10＝1＋2510.
的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各
项系数分别为 A1，A2，…，An＋1，且第 k 项系数最大，应用
Ak≥Ak－1 Ak≥Ak＋1
从而解出 k 来，即得．
高考数学理一轮复习 10-3二项式定理及其应用精品课件
1 n 备选例题 1 在二项式( x－ ) 的展开 3 2 x 式中，前三项系数的绝对值成等差数列．求： (1)展开式的常数项； (2)展开式中各项系数的和． 3
1 n 解： 由条件“二项式( x－ ) 的展开式中， 3 2 x 前三项系数的绝对值成等差数列”可求出 n 的值． 1 n 3 ∵( x－ ) 展开式的前三项系数的绝对值 3 2 x n(n－1) 1 为 1，2n， 8 ， n(n－1) 1 ∴2×2n＝1＋ 8 ，∴n2－9n＋8＝0， ∴n＝8 或 n＝1(舍去)． 3
[解] (1)令 x＝0，则 a0＝－1； 令 x ＝ 1 ，则 a7 ＋ a6 ＋…＋ a1 ＋ a0 ＝ 27 ＝ 128① ∴a7＋a6＋…＋a1＝129. (2)令 x＝－1， 则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－ 4)7② ①－② 由 2 得： 1 a7＋a5＋a3＋a1＝2[128－(－4)7]＝8 256. ①＋② (3)由 2 得： 1 a6＋a4＋a2＋a0＝2[128＋(－4)7]＝－8 128.
[规律总结]
本题是先求二项式的指数，再求与通项
有关的其他问题．一般地，解此类问题可以分两步完成：第 一步是根据所给出的条件 ( 特定项 )和通项公式，建立方程来 确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r均为非负整数，且
n≥r的隐含条件)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的
项．此外，解本题时，为减少计算中的错误，宜把根式化为 分数指数幂.
第三节
二项式定理及其应用
知识自主· 梳理
掌握二项式定理和二项展开式的性质 最新考纲 ，并能用它们计算和证明一些简单的 问题．
1.运用二项式定理的通项公式求指定 项或与系数有关的问题； 高考热点 2．赋值法、转化与化归思想等在二项 展开式中的应用问题.
第十章 第三节 二项式定理
3
·C r ·C5 3
r′
·x
r r′ + 2 3
′ r r′ ，当 ＋ ＝1时．有r＝0且r′＝3或r＝ 时 ＝ 且′ 或＝ 2 3
2且r′＝0两种情况，则展开式中 的系数为 －10)＋12＝2. 且 ′ 两种情况， 的系数为(－ ＋ ＝ 两种情况 则展开式中x的系数为
16 (2)(x－x) 的展开式的通项 － 1r － r 6－ r Tr＋1＝C6x (－ ) ＝(－1)rCr x6 2r. － － 6 x 7 ＝－1， ＝ 舍去 舍去)， 令6－2r＝0，得r＝3，令6－2r＝－ ，得r＝ (舍去 ， － ＝ ， ＝ ， － ＝－ 2 ＝－2， ＝ 令6－2r＝－ ，得r＝4. － ＝－ 所以所求的常数项为： 所以所求的常数项为：
解析： 可得a 解析：令x＝1可得 0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n ＝ 可得 ＋ 2(1－2n) ( － ＋ ＋ 2 3 n ＝126，而2＋2 ＋2 ＋…＋2 ＝ ， ＋ ＝2n 1－2，所以 n 1 ，所以2 1－2 － 1 6 －2＝126，可得 ＝6，则(3 x－ ) 的二项展开式的通项为 ＝ ，可得n＝ ， － x Tr＋1＝Cr (3 6 x)
x
答案： 答案：6
3．二项式 x－ x)9的展开式中有理项的项数为 ．二项式( － 的展开式中有理项的项数为________． ．
3
解析：根据题意，二项式的展开式的通项为 解析：根据题意，二项式的展开式的通项为Tk＋1＝Ck 9 ( x)9－k(－ x)k＝Ck(－1)kx (－ 9 (－ 项为有理项． 项为有理项． 3
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．(x＋2)6的展开式中 3的系数为 ． ＋ 的展开式中x A．20 ． C．80 ． B．40 ． D．160 ．
二项式定理的应用与实例解析
二项式定理的应用与实例解析二项式定理是代数学中的重要概念之一，它在数学推理和实际问题求解中具有广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的概念及其应用，并通过具体的实例进行解析，以帮助读者更好地理解和应用该定理。
一、二项式定理的概念二项式定理是指对于任意非负整数n和实数a、b，有以下的公式：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二、二项式定理的应用1. 概率计算二项式定理在概率计算中起到了重要作用。
例如，设有一枚正反面均匀的硬币，进行n次独立的抛掷，求正面出现k次的概率。
根据二项式定理，可以得到概率公式：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，p表示正面出现的概率。
2. 组合数学二项式定理在组合数学中应用广泛，可以用于求解组合数、排列数等问题。
