2020高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆课件文20201205346-
2020新课标高考数学二轮课件：第二部分专题五 第1讲 直线与圆
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4kk2＋2 4. 由题设知4k2k＋2 4＝8，解得 k＝－1(舍去)，k＝1.因此 l 的方程为 y＝x－1.
(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)，即 y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0＝－x0＋5， （x0＋1）2＝（y0－x20＋1）2＋16， 解得xy00＝＝23，或xy00＝＝－11，6. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
4．已知直线 l 过直线 l1：x－2y＋3＝0 与直线 l2：2x＋3y－8＝0 的交点，且点 P(0，4) 到直线 l 的距离为 2，则直线 l 的方程为__________________． 解析：由x2－ x＋2y3＋y－3＝ 8＝0， 0，得xy＝＝21，，所以直线 l1 与 l2 的交点为(1，2)．显然直线 x＝1 不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为 y－2＝k(x－1)，即 kx－y＋2－ k＝0，因为 P(0，4)到直线 l 的距离为 2，所以|－41＋＋2k－2 k|＝2，所以 k＝0 或 k＝43.所以 直线 l 的方程为 y＝2 或 4x－3y＋2＝0. 答案：y＝2 或 4x－3y＋2＝0
第二部分 高考热点 分层突破
专题五 解析几何 第1讲 直线与圆
数学01Leabharlann 做高考真题明命题趋向
02
研考点考向
破重点难点
03
练典型习题
提数学素养
[做真题]
题型一 圆的方程
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离
2020版高考数学大二轮复习专题五解析几何第一讲直线与圆课件文
1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 其 中 D2 ＋ E2 － 4F>0 ， 表 示 以 －D2 ，－E2 为圆心、 D2＋2E2－4F为半径的圆．
A．－
5 5
5 B. 5
C．－2 5 5
D.2 5 5
解析：倾斜角为 θ 的直线 l 与直线 x＋2y－3＝0 垂直，
∴tan θ＝－－112＝2.
则 sin θ＝
222＋12＝2
5
5 .
故选 D. 答案：D
2．(2019·菏泽期末测试)已知点 P 与点 Q(1，－2)关于直线 x＋y
－1＝0 对称，则点 P 的坐标为( )
专题五 解析几何
第一讲 直线与圆
C目录 ONTENTS
考点一 考点二 考点三 4 限时规范训练
[考情分析·明确方向] 1．近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点 关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查． 2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度， 有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程 (特别是直线)的＝2，故直线 l1 即：2x＋2y－4－2＝0，即
x＋y－3＝0，
则直线
l1
与直线
l2：x＋y－1＝0
间的距离为|－1＋3|＝ 2
2，
故选 B. 答案：B
[类题通法] 1.求直线方程时易忽视斜率 k 不存在情形． 2．利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不 存在情形． 3．有关截距问题易忽视截距为零这一情形．
2020年高考数学二轮复习：《解析几何》之直线与圆(共15张PPT)
例
3
解：（1）Q
P(8 5
,
4) 5
在圆
C1
上， 5 (8 )2 5 (4)2 8 m 16 4 32 0 ，解得 m 22
5
55
5
， 圆 C1 :5x2 5y2 22x 16y 32 0 ，得
11 8
C1 (
5
,
) 5
，可得
C1P
方程为 4x 3y 4 0 ，设 C(x0, y0 )(x0
A． x 2y 2 0 B． 2x y 6 0 C． 2x y 2 0 D． x 2y 6 0
例 2 解：如图所示：圆 C : x2 y2 2x 8 0 ，化为标准方程为： (x 1)2 y2 9 ，
圆心 C(1,0) ，当直线 l 与 CM 垂直时，直线 l 分圆 C 的两部分的面积之差的绝对值最大，
Q kCM
20 2 1
2，直线 l
的斜率 k
1 2
，直线 l
的方程为： y 2 1 ( x 2) ， 2
即 x 2y 6 0 ，故选： D ．
一、典型例题
【例
3】.已知圆
C
与圆
C1
:5x2
5y2
mx
16 y
32
0
外切于点
P(8 5
,
4) ，且与
5
y
轴相切．
（1）求圆 C 的方程
（2）过点 O 作直线 l1 ， l2 分别交圆 C 于 A、 B 两点，若 l1 ， l2 斜率之积为 2 ，
联立
y kx 4
x2
y2
4x
0
得
(1
k 2 )x2
高考数学二轮专题五解析几何第讲直线与圆课件
(2，3)，则圆C的半径为
()
A．2 2
B．8
C．5
D. 5
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解析：∵圆C截两坐标轴所得弦长相等，∴圆心C在直线y ＝x或y＝－x上． ①当圆心C在直线y＝x上时，设C(m，m)，半径为R，则 (m＋1)2＋m2＝(m－2)2＋(m－3)2＝R2，可得m＝1，R2＝ 5，∴R＝ 5； ②当圆心C在直线y＝－x上时，设C(m，－m)，半径为 R，则(m＋1)2＋(－m)2＝(m－2)2＋(－m－3)2＝R2，该方 程组无解． ∴圆C的半径为 5，故选D. 答案：D
