2020高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆课件文20201205346-

a)2＝a2，由题意可知圆 M 到直线 x＋y＝0 的距离 d＝ a2，
所以有 a2＝a22＋2，解得 a＝2. 所以圆 M：x2＋(y－2)2＝22，圆心距为 2，半径和为 3，半径差为 1，所以两圆相交． 答案：B
3．(2016·全国卷Ⅰ)设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－ 2ay－2＝0 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，则圆 C 的 面积为________．(导学号 55410049)
解析：圆 C 的标准方程为 x2＋(y－a)2＝a2＋2.
所以圆心 C(0，a)，半径 r＝ a2＋2，
又点
C
Hale Waihona Puke Baidu
到直线
y＝x＋2a
的距离
|0－a＋2a| d＝ 2 ＝
a2，
且|AB|＝2 3，
由勾股定理( 3)2＋ a22＝a2＋2，解得 a2＝2. 所以 r＝2，所以圆 C 的面积为 π×22＝4π. 答案：4π 于
A．x－y＋1＝0
B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0
D．x＋y＝0
解析：(1)“l1⊥l2”的充要条件是“m(m－3)＋1×2＝ 0⇔m＝1 或 m＝2”，因此“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不 必要条件．
(2)由直线 l 与直线 PQ 垂直， 所以 kl＝－k1PQ＝－4－1 2＝1.
1－3
又直线 l 经过 PQ 的中点(2，3)， 所以直线 l 的方程为 y－3＝x－2，即 x－y＋1＝0. 答案：(1)A (2)A
|a＋4－1|
依题意，
＝1，解得
a2＋1
a＝－43.
答案：A
2．(2016·山东卷)已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)
截直线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：
(x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是( )
A．内切
B．相交 C．外切
D．相离
解析：圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为 x2＋(y－
[规律方法] 1．直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求 出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2．待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a， b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值；(2)若已 知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，
专题五 解析几何
第 1 讲 直线与圆
1．(2016·全国卷Ⅱ)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心
到直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，则 a＝( )(导学号
55410048) A．－43 C. 3
B．－34 D．2
解析：圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的标准方程为(x－
1)2＋(y－4)2＝4，则圆心为(1，4)，
3．两个距离公式
(1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋ C2＝0 间的距离 d＝ |CA1－2＋CB2|2.
(2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ |Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
[例 1] (1)设 a∈R，则“a＝－2”是直线 l1：ax＋2y －1＝0 与直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行的( )
(1)解：不能出现 AC⊥BC 的情况．理由如下： 设 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2 满足 x2＋mx－2＝0， 所以 x1x2＝－2. 又点 C 的坐标为(0，1)， 故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为－x11·－x21＝－12， 所以不能出现 AC⊥BC 的情况．
(2)证明：BC 的中点坐标为x22，12，可得 BC 的中垂 线方程为 y－12＝x2x－x22.
解析：(1)因为圆 C 的圆心在 x 的正半轴上，设 C(a， 0)，且 a＞0.
则圆心 C 到直线 2x－y＝0 的距离 d＝|2a－5 0|＝455， 解得 a＝2.
所 以 圆 C 的 半 径 r ＝ |CM| ＝ （2－0）2＋（0－ 5）2＝3，因此圆 C 的方程为(x－2)2 ＋y2＝9.
2．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种：即内含、内切、相交、 外切、外离，主要利用圆心距 d 与两圆半径 R1 与 R2 之间 的关系来解决．
命题视角 1 圆的切线问题 [例 3－1] (2017·郑州调研)在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A(1，0)为圆心且与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________． 解析：直线 mx－y－2m－1＝0 恒过定点 P(2，－1)， 当 AP 与切线 mx－y－2m－1＝0 垂直，即点 P(2，－ 1)为切点时，圆的半径最大，
(2)由题意知，设点 A(4，0)，B(0，2)，C(0，－2)为 椭圆的三个顶点，
易知线段 AB 的垂直平分线为 2x－y－3＝0， 令 y＝0，得 x＝32， 由题意知，所求圆的圆心为32，0， 则圆的半径 r＝4－32＝52，
故该圆的标准方程为 x－322＋y2＝245. 答案：(1)(x－2)2＋y2＝9 (2)x－322＋y2＝245
所以半径最大的圆的半径 r＝ （1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 答案：(x－1)2＋y2＝2
[规律方法] 1．直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直， 圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以 求切线方程时主要选择点斜式． 2．过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点的距 离，利用勾股定理处理．
热点 3 直线与圆的位置关系(多维探究)
1．直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小 加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离． (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成 方程组，利用判别式 Δ 来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．
由题意得A→C与A→F的夹角为 120°，
得
cos
120°＝ 1×
－11＋a2＝－12，解得
a＝
3.