例如，求集合中元素的子集个数，可以通过二项式定理计算：对于一个集合，它的子集个数为2^n个，其中n表示集合中元素的个数。
3. 计算多项式展开式系数二项式定理可以用于计算多项式展开式中各项的系数。
例如，对于多项式(a + b)^n，可以通过二项式定理的应用，直接得到展开式中各项的系数。
这对于计算多项式的展开式提供了效率和便利。
三、应用实例解析1. 概率计算实例假设有一枚硬币，进行10次独立抛掷，求正面出现2次的概率。
根据二项式定理的应用，可以得到：P(X = 2) = C(10, 2) * 0.5^2 * 0.5^8 = 45 * 0.25 * 0.00390625 = 0.04395因此，正面出现2次的概率约为0.044。
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用二项式定理是数学中的一条重要定理，它揭示了如何展开和求解(x + y)ⁿ这种形式的表达式。
本文将介绍二项式定理的公式及其应用，并探讨其在数学和实际问题中的意义。
1. 二项式定理的公式二项式定理的公式如下所示：(x + y)ⁿ = C(n,0) · xⁿ · y⁰ + C(n,1) · xⁿ⁻¹ · y¹ + C(n,2) · xⁿ⁻² · y² + ... + C(n,n-1) · x · yⁿ⁻¹ + C(n,n) · x⁰ · yⁿ其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也可以表示为n! / (k! · (n-k)! )。
在展开(x + y)ⁿ时，每一项的系数就是组合数C(n,k)，指数是x和y的幂次。
2. 二项式定理的应用2.1 二项式系数二项式定理中的组合数C(n,k)被称为二项式系数，它具有很多重要的性质。
其中最为著名的是杨辉三角形，每一行的数字都是由上一行相邻两个数字相加而来。
杨辉三角形也是计算二项式系数的一种常用方法。
2.2 展开式的应用二项式定理的展开式可以用于求解多项式的乘法、计算多项式在某一点的值等问题。
通过展开(x + y)ⁿ，可以直观地观察到每一项的系数和指数之间的关系，从而简化计算。
2.3 组合恒等式二项式定理可以通过一些代数推导得到一些有用的组合恒等式，如：- C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2ⁿ- C(n,0) - C(n,1) + C(n,2) - ... + (-1)ⁿ · C(n,n) = 0这些恒等式在组合数学、概率论等领域中有着重要的应用。
3. 二项式定理的意义二项式定理的意义不仅仅局限于数学领域，它在实际问题中也有广泛的应用。
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用二项式定理是高中数学中的重要内容之一，在代数和组合数学中具有广泛的应用。
它可以帮助我们在求解各种数学问题时简化计算，提高效率。
本文将介绍二项式定理的基本概念、公式及其应用领域。
一、二项式定理的基本概念二项式定理是指对于任意实数a和b，以及任意正整数n，有以下公式成立：(a+b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中C(n,r)表示组合数，即从n个不同元素中取r个元素的组合数。
根据组合数的性质，可以得出C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)的计算公式。
二、二项式定理的公式1. 二项式展开式：根据二项式定理，可以将(a+b)^n展开为一系列单项式相加的形式。
每个单项式的系数即为组合数C(n,r)，而a和b的幂分别为n-r和r。
例如，(a+b)^3 = C(3,0) * a^3 * b^0 + C(3,1) * a^2 *b^1 + C(3,2) * a^1 * b^2 + C(3,3) * a^0 * b^3。
2. 二项式系数：在二项式展开式中，各个单项式前的系数即为二项式系数。
二项式系数具有一些特殊性质，比如对称性和递推性。
例如，C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)。
3. 常见的二项式定理公式：- (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2- (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2- (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3- (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3- ...三、二项式定理的应用领域二项式定理在代数和组合数学中有广泛的应用，以下列举其中几个常见的领域：1. 多项式的展开和化简：通过二项式定理，我们可以将高次多项式展开为各项系数的和，进而进行化简和计算。
二项式定理和其应用
• (3)各二项式系数旳和
• (a＋b)n旳展开式旳各个二项式系数旳和等于2n， 即Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnr＋…＋Cnn＝2n.
