高三开学考试2020.8【数学】参考答案(1)
《名校入学考》安徽省河北省2020届高三8月联考数学(理)试题(图片版,含解析)
!"!槡&' 槡)!1"-./0(1Z3S(1678-9:>g@3#$ !
©ª«)4y¬"&%%-'#?,
7
4®"!%& -
#%"!!"27#&2%槡&"2#!#&2##$!%-&
'%"&+%&%"%&#?
槡 !%
-
'!"&%0##$-%
%)#8%
!+%-&& % 槡)!1!©ª«)4y¬"&%'%-'#?,7 4®"!'%-& #
#3#?.#3* "¼wt#'7)'* 4vwt!$*3%!槡2"&%&"槡"#*?@/.#3*%*#3*%槡"!
;K=>2) LM,&!/2) LM,&!"#$2) 42NAO)&%=B! /O)'+&')%1P2) Q+,&!#$2) 42NAO)''&'!%1B!
RS &'%'=&'!%1&2) 42N";=?2) 41T" 槡;'&&+='!& %8槡&!
!)!1!0&"-./0(12%(1efst>#$E3RSTU <="S# &¡#e¡¢£¤¥4¦§"1!8#?¨!¡¤¥4¦§" 7!&21!82!!'1!8"%1!0&!
2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学数学试题(解析版)
2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学数学试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则A B =I （ ） A ．{|2}x x >- B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．R【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由24x <解得22x -<<，故{}|12A B x x ⋂=<<，故选B. 【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．设,a b r r 是非零向量，则“存在实数λ，使得λa b =r r”是“a b a b +=+r r r r ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可. 【详解】存在实数λ，使得λa b =r r，说明向量,a b r r 共线，当,a b r r同向时，a b a b +=+r r r r 成立， 当,a b r r反向时，a b a b +=+r r r r 不成立，所以，充分性不成立.当a b a b +=+r r r r 成立时，有,a b r r 同向，存在实数λ，使得λa b =r r 成立，必要性成立， 即“存在实数λ，使得λa b =r r”是“a b a b +=+r r r r ”的必要而不充分条件.故选B . 【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．已知平面向量的夹角为则（ ）A ．2B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，故选D.4．为了得到函数sin cos y x x =+的图像，只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点（ ）．A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度【答案】C【解析】由πsin cos 24y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，πsin cos 24y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因此，为了得到sin cos y x x =+的图像，只需将sin cos y x x =-的图像上所有的点向左平移π2个单位长度． 故选C ．点睛：对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.5．下列函数中，同时满足：①图像关于y 轴对称；②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-的是（ ）A ．()1f x x -=B ．()2log f x x =C ．()cos f x x =D ．()12x f x +=【答案】B【解析】根据题意得到()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞为增函数.依次判断选项的奇偶性和单调性即可. 【详解】由题知：①图像关于y 轴对称，则()f x 为偶函数， ②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-，()f x 在(0,)+∞为增函数.A 选项：()1f x x -=，()f x 为奇函数，故A 错误.B 选项：()2log f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞为增函数，故B 正确.C 选项：()cos f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞有增有减，故C 错误.D 选项：()12x f x +=，()f x 为非奇非偶函数，故D 错误.故选：B 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握初等函数的单调性和奇偶性为解题的关键，属于简单题.6．已知平面l αβ=I ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是（ ） A ．若//m β，则//m l B ．若//m l ，则//m β C ．若m β⊥，则m l ⊥ D ．若m l ⊥，则m β⊥【答案】D【解析】通过线面垂直的性质和判定可知A ，B 正确，由线面垂直的性质可知C 正确，由线面垂直的判定可知D 错误. 【详解】A 选项：由线面平行的性质可知A 正确.B 选项：由线面平行的判定可知B 正确.C 选项：由线面垂直的性质可知C 正确.D 选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故D 错误.故选：D 【点睛】本题主要考查线面平行的判定及性质，同时考查了线面垂直的判定及性质，属于简单题. 7．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A ．46B ．44C ．42D ．40 【答案】B【解析】先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字. 【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0), (2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理， 则上列情况能表示的三位数字个数分别为： 2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：22242444442242244++++++++++++++=.故选B. 【点睛】本题考查分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能力. 8．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A．有最小值32B．有最大值52C．为定值3 D．为定值2【答案】D【解析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D 1FBE 的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D 1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图． 所以在后面的投影的面积为S 后=1×1=1， 在上面的投影面积S 上=D'E'×1=DE×1=DE ， 在左面的投影面积S 左=B'E'×1=CE×1=CE ， 所以四边形D 1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和 S=S 后+S 上+S 左=1+DE+CE=1+CD=2． 故选D ． 【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．二、填空题9．在复平面内，复数21ii-对应的点到原点的距离为_________．【解析】由题意首先化简所给的复数，然后结合其所对应的点即可求得其到原点的距离. 【详解】22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，则该复数对应的点为()1,1-，其到原点的距离. 【点睛】本题主要考查复数的除法及其应用，属于基础题.10．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.【答案】【解析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得23,23c c ==-（舍去） 所以243a c ==，113sin 43236 3.22ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．11．某三棱锥的三视图如图所示，则在该三棱锥表面的四个三角形中，等腰三角形的个数为______.【答案】2【解析】将三棱锥的三视图还原直观图，计算长度即可得到等腰三角形的个数 【详解】将三棱锥的三视图还原其直观图如图所示，由图知：ABD △和BCD V 为等腰三角形. 故答案为：2本题主要考查三视图，将三视图还原其直观图为解题关键，属于简单题. 12．已知120,0,21,x y x y x y>>+=+的最小值是_______. 【答案】8【解析】利用21,x y +=由12422y xx y x y x y ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得结果.【详解】因为0,0,21,x y x y >>+=所以12422y x x y x y x y ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭442448y xx y ≥+⨯=+=, 当且仅当12x y=时等号成立， 所以12x y+的最小值是为8，故答案为8.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.13．如图所示，平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=︒，E 是DC 中点，那么向量AC u u u r 与EB u u u r所成角的余弦值等于______.7 【解析】首先利用向量的加减法将AC u u u r ，EB u u u r 分别用AB u u u r 和AD u u u r表示，再利用利用向量夹角公式计算即可.由题知：AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r，222124122172AC AB AD AB AD =++=++⨯⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g .11()()22EB AB AE AB AD DE AB AD AB AB AD =-=-+=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .222111121142EB AB AD AB AD =+-=+-⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g .2211111()()2122222AC EB AB AD AB AD AB AB AD AD =+-=--=--=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g.1cos AC AE AC AE AC AE<>===u u u r u u u ru u u r u u u r g g u u u r u u u r .故答案为：14【点睛】本题主要考查向量的线性运算和夹角公式，同时考查了学生的转换能力，属于中档题.14．已知函数()22,1ln ,1x ax x f x a x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩.①当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，见实数a 的取值范围是______； ②若函数()f x 的最大值为1，则a =______. 【答案】(,1)-∞ ±1【解析】①首先求出当1x <时()f x 的极值点，根据题意即可得到a 的取值范围. ②分别讨论当0a =，0a <和0a >时，求出函数()f x 的最大值，比较即可求出a 的值. 【详解】①当1x <时，2()2f x x ax =-+.()22f x x a '=-+，令()0f x '=，解得x a =.因为函数()f x 在(,1)-∞有且只有一个极值点， 所以1a <.②当0a =时，2,1()0,1x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，此时max ()0f x =，舍去.当0a <时，1x ≥，ln ()0a xf x x=<. 1x <，222()2()f x x ax x a a =-+=--+.2max ()()f x f a a ==.所以21a =，因为0a <，所以1a =-. 当0a >时，1x ≥，ln ()a x f x x=.2(1ln )()a x f x x -'=， 令()0f x '=，解得a e =.[1,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数. max ()()af x f e e==. 1x <，222()2()f x x ax x a a =-+=--+.2max ()()f x f a a ==.当2a a e ≥时，即1a e≥，2max ()1f x a ==，解得1a =. 当当2a a e <时，即10a e<<，max ()1a f x e ==，解得a e =，舍去.综上所述：1a =±.故答案为：①(,1)-∞，②±1 【点睛】本题主语考查利用导数求含参函数的极值点和最值，分类讨论是解题的关键，属于难题.三、解答题15．在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，向量m u r=(cos(A —B)，sin(A —B)),向量n r =(cosB ，—sinB),且m n ⋅=v v3.5-(1)求sinA 的值；(2)若5,a b ==求角B 的大小及向量BA u u u r 在BC uuu r方向上的投影.【答案】（1）4sin 5A =；（2）4B π=,2. 【解析】（1）由3·5m n =-r r，进行数量积的坐标运算，化简易得3cos 5A =-，从而可得sin A ；（2）由正弦定理求出sin B ，可得B ．再由余弦定理求出c 的值，所以BAu u u r在BC uuu r方向上的投影值为·cos BA BC c B BC=u u u v u u u v u u u v ，可求． 【详解】（1）由3·5m n =-r r，得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，得3cos 5A =-；又0A π<<，所以24sin 1cos 5A A =-=；（2）由正弦定理得sin sin a b A B =，得2sin B =，得4B π=；由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2223(42)525()5c c =+-⨯⨯⨯-， 解得1c =或7c =-（舍去）；BA u u u r 在BC uuur 方向上的投影值为·2cos 2BA BC c B BC==u u u v u u u v u u u v ． 【考点】向量的数量积的坐标运算，正余弦定理,投影的概念．16．已知某校中小学生人数和近视情况分别如图所示.为了解该校中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方式从中抽取一个容量为50的样本进行调查.（1）求样本中高中生、初中生及小学生的人数；（2）从该校初中生和高中生中各随机抽取1名学生，用频率估计概率，求恰有1名学生近视的概率；（3）假设高中生样本中恰有5名近视学生，从高中生样本中随机抽取2名学生，用X 表示2名学生中近视的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）10，20，20，（2）0.5 （3）分布列见解析，()1E X = 【解析】（1）利用分层抽样计算高中生、初中生及小学生的人数即可.（2）首先设事件A 为“从该校初中生抽取1名学生是近视”，事件B 为“该校高中生抽取1名学生是近视”，分别计算出()P A ，()P B ，再利用概率公式()()()P AB AB P AB P AB +=+()()()()P A P B P A P B =+计算即可.（3）先求出X 的所有取值及对应的概率，列出分布列，计算数学期望即可.