所以圆 C 的方程为(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1.
答案：(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1
【命题透视】 从近几年高考命题看，本讲高考的重 点是直线与圆的方程，两条直线的位置关系、直线与圆的 位置关系，考查的主要内容是求直线(圆)的方程，点到直 线的距离，直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线 问题，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等．
由(1)可得 x1＋x2＝－m，
所以 AB 的中垂线方程为 x＝－m2 .
x＝－m2 ，
①
联立y－12＝x2x－x22， ②
又 x22＋mx2－2＝0，③ 由①②③解得 x＝－m2 ，y＝－12. 所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为－m2 ，－12，
m2＋9 半径 r＝ 2 .
[变式训练] (1)(2017·贵阳质检)已知直线 l1：mx＋y
＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”
的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知点 P(3，2)与点 Q(1，4)关于直线 l 对称，则
直线 l 的方程为( )
命题视角 2 圆的弦长问题
[例 3－2] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中，曲 线 y＝x2＋mx－2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为 (0，1)．当 m 变化时，解答下列问题：(导学号 55410050)
(1)能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由； (2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 定值．
因此 S△AOB＝12ab≥12，即 S△AOB 的最小值为 12. 答案：(1)A (2)12
[规律方法] 1．求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－A2B1 ＝0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两 条直线重合的可能性． 2．求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利 用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是 否符合题意．
故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 r2－m2 2＝3， 即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值．
[规律方法] 1．研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几 何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题． 2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及半径长2l，构成直角三角形的 三边，利用其关系来处理．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2017·山东实验中学二模)过点 P(2，3)的直线 l 与 x 轴，y 轴正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点， 则 S△OAB 的最小值为________．
解析：(1)当 a＝－2 时，l1：－2x＋2y－1＝0，l2：x －y＋4＝0，显然 l1∥l2.
解析：(1)由题意设圆心坐标为(a，a)， |a＋a| |a＋a－4|
则有 2 ＝ 2 ， 解得 a＝1，则圆心坐标为(1，1)，r＝|2a2|＝ 2. 则圆 C 的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
－4＋（－2） (2)由已知，知圆心的纵坐标为 2 ＝－3， 所以圆心为(2，－3)， 则半径 r＝ （2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝ 5， 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 答案：(1)(x－1)2＋(y－1)2＝2 (2)(x－2)2＋(y＋3)2＝5
热点 2 圆的方程
1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(x－a)2 ＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心为原点时，方程为 x2＋y2 ＝r2. 2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中 D2＋E2－4F＞0，表 示以－D2 ，－E2为圆心， D2＋2E2－4F为半径的圆．
热点 1 直线方程
1．两条直线平行与垂直 若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2 ⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母 系数，则要考虑斜率是否存在．
2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要 求直线不能与 x 轴垂直，两点式方程不能表示垂直于坐标 轴的直线，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能 表示垂直于坐标轴的直线．
依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求 出 D，E，F 的值．
[变式训练] (1)(2017·合肥质检)圆 C 与直线 x＋y＝0 及 x＋y－4＝0 都相切，且圆心在直线 x－y＝0 上，则圆 C 的方程为________________．
(2)(2017·河南部分重点中学联考)圆心在直线 x＝2 上 的圆与 y 轴交于两点 A(0，－4)，B(0，－2)，则该圆的标 准方程为________________．
[例 2] (1)(2016·天津卷)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正
半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为455，则圆 C 的方程为____________________．
(2)(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆1x62＋y42＝1 的三个 顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 __________________．
当 l1∥l2 时，由 a(a＋1)＝2 得 a＝1 或 a＝－2， 所以 a＝－2 是 l1∥l2 的充分不必要条件． (2)依题意，设直线 l 的方程为xa＋by＝1(a＞0，b＞0)． 因为点 P(2，3)在直线 l 上． 所以2a＋3b＝1，则 ab＝3a＋2b≥2 6ab，
故 ab≥24，当且仅当 3a＝2b(即 a＝4，b＝6)时取等 号．
4．(2017·天津卷)设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线 为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相 切于点 A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．
解析：由题意知该圆的半径为 1，设圆心 C(－1，a)(a
＞0)，则 A(0，a)． 又 F(1，0)，所以A→C＝(－1，0)，A→F＝(1，－a)，