• (4)二项展开式中，偶数项中旳二项式系数旳和 等于奇数项旳二项式系数旳和，即Cn1＋Cn3＋ Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝2n－1.
考点陪练
1.1＋x25 的展开式中 x2 的系数为(
• 答案：B
• 3．若对于任意旳实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋ a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2旳值为( )
• A．3
B．6
• C．9
D．12
• 解析：因为x3＝[2＋(x－2)]3，由题意得a2就是 二项式[2＋(x－2)]3(把x－2看成一种整体应用二 项式定理展开)旳展开式中第3项旳系数，所以
• ∴被100除旳余数为81，即9192除以100旳余数 为81.
• 解法二：∵9192＝(90＋1)92
• ＝C 92 0·909 2＋C 92 1·9091 ＋…＋C92 90 ·902＋ C9291·90＋1
• 因为前面各项均能被100整除，只有末尾两项不 能被100整除，因为C9291·90＋1＝8281＝8200 ＋81
【典例 2】 已知( 3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x
－1)n 的展开式的二项式系数和大 992，求2x－1x2n 的展开式中． (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
• [解析] 根据二项式系数旳性质，列方程求解n. 系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．
• 由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31) ＝0，
)
A．10
B．5
5 C.2
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用二项式定理是数学中非常基础的一个定理，它的重要性不亚于勾股定理和皮克定理。
在高中数学学习中，学生一定会接触到它，它被广泛应用于高中数学乃至进一步的数学学习中。
下面我们就来介绍一下什么是二项式定理以及它的应用。
一、二项式定理的定义二项式定理又称为二项式展开定理，是可以展开(a+b)^n的定理。
其中a、b为任意数，n为正整数。
它的一般形式为：(a+b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + … + C(n,k)·a^(n-k)·b^k + … + C(n,n)·a^0·b^n其中C(n,k)表示组合数。
二、组合数的定义组合数是数学中一个非常重要的概念，它的作用非常广泛，不仅仅在二项式定理中使用，还在概率论、统计学、组合数学等多个领域中都有应用。
组合数C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，公式为：C(n,k) = n!/(k!(n-k)!),其中0≤k≤n，n!表示n的阶乘。
三、二项式定理的应用1.幂的展开(a+b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + … + C(n,k)·a^(n-k)·b^k + … + C(n,n)·a^0·b^n中，幂的展开就是应用二项式定理的一个实际应用。
例如：(2x+3)^3 = C(3,0)·2^3·3^0 + C(3,1)·2^2·3^1 + C(3,2)·2^1·3^2 + C(3,3)·2^0·3^3 = 8x^3+36x^2+54x+272.排列组合排列组合问题是组合数学中的一个重要分支，可以通过二项式定理来解决。
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用1. 引言二项式定理是数学中的一个重要定理，它描述了如何展开二项式的幂。
该定理在代数、组合数学、数论以及其他数学领域有着广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的数学表达式、证明过程以及一些常见的应用。
2. 二项式定理的表达式二项式定理可以用以下的数学表达式来描述：$$(a + b)^n = C(n,0) \\cdot a^n \\cdot b^0 + C(n,1) \\cdot a^{n-1} \\cdot b^1+ ... + C(n,k) \\cdot a^{n-k} \\cdot b^k + ... + C(n,n) \\cdot a^0 \\cdot b^n$$ 其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的不同组合数量。
3. 二项式定理的证明为了证明二项式定理，我们可以使用数学归纳法。
首先，考虑当n=1时的情况：(a+b)1=a+b显然，上述等式成立。
假设当n=m时，二项式定理成立，即：$$(a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdot a^{m-1} \\cdotb^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdot a^0 \\cdot b^m$$ 我们需要证明当n=m+1时，二项式定理也成立。
首先，考虑展开(a+b)m+1：$$(a + b)^{m+1} = (a + b) \\cdot (a + b)^m$$根据归纳假设，我们可以将(a+b)m展开为：$$(a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdot a^{m-1} \\cdotb^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdot a^0 \\cdot b^m$$ 将上述展开式代入$(a + b) \\cdot (a + b)^m$中，我们可以得到：$$(a + b) \\cdot (a + b)^m = (C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdota^{m-1} \\cdot b^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdota^0 \\cdot b^m) \\cdot (a + b)$$将上式展开并合并同类项，我们可以得到：$$(a + b) \\cdot (a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^{m+1} \\cdot b^0 + (C(m,1)\\cdot a^m \\cdot b^1 + C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^1) + ... + (C(m,k) \\cdota^{m-k+1} \\cdot b^k + C(m,k-1) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^{k+1}) + ... + a^0 \\cdot C(m,m) \\cdot b^{m+1}$$我们可以通过重新排列项来证明上式等于展开式(a+b)m+1的每一项。
二项式定理及其应用
赋值法求解.