【详解】（1）采用分层抽样，样本容量与总体容量的比为：50:10001:20=， 所以样本中高中生、初中生及小学生的人数分别为：10，20，20. （2）设事件A 为“从该校初中生抽取1名学生是近视”， 事件B 为“该校高中生抽取1名学生是近视”. 由题意知：()0.3P A =，()0.5P B =，故所求概率为()()()P AB AB P AB P AB +=+()()()()P A P B P A P B =+. 故所求概率为：0.30.50.70.50.5⨯+⨯=. （3）随机变量X 的所有可能取值为：0，1，2.()25210209C P X C ===，()1155210519C P C X C ⋅===， ()25210229C P X C ===.所以随机变量X 的分布列为：X0 1 2 P295929所以()2520121999E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题第一问考查分层抽样，第二问考查概率的加法公式，第三问考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.17．如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，25AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2．（1）求证：//EF 平面1A BD ；（2）求证：平面1AOB ⊥平面1A OC ； （3）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）取线段1A B 的中点H ，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形DEFH 为平行四边形，即得//EF HD ．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得1A O DE ⊥．再根据面面垂直性质定理得1A O ⊥平面BCED ，即得1CO A O ⊥，根据勾股定理得CO BO ⊥，所以由线面垂直判定定理得 CO ⊥平面1A OB ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，则EO EC =，与条件矛盾. 试题解析：解：（1）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ．因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形，所以 //EF HD ． 因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD ． （2）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =． 所以11A D A E =，又O 为DE 的中点， 所以 1A O DE ⊥．因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，所以 1CO A O ⊥． 在△OBC 中，4BC =，易知 22OB OC ==所以 CO BO ⊥，所以 CO ⊥平面1A OB ，所以 平面1AOB ⊥平面1A OC ． （3）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． 否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ， 连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得G 为OC 的中点． 在△EOC 中，因为OC GE ⊥，所以EO EC =，这显然与1EO =，EC =所以线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． 18．已知函数ln 1()x f x ax x-=-. （Ⅰ）当2a =时,（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （ii ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若12a <<,求证:()1f x <-.【答案】（Ⅰ）（i ）3y =-，（ii ）递增区间是()0,1,递减区间是()1,+∞；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）（i ）求出()222ln 2'x x f x x--=,求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（ii ）分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（Ⅱ）先利用导数证明ln 10x x -+≤,则ln 1x x ≤-，再利用二次函数的性质证明2220ax x -+>，则211ax x x -+>-，从而可得结论.试题解析：（Ⅰ）当2a =时,()ln 12x f x x x-=-,定义域为()0,+∞ ()2222ln 2ln 22=x x x f x x x---=-' （i ）()112=3f =---()122=0f ='-所以切点坐标为()1,3-,切线斜率为0 所以切线方程为3y =-（ii ）令()22ln 2g x x x =--,()140g x x x-'=-<所以()g x 在()0,+∞上单调递减,且()1=0g 所以当()0,1x ∈时,()0g x >即()0f x '> 所以当()1,+x ∈∞时,()0g x <即()0f x '<综上所述,()f x 的单调递增区间是()0,1,单调递减区间是()1,+∞. (Ⅱ)方法一:()1f x <-,即ln 11x ax x --<- 设()ln 11(0)x h x ax x x-=-+> ()2222ln ln 2x ax x h x a x x---+=-=' 设()2ln 2x ax x ϕ=--+()212120ax x ax x xϕ--=--=<'所以()x ϕ'在()0,+∞小于零恒成立 即()h x '在()0,+∞上单调递减 因为12a <<所以()120h a ='->,()20h e a =-<'所以在()21,e 上必存在一个0x 使得()20002ln 2=0ax x h x x --+=' 即200ln =2x ax -+所以当()00,x x ∈时,()0h x '>,()h x 单调递增 当()0,+x x ∈∞时,()0h x '<,()h x 单调递减所以()()0000ln 11max x h x h x ax x -==-+ 因为200ln =2x ax -+所以()2000021ax x h x x -++=令()0=0h x得0x =因为12a <<,0<1< 因为()201,x e ∈,所以()00h x <恒成立即()0h x <恒成立综上所述,当12a <<时,()1f x <- 方法二:()f x 定义域()0,+∞为了证明()1f x <-,即ln 11x ax x--<- 只需证明2ln 1x ax x --<-,即2ln 1x ax x <-+ 令()ln 1(0)m x x x x =-+> 则()11m x x'=- 令()0m x '>,得01x << 令()0m x '<,得1x >所以()m x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减 所以()()10max m x m == 即ln 10x x -+≤,则ln 1x x ≤-令()222n x ax x =-+因为12a <<,所以=480a ∆-< 所以()0n x >恒成立即2220ax x -+> 所以211ax x x -+>- 综上所述,2ln 1x ax x <-+ 即当12a <<时,()1f x <-.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-.19．已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]1.21=，[]1.22-=-，[]11=.对于函数()f x ，若存在m R ∈且m Z ∉，使得()[]()f m f m =，则称函数()f x 是“和谐”函数.（1）判断函数()213f x x x =-，()sin g x x π=是否是“和谐”函数；（只需写出结论） （2）设函数()f x 是定义在R 上的周期函数，其最小周期为T ，若()f x 不是“和谐”函数，求T 的最小值. （3）若函数()af x x x=+是“和谐”函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）()213f x x x =-是“和谐”函数，()sin g x x π=不是“和谐”函数.（2）最小值为1.（3）0a >且*k N ∀∈，2a k ≠且()1a k k ≠+ 【解析】（1）根据“和谐”函数的定义即可判断()213f x x x =-，()sin g x x π=是否是“和谐”函数.（2）根据周期函数的定义，结合“和谐”函数的条件，进行判断和证明即可. （3）根据“和谐”函数的定义，分别讨论0a =，0a <和0a >时，满足的条件即可. 【详解】（1）由题知：()213f x x x =-是“和谐”函数，()sin g x x π=不是“和谐”函数.（2）T 的最小值为1.因为()f x 是以T 为最小正周期的周期函数，所以()()0f T f =. 假设1T <，则[]0T =，所以[]()()0f T f =，矛盾.所以必有1T ≥，而函数()[]l x x x =-的周期为1，且显然不是“和谐”函数， 综上，T 的最小值为1. （3）当函数()af x x x=+是“和谐”函数时， 若0a =，则()f x x =显然不是“和谐”函数，矛盾. 若0a <，则()2'10af x x=->， 所以()f x 在(),0-∞，()0,∞+上单调递增， 此时不存在(),0m ∈-∞，使得()[]()f m f m =， 同理不存在()0,m ∈+∞，使得()[]()f m fm =，又注意到[]0m m ≥，即不会出现[]0m m <<的情形， 所以此时()af x x x=+不是“和谐”函数. 当0a >时，设()[]()f m f m =，所以[][]a a m m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠， 当0m >时，因为[][]1m m m <<+，所以[][][][]()21m m m m m <<+，所以[][][]()21m a m m <<+. 当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以[][][][]()21m m m m m >>+，所以[][][]()21m a m m >>+.记[]k m =，综上，我们可以得到“0a >且*k N ∀∈，2a k ≠且()1a k k ≠+”. 【点睛】本题主要考查函数的新定义和函数的周期性，同时考查了学生的运算和推理能了，综合性较强，属于难题.。
江西省南昌市2020届高三数学上学期开学考试试题理(含解析)
江西省南昌市2020届高三数学上学期开学考试试题 理（含解析）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{3=0,=1x M x N x y x -⎧⎫>=⎨⎬-⎩⎭，则()R C M N =I （ ）A. (]1,2 B. []1,2C. (]2,3D. []2,3【答案】B 【解析】 【分析】根据求解分式不等式和二次根式的定义域得,M N 集合，再运用集合的补集和交集运算求解.【详解】由已知得()()(],13,,,2MN =-∞⋃+∞=-∞，[]1,3R C M =，所以()R C M N =I []1,2， 故选B.【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于基础题.2.复数z 满足1i1i z+=-，则||z =（ ）A. 2iB. 2C. iD. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得复数z i =，即可得到复数的模，得到答案。
【详解】由题意，复数11ii z+=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D 。
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2019-2020学年高三数学上学期开学摸底考试(8月)试题 文.doc
2019-2020学年高三数学上学期开学摸底考试（8月）试题 文—、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.A.第一象限B.第二象限C.第三象跟D.第四象限2. 若集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ，}02|{2>-∈=x x R x B ，则)(B C A R 所含的元素个数为A. OB. 1C. 2D. 33. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐 与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是A. 1,2,3,4,5,6B. 6，16，26，36，46，56C. 1,2，4，8，16，32D. 3,9,13 ,27,36,544 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则 该双曲线的标准方程为5.设l 、m 是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面,有下列命题：①l//m,m ⊂a,则l//a ② l//a,m//a 则 l//m ③a 丄β，l ⊂a ，则l 丄β ④l 丄a ，m 丄a,则l//m 其中正确的命题的个数是 A. 1B. 2C. 3D. 46.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是A ．6B ．10C ．91D ．927. 已知等比数列{a n }，且a 4+a 8=-2,则a 6(a 2+2a 6+a 10）的值 为A. 4B. 6C. 8D. -98. 设曲线()()f x x m R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为9. 巳知点(x,y)在ΔABC 所包围的阴影区域内(包含边界),若的取值范围为11. 已知正三棱锥P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为 A 4π B, 12π12. 已知函数2(1)(0)()2x f f f x e x x e '=⋅+⋅-，若存在实数m 使得不等式 2()2f m n n ≤-成立，则实数n 的取值范围为A. [)1-,1,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ B. (]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C. (]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. [)1-,0,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分a13.已知向量(1,2),(,1)a b x ==，2,2u a b v a b =+=-,且 u ∥v ，则实数x 的值是____15. 已知点P (x ,y )在直线x+2y=3上移动，当2x+4y 取得最小值时，过点P 引圆BD16. 已知12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点,P 是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点P 作12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，若2122PM PF PF =⋅，则该椭圆的离心率为三 、解 答 题 : 本大题共6小 题 ，共 70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分10分）在△ABC中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足（1）求角C 的大小；（2）若bsin （π﹣A ）= acosB ，且，求△ABC 的面积．18. (本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ADC=90°，AD ∥BC ，BC=CD=AD=1，PA ⊥平面ABCD ，PA=2AD ，E 是线段PD 上的点，设PE=λPD ，F 是BC 上的点，且AF ∥CD（Ⅰ）若λ=，求证：PB ∥平面AEF（Ⅱ）三棱锥P ﹣AEF 的体积为时，求λ的值．19. (本小题满分12分）已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小； （结果精确到小数后1位）（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57万元的概率.20. (本小題满分12分）轴不重合的直线l 交椭圆于A,B 两点.(I)若ΔABF 2为正三角形，求椭圆的标准方程；21 (本小题满分14分）已知函数f （x ）=x 2+1，g （x ）=2alnx+1（a ∈R ） （1）求函数h （x ）=f （x ）-g （x ）的极值；（2）当a=e 时，是否存在实数k ，m ，使得不等式g （x ）≤ kx+m ≤f （x ）恒成立？若存在，请求实数k ，m 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22〜23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中 ，以 原 点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为: θθρcos sin 2= (I)求曲线C 的直角坐标方程；求|AB|的值。