到直线方程． “专题检测”见“专题检测” (十八)
考点3 直线与圆的位置关系
考点3 直线与圆的位置关系
“专题检测”见“专题检测” (十八)
考点3 直线与圆的位置关系
考点3 直线与圆的位置关系
考点3 直线与圆的位置关系
考点3 直线与圆的位置关系
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2．轴对称问题的两种类型及求解方法 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By ＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而 且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组
[答案] (1)ABC (2)ACD
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解题方略
求圆的方程的2种方法 几何 通过研究圆的性质，直线和圆、圆与圆的位置关系，
法 从而求得圆的基本量和方程 代数 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系 法 数，从而求得圆的方程
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[跟踪训练]
1．已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1，0)和
0，则下列说法正确的是
()
A．圆A的半径为2
B．圆A截y轴所得的弦长为2 3
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
高考数学二轮复习 专题5 第1讲 直线与圆课件(文、理)
A．x＋y－2＝0
B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0
D．x－y＋3＝0
[答案] D
[解析] 圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程
为x－y＋3＝0.
(理)(2014·安徽文，6)过点P(－ 3 ，－1)的直线l与圆x2＋y2
＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. (0，π6]
2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．
命题热点突破
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
(文)已知直线l1与圆(x－a)2＋y2＝1相切，l1关于 直线y＝x的对称直线为l2：y＝ 3x－1，则a的值为( )
A.
3或－
3 3
B．1
C．－
3 3
[答案] D
D．1或－3
[分析] 由l1与l2关于直线y＝x对称可求出l1的方程，再由l1与 圆相切求a.
几何法：根据d＝
方法位 置关系
|Aa＋A2B＋b＋B2C|与r的大小
关系
相交
d<r
相切
d＝r
相离
d>r
Ax＋By＋C＝0 代数法：x－a2＋y－b2＝r2 消元得一元二次方程，根据判别 式Δ的符号
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
(4)圆与圆的位置关系
表现形式 几何表现：圆心距d
位置关系
与r1、r2的关系
适合所有的直线
(3)两直线的位置关系
方程 约束条件 位置关系
l1：y＝k1x＋b1 l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0 l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行 相交 重合
k1＝k2，且 b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且 B1C2 －B2C1≠0
高考数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆课件 理
0 的对称点仍在圆上，且圆与直线 x－y＋1＝0 相交的弦长为
2 2，则圆的方程是________.
解析 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 的对称点仍在圆上，说明圆心在直线 x＋2y＝0 上，即有
a＋2b＝0，又(2－a)2＋(3－b)2＝r2，而圆与直线 x－y＋1＝0 相交
考点整合
1.两直线平行或垂直 (1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存 在且l1与l2不重合时，l1∥l2. (2)两条直线垂直：对于两条直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2， 则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别地，当l1，l2中有一条直线的斜率不 存在，另一条直线的斜率为零时，l1⊥l2.
2.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半 径为 r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心 为－D2 ，－E2，半径为 r＝ D2＋2E2－4F；对于二元二次方程 Ax2 ＋ Bxy ＋ Cy2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 B＝0， A＝C≠0， D2＋E2－4AF＞0.
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直， 圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线 方程时主要选择点斜式. (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定 理处理.