解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 ①
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37
②
(1)∵a0=
C
0 7
=1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2.
(2)(①-②)÷2,
得a1+a3+a5+a7=
1 37 2
=-1 094.
(3)(①+②)÷2,得
点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集 项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性 和简捷性. 3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通 项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数 及项数的整数性.
4.性质1是组合数公式Crn Cnnr 的再现，性质2是从 函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是 利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的 和.
基础自测
1.二项式（a+2b）n展开式中的第二项的系数是8，则
它的第三项的二项式系数为
A.24
B.18 C.16
（ D） D.6
解析 T2= C1n an1(2b)1 C1n 2an1b,
所以2n=8，n=4,所以
C
2 n
=
C
2 4
=6.
2.（2009·浙江理，4）在二项式 (x2 1的)5展开式中， x
1
2
∴8 2n·（n2n-=11）+，81 n（n-1），
解得n=8或n=1（不合题意，舍去），
Tk1
C8k
x
8k 2
二项式定理的应用
二项式定理的应用1.利用赋值法进行求有关系数和。
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。
利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。
设(1)令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5)2.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。
①；②；（）如：求证：1. 若，则_________．（用数字作答）【解析】令，则，，即．2.求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除。
【思路点拨】注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二项展开式去证明．当n=0时，原式=0，可被676整除．当n=1时，原式=0，也可被676整除．当n≥2时，原式．每一项都含262这个因数，故可被262=676整除综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．【总结升华】证明的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数．3.求证：3n＞(n+2)·2n－1（n∈N+，且n＞2）．【思路点拨】利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明．【解析】因为n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n展开至少有四项．，所以3n＞(n+2)·2n－1．概率要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．b．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．要点诠释：（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。
第十章第三节 二项式定理课件
D．20
(2)(2020·成
都
市
诊
断
性
检
测
)(x2
＋
2)(x
－
1 x
)6
的展开式中的常数项为
()
A．25
B．－25
C．5
D．－5
(1)C (2)B [(1)因为(x＋y)5 的展开式的第 r＋1 项 Tr＋1＝Cr5 x5－ryr，所以 (x＋yx2 )(x＋y)5 的展开式中 x3y3 的系数为 C35 ＋C15 ＝15.故选 C.
2．(2x－y)(x＋2y)5 展开式中 x3y3 的系数为( )
A．－40
B．120
C．160
D．200
B
[(2x － y)·(x ＋ 2y)5
展开式中
x3y3
的项为
2x·C
3 5
x2 · (2y)3 ＋ ( －
y)C25 ·x3·(2y)2＝160x3y3－40x3y3＝120x3y3，则展开式中 x3y3 的系数为 120.
1．(a＋b)n 的展开式的三个重要特征 (1)项数：项数为 n＋1. (2)各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数和 为 n. (3)顺序：字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到 0； 字母 b 按升幂排列，从第一项开始，次数由 0 逐项增 1 直到 n.
二项式定理及二项式系数的性质应用
累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对 于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开 式中，相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质，可以推导出二 项式系数的其他性质，如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式， 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意 非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
第十章§10.3 二项式定理课件
则二项式的展开式通项为 Tk＋1＝Ck5( x)5－k·3 k＝akCk5 x 6 ，
x
令15－6 5k＝0，得 k＝3，
则其常数项为 C35a3，
根据题意，有 C35a3＝80，可得 a＝2.
6.在 2x2－1xn的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系 数的和为__1__.
解析 因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5. 在2x2－1x5 中，令 x＝1 可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.