2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试数学试题(解析版)
2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．“13m =”是“直线(1)230m x my +++=与直线(1)(1)10m x m y -++-=垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若直线(1)230m x my +++=与直线(1)(1)10m x m y -++-=相互垂直， 则()()()11210m m m m +-++=，即()()1310m m +-=， 解得1m =-或13m =，则“13m =”是“直线(1)230m x my +++=与直线(1)(1)10m x m y -++-=相互垂直”的充分不必要条件， 故选：B . 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件建立方程关系求出m 的值是解决本题的关键，属于中档题.3．设复数z 满足||2z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ）A ．22(1)2x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y +-=D ．22(1)2x y ++=【答案】C【解析】由z 在复平面内对应的点为(,)x y ，可得z x yi =+，然后根据复数模长的概念即可得解. 【详解】∵z 在复平面内对应的点为(,)x y ， ∴z x yi =+，||2z i -=，2=，即22(1)4x y +-=. 故选：C . 【点睛】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属于基础题.4．已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ）A ．3-B ．1-C ．3D ．1【答案】C【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为3 5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093【答案】D【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 6．函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（ ） A ．1(,)3+∞ B ．1(,)3-∞C ．1[,)?3+∞D ．1(,]3-∞【答案】C【解析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R 上恒成立即可． 【详解】若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，只需2320y x x m '=++≥ 恒成立，即141203m m =-≤∴≥V ，． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．7．《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+ D ．0,0)2a b a b +≤>>【答案】D【解析】令,AC a BC b ==，可得圆O 的半径2a br +=，又22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，则()2222222()442a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2a b +≤Ｄ． 8．设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【答案】C【解析】试题分析：由已知得，sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得，sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以sin cos cos sin cos ,sin()cos sin()2παβαβααβαα-=-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，选C【考点】同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．二、多选题9．关于函数()3sin 21()3f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，下列命题正确的是（ ）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成5()3cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()y f x =的图象关于直线12x π=-对称【答案】BD【解析】举出反例16x π=，223x π=可判断A ；通过诱导公式可判断B ；根据正弦型函数的对称中心在曲线上可判断C ；根据正弦型函数在对称轴处取得最值可判断D . 【详解】函数()3sin 21()3f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭， 周期22T ππ==， 对于A ：当16x π=，223x π=时，满足()()121f x f x ==，但是不满足12x x -是π的整数倍，故A 错误； 对于B ：由诱导公式，53sin 213cos 213cos 213623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎡⎤⎢⎝⎥⎭⎣⎦⎭，故B 正确； 对于C ：令34x π=，可得33153213144322f sin πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ：当12x π=-时，可得3sin 113121263f πππ⎛⎫⎛⎫-=--+=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的图象关于直线12x π=-对称；故选：BD . 【点睛】本题主要考查利用()sin y A ωx φ=+的信息特征，判断各选项的正误，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.10．甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B ．甲的不同的选法种数为15C ．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是16D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949【答案】BD【解析】根据对立事件的概念可判断A ；直接根据组合的意义可判断B ；乙同学选技术的概率是13可判断 C ；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D . 【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A 错误；由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即2615C =种选法，故B 正确；由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是2163=，故C 错误； 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为37，故乙、丙两名同学都选物理的概率是3397749⨯=，故D 正确； 故选BD . 【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.11．三棱锥P−ABC 的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，则下列说法正确的是（ ）A ．PAB ∆是钝角三角形 B ．此球的表面积等于5πC ．BC ⊥平面PACD ．三棱锥A−PBC 的体积为2【答案】BC【解析】根据余弦定理可得底面为直角三角形，计算出三棱锥的棱长即可判断A ，找到外接球的球心求出半径即可判断B ，根据线面垂直判定定理可判断C ，根据椎体的体积计算公式可判断D . 【详解】 如图，在底面三角形ABC 中，由1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒， 利用余弦定理可得：2211221232BC =+-⨯⨯⨯= ∴222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，由于PC ⊥底面ABC ，∴PC AC ⊥，PC BC ⊥， ∵PC AC C =I ，∴BC ⊥平面P AC ，故C 正确； ∴222PB PC BC AB +==，由于2220PB AB PA +->，即PBA ∠为锐角， ∴PAB ∆是顶角为锐角的等腰三角形，故A 错误；取D 为AB 中点，则D 为BAC V 的外心，可得三角形ABC 外接圆的半径为1，设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，连接OP ，则21512OP ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭即三棱锥P ABC -的外接球的半径为52R =， ∴三棱锥球的外接球的表面积等于2545ππ⨯=⎝⎭，故B 正确；113131326P ABC V -=⨯⨯=，故D 错误； 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，椎体的体积计算以及三棱锥外接球体积的计算等等，属于中档题.12．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的方程是22x y =B ．抛物线的准线是1y =-C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【答案】BC【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p ，进而得到抛物线方程和准线方程；求得()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得线段AB 的最小值，可得圆Q 的半径，由中点坐标公式可得Q 的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求sin QMN ∠的最小值.【详解】抛物线()2:20C x py p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2p y =-， 点()2E t ，到焦点F 的距离等于3，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24x y =，准线为1y =-，故A 错误，B 正确； 由题知直线l 的斜率存在，()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由21 4y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-，所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2221k k +，， 221242244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为222r k =+，在等腰QMN V 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++， 当且仅当0k =时取等号， 所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确， 故选：BC. 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，课程中心方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题.三、填空题13．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()21f x x x=+，则()1f -=______． 【答案】－2【解析】f(－1)＝－f(1)＝－2.14．甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_____________. 【答案】乙 【解析】【详解】假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲， 则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意； 假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙， 则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意； 假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙， 则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意。
高三数学8月开学联考试题理含解析试题
广雅中学、执信、HY 、深外四校2021届高三数学8月开学联考试题 理〔含解析〕第I 卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分．以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，那么A B 元素个数为 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B ，利用交集的定义求出A B ，即可得到A B 元素个数【详解】由201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，可得：()[)B=,12,-∞-⋃+∞，所以{}=2,3A B ⋂，即A B 元素个数为2，故答案选B【点睛】此题考察分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于根底题。
z 满足()1i 1z+=+，那么复数z 的一共轭复数的模为A. 1C. 2D.【答案】B【解析】 【分析】首先求出复数z ，即可得到复数z 的一共轭复数，利用复数模的计算公式，求得答案。
【详解】由于12+=，那么22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-，所以复数z 的一共轭复数1z i =+，那么z ==故答案选B【点睛】此题考察复数四那么运算，一共轭复数的概念以及复数模的计算公式，属于根底题。
3.某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2:2:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为A.13B.12C.23D.34【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义计算出抽取的样本中高一学生的人数，分别计算出选两人做问卷调查的根本领件数和所选取的两人中至少有一个是高一学生的根本领件个数，最后利用古典概型公式计算即可。
【详解】由题可得抽取的10人中，高一有4人，高二有4人，高三有2人，所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，根本领件总数为21045C =，所抽取的两人中，至少有一个是高一学生的根本领件个数为11246430C C C +=，所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为302 453，故答案选C【点睛】此题考察概率的求法，考察分层抽样，古典概型。
2020届高三数学上学期开学考试试题理(含解析)