[微题型3] 与圆有关的弦长问题 【例 1－3】 (2015·泰州调研)若圆上一点 A(2，3)关于直线 x＋2y＝
5.直线与圆中常见的最值问题 (1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值. (2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值. (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值. (4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值 问题. (5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.
(全国通用)2020版高考数学二轮复习第二层提升篇专题五解析几何第1讲直线与圆讲义
第1讲 直线与圆[全国卷3年考情分析](1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注.此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现.(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时会出现在第11题或第15题位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上.[例1] (1)已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为( )A.18 B.12 C.14D.2(2)若直线l 1：y ＝kx －k ＋2与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2过定点( ) A.(3，1) B.(3，0) C.(0，1)D.(2，1)[解析] (1)直线l 1，l 2恒过点P (2，4)，直线l 1在y 轴上的截距为4－k ，直线l 2在x 轴上的截距为2k 2＋2，因为0＜k ＜4，所以4－k ＞0，2k 2＋2＞0，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫k －182＋12716，故当k ＝18时，面积最小.(2)∵y ＝kx －k ＋2＝k (x －1)＋2，∴l 1：y ＝kx －k ＋2过定点(1，2).设定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x2＝2，2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，∴直线l 2过定点(3，0).故选B.[答案] (1)A (2)B[解题方略]1.两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断.2.轴对称问题的两种类型及求解方法[跟踪训练]1.若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( )A.423B.4 2C.823D.2 2解析：选C 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2.在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A.102B.10C.5D.10解析：选D 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.[例2] (1)已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a ，2)，B (－4，a )，C (2a ＋2，2)，则三角形ABC 外接圆的方程是( )A.x 2＋(y －3)2＝5 B.x 2＋(y ＋3)2＝5 C.(x －3)2＋y 2＝5D.(x ＋3)2＋y 2＝5(2)圆心在直线y ＝－4x 上，并且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程为________________.[解析] (1)∵AB ―→＝(－4－2a ，a －2)，AC ―→＝(2，0)，∴AB ―→·AC ―→＝－8－4a ＝0，解得a ＝－2.∴A (－4，2)，B (－4，－2)，C (－2，2)，|BC |＝25，又BC 的中点坐标为(－3，0)，∴三角形ABC 外接圆的圆心为(－3，0)，半径为|BC |2＝5，∴三角形ABC 外接圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5.(2)设圆心M 为(x ，－4x )，k MP ＝2－4xx －3，k l ＝－1，所以k MP ·k l ＝－1，所以x ＝1，所以M (1，－4)，所以r ＝|MP |＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝2 2所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. [答案] (1)D (2)(x －1)2＋(y ＋4)2＝8[解题方略] 求圆的方程的2种方法[跟踪训练]1.已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝5与圆C 2相交于A (0，2)，B (－1，1)两点，且四边形C 1AC 2B 为平行四边形，则圆C 2的方程为( )A.(x －1)2＋y 2＝5 B.(x －1)2＋y 2＝92C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝92解析：选A 法一：(常规求解法)设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，连接AB ，C 1C 2.因为C 1(－2，3)，A (0，2)，B (－1，1)，所以|AC 1|＝|BC 1|＝5，所以平行四边形C 1AC 2B 为菱形，所以C 1C 2⊥AB 且|AC 2|＝ 5.可得⎩⎪⎨⎪⎧3－b －2－a ×1－2－1－0＝－1，a 2＋（b －2）2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，则圆心C 2的坐标为(1，0)或(－2，3)(舍去).因为圆C 2的半径为5，所以圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝5.故选A.法二：(特值验证法)由题意可知，平行四边形C 1AC 2B 为菱形，则|C 2A |＝|C 1A |＝22＋（2－3）2＝5，即圆C 2的半径为5，排除B 、D ；将点A (0，2)代入选项A 、C ，显然选项A 符合.故选A.2.若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b ，3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________，圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为____________.解析：k PQ ＝3－a －b3－b －a＝1，故直线l 的斜率为－1，由点斜式可知l 的方程为y ＝－x ＋3，圆心(2，3)关于直线y ＝－x ＋3的对称点为(0，1)，故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：－1 x 2＋(y －1)2＝1考点三直线与圆的位置关系题型一 圆的切线问题[例3] (1)过点P (2，4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A.3x ＋4y －4＝0 B.4x －3y ＋4＝0 C.x ＝2或4x －3y ＋4＝0D.y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)设点M (x 0，y 0)为直线3x ＋4y ＝25上一动点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，则四边形OBMC 面积的最小值为________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆心O 到直线3x ＋4y ＝25的距离d ＝259＋16＝5， 则|OM |≥d ＝5，所以切线长|MB |＝|OM |2－2≥d 2－2＝23， 所以S 四边形OBMC ＝2S △OBM ≥2×12×23×2＝46.[答案] (1)C (2)46[变式1] 本例(2)变为：过点A (1，3)，作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，则四边形OBAC 的面积为________.