2.(a＋b)n的展开式的二项式系数和系数相同吗？ 提示 不一定.(a＋b)n 的展开式的通项是 Cknan－kbk，其二项式系数是 Ckn (k∈{0,1,2,3，…，n})，不一定是系数.
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Cknan－kbk 是(a＋b)n 的展开式的第 k 项.( × ) (2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( √ ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( × )
1
n
x
的展开式中，只有第5项的二
项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为
A.－126
B.－70
√C.－56
D.－28
解析 ∵只有第5项的二项式系数最大，
∴n＝8，x－
1
Байду номын сангаас n
x
的展开式的通项为
8 3k
Tk＋1＝(－1)kCk8 x 2 (k＝0,1,2，…，8)，
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的 二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项 式系数最大，
二项式定理及其实际问题应用
二项式定理及其实际问题应用二项式定理是初中数学中一个重要的概念，它被广泛应用于解决实际问题。
本文将简要介绍二项式定理的概念和公式，并且给出几个实际问题的应用案例。
一、二项式定理的概念与公式二项式定理是指形如以下的公式：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n)a^0*b^n其中，a和b是任意实数，n是一个非负整数，C(n,m)表示组合数，表示从n个元素中选取m个元素的组合数。
二项式定理中的每一项都可以看作是组合数和幂指数的乘积。
二项式定理的公式可以递归地进行推导，也可以用组合数的公式进行证明。
它是代数学中的一个重要定理，也是高等数学和概率统计中的基础概念之一。
二、实际问题的应用案例1. 走廊的问题假设有一条由n个砖块组成的走廊，每个砖块的宽度为a，长度为b。
我们想知道从走廊的一端走到另一端有多少种不同的走法。
根据二项式定理，我们可以得到答案：一共有(a+b)^n 种不同的走法。
这个问题可以帮助我们理解二项式定理中幂指数的含义，即表示每一步走的选择。
2. 掷硬币的问题设想我们有一枚硬币，抛掷n次，求得正面朝上的次数和反面朝上的次数之和为m的概率是多少。
使用二项式定理，可以得到答案：概率为C(n,m) * (0.5)^n。
这个问题可以帮助我们理解组合数的含义，即表示从n次抛硬币中选取m次正面朝上的可能性。
3. 扑克牌的问题假设我们有一副扑克牌，求从中选取k张牌的不同组合数。
根据二项式定理，我们可以得到答案：一共有C(52,k)种不同的选牌方式。
这个问题可以帮助我们理解组合数的应用，即表示从一定数量的元素中选取特定数量的元素的方式。
三、总结二项式定理是一个重要的数学定理，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
通过对走廊问题、掷硬币问题和扑克牌问题的分析，我们可以看到二项式定理在实际生活中的实用性。
第十章§10.4第三课时二项式定理的应用
课堂互动讲练
思维误区警示
第 十 章 排 列 、 组 合 和 二 项 式 定 理
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第三课时
二项式定理的应用
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规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
课前自主学习
课堂互动讲练
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第 十 章
课标研读
课前自主学习
1．通过学习，进一步巩固二项式定理及其简单的应
用；会用二项式定理解决某些数的近似值问题，整除 问题，以及证明一些与组合数有关的恒等式，培养发 散思维和灵活运用基础知识解决问题的能力． 2．重点是用二项式定理解决其它数学问题，难点是 整除问题的有关变形．
(3)证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不 构成影响的若干项可以去掉，或增加某些项．
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第 十 章 排 列 、 组 合 和 二 项 式 定 理
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概念模糊，变形出错
例
9911被100除所得的余数为________． 9911＝(100－1)11＝10011－C111· 10＋… 100
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第 十 章
2．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( )
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排 列 、 组 合 和 二 项 式 定 理
A．1.23 C．1.33 C62×0.052≈1.34.