2020届高三数学上学期开学考试试题理（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则______.【答案】【解析】【分析】根据补集定义直接求解可得结果.【详解】由补集定义可知：本题正确结果：【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），则圆的普通方程为_____.【答案】【解析】【分析】利用消去参数即可得到结果.【详解】由可得：即圆的普通方程为：【点睛】本题考查参数方程化普通方程，属于基础题.3.设，则“”是“”的______________条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．【答案】充分不必要【解析】【分析】由，得1＜x＜3；由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的值为_______.【答案】8【解析】【分析】按照程序框图运行程序，直到时输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入，不偶数，则，，循环是偶数，则，，，循环不是偶数，则，，输出结果：本题正确结果：【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果，属于基础题.5.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人.【答案】900【解析】【分析】计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数.【详解】由题意可知，高二年级抽取：人抽样比为：该校学生总数为：人本题正确结果：【点睛】本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.6.两位男同学和两位女学生随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是______.【答案】【解析】分析】利用捆绑法可求得两位女同学相邻的排法数；通过全排列求得四位同学排成一列的排法总数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】两位女同学相邻的排法共有：种排法四位同学排成一列共有：种排法两位女同学不相邻的概率：本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是能够利用排列的知识求解出符合题意的排法数和总体的排法数，涉及到利用捆绑法解决排列中的相邻问题.7.已知，，则_______.【答案】【解析】分析】根据二倍角公式可将已知等式化简为，根据可求得；根据同角三角函数关系，结合可求得结果.【详解】由二倍角公式可知：，又，即本题正确结果：【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.8.设函数为参数，且的部分图象如图所示，则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据图象首先求得最小正周期，从而解得；代入可得到，结合即可求得结果.【详解】由图象可得最小正周期：，即又，，又本题正确结果：【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.9.已知是奇函数，且当时，.若，则__________.【答案】-3【解析】【分析】当时，代入条件即可得解.【详解】因为是奇函数，且当时，．又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即．【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．10.若，则的值为___.【答案】1【解析】【详解】令，得；令，得；两式相加得．点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.11.在中，角的对边分别为，已知，，角的平分线交边于点，其中，则______.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理可得；利用和可构造方程求得，代入余弦定理的式子可求出，代入三角形面积公式求得结果.【详解】由余弦定理可得：又，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形中三角形面积的求解问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用；本题的解题关键是能够通过面积桥的方式构造方程求得和之间的关系，进而结合余弦定理求得所需的值.12.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打局，则的期望值______.【答案】【解析】【分析】首先确定所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果.【详解】由题意可知所有可能的取值为：则；；本题正确结果：【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型.13.已知，则的值是______.【答案】【解析】【分析】根据两角和差正切公式可构造方程求得或；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将化为，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为，代入即可求得结果.【详解】解得：或当时，当时，综上所述，本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.14.设直线分别是函数图象上点处的切线，与垂直相交于点，且与分别与轴相交于点，则的面积的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】首先可确定分别在分段函数的两段上，设，且，通过导数可求得切线斜率；根据相互垂直可得到；通过的方程可求得两点坐标，从而得到；联立求得点横坐标，从而将面积表示为，根据可求得面积的取值范围.【详解】由题意可知，分别在分段函数的两段上设，且，，即：方程为：；方程为：，联立可得点横坐标为：且在上单调递减，即的面积的取值范围为：本题正确结果：【点睛】本题考查三角形面积取值范围的求解问题，求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；本题的解题关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.已知矩阵，矩阵，直线经矩阵所对应的变换得到直线，直线又经矩阵所对应的变换得到直线.（1）求的值；（2）求直线的方程.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据矩阵的乘法运算可建立关于的方程组，解方程组求得结果；（2）根据（1）可得矩阵，得到变换公式，从而可得所求方程.【详解】（1）变换到的变换公式为：可得到直线即直线，解得：，（2）由（1）知：变换到的变换公式为：直线的方程为：，即【点睛】本题考查矩阵的乘法运算和直线在矩阵下的线性变换，关键是能够通过矩阵运算得到线性变换的公式，属于常考题型.16.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角的值；（2）若，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，由正弦定理化简已知等式可求，结合范围0＜B＜π，可求B的值．（2）由（1）及正弦定理可求b的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）在△ABC中，因为，，所以．因为，由正弦定理，得．所以．若，则，与矛盾，故．于．又因为，所以．（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．又=．所以△的面积为.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.如图，平面，，，，，.（1）直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的余弦值为，求线段的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系；（1）表示出的坐标，首先求解出平面的法向量，根据直线与平面所成角的正弦值等于可求得结果；（2）设得到，可求解出平面的法向量，从而得到；根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程，解方程求得结果.【详解】以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：（1）由题意得：，，，，，设平面的法向量，令，则，设直线与平面所成角为即直线与平面所成角的正弦值为：（2）设，则设平面的法向量，令，则，由（1）知，平面的法向量又二面角的余弦值为，解得：线段的长为：【点睛】本题考查空间向量法求解直线与平面所成角、利用平面与平面所成角求解其他量的问题；关键是能够熟练掌握直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，对于学生的计算能力有一定要求，属于常考题型.18.如图，一楼房高为米，某广告公司在楼顶安装一块宽为米的广告牌，为拉杆，广告牌的倾角为，安装过程中，一身高为米的监理人员站在楼前观察该广传牌的安装效果：为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方：设米，该监理人员观察广告牌的视角.（1）试将表示为的函数；（2）求点的位置，使取得最大值.【答案】（1）；（2）当米时，取得最大值.【解析】【分析】（1）作，垂足为；作，垂足为，交于；作，垂足为；在和分别用表示出和，根据，利用两角和差正切公式可求得结果；（2）根据（1）的结论，设，可得，利用基本不等式可求得时，取最大值，又在上单调递增，可知时，最大，从而可得到结果.【详解】（1）作，垂足为；作，垂足为，交于；作，垂足为，如下图所示：在中，在中，监理人员必须在的右侧综上所述：（2）由（1）可得：令，则（当且仅当，即时取等号）当，即时，取最大值又且在上单调递增最大时，最大当米时，取得最大值【点睛】本题考查函数模型的实际应用问题，涉及到两角和差正切公式的应用、利用基本不等式求解函数的最值问题；关键是能够建立起准确的函数模型，在求解最值时，将函数化为符合基本不等式的形式；易错点是忽略了函数模型中定义域的要求.19.已知函数，，其中a为常数．当时，设函数，判断函数在上是增函数还是减函数，并说明理由；设函数，若函数有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2），【解析】【分析】代入a的值，求出的解析式，判断函数的单调性即可；由题意把函数有且仅有一个零点转化为有且只有1个实数根，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【详解】（1）由题意，当时，，则，因为，又由在递减，所以在递增，所以根据复合函数的单调性，可得函数在单调递增函数；由，得，即，若函数有且只有1个零点，则方程有且只有1个实数根，化简得，即有且只有1个实数根，时，可化为，即，此时，满足题意，当时，由得：，解得：或，当即时，方程有且只有1个实数根，此时，满足题意，当即时，若是的零点，则，解得：，若是的零点，则，解得：，函数有且只有1个零点，所以或，，综上，a的范围是，．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性，函数的零点，以及二次函数的性质等知识点的综合应用，同时把函数有且仅有一个零点转化为方程有且只有1个实数根，合理令二次函数的性质，分类讨论是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.20.已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有求的取值范围.注：为自然对数的底数.【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.【详解】(1)当时，，函数的定义域为，且：，因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)由，得，当时，，等价于，令，则，设，，则，（i）当时，，则，记，则列表讨论：（）p（）单调递减（ii）当时，，令，则，故上单调递增，，由（i）得，，由（i）（ii）知对任意，即对任意，均有，综上所述，所求的a的取值范围是．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．2020届高三数学上学期开学考试试题理（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则______.【答案】【解析】【分析】根据补集定义直接求解可得结果.【详解】由补集定义可知：本题正确结果：【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），则圆的普通方程为_____.【答案】【解析】【分析】利用消去参数即可得到结果.【详解】由可得：即圆的普通方程为：【点睛】本题考查参数方程化普通方程，属于基础题.3.设，则“”是“”的______________条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．【答案】充分不必要【解析】【分析】由，得1＜x＜3；由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的值为_______.【答案】8【解析】【分析】按照程序框图运行程序，直到时输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入，不偶数，则，，循环是偶数，则，，，循环不是偶数，则，，输出结果：本题正确结果：【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果，属于基础题.5.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人.【答案】900【解析】【分析】计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数.【详解】由题意可知，高二年级抽取：人抽样比为：该校学生总数为：人本题正确结果：【点睛】本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.6.两位男同学和两位女学生随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是______.【答案】【解析】分析】利用捆绑法可求得两位女同学相邻的排法数；通过全排列求得四位同学排成一列的排法总数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】两位女同学相邻的排法共有：种排法四位同学排成一列共有：种排法两位女同学不相邻的概率：本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是能够利用排列的知识求解出符合题意的排法数和总体的排法数，涉及到利用捆绑法解决排列中的相邻问题.7.已知，，则_______.【答案】【解析】分析】根据二倍角公式可将已知等式化简为，根据可求得；根据同角三角函数关系，结合可求得结果.【详解】由二倍角公式可知：，又，即本题正确结果：【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.8.设函数为参数，且的部分图象如图所示，则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据图象首先求得最小正周期，从而解得；代入可得到，结合即可求得结果.【详解】由图象可得最小正周期：，即又，，又本题正确结果：【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.9.已知是奇函数，且当时，.若，则__________.【答案】-3【解析】【分析】当时，代入条件即可得解.【详解】因为是奇函数，且当时，．又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即．【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．10.若，则的值为___.【答案】1【解析】【详解】令，得；令，得；两式相加得．点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.11.在中，角的对边分别为，已知，，角的平分线交边于点，其中，则______.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理可得；利用和可构造方程求得，代入余弦定理的式子可求出，代入三角形面积公式求得结果.【详解】由余弦定理可得：又，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形中三角形面积的求解问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用；本题的解题关键是能够通过面积桥的方式构造方程求得和之间的关系，进而结合余弦定理求得所需的值.12.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打局，则的期望值______.