2014年高考湖南理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

（1）【2014年湖南，理1，5分】满足i

i z z

+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ）

（A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22

--

【答案】B

【解析】由题意()i i 11

i i i 1i i i 1i 22

z z z z z z +-=⇒+=⇒-=-⇒==--，故选B ．

（2）【2014年湖南，理2，5分】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样

和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ） （A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D

【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，

即123p p p ==，故选D ． （3）【2014年湖南，理3，5分】已知()f x ，()g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，

则()()11f g +（ ）

（A ）-3

（B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】C 【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=，则()()()()()()11312

11111f g f f g g ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨

+==-⎪⎪⎩⎩

()()111f g ⇒+=，故选C ．

（4）【2014年湖南，理4，5分】51

(2)2

x y -的展开式中23x y 的系数是（ ）

（A ）-20 （B ）-5 （C ）5 （D ）20 【答案】A

【解析】第1n +项展开式为()55

122n

n n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭

，则2n =时，()()2

532351*********n

n n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫

-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故

选A ．

（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在命题①p q ∧；

②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）

（A ）①③ （B ）①④ （C ）②③ （D ）②④ 【答案】C

【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-，所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为

22x y <，所以命题q 为假命题，所以②③为真命题，故选C ．

（6）【2014年湖南，理6，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出

的S 属于（ ）

（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D

【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下，(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-，当[]0,2t ∈时，

[]33,1S t =-∈--，则(]

[][]2,63,13,6S ∈---=-，故选D ．

（7）【2014年湖南，理7，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打

磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

【答案】B

【解析】由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，

则862r r r -+-=，故选B ．

（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，

则该市这两年的生产总值的年平均增长率为（ ）

（A ）2p q +

（B ）(1)(1)1

2p q ++- （C

（D

1

【答案】D

【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2

111x p q +=++

1x ⇒，故选D ．

（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函数发()()sin f x x ϕ=-，且230

()0x f x dx =⎰

，则函数()f x 的图象的一条

对称轴是（ ）

（A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6

x π

=

【答案】A

【解析】解法一：

函数()f x 的对称轴为2

x k π

ϕπ-=

+2

x k π

ϕπ⇒=+

+，

因为

()23

2sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫

⇒-= ⎪⎝⎭， 所以23k πϕπ=+或423k ππ+，则56

x π

=

是其中一条对称轴，故选A ． 解法二：

由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03π⎛⎫

⎪⎝⎭

是函数()sin()f x x ϕ=-的一个对称中心，所以

sin()03πϕ-=，所以3

k π

ϕπ=+，故选A ．

（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函数21

()(0)2

x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y

轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）

（A ）(,)-∞

（B ）(,-∞ （

C

）(

（D

）(

【答案】B

【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001(,)(0)2x P x x e x +-<关于y 轴对称的点02

001(,)2x Q x x e -+-在函

数2()ln()g x x x a =++的图像上，从而有()022

0001ln()2x x e x x a +-=-+-+，即001ln()02

x e x a --+-=．

问题等价于函数1

()ln()2

x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点．

解法一：

1

'()0x h x e x a

=+>-+，()h x 在(),0x ∈-∞单调递增，当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存

在零点，则1

(0)1ln 02

h a =

-->，从而a

解法二： 问题等价于函数1()2

x x e φ=-与()ln()x x a ϕ=-+的图象在(),0-∞有交点,在同

一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()x x a ϕ=-+的图象在左右平移的过程