B．1.24 D．1.34
解析：选D.1.056＝(1＋0.05)6≈C60＋C61×0.051＋
专题10.3 二项式定理及其应用(原卷版)
10.3 二项式定理及其应用思维导图知识点总结1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝________________________________________ (n∈N*)；(2)通项：T k＋1＝__________，它表示第________________项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数_____.这一性质可直接由C m n＝C n－mn得到．直线r＝n2将函数ƒ(r)＝C r n的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．(2)增减性与最大值因为C k n＝n(n－1)…(n－k＋2)(n－k＋1)(k－1)！k＝C k －1n n －k ＋1k ，即C k n C k －1n＝n －k ＋1k ，所以，当n －k ＋1k >1，即k <n ＋12时，C k n 随k 的增加而增大；由对称性知，当k >n ＋12时，C k n 随k 的增加而减小．当n 是偶数时，中间的一项_____取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项__________与_____相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝ _____；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝_____；(3)C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝_____.1．注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．3．(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋…＋C k n x k ＋…＋C n n x n .典型例题分析考向一 求展开式中的特定项或特定项系数【例1】 (1)(2022·上海奉贤区二模)已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10(2)(2022·新高考Ⅰ卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y x (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．【变式】(2019·浙江高考)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项公式得所求．2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．考向二 二项展开式中系数的和【例2】 若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )A ．－1B ．1C ．27D ．－27赋值法的应用(1)对形如(ax ＋b )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1.(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1.(3)一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．【变式】(多选)若(1－2x )2022＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2022x 2022(x ∈R )，则( )A ．a 0＝1B ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝32021＋12C ．a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2022＝32022＋12D.a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202222022＝－1考向三 二项式系数的最值问题【例3】二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7求二项式系数最大的项(1)如果n 是偶数，那么中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项的二项式系数最大． (2)如果n 是奇数，那么中间两项⎝⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．【变式】设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8考向四 项的系数的最值问题【例4】 (1)若(1＋2x )6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫112，15 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫16，15 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫112，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫16，25【变式1】(2021·上海高考)已知(1＋x )n 的展开式中，唯有x 3的系数最大，则(1＋x )n 的系数和为________.求展开式中系数最大的项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k≥A k ＋1，从而解出k 来． 【变式2】已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________.考向五二项式定理的应用【例5】设a∈Z，且0≤a<13，若512022＋a能被13整除，则a＝()A．0 B．1C．11 D．12【变式】0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为()A．9,0,4 B．9,4,0C．9,2,0 D．9,0,2二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.【变式】9.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1 B．1C．－87 D．87基础题型训练一、单选题1．设()()()()29229012291111x a a x a x a x -=+++++++，()0,1,2,,29i a i =是常数，则1229a a a +++的值是（ ）A ．2912-B ．2921-C ．1D ．0 2．()()12n x n *+∈N 的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则n 为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 3．(21)(2)(3)(4)(5)x x x x x -⋅-⋅-⋅-⋅-的展开式中，含4x 项的系数是（ ） A ．28-B ．28C ．29D ．29- 4．()()()234111x x x +++++的展开式中，含2x 项的系数是（ ）A ．1B ．3C ．6D ．10 5．如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++，那么017a a a +++的值等于 A ．－1B ．－2C ．0D ．2A ．5B ．6C ．7D ．8二、多选题7．()1n x +展开式中二项式系数最大的是5C n ，则n 可以是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11三、填空题四、解答题提升题型训练一、单选题1．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ）4．23(+1)(2)x x x --的展开式中，含5x 项的系数为A ．-6B ．-12C ．-18D ．18A ．448B ．448-C ．672D ．672- 6．已知()122120121212x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则2412a a a ⋅⋅+⋅++= （ ）二、多选题A ．二项式系数之和为64B ．各项系数之和为1C ．展开式中二项式系数最大的项是第4项D ．展开式中第5项为常数项8．已知8280128(2)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ） 81a ++= 83a ++=三、填空题 展开式中2x 的系数为9⎫⎪的展开式中的常数项为四、解答题、、2,,1)n +，求和n n a a +++。
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第十章 第三节 二项式定理及应用
1.(2009·重庆高考)(x 2＋2
x )8的展开式中x 4的系数是 ( )
A ．16
B ．70
C ．560
D ．1 120 解析：由二项展开式通项公式得
T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (2x
)r ＝2r C r 8x 16－3r
. 由16－3r ＝4，r ＝4，则x 4的系数为24C 48＝1 120. 答案：D 2．(x
)12的展开式中的常数项为 ( )
A ．－132 0
B ．1 320
C ．－220
D ．220
解析：展开式的通项是T r ＋1＝C r 12x
12－
r (
)r ＝C r 12
(－1)r
x 12－4r 3，令12－4r 3＝0， 得r ＝9，故展开式的常数项是T 10＝C 912(－1)9
＝－220.
答案：C
3．(2009·湖南高考)在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为 ________(用数字作答)．
解析：C 13＋C 23＋C 33＝23－1＝7.