【答案】【解析】【分析】首先确定所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果.【详解】由题意可知所有可能的取值为：则；；本题正确结果：【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型.13.已知，则的值是______.【答案】【解析】【分析】根据两角和差正切公式可构造方程求得或；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将化为，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为，代入即可求得结果.【详解】解得：或当时，当时，综上所述，本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.14.设直线分别是函数图象上点处的切线，与垂直相交于点，且与分别与轴相交于点，则的面积的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】首先可确定分别在分段函数的两段上，设，且，通过导数可求得切线斜率；根据相互垂直可得到；通过的方程可求得两点坐标，从而得到；联立求得点横坐标，从而将面积表示为，根据可求得面积的取值范围.【详解】由题意可知，分别在分段函数的两段上设，且，，即：方程为：；方程为：，联立可得点横坐标为：且在上单调递减，即的面积的取值范围为：本题正确结果：【点睛】本题考查三角形面积取值范围的求解问题，求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；本题的解题关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.已知矩阵，矩阵，直线经矩阵所对应的变换得到直线，直线又经矩阵所对应的变换得到直线.（1）求的值；（2）求直线的方程.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据矩阵的乘法运算可建立关于的方程组，解方程组求得结果；（2）根据（1）可得矩阵，得到变换公式，从而可得所求方程.【详解】（1）变换到的变换公式为：可得到直线即直线，解得：，（2）由（1）知：变换到的变换公式为：直线的方程为：，即【点睛】本题考查矩阵的乘法运算和直线在矩阵下的线性变换，关键是能够通过矩阵运算得到线性变换的公式，属于常考题型.16.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角的值；（2）若，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，由正弦定理化简已知等式可求，结合范围0＜B＜π，可求B的值．（2）由（1）及正弦定理可求b的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）在△ABC中，因为，，所以．因为，由正弦定理，得．所以．若，则，与矛盾，故．于．又因为，所以．（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．又=．所以△的面积为.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.如图，平面，，，，，.（1）直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的余弦值为，求线段的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系；（1）表示出的坐标，首先求解出平面的法向量，根据直线与平面所成角的正弦值等于可求得结果；（2）设得到，可求解出平面的法向量，从而得到；根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程，解方程求得结果.【详解】以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：（1）由题意得：，，，，，设平面的法向量，令，则，设直线与平面所成角为即直线与平面所成角的正弦值为：（2）设，则设平面的法向量，令，则，由（1）知，平面的法向量又二面角的余弦值为，解得：线段的长为：【点睛】本题考查空间向量法求解直线与平面所成角、利用平面与平面所成角求解其他量的问题；关键是能够熟练掌握直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，对于学生的计算。
(山东新高考)2020年高三最新信息卷数学(八)(解析版)
绝密 ★ 启用前（新高考）2020年高三最新信息卷数 学（八）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R ，集合2{|log 1}A x x =<，2{|1}B x y x ==-，则()A B =R I ð（ ）A ．{|02}x x <<B ．{|01}x x <<C ．{|11}x x -<<D ．{|12}x x -<<2．若复数4i z =-，则z z ⋅=（ ） A ．15B ．16C ．17D ．183．下列说法正确的是（ ）A ．向量(1,1)=-a ，(,3)λ=b ，若⊥a b ，则3λ=B ．向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(1,1)=-c ，若()λ-∥a b c ，则1λ=C ．向量(3,4)=a ，(2,1)=b ，则|2|10-=a bD ．向量(3,4)=a ，(0,1)b =r，则a 在b 方向上的投影为54．在ABC △中，BD DC =u u u r u u u r ，AP PD =u u u r u u u r ，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．1B ．12C ．12-D ．12-5．设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若12||||6PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为30︒，则C 的离心率为（ ）A ．6B ．6C ．3D ．36．在ABC △中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且ABC △的面积25cos S C =，且1a =，25b =，则边c 的值为（ ） A ．15B ．17C ．19D ．217．24(12)(1)x x x -++的展开式中含3x 的项的系数为（ ） A ．8-B ．6-C ．8D ．68．若正三棱柱的所有棱长都为3，则其外接球的表面积为（ ） A ．21π B ．12πC ．9πD ．27π4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，下图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ）A ．这五年，2015年出口额最少B ．这五年，出口总额比进口总额多C ．这五年，出口增速前四年逐年下降D ．这五年，2019年进口增速最快10．若正三棱柱ABC A B C '''-的所有棱长都为3，外接球的球心为O ，则下列四个结论正确的是（ ）A ．其外接球的表面积为21πB ．直线AB '与直线BC 所成角为π3C ．AO B C ''⊥D ．三棱锥O ABC -的体积为938此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11．已知函数2π()cos()(0)3f x x ωω=->，1x ，2x ，3[0,π]x ∈，且[0,π]x ∀⊥都有12()()()f x f x f x ≤≤，满足2()0f x =的实数3x 有且只有3个，给出下列四个结论正确的是（ ）A ．满足题目条件的实数1x ，有且只有1个B ．满足题目条件的实数2x ，有且只有1个C ．()f x 在π(0,)10上单调递增 D ．ω的取值范围是1319[,)6612．已知P 是双曲线2212516x y -=右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，O 为原点，若1||8OP OF +=u u u r u u u r ，则下列结论正确的是（ ）A ．双曲线的离心率为53B ．双曲线的渐近线为45y x =±C ．12PF F △的面积为36D ．点P 到该双曲线左焦点的距离是18第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式521)x的展开式中常数项为________．所有项的系数和为________．14．若tan()1αβ-=，tan 3α=，则tan 2β=________．15．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型，如图，该模型为圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为cm ，高为10cm ，打印所用原料密度为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量 为g ．（π取3.14）16．设1F ，2F 为椭圆22:13xC y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △为直角三角形，则M 的坐标为 ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且1πsin cos (0,)2222C C C ++=∈，cos sin 2a B b A +=．（1）求ABC △的外接圆的面积S ； （2）求a b +的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，ABCD 是边长为1的正方形，且1SA =，点M 时SD 的中点．（1）求证：SC AM ⊥；（2）求平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的大小．19．（12分）某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满足程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分为100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所有数据均在[40,100]内，现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形，回答下列问题．（1）算出第三组[60,70)的频数，并补全频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数（每组数据以区间的中点值为代表）．20．（12分）设向量11(,)x y=a，22(,)x y=b，定义一种向量积1212(,)x x y y⊗=a b．已知(2,2)=m，π(,0)3=n，点P在siny x=的图象上运动，Q是函数()y f x=图象上的点，且OQ OP=⊗+u u u r u u u rm n （O为坐标原点）．（1）求函数()y f x=的解析式；（2）求函数()y f x=-在[0,π]x∈上的单调递减区间．21．（12分）已知曲线2:2xC y=的焦点是F，A，B是曲线C上不同两点，且存在实数λ使得AF FBλ=u u u r u u u r，曲线C在点A，B处的两条切线相交于点D．（1）求点D的轨迹方程；（2）点E在y轴上，以EF为直径的圆与AB的另一交点恰好是AB的中点，当2λ=时，求四边形ADBE的面积．22．（12分）已知数()(1)xf x e a x b =---，其中a ，b ∈R 为自然对数底数． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a >，函数()0f x ≥对任意的x ∈R 都成立，求a b +的最大值．绝密 ★ 启用前（新高考）2020年高三最新信息卷数学（八）答案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】由2log 1x <，得02x <<，由210x -≥，得21x ≥，再得1x ≤-或1x ≥， 所以(){|01}A B x x =<<R I ð． 2．【答案】C【解析】(4i)(4i)16(1)17z z ⋅=-+=--=． 3．【答案】B【解析】若⊥a b ，则0⋅=a b ，得A 错误；(1,13)λλλ-=+-a b ，若()λ-∥a b c ，则1130λλ++-=，1λ=，B 正确； 2(1,2)-=-a b，|2|-=a b ，可判断C 错误；a 在b 方向上的投影为44||1⋅==a b b ，D 错误，故选B ． 4．【答案】C【解析】11111131()22242444BP BA BD BA BC AB AC AB AB AC =+=+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∴311442λμ+=-+=-． 5．【答案】D【解析】不妨设12||||PF PF >，则12||||2PF PF a -=， 又12||||6PF PF a +=，解得1||4PF a =，2||2PF a =， 则1PF F ∠是12PF F △的最小内角为30︒，所以22222112112||||||2||||cos30PF PF F F PF F F =+-⋅︒，所以222(2)(4)(2)2422a a c a c =+-⨯⨯⨯，化简得230e -+=，解得e = 6．【答案】B【解析】由题意得，三角形的面积1sin 2S ab C C ==， 所以tan 2C =，所以cos C =， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =． 7．【答案】D【解析】展开合并同类项后，含3x 的项是332221134441C ()C 2C 6x x x x x x ⨯+-+⋅=．8．【答案】A【解析】球心O 到下底面的距离32OO '=，233AO '==所以其外接球的R ==， 所以其外接球的表面积为24π21πR =．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】ABD【解析】对于选项A ，观察5个白色条形图可知，这五年中2015年出口额最少，故A 正确； 对于选项B ，观察五组条形图可得，2015年出口额比进口额稍低，但2016年至2019年出口额都高于进口额，并且2017年和2018年出口额都明显高于进口额， 故这五年，出口总额比进口总额多，故B 正确；对于选项C ，观察虚线折线图可知，2015年到2016年出口增速是上升的，故C 错误；对于选项D ，从图中可知，实线折线图2019年是最高的，即2019年进口增速最快，故D 正确．10．【答案】ACD【解析】球心O到下底面的距离32OO'=，2332AO'=⨯=所以其外接球的R==，所以其外接球的表面积为24π21πR=，A正确；直线AB'与直线BC所成角即直线AB'与直线B C''所成角，在AB C''△中，cosθ==，故B错误；OO'⊥面ABC，得OO BC'⊥，O'为ABC△的重心，则AO BC'⊥，故BC⊥面AOO'，即BC AO⊥，故AO B C''⊥，C正确；根据体积公式可得131(332228O ABCV-=⨯⨯⨯⨯=，D正确．11．【答案】ACD【解析】0ω>，2π2π2π[0,π][,π]333x xωω∈⇒-∈--，设2π3x tω-=进行替换，作cosy t=的图象，在[0,π]上满足3()0f x=的实数3x有且只有3个，即函数cosy t=在2π2π[,π]33ω--上有且只有3个零点，由图象可知3π2π5π232xω≤-<，131966ω≤<，结论D正确；由图象知cosy t=在2π2π[,π]33ω--上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论A正确，结论B错误；π(0,)10x∈时，2π2ππ2π(,)33103xωω-∈--，由131966ω≤<知π2π7π10320ω-<-<，所以cosy t=在2π2π(,)3103xω--上递增，则()f x在π(0,)10上单调递增，结论C正确，综上，正确的是ACD．12．【答案】BD【解析】由已知得5a=，4b=，ccea==，双曲线的渐近线为45y x=±，取线段1PF的中点M，则12|||2|8OP OF OM PF+===u u u r u u u r u u u u r，所以12210PF PF a-==，得118PF=，故12PF F△的面积为26+．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】5，32【解析】展开式的通项为5552215521C()C rr r r rrT xx--+==，令5522r-=，解得1r=，所以展开式中的常数项为125C5T==，令1x=，得到所有项的系数和为5232=，得到结果．14．【答案】43【解析】tan tan()311tan tan[()]1tan tan()1312ααββααβααβ---=--===+-+⨯，∴21242tan 2131()2β⨯==-． 15．【答案】358.5【解析】设被挖去的正方体的棱长为cm x ，圆锥底面半径为r ，则10210x h x x r h --=⇒=，5x =， 所以，制作该模型所需材料质量约为2310.9(π,)0.3π50100.9125358.5g 3m V r h x ρ==-=⨯⨯-⨯=．