解析：由相切可得S 四边形OBAC ＝2S △OBA ，因为△OAB 为直角三角形，且|OA |＝10，|OB |＝2， 所以|AB |＝22，即S △OBA ＝12×22×2＝2，所以S 四边形OBAC ＝2S △OBA ＝4. 答案：4[变式2] 本例(2)变为：设点M (x 0，y 0)为直线3x ＋4y ＝25上一动点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线l 1，l 2，则l 1与l 2的最大夹角的正切值是________.解析：设一个切点为B ，圆心O 到直线3x ＋4y ＝25的距离为d ＝259＋16＝5，则tan ∠OMB ＝|OB ||MB |≤223，所以tan2∠OMB ＝2tan ∠OMB1－tan 2∠OMB ＝21tan ∠OMB－tan ∠OMB≤24621.故所求最大夹角的正切值为24621. 答案：24621[解题方略] 直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.题型二 圆的弦长问题[例4] 已知圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点.(1)求圆C 的方程；(2)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值.[解] (1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，即（a ＋2）2＋（a －0）2＝（a －0）2＋（a －2）2＝r ， 解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S . 因为直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l 1⊥l ， 根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21， 所以S ＝12|PQ |·|MN |，即S ＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝216－4（d 21＋d 2）＋d 21d 2＝212＋d 21d 2≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立， 所以四边形PMQN 面积的最大值为7.[解题方略] 求解圆的弦长的3种方法[跟踪训练]1.已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点，若|MN |＝255，则直线l 的方程为________.解析：直线l 的方程为y ＝kx ＋1，圆心C (2，3)到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22，得1＝（2k －2）2k 2＋1＋15，解得k ＝2或12，故所求直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1.答案：y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋12.(2019·山东枣庄期末改编)若点P (1，1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0中弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为________________，|AB |＝________.解析：圆x 2＋y 2＋6x ＝0的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9.又因为点P (1，1)为圆中弦AB 的中点，所以圆心与点P 所在直线的斜率为1－01－3＝－12，故弦AB 所在直线的斜率为2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.圆心(3，0)与点P (1，1)之间的距离d ＝5，圆的半径r ＝3，则|AB |＝2r 2－d 2＝4.答案：2x －y －1＝0 43.已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为________.解析：如图所示，连接CM ，CP .由题意知圆心C (－1，2)，半径r ＝ 2.因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |的值最小，只需|PO |的值最小即可.当PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即PO 所在直线的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |的值最小，此时点P 为两直线的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取最小值时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35数学建模——直线与圆最值问题的求解[典例] 已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A.x －y －3＝0或7x －y －15＝0B.x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C.x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D.x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0[解析] 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P (2，5)，Q (2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝25，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心到直线l 的距离d ＝|1－2k |1＋k2，所以|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝（9－d 2）d 2≤9－d 2＋d 22＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92，因为25＜92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0，故选D.[答案] D [素养通路]本题考查了直线与圆的最值问题，结合题目的条件，设元、列式、建立恰当的函数，利用基本不等式模型解决相关的最值问题.考查了数学建模这一核心素养.[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：选C 因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b2，可得ab ＝4，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C.2.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.外切D.内切解析：选B 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心是O 1(1，0)，半径是r 1＝1， 圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4， 圆心是O 2(0，2)，半径是r 2＝2，因为|O 1O 2|＝5，故|r 1－r 2|＜|O 1O 2|＜|r 1＋r 2| 所以两圆的位置关系是相交.3.已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A.(3，3)B.(2，3)C.(1，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率k 1＝tan30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x－2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），y ＝－3（x －2），解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3).4.(2019·江苏徐州期末)若圆(x ＋1)2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2－4x ＋8y －16＝0内切，则实数m 的值为( )A.1B.11C.121D.1或121解析：选D 圆(x ＋1)2＋y 2＝m 的圆心坐标为(－1，0)，半径为m ；圆x 2＋y 2－4x ＋8y －16＝0，即(x －2)2＋(y ＋4)2＝36，故圆心坐标为(2，－4)，半径为6.