答案：7
4．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为5
2，则a ＝__________(用数字作答)． 解析：通项T r ＋1＝C r 6·
a －
r x 12－3r
，
当12－3r ＝3时，r ＝3， 所以系数为C 36·a －
3＝52，得a ＝2. 答案：2
5.在⎛ ⎝
1x ＋51x 3⎫⎪
⎭
n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数 是 ( ) A ．330 B ．462 C ．682 D ．792
解析：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系 数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n －
1＝1 024，∴n ＝11，∴展
开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C 511＝C 6
11＝462.
答案：B
6．(2009·江西高考)(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为 ( ) A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5 B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6 C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6 D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5
解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n ＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值 为(1＋|a |)n ＝32＝25，
∴n ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧
1＋|b |＝3，1＋|a |＝2.
答案：D
7．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. (用数字作答)
解析：由题设令x ＝0得a 0＝(－2)5＝－32， 令x ＝1得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝(1－2)5＝－1， 故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－(－32)＝31. 答案：31
8.在2
n
x
⎛ ⎝的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为
( )
A ．－7
B ．7
C ．－28
D ．28
解析：
依题意，n 2＋1＝5，∴n ＝8.二项式为2x ⎛- ⎝8
，易得常数项为C 68⎝⎛⎭⎫x 22
⎛ ⎝
6
＝7. 答案：B
9．(2010·佛山模拟
n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的 和之比为64，则(1－x )n 的展开式中系数最小的项的系数等于________． 解析：展开式中，各项系数的和为4n ，各项二项式系数的和为2n ，由已知得2n ＝ 64，所以n ＝6，(1－x )6的展开式中，第四项的系数最小，为－C 36＝－20. 答案：－20
10．二项式(1＋sin x )n 的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最 大的一项的值为5
2
，则x 在(0,2π)内的值为________．
解析：由已知可得C n －
1n ＋C n
n ＝n ＋1＝7，即得n ＝6，
二项式系数最大的一项为 C 36·sin 3x ＝20sin 3x ＝52， 解得sin x ＝1
2，又x ∈(0,2π)，
∴x ＝π6或5π6.
答案：π6或5π6
11.若
的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．10 D ．12
解析：T r ＋1＝C r n (3x )
n －
r
(
r
＝C r n (3)
n －
r (－1)r
r ·x n －
r ·x －r 3
＝C r n (3)
n －
r
(－
)r xn －4r
3，
令n －43r ＝0，得n ＝4
3
r .
∴n 取最小值为4. 答案：B
12．令a n 为(1＋x )n
＋1
的展开式中含x n
－1
项的系数，则数列{1
a n
}的前n 项和为 ( )
A.n (n ＋3)2
B.n (n ＋1)2
C.n n ＋1
D.2n n ＋1 解析：∵T r ＋1＝C r n ＋1·
x r ， ∴a n ＝C n －
1n ＋1＝C 2n ＋1＝
n (n ＋1)
2
， 1a n ＝2n (n ＋1)， ∴∑i ＝1n
1
a n ＝2⎝⎛⎭
⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：D
13．已知(x cos θ＋1)5的展开式中x 2的系数与(x ＋5
4
)4的展开式中x 3的系数相等，则cos θ
＝__________.
解析：(x cos θ＋1)5＝(1＋x cos θ)5，展开式中x 2的系数为C 25cos 2
θ.
(x ＋54)4＝(54＋x )4，展开式中x 3的系数为54C 34，
由题意可知C 25cos 2θ＝54C 34，∴cos 2θ＝12， ∴cos θ＝±22.
答案：±2
2
14．关于二项式(x －1)2 005，有下列命题： ①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；
②该二项展开式中第六项为C 62 005x
1 999
； ③该二项展开式中系数最大的项是第1 002项； ④当x ＝2 006时，(x －1)2 005除以2 006的余数是2 005.
其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)
解析：二项式(x －1)2 005所有项的系数和为0，其常数项为－1，非常数项的系数和是
1，即得①正确；二项展开式的第六项为－C 52 005x
2 000
，即得②错误；二项展开式中 系数绝对值最大的项为C 2 005－12 2 005x 1 003＝C 1 0022 005x 1 003，－C 2 005＋12
2 005x 1 002＝－ C 1 0032 005x 1 002，得系数最大的项是第1 003项C 1 0022 005·
x 1 003，即③错误；当x ＝2 006时，(x －1)2 005除以2 006的余数是2 006－1＝2 005，即④正确． 答案：①④。