16．【答案】或 【解析】23a =，21b =，∴2222c a b =-=，c =当2F 为直角顶点时，2F M x ⊥轴，设00)(0)M y y >，M在椭圆上，则2013y +=，解得02y = 当M 为直角顶点时，点M 在以12F F 为直径的圆周上，此圆周的方程是222x y +=，与2213x y +=联立解得x =，y =，∵M在第一象限，则M ， 综上，M放入坐标为3或22． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）4π3；（2）(2,4]． 【解析】（1）∵2(sincos )1sin 122C C C +=+=+，∴sin C = ∵π(0,)2C ∈，∴π3C =， 由正弦定理知：2sin cos 2sin cos 2sin()2sin 2R A B R B A R A B R C c +=+===，∴43232sin 3332c R R C ===⇒=，∴24ππ3S R ==． （2）由余弦定理得222222π22cos 4()3()3()32a b a b ab a b ab a b +=+-⇒=+-≥+-， ∴2()1644a b a b +≤⇒-≤+≤，而在ABC △中，2a b c +>=，∴(2,4]a b +∈． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）45︒． 【解析】（1）由题意底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，1SA AD ==，CD ⊂平面ABCD ，∴SA CD ⊥，∵CD AD ⊥，AD SA A =I ，∴CD ⊥平面SAD ，又∵AM ⊂平面SAD ，∴CD AM ⊥，又1SA AD ==，点M 是SD 的中点，∴AM SD ⊥，∵SD CD D =I ，∴AM ⊥平面SCD ，∵SC ⊂平面SCD ，∴SC AM ⊥．（2）过S 引直线SE ，使SE AB ∥，则SE CD ∥， ∴SE 在平面SAB 内，SE 在平面SCD 内， ∴SE 就是平面SAB 与平面SCD 所成二面角的棱， 由条件知，AB AD ⊥，AB AS ⊥， 已知AS AD A =I ，则AB ⊥平面ASD ，由作法知，SE AB ∥，则SE ⊥平面ASD ，所以AS AE ⊥，SE SD ⊥， ∴ASD ∠就是平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的平面角， 在SAD Rt △中，45ASD ∠=︒，∴在平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的大小等于45︒．19．【答案】（1）18人，频率分布直方图见解析；（2）众数为75分，中位数为75分，平均数为73.5分．【解析】（1）因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60,70)内的频率为110(0.050.0150.0300.0250.010)0.15-++++=，所以第三组[60,70)的频数为1200.1518⨯=人， 完整的频率分布直方图如图：（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点， 从图中可看出众数的估计值为75分；0.050.150.150.350.50++=<，0.050.150.150.300.650.50+++=>，设样本中位数为0x ，则0[70,80)x ∈，00.005100.015100.015100.030(70)0.50x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得075x =；又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为45(100.005)55(100.015)65(100.015)⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯75(100.03)85(100.025)95(100.01)73.5+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=分，所以样本的众数为75分，中位数为75分，平均数为73.5分．20．【答案】（1）1π()2sin()26y f x x ==-；（2）2π[0,]3． 【解析】（1）设(,)Q x y ，00(,)P x y ，由新的运算可得0000ππ(2,2)(,sin )(,0)(2,2sin )33OQ OP x x x x =⊗+=⊗+=+u u u r u u u r m n ，∵(,)OQ x y =u u u r ，∴000π21π3262sin x x x x y x ⎧=+⎪⇒=-⎨⎪=⎩，代入02sin y x =，∴1π()2sin()26y f x x ==-．（2）∵1π1π()2sin()2sin()2626y f x x x =-=--=-+， 由题意，只需求函数1π2sin()26y x =+的单调递增区间，由π1ππ2π2π2262k x k -≤+≤+，k ∈Z 4π2π4π4π33k x k ⇒-≤≤+，k ∈Z ， ∴函数()y f x =-的单调递减区间为4π2π[4π,4π]33k k -+，k ∈Z ， ∴函数()y f x =-在[0,π]x ∈上的单调递减区间为2π[0,]3． 21．【答案】（1）12y =-；（2）16．【解析】（1）曲线2:2x C y =就是抛物线22x y =，它的焦点坐标为1(0,)2F ，存在实数λ使得AF FB λ=u u u r u u u r，则A ，B ，F 三点共线，当直线斜率不存在时，不符合题意； 当直线l 斜率存在时， 设直线AB 的方程为12y kx =+，与22x y =联立消去y ， 整理得2210x kx --=，判别式24(1)0Δk =+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1x ，2x 就是方程2210x kx --=的两实根，122x x k +=，y x '=，切线斜率111|x x k y x ='==，则曲线C 在点211(,)2x A x 处的切线方程是2111()2x y x x x -=-，即2112x y x x =-①， 同理得曲线C 在点B 处的切线方程是2222x y x x =-②，联立①②即可求解两切线交点D 的坐标，①2x ⨯-②22122112112211:()()222x x x x x x x y x x x x ⨯-=-+=-，已知12x x ≠，121x x =-， 所以，上式化简为12y =-（表示水平之嫌，不必求x ）， 所以，两切线交点D 的轨迹方程是12y =-．（2）已知2λ=，在（1）的解答的基础上，1112(0,)2AF FB x y =⇒--u u u r u u u r22121212(0,)222x y x x x x =--⇒-=⇒=-，12112242x x x k x x k=-⎧⇒=⎨+=⎩，22x k =-，代入121x x =-中，解得218k =， 注意到对称性，求四边形ADBE面积，只需取4k =即可，12|||AB x x =-=292(1)4k =+=，设AB 中点为00(,)G x y，则1202x x x k +===200115228y kx k =+=+=， 已知点G 在以EF 为直径的圆周上，则EG GF ⊥，设(0,)E t ，由EG GF ⊥，得0GE GF ⋅=u u u r u u u r ，解得138t =，则13(0,)8E ，将直线AB的方程1042x y -+=化为0x -+=， 则点E 到AB的距离113|04d -+==，所以1119||224432ABE S AB d =⋅=⨯⨯=△， 在（1）的解答种，联立①②消去y 解得122x x x k +==， 则两切线交点坐标为1(,)2D k -，2λ=时，4k =， 此时，点D的坐标为1)2-， D 到AB的距离21|()4d --==，所以21||232ABD S AB d =⋅=△， 又已知D ，E 在AB两侧，所以323216ADBE ABE ABD S S S =+=+=△△． 22．【答案】（1）见解析；（2）2e ．【解析】（1）∵()xf x e a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增； ②当0a >时，由()0f x '=，得ln x a =． 当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2）由题意()0f x ≥对任意的x ∈R 都成立，则(1)xe a x b ≥-+在x ∈R 都成立，在xy e =上任取一点(,)tt e ，∵xy e '=，∴xy e =在点(,)tt e 处的切线方程为()ttttty e e x t y e x te e -=-⇒=-+，若令t a e =，由x e ax a b ≥-+在x ∈R 都成立，只需t ta b te e -+≤-+成立， 即3t ta b e te +≤-成立．令()3t tg t e te =-，()(2)tt g t e t '∈⇒=-R ，令()0g t '=，解得2t =，∴当(,2)t ∈-∞时，()0g t '>，()g t 单调递增； 当(2,)t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减，则222max ()(2)32g t g e e e ==-=，∴2a b e +≤，∴a b +最大值为2e ．。
2020届四川省成都高三开学考试数学(理)试题word版含答案
2020届四川省成都高三开学考试数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷６0分，第Ⅱ卷90分，满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．第I 卷（共６0分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A B A m B m A ===Y },,1{},,3,1{，则m 的值为（ ）A ．0或3B ．0或3C ．0或1或3D ．1或32．若复数()()12a i i ++是纯虚数（i 是虚数单位，a 是实数），则a 等于（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-3．设命题:p 函数x y 2sin =的最小正周期为2π；命题:q 函数x y cos =的图像关于直线2π=x 对称。
则下列判断正确的是（ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．q p ∧为假D ．q p ∨为真4．设2.0log ,3.0,5.03.05.05.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<5．某几何体的正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中四边形都是边长为2的正方形，正视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积为（ ） A ．24B ．2042+C ．2442+D ．2043+ 6．已知向量),sin (),sin ,(x b a 05512011=+=共线，则实数x 的值为（ ） A ．1B ．2C ．02tan 35 D ．0tan 357．若实数,x y 满足20101x y y x x +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，设2,2u x y v x y =+=+，则u v 的最大值为（ ）A ．1B ．54 C ．75D ．2 8．在极坐标系中，点)3,4(πM 到曲线2)3cos(=-πθρ上的点的距离的最小值为（ ）A.2B.4C.6D.8 9．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为12，构造数列{}n a ，使11n n a n ⎧=⎨-⎩，第次正面向上，，第次把反面向上，，记12n n S a a a =+++L ，则20S ≠且82S =的概率为（ ） A ．43128 B ．4364 C ．13128 D ．136410．如图，12,F F 为双曲线C 的左右焦点，且122F F =，若双曲线C 右支上存在点P ，使得12PF PF ⊥，设直线2PF 与y 轴交于点A ，且1APF ∆的内切圆半径为12，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．4 C ．3 D ．2311．已知⎰--=202)212(sin 2πdx x a ，则二项式9)21(axax +的展开式中x 的一次项系数为（ ） A ．1663-B ．1663C ．863-D ．863 12．已知函数()3232f x x x =-+，函数()()2231,0,11,0,2x x g x x x ⎧-++<⎪=⎨⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩则关于x 的方程 ()()00g f x a a -=>⎡⎤⎣⎦的实根个数取得最大值时，实数a 的取值范围是（ ）A ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．51,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. 直方图中的a =_________；14.在如图所示的程序框图中，若输出i 的值是3，则输入x 的取值范围是____________15．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有______．16.定义区间[)(][](,),,,,,,a b a b a b a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，[)(1,2)3,5U 的长度(21)(53)3d =-+-=．用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中x R ∈．设[]{}(),()1f x x x g x x ==-g ，当0x k ≤≤时，不等式()()f x g x <的解集区间的长度为10，则k =____________三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(本小题满分10分) 等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==(I)求{}n a 的通项公式；(II)设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和18．（本小题满分12分）在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c . 已知cos23cos()1A B C -+=.(Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)若△ABC 的面积S =5b =,求sin sin B C 的值.19. （本小题满分12分）某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作． （1）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一 人是甲部门人选的概率是多少？(2)若从所有甲部门人选中随机选3人，用X 表示所选人员中能担任助理工作的人数，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望．20．（本小题满分12分）如右下图，在四棱锥P ABCD -中，直线PA ABCD ⊥平面，//,AD BC AB AD ⊥，224=4.BC AB AD BE ===（I ）求证：直线DE ⊥平面PAC .（II ）若直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为55， 求二面角A PC D --的平面角的余弦值21．（本小题满分12分） 如图，在平面直角坐标系x O y 中，A 和B 分别是椭圆C 1：22221(0)x y a b a b +=>>和C 2：22221(0)m x y m n n+=>>上的动点，已知C 1的焦距为2，且0=⋅OB OA ，又当动点A 在x 轴上的射影为C 1的焦点时，点A 恰在双曲线1222=-x y 的渐近线上． （I ）求椭圆C 1的标准方程； （II ）若n m ,是常数，且211122-=-nm ．证明｜OT ｜为定值。
山东省潍坊市2020届高三数学下学期开学考试试题(含解析)
且 BAC 60 ，则下列说法正确的是（ ）
A. PAB 是钝角三角形
B. 此球的表面积等于 5
C. BC ⊥ 平面 PAC
3 D. 三棱锥 A−PBC 的体积为 2
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据余弦定理可得底面为直角三角形，计算出三棱锥的棱长即可判断 A，找到外接球的球心
求出半径即可判断 B，根据线面垂直判定定理可判断 C，根据椎体的体积计算公式可判断 D.