由两圆内切得32＋42＝|m －6|，解得m ＝1或m ＝121.故选D.5.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A.－2B.－1C.0D.1解析：选C 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4（k 2＋1）2＋4k 2（k 2＋1）2＝4，解得k ＝0.法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k2＝1，解得k ＝0.6.(2019·广东省广州市高三测试)已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点A (－2，0)及点B (2，a )，若直线AB 与圆C 没有公共点，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞D.(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析：选C 由点A (－2，0)及点B (2，a )，得k AB ＝a 4，所以直线AB 的方程为y ＝a4(x ＋2)，即ax －4y ＋2a ＝0.因为直线AB 与圆C 没有公共点，所以|2a |a 2＋（－4）2＞1，解得a ＞433或a ＜－433，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞，故选C.二、填空题7.(2019·贵阳市第一学期监测)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________.解析：由题意，圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，所以所求直线的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝08.已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2).显然直线x ＝1不满足P (0，4)到直线l 的距离为2.设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝09.(2019·广东六校第一次联考)已知点P (－1，2)及圆(x －3)2＋(y －4)2＝4，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |的值为________.解析：点P 关于x 轴的对称点为P ′(－1，－2)，如图，连接PP ′，P ′Q ，由对称性可知，P ′Q 与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |＝|P ′T |.圆(x －3)2＋(y －4)2＝4的圆心为A (3，4)，半径r ＝2，连接AP ′，AT ，则|AP ′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT |＝r ＝2，所以|PQ |＋|QT |＝|P ′T |＝|AP ′|2－|AT |2＝4 3.答案：4 3 三、解答题10.已知圆(x －1)2＋y 2＝25，直线ax －y ＋5＝0与圆相交于不同的两点A ，B . (1)求实数a 的取值范围；(2)若弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2，4)，求实数a 的值. 解：(1)把直线ax －y ＋5＝0代入圆的方程， 消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0， 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0， 即12a 2－5a >0，解得a >512或a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞. (2)由于直线l 为弦AB 的垂直平分线，且直线AB 的斜率为a ，则直线l 的斜率为－1a，所以直线l 的方程为y ＝－1a(x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上，所以1＋0＋2－4a ＝0， 解得a ＝34，由于34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞， 所以a ＝34.11.在平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为 6. (1)求圆O 的方程；(2)若直线l 与圆O 相切于第一象限，且直线l 与坐标轴交于点D ，E ，当线段DE 的长度最小时，求直线l 的方程.解：(1)因为点O 到直线x －y ＋1＝0的距离为12，所以圆O 的半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝2， 故圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，即bx ＋ay －ab ＝0， 由直线l 与圆O 相切，得|－ab |b 2＋a 2＝2，即1a 2＋1b 2＝12，则|DE |2＝a 2＋b 2＝2(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝4＋2b 2a 2＋2a2b2≥8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.12.已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|PA |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解：(1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43， ∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m ＜3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29，∴|PA |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13. (2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13， 令x ＝0，得y ＝0或4；令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON 为直角三角形，斜边|MN |＝213， ∴△MON 内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.B 组——大题专攻强化练1.已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍.(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点.当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程.解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意得（x ＋1）2＋y 2＝3·（x －1）2＋y 2， 整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求. (2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0).设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t 解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22， 由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－（t －2）22，整理得t 2－3t ＝0， 解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3. 2.已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值.解：(1)由过点A 的圆的切线只有一条，得点A 在圆上，故12＋a 2＝4，解得a ＝± 3. 当a ＝3时，A (1，3)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，A (1，－3)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为x －3y －4＝0.