9 D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是 49
【答案】BD 【解析】
【分析】
1 根据对立事件的概念可判断 A；直接根据组合的意义可判断 B；乙同学选技术的概率是 3 可 判断 C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断 D. 【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故 A 错误； 由于甲必选物理，故只需从剩下 6 门课中选两门即可，即 C62 15 种选法，故 B 正确；
M 总数 N 约为 1080.则下列各数中与 N 最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A. 1033 C. 1073 【答案】D
B. 1053 D. 1093
【解析】
M x 3361
试题分析：设 N
1080
，两边取对数，
lg x
lg 3361 1080
lg 3361 lg1080
361 lg 3 80 93.28 ，所以 x
则
4
4
2 ，再根据题图知 FO FC ，即
a b a2 b2
2
2 ．故本题答案选Ｄ．
(0, ),
8.设
2
(0, ), tan 2且
1 sin cos
,
2021-2022年高三8月开学测试数学含答案
2021-2022年高三8月开学测试数学含答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）已知函数，则下列结论正确的是（A）是偶函数（B）在上是增函数（C）是周期函数（D）的值域为（4）已知函数，. 若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（5）已知向量的夹角为，且，，则（A）（B）（C）（D）（6）函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）（7）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（A）（B）（C）（D）（8）对于函数，若存在非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则称为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是（A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） 已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则 .（10）设，，，若∥，则 .（11）已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则不等式的解集为 .（12）在中，内角所对的边分别是. 已知，，则的值为 .（13）已知菱形的边长为，，点分别在边上，，. 若，则的值为 . （14）若集合，且下列四个关系：① ； ② ； ③ ； ④ .有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是 .三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值. （16）（本小题14分）在中，内角所对的边分别是. 已知，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积.（17）（本小题13分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：① 假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数； ② 若花店一天购进枝玫瑰花，以天记录的的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，【文科学生继续做】 求当天的利润不少于元的概率.【理科学生继续做】 求当天的利润（单位：元）的分布列与数学期望.（18）（本小题14分） 设函数，.（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求的极小值； （Ⅱ）讨论函数零点的个数.（19）（本小题13分） 设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-，且. 曲线在点 处的切线的斜率为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若存在，使得，求的取值范围.（20）（本小题13分） 已知椭圆：（）的焦距为，且过点. （Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；（Ⅱ）设（）为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为. 取点，连接. 过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点.试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.xx第一学期第一次练习高三数学试卷答案（考试时间120分钟满分150分）第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）解：，，选A.（2）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解法一：按的符号分类讨论解法二：构造函数，利用在上为增函数，选C.（3）已知函数，则下列结论正确的是（A）是偶函数（B）在上是增函数（C）是周期函数（D）的值域为解：作出的图象，选D.（4）已知函数，. 若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）解：作出函数的图象，易得. 选B.（5）已知向量的夹角为，且，，则（A）（B）（C）（D）解：，，224141cos4510b b︒⨯-⨯⋅+=，，. 选D.（6）函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）解：令，得. 转化为与的交点个数，画出它们的图象，知有两个交点. 选B.（7）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（A ） （B ） （C ） （D ）解：，()()24f x x πϕϕ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦，令，再取，得，.当时，得的最小正值是. 选C. （8）对于函数，若存在非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则称为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是（A ） （B ） （C ） （D ）解：由题设知的图象关于直线（非轴）对称，选D.第II 卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则 .解：. . （10）设，，，若∥，则 .解：，，由题设知，， .（11）已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则不等式的解集为 .解法一：代数法解法二：图象法，解集为.（12）在中，内角所对的边分别是. 已知，，则的值为 .解：由及正弦定理得，即. 又，故.所以()2222223212cos 32422c c c b c a A bc c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===-⋅⋅.（13）已知菱形的边长为，，点分别在边上，，. 若，则的值为 .解法一：以为基底..解法二：分别以为轴，建立平面直角坐标系. 用坐标法解. （14）若集合，且下列四个关系：① ； ② ； ③ ； ④ .有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是 .解：分类讨论（1）若 ① 真，则 ② ③ ④ 均假. 即，，，. 于是，矛盾！ （2）若 ② 真，则 ① ③ ④ 均假. 即，，，. 此时有个解： 与.（3）若 ③ 真，则 ① ② ④ 均假. 即, ,,. 此时有个解： .（4）若 ④ 真，则 ① ② ③均假. 即,,,. 此时有个解：()()()5,2,1,0,1,2,5,0,0,2,5,1.故符合条件的有序数组的个数是.三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值.()()113AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111333AB AD AD AB AB AB AD AD λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222111102212cos120213333λλλ︒⎛⎫=+++=-= ⎪⎝⎭解：（Ⅰ）()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭21cos sin 224x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 224x x x =-+ 2分)1sin 21cos 24x x =++ 4分6分 的最小正周期为. 7分 （Ⅱ）5121sin 24463632x x x ππππππ⎛⎫-≤≤⇒-≤-≤⇒-≤-≤ ⎪⎝⎭ 9分 当，即 时，取最小值； 11分当， 即 时，取最大值. 13分（16）（本小题14分）在中，内角所对的边分别是. 已知，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积.解：（Ⅰ）因，故sin 3A ===. 2分因，故sin sin cos 23B A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭. 4分由正弦定理，得3sin sin a Bb A⨯=== 6分（Ⅱ）cos cos sin 23B A A π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭. 8分 ()()sin sin sin C A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦ 10分sin cos cos sin A B A B =+ 11分13⎛=+= ⎝⎭. 12分的面积为111sin 3223ab C =⨯⨯= 14分（17）（本小题13分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：① 假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数； ② 若花店一天购进枝玫瑰花，以天记录的的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，【文科学生继续做】 求当天的利润不少于元的概率.【理科学生继续做】 求当天的利润（单位：元）的分布列与数学期望. 解：（Ⅰ） ，. 5分（Ⅱ）① 平均数为551065207516855476.4100⨯+⨯+⨯+⨯=. 8分②【文科学生继续做】利润不少于元当且仅当日需求量不少于枝，所求概率为. 13分 ②【理科学生继续做】 . ，，，.550.1650.2750.16850.5476.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 13分（每个结果各1分）（18）（本小题14分） 设函数，.（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求的极小值； （Ⅱ）讨论函数零点的个数.解：（Ⅰ）当时，，其定义域为. 1分2分令，. 3分5分故当时，取得极小值. 6分（Ⅱ）()()322133333x m x x m x g x f x x x x--'=-=--=，其定义域为. 7分 令，得. 8分设，其定义域为. 则的零点为与的交点. 9分()()()2111h x x x x '=-+=-+-故当时，取得最大值. 11分 作出的图象，可得① 当时，无零点； 12分 ② 当或时，有且仅有个零点； 13分 ③ 当时，有两个零点. 14分（19）（本小题13分） 设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-，且. 曲线在点 处的切线的斜率为. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若存在，使得，求的取值范围.解：（Ⅰ）， 2分 由曲线在点处的切线的斜率为，得， 3分即，. 4分 （Ⅱ）由，得()21ln 2a f x a x x x -=+-. ()()()()()211111x a x a a x x a a f x a x x x x---⎡⎤--+⎣⎦'=+--==5分令，得，. 6分① 当时，，在上，，为增函数，()()()min 111122a a f x f ---==-=， 令，即，解得. 8分② 当时，，不合题意，无解. 10分③ 当时，，符合题意. 12分 综上，的取值范围是()()11,+∞. 13分（20）（本小题13分）已知椭圆：（）的焦距为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；（Ⅱ）设（）为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为. 取点，连接. 过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点.试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.解：（Ⅰ）由题设，得22224231a b a b⎧=+⎪⎨+=⎪⎩， 2分 解得，故椭圆的方程为. 4分离心率. 5分（Ⅱ）由题意知点. 设点，则，又， 由，得，，. 7分由点是点关于轴的对称点，得点. 8分()()()2min ln 112111a a a a a f x f a a a a a a ⎛⎫==++> ⎪-----⎝⎭直线的斜率为000200088y x y x x x =--因点在椭圆上，故，即.于是直线的斜率为，其方程为. 10分 联立方程组2200018482x y x y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩ ，11分 代入消元得 ()2222000021664160x y x x x y +-+-=，利用，化简得. 12分因，故方程组有两组相同的实数解，所以直线与椭圆相切. 13分28063 6D9F 涟21727 54DF 哟20557 504D 偍27978 6D4A 浊Cu H37717 9355 鍕39056 9890 颐24406 5F56 彖t37270 9196 醖$。
2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学数学试题
绝密★启用前 2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则A B =I （ ） A ．{|2}x x >- B ．{|12}x x << C ．{|12}x x ≤< D ．R 2．设,a b r r 是非零向量，则“存在实数λ，使得λa b =r r ”是“a b a b +=+r r r r ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知平面向量a ⃗,b ⃗⃗的夹角为60°,a ⃗=(√3,1),|b ⃗⃗|=1则|a ⃗+2b ⃗⃗|=（ ） A ．2 B ．√7 C ．2√7 D ．2√3 4．为了得到函数sin cos y x x =+的图像，只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点（ ）． A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度 5．下列函数中，同时满足：①图像关于y 轴对称；②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-的是（ ） A ．()1f x x -= B ．()2log f x x = C ．()cos f x x = D ．()12x f x += 6．已知平面l αβ=I ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是（ ）外…………○……………………………线…※※请※※线※※答※※题内…………○……………………………线…A ．若//m β，则//m l B ．若//m l ，则//m β C ．若m β⊥，则m l ⊥ D ．若m l ⊥，则m β⊥ 7．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A ．46B ．44C ．42D ．408．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A ．有最小值32 B ．有最大值52 C ．为定值3 D ．为定值2第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明…………装…………订…………○…校:___________姓名：___________考号：___________…………装…………订…………○…二、填空题 9．在复平面内，复数21i i -对应的点到原点的距离为_________． 10．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b a c B ===，则ABC △的面积为__________. 11．某三棱锥的三视图如图所示，则在该三棱锥表面的四个三角形中，等腰三角形的个数为______.12．已知120,0,21,x y x y x y >>+=+的最小值是_______. 13．如图所示，平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=︒，E 是DC 中点，那么向量AC u u u r 与EB u u u r 所成角的余弦值等于______. 14．已知函数()22,1ln ,1x ax x f x a x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩. ①当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，见实数a 的取值范围是______； ②若函数()f x 的最大值为1，则a =______. 三、解答题 u r○…………装………○…………※※请※※不※※要答※※题※※ ○…………装………○…………向量n r =(cosB ，—sinB),且m n ⋅=v v 3.5- (1)求sinA 的值； (2)若5,a b ==求角B 的大小及向量BA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影. 16．已知某校中小学生人数和近视情况分别如图所示.为了解该校中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方式从中抽取一个容量为50的样本进行调查.（1）求样本中高中生、初中生及小学生的人数；（2）从该校初中生和高中生中各随机抽取1名学生，用频率估计概率，求恰有1名学生近视的概率；（3）假设高中生样本中恰有5名近视学生，从高中生样本中随机抽取2名学生，用X 表示2名学生中近视的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2．（1）求证：//EF 平面1A BD ；（2）求证：平面1AOB ⊥平面1A OC ；（3）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．18．已知函数ln 1()x f x ax x -=-.（Ⅰ）当2a =时,（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;（ii ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12a <<,求证:()1f x <-. 19．已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]1.21=，[]1.22-=-，[]11=.对于函数()f x ，若存在m R ∈且m Z ∉，使得()[]()f m f m =，则称函数()f x 是“和谐”函数. （1）判断函数()213f x x x =-，()sin g x x π=是否是“和谐”函数；（只需写出结论） （2）设函数()f x 是定义在R 上的周期函数，其最小周期为T ，若()f x 不是“和谐”函数，求T 的最小值. （3）若函数()a f x x x =+是“和谐”函数，求a 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集.