综上所述，当a ＝3时，切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，切线方程为x －3y －4＝0.(2)设直线方程为x ＋y ＝b ，由于直线过点A ，则1＋a ＝b ，即a ＝b －1， 又圆心(0，0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，则b ＝±2，因此a ＝b －1＝－1± 2.3.在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在， 设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0， 所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， 所以设圆心C 为(a ，2a －4)， 又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1.设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ， 所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2＋（2a －4＋1）2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.4.在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12， 可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12. 所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.。
(浙江专版)高考数学二轮专题复习 第一部分 专题五 第一讲 直线与圆课件.pptx
解得xy＝＝－－11，，
即(1,0)，(－1，－1)为 l2 上两点， 可得 l2 的方程为 x－2y－1＝0. 答案：B
5
(2)设 m∈R，过定点 A 的动直线 x＋my＝0 和过定点 B 的动 直线 mx－y－m＋3＝0 交于点 P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值 是________． 解析：易求定点 A(0,0)，B(1,3)．当 P 与 A 和 B 均不重合时， 因为 P 为直线 x＋my＝0 与 mx－y－m＋3＝0 的交点，且两 直线垂直，则 PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以 |PA|·|PB|≤|PA|2＋2 |PB|2＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝ 5时，等号 成立)，当 P 与 A 或 B 重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最 大值是 5. 答案：5
1
二、经典例题领悟好
[例 1] (1)设直线 l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝
0.则“m＝2”是“l1∥l2”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)过直线 l1：x－2y＋3＝0 与直线 l2：2x＋3y－8＝0 的交点， 且到点 P(0,4)距离为 2 的直线方程为_____________________.
6
考点二 圆的方程
一、基础知识要记牢
(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半
径为 r.
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆
心坐标为－D2 ，－E2 ，半径 r＝
D2＋E2－4F
2
.
高考数学大二轮复习专题5解析几何第1讲直线与圆课件(文科)
＝－7.故所求直线方程为：2x＋3y－7＝0，故选 B.
答案：B
2．(2019·淮南模拟)设 λ∈R，则“λ＝－3”是“直线 2λx＋(λ－1)y＝1 与直线 6x＋(1－ λ)y＝4 平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：当 λ＝－3 时，两条直线的方程分别为 6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条 直线平行；若两条直线平行，则 2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以 λ＝－3 或 λ＝1，经检验， 两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线 2λx＋(λ－1)y＝1 与直线 6x＋(1－λ)y＝4 平行” 的充分不必要条件，故选 A.
是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填 2.利用待定系数法求圆的方程．
空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时 3.借助圆的方程研究圆的简单性质.
也会在解答题中出现.
[题组练透]
1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2 的圆心和半径分别是( )
A．(－2,3)，1
B．(2，－3)，3
C．(－2,3)， 2
答案：A
3．已知直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是( )
A．1
B．－1
C．2 或 1
D．－2 或 1
解析：当 a＝0 时，直线方程为 y＝2，显然不符合题意，当 a≠0 时，令 y＝0 时，得到 直线在 x 轴上的截距是2＋a a，令 x＝0 时，得到直线在 y 轴上的截距为 2＋a，根据题意 得2＋a a＝2＋a，解得 a＝－2 或 a＝1，故选 D. 答案：D
C．－1 或 3
D．3 或 5
解析：由题得圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝3，所以圆心为(－1,2)，半径为 3.所以圆 心到直线的距离为 32－12＝|－1－22＋a|，∴a＝1 或 5.故选 B.
解析几何直线与圆课件新高考数学二轮复习
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.直线
解析 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系， 设点 A，B 分别为(－a，0)，(a，0)(a>0)，点 C 为(x，y)，则A→C＝(x＋a，y)，B→C＝(x －a，y)，所以A→C·B→C＝(x－a)(x＋a)＋y·y＝x2＋y2－a2＝1，整理得 x2＋y2＝a2＋1.因 此点 C 的轨迹为圆.故选 A. 答案 A
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3.(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，点P为l上 的动点.过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方 程为( )
第1讲 直线与圆
高考定位 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与 圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填 空题的形式出现.
真题感悟
1.(2020·全国Ⅲ卷)在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点.若A→C·B→C＝1，则点 C 的轨
迹为( )
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4.(2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线 x＋2＝0相切. (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径； (2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由. 解 (1)因为⊙M过点A，Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y ＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a). 因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得|AO| ＝2. 又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6.
新高考数学二轮课件： 专题5 第1讲 直线与圆
6 [假设直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦
为AB，∵圆的半径r＝
10，圆心到直线的距离d＝
5 －32＋42
＝1，
∴弦长|AB|＝2× r2－d2＝2 10－1＝2×3＝6.]
5．[一题多解]经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆的方程为 ________．
2．(借助待定系数法求圆的方程)已知圆C关于y轴对称，经过点 A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为 ________．
x2＋y±
332＝43
[因为圆C关于y轴对称，
所以圆心C在y轴上，可设C(0，b)，
设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.
(x－1)2＋y2＝4 [法一：(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝0，将A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐标代入圆的方程可得
1－D＋F＝0，
9＋3D＋F＝0， 1＋4＋D＋2E＋F＝0，
解得D＝－2，E＝0，F＝－3，所以圆的
方程为(x－1)2＋y2＝4. 法二：(几何法)根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－ 3 ＝0与圆x2＋y2 ＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若 |AB|＝2 3，则|CD|＝________.
4 [由直线l：mx＋y＋3m－ 3 ＝0知其过定点(－3， 3 )，圆心 O到直线l的距离为d＝|3mm－2＋13|.
上，设圆心坐标O(1，a)，则圆的半径r＝ 4＋a2 ＝|a－2|，所以a＝ 0，r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.]
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4．(2017·天津卷)设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线 为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相 切于点 A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．
解析：由题意知该圆的半径为 1，设圆心 C(－1，a)(a
＞0)，则 A(0，a)． 又 F(1，0)，所以A→C＝(－1，0)，A→F＝(1，－a)，
解析：圆 C 的标准方程为 x2＋(y－a)2＝a2＋2.
所以圆心 C(0，a)，半径 r＝ a2＋2，
又点
C
到直线
y＝x＋2a
的距离
|0－a＋2a| d＝ 2 ＝
a2，
且|AB|＝2 3，
由勾股定理( 3)2＋ a22＝a2＋2，解得 a2＝2. 所以 r＝2，所以圆 C 的面积为 π×22＝4π. 答案：4π 于
当 l1∥l2 时，由 a(a＋1)＝2 得 a＝1 或 a＝－2， 所以 a＝－2 是 l1∥l2 的充分不必要条件． (2)依题意，设直线 l 的方程为xa＋by＝1(a＞0，b＞0)． 因为点 P(2，3)在直线 l 上． 所以2a＋3b＝1，则 ab＝3a＋2b≥2 6ab，
故 ab≥24，当且仅当 3a＝2b(即 a＝4，b＝6)时取等 号．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2017·山东实验中学二模)过点 P(2，3)的直线 l 与 x 轴，y 轴正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点， 则 S△OAB 的最小值为________．
解析：(1)当 a＝－2 时，l1：－2x＋2y－1＝0，l2：x －y＋4＝0，显然 l1∥l2.
热点 1 直线方程
1．两条直线平行与垂直 若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2 ⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母 系数，则要考虑斜率是否存在．
2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要 求直线不能与 x 轴垂直，两点式方程不能表示垂直于坐标 轴的直线，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能 表示垂直于坐标轴的直线．
所以半径最大的圆的半径 r＝ （1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 答案：(x－1)2＋y2＝2
[规律方法] 1．直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直， 圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以 求切线方程时主要选择点斜式． 2．过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点的距 离，利用勾股定理处理．
a)2＝a2，由题意可知圆 M 到直线 x＋y＝0 的距离 d＝ a2，
所以有 a2＝a22＋2，解得 a＝2. 所以圆 M：x2＋(y－2)2＝22，圆心距为 2，半径和为 3，半径差为 1，所以两圆相交． 答案：B
3．(2016·全国卷Ⅰ)设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－ 2ay－2＝0 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，则圆 C 的 面积为________．(导学号 55410049)
由题意得A→C与A→F的夹角为 120°，
得
cos
120°＝ 1×
－11＋a2＝－12，解得
a＝
3.
所以圆 C 的方程为(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1.
答案：(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1
【命题透视】 从近几年高考命题看，本讲高考的重 点是直线与圆的方程，两条直线的位置关系、直线与圆的 位置关系，考查的主要内容是求直线(圆)的方程，点到直 线的距离，直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线 问题，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等．
解析：(1)因为圆 C 的圆心在 x 的正半轴上，设 C(a， 0)，且 a＞0.
则圆心 C 到直线 2x－y＝0 的距离 d＝|2a－5 0|＝455， 解得 a＝2.
所 以 圆 C 的 半 径 r ＝ |CM| ＝ （2－0）2＋（0－ 5）2＝3，因此圆 C 的方程为(x－2)2 ＋y2＝9.
2．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种：即内含、内切、相交、 外切、外离，主要利用圆心距 d 与两圆半径 R1 与 R2 之间 的关系来解决．
命题视角 1 圆的切线问题 [例 3－1] (2017·郑州调研)在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A(1，0)为圆心且与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________． 解析：直线 mx－y－2m－1＝0 恒过定点 P(2，－1)， 当 AP 与切线 mx－y－2m－1＝0 垂直，即点 P(2，－ 1)为切点时，圆的半径最大，
3．两个距离公式
(1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋ C2＝0 间的距离 d＝ |CA1－2＋CB2|2.
(2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ |Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
[例 1] (1)设 a∈R，则“a＝－2”是直线 l1：ax＋2y －1＝0 与直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行的( )
解析：(1)由题意设圆心坐标为(a，a)， |a＋a| |a＋a－4|
则有 2 ＝ 2 ， 解得 a＝1，则圆心坐标为(1，1)，r＝|2a2|＝ 2. 则圆 C 的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
－4＋（－2） (2)由已知，知圆心的纵坐标为 2 ＝－3， 所以圆心为(2，－3)， 则半径 r＝ （2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝ 5， 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 答案：(1)(x－1)2＋(y－1)2＝2 (2)(x－2)2＋(y＋3)2＝5
命题视角 2 圆的弦长问题
[例 3－2] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中，曲 线 y＝x2＋mx－2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为 (0，1)．当 m 变化时，解答下列问题：(导学号 55410050)
(1)能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由； (2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 定值．
[变式训练] (1)(2017·贵阳质检)已知直线 l1：mx＋y
＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”
的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知点 P(3，2)与点 Q(1，4)关于直线 l 对称，则
直线 l 的方程为( )
专题五 解析几何
第 1 讲 直线与圆
1．(2016·全国卷Ⅱ)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心
到直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，则 a＝( )(导学号
55410048) A．－43 C. 3
B．－34 D．2
解析：圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的标准方程为(x－
1)2＋(y－4)2＝4，则圆心为(1，4)，
热点 2 圆的方程
1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(x－a)2 ＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心为原点时，方程为 x2＋y2 ＝r2. 2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中 D2＋E2－4F＞0，表 示以－D2 ，－E2为圆心， D2＋2E2－4F为半径的圆．
A．x－y＋1＝0
B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0
D．x＋y＝0
解析：(1)“l1⊥l2”的充要条件是“m(m－3)＋1×2＝ 0⇔m＝1 或 m＝2”，因此“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不 必要条件．
(2)由直线 l 与直线 PQ 垂直， 所以 kl＝－k1PQ＝－4－1 2＝1.
1－3
又直线 l 经过 PQ 的中点(2，3)， 所以直线 l 的方程为 y－3＝x－2，即 x－y＋1＝0. 答案：(1)A (2)A
[规律方法] 1．直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求 出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2．待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a， b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值；(2)若已 知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，
[例 2] (1)(2016·天津卷)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正
半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为455，则圆 C 的方程为____________________．
(2)(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆1x62＋y42＝1 的三个 顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 __________________．
故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 r2－m2 2＝3， 即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值．
[规律方法] 1．研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几 何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题． 2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及半径长2l，构成直角三角形的 三边，利用其关系来处理．
|a＋4－1|
依题意，
＝1，解得
a2＋1
a＝－43.
答案：A
2．(2016·山东卷)已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)
截直线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：
(x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是( )
A．内切
B．相交 C．外切
D．相离
解析：圆 M：x2(1)可得 x1＋x2＝－m，
所以 AB 的中垂线方程为 x＝－m2 .
x＝－m2 ，
①
联立y－12＝x2x－x22， ②
又 x22＋mx2－2＝0，③ 由①②③解得 x＝－m2 ，y＝－12. 所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为－m2 ，－12，