【详解】由24x <解得22x -<<，故{}|12A B x x ⋂=<<，故选B.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．B【解析】【分析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可.【详解】存在实数λ，使得λa b =r r ，说明向量,a b r r 共线，当,a b r r 同向时，a b a b +=+r r r r 成立，当,a b r r 反向时，a b a b +=+r r r r 不成立，所以，充分性不成立. 当a b a b +=+r r r r 成立时，有,a b r r 同向，存在实数λ，使得λa b =r r 成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得λa b =r r ”是“a b a b +=+r r r r ”的必要而不充分条件.故选B .【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．D【解析】|a ⃗+2b ⃗⃗|=√(a ⃗+2b ⃗⃗)2=√a ⃗2+4a ∙⃗⃗⃗⃗⃗b ⃗⃗+4b ⃗⃗2=√4+4×2×1×12+4=2√3 ，故选D.4．C【解析】由πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，πsin cos 4y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 因此，为了得到sin cos y x x =+的图像，只需将sin cos y x x =-的图像上所有的点向左平移π2个单位长度． 故选C ．点睛：对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.5．B【解析】【分析】根据题意得到()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞为增函数.依次判断选项的奇偶性和单调性即可.【详解】由题知：①图像关于y 轴对称，则()f x 为偶函数，②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-， ()f x 在(0,)+∞为增函数.A 选项：()1f x x -=，()f x 为奇函数，故A 错误.B 选项：()2log f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞为增函数，故B 正确.C 选项：()cos f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞有增有减，故C 错误.D 选项：()12x f x +=，()f x 为非奇非偶函数，故D 错误.故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握初等函数的单调性和奇偶性为解题的关键，属于简单题.【解析】【分析】通过线面垂直的性质和判定可知A，B正确，由线面垂直的性质可知C正确，由线面垂直的判定可知D错误.【详解】A选项：由线面平行的性质可知A正确.B选项：由线面平行的判定可知B正确.C选项：由线面垂直的性质可知C正确.D选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故D错误.故选：D【点睛】本题主要考查线面平行的判定及性质，同时考查了线面垂直的判定及性质，属于简单题. 7．B【解析】【分析】先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字.【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，则上列情况能表示的三位数字个数分别为：2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：++++++++++++++=.22242444442242244故选B.【点睛】本题考查分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能力.【解析】【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D 1FBE 的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D 1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图． 所以在后面的投影的面积为S 后=1×1=1， 在上面的投影面积S 上=D'E'×1=DE×1=DE ， 在左面的投影面积S 左=B'E'×1=CE×1=CE ，所以四边形D 1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1+DE+CE=1+CD=2． 故选D ． 【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．9 【解析】 【分析】由题意首先化简所给的复数，然后结合其所对应的点即可求得其到原点的距离. 【详解】22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，则该复数对应的点为()1,1-，，.【点睛】本题主要考查复数的除法及其应用，属于基础题.10．【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算． 11．2 【解析】 【分析】将三棱锥的三视图还原直观图，计算长度即可得到等腰三角形的个数 【详解】将三棱锥的三视图还原其直观图如图所示，由图知：ABD △和BCD V 为等腰三角形. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查三视图，将三视图还原其直观图为解题关键，属于简单题. 12．8 【解析】 【分析】利用21,x y +=由12422y xx y x y x y ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得结果.【详解】因为0,0,21,x y x y >>+=所以12422y x x y x y x y ⎛⎫++=++⎪⎝⎭4448≥+=+=, 当且仅当12x y=时等号成立， 所以12x y+的最小值是为8，故答案为8.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.13【解析】 【分析】首先利用向量的加减法将AC u u u r ，EB u u u r分别用AB u u u r 和AD u u u r 表示，再利用利用向量夹角公式计算即可. 【详解】由题知：AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r，222124122172AC AB AD AB AD =++=++⨯⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g .11()()22EB AB AE AB AD DE AB AD AB AB AD =-=-+=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .222111121142EB AB AD AB AD =+-=+-⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g .2211111()()2122222AC EB AB AD AB AD AB AB AD AD =+-=--=--=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g .1cosAC AE AC AE AC AE<>===u u u r u u u ru u u r u u u r g g u u u r u u u r .【点睛】本题主要考查向量的线性运算和夹角公式，同时考查了学生的转换能力，属于中档题. 14．(,1)-∞ ±1 【解析】 【分析】①首先求出当1x <时()f x 的极值点，根据题意即可得到a 的取值范围.②分别讨论当0a =，0a <和0a >时，求出函数()f x 的最大值，比较即可求出a 的值. 【详解】①当1x <时，2()2f x x ax =-+.()22f x x a '=-+，令()0f x '=，解得x a =.因为函数()f x 在(,1)-∞有且只有一个极值点， 所以1a <.②当0a =时，2,1()0,1x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，此时max ()0f x =，舍去.当0a <时，1x ≥，ln ()0a xf x x=<. 1x <，222()2()f x x ax x a a =-+=--+.2max ()()f x f a a ==.所以21a =，因为0a <，所以1a =-. 当0a >时，1x ≥，ln ()a x f x x=.2(1ln )()a x f x x -'=， 令()0f x '=，解得a e =.[1,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数. max ()()af x f e e==. 1x <，222()2()f x x ax x a a =-+=--+.2max ()()f x f a a ==.当2a a e ≥时，即1a e≥，2max ()1f x a ==，解得1a =. 当当2a a e <时，即10a e<<，max ()1a f x e ==，解得a e =，舍去.综上所述：1a =±.故答案为：①(,1)-∞，②±1 【点睛】本题主语考查利用导数求含参函数的极值点和最值，分类讨论是解题的关键，属于难题.15．（1）4sin 5A =；（2）4B π=,2. 【解析】 【分析】（1）由3·5m n =-r r，进行数量积的坐标运算，化简易得3cos 5A =-，从而可得sin A ；（2）由正弦定理求出sin B ，可得B ．再由余弦定理求出c 的值，所以BA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影值为·cos BA BC c B BC =u u u v u u u v u u u v ，可求． 【详解】（1）由3·5m n =-r r，得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，得3cos 5A =-；又0A π<<，所以4sin 5A ==；（2）由正弦定理得sin sin a b A B =，得sin B ，得4B π=；由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2223525()5c c =+-⨯⨯⨯-， 解得1c =或7c =-（舍去）；BA u u u r 在BC uuur 方向上的投影值为·cos 2BA BC c B BC ==u u u v u u u v u u u v ． 考点：向量的数量积的坐标运算，正余弦定理,投影的概念． 16．（1）10，20，20，（2）0.5 （3）分布列见解析，()1E X = 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样计算高中生、初中生及小学生的人数即可.（2）首先设事件A 为“从该校初中生抽取1名学生是近视”，事件B 为“该校高中生抽取1名学生是近视”，分别计算出()P A ，()P B ，再利用概率公式()()()P AB AB P AB P AB +=+()()()()P A P B P A P B =+计算即可.（3）先求出X 的所有取值及对应的概率，列出分布列，计算数学期望即可. 【详解】（1）采用分层抽样，样本容量与总体容量的比为：50:10001:20=， 所以样本中高中生、初中生及小学生的人数分别为：10，20，20. （2）设事件A 为“从该校初中生抽取1名学生是近视”， 事件B 为“该校高中生抽取1名学生是近视”.由题意知：()0.3P A =，()0.5P B =，故所求概率为()()()P AB AB P AB P AB +=+()()()()P A P B P A P B =+. 故所求概率为：0.30.50.70.50.5⨯+⨯=. （3）随机变量X 的所有可能取值为：0，1，2.()25210209C P X C ===，()1155210519C P C X C ⋅===， ()25210229C P X C ===.所以随机变量X 的分布列为：所以()2520121999E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题第一问考查分层抽样，第二问考查概率的加法公式，第三问考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.17．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）取线段1A B 的中点H ，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形DEFH 为平行四边形，即得//EF HD ．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得1A O DE ⊥．再根据面面垂直性质定理得1A O ⊥平面BCED ，即得1CO A O ⊥，根据勾股定理得CO BO ⊥，所以由线面垂直判定定理得 CO ⊥平面1A OB ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，则EO EC =，与条件矛盾. 试题解析：解：（1）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ．因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形，所以 //EF HD ． 因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD ． （2）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =． 所以11A D A E =，又O 为DE 的中点， 所以 1A O DE ⊥．因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，所以 1CO A O ⊥．在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC == 所以 CO BO ⊥，所以 CO ⊥平面1A OB ，所以 平面1AOB ⊥平面1A OC ． （3）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． 否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ， 连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得G 为OC 的中点． 在△EOC 中，因为OC GE ⊥，所以EO EC =，这显然与1EO =，EC =所以线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．18．（Ⅰ）（i ）3y =-，（ii ）递增区间是()0,1,递减区间是()1,+∞；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）（i ）求出()222ln 2'x x f x x--=,求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（ii ）分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（Ⅱ）先利用导数证明ln 10x x -+≤,则ln 1x x ≤-，再利用二次函数的性质证明2220ax x -+>，则211ax x x -+>-，从而可得结论.试题解析：（Ⅰ）当2a =时,()ln 12x f x x x-=-,定义域为()0,+∞ ()2222ln 2ln 22=x x x f x x x---=-' （i ）()112=3f =---()122=0f ='-所以切点坐标为()1,3-,切线斜率为0 所以切线方程为3y =-（ii ）令()22ln 2g x x x =--,()140g x x x-'=-<所以()g x 在()0,+∞上单调递减,且()1=0g 所以当()0,1x ∈时,()0g x >即()0f x '> 所以当()1,+x ∈∞时,()0g x <即()0f x '<综上所述,()f x 的单调递增区间是()0,1,单调递减区间是()1,+∞. (Ⅱ)方法一:()1f x <-,即ln 11x ax x--<- 设()ln 11(0)x h x ax x x-=-+>()2222ln ln 2x ax x h x a x x ---+=-=' 设()2ln 2x ax x ϕ=--+()212120ax x ax x xϕ--=--=<'所以()x ϕ'在()0,+∞小于零恒成立 即()h x '在()0,+∞上单调递减 因为12a <<所以()120h a ='->,()20h e a =-<'所以在()21,e 上必存在一个0x 使得()20002ln 2=0ax x h x x --+=' 即200ln =2x ax -+所以当()00,x x ∈时,()0h x '>,()h x 单调递增 当()0,+x x ∈∞时,()0h x '<,()h x 单调递减 所以()()0000ln 11max x h x h x ax x -==-+ 因为200ln =2x ax -+所以()2000021ax x h x x -++=令()0=0h x得0x =因为12a <<,所以104a <,114a+< 因为()201,x e ∈,所以()00h x <恒成立 即()0h x <恒成立综上所述,当12a <<时,()1f x <-方法二:()f x 定义域()0,+∞为了证明()1f x <-,即ln 11x ax x--<- 只需证明2ln 1x ax x --<-,即2ln 1x ax x <-+令()ln 1(0)m x x x x =-+>则()11m x x'=- 令()0m x '>,得01x <<令()0m x '<,得1x >所以()m x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减所以()()10max m x m ==即ln 10x x -+≤,则ln 1x x ≤-令()222n x ax x =-+因为12a <<,所以=480a ∆-<所以()0n x >恒成立即2220ax x -+>所以211ax x x -+>-综上所述,2ln 1x ax x <-+即当12a <<时,()1f x <-.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-.19．（1）()213f x x x =-是“和谐”函数，()sing x x π=不是“和谐”函数.（2）最小值为1.（3）0a >且*k N ∀∈，2a k ≠且()1a k k ≠+【解析】【分析】（1）根据“和谐”函数的定义即可判断()213f x x x =-，()sing x x π=是否是“和谐”函数.（2）根据周期函数的定义，结合“和谐”函数的条件，进行判断和证明即可.（3）根据“和谐”函数的定义，分别讨论0a =，0a <和0a >时，满足的条件即可.【详解】（1）由题知：()213f x x x =-是“和谐”函数， ()sing x x π=不是“和谐”函数.（2）T 的最小值为1.因为()f x 是以T 为最小正周期的周期函数，所以()()0f T f =.假设1T <，则[]0T =，所以[]()()0fT f =，矛盾. 所以必有1T ≥，而函数()[]l x x x =-的周期为1，且显然不是“和谐”函数，综上，T 的最小值为1.（3）当函数()a f x x x=+是“和谐”函数时， 若0a =，则()f x x =显然不是“和谐”函数，矛盾.若0a <，则()2'10a f x x =->， 所以()f x 在(),0-∞，()0,∞+上单调递增，此时不存在(),0m ∈-∞，使得()[]()f m fm =， 同理不存在()0,m ∈+∞，使得()[]()f m f m =，又注意到[]0m m ≥，即不会出现[]0m m <<的情形，所以此时()a f x x x=+不是“和谐”函数. 当0a >时，设()[]()f m fm =， 所以[][]a a m m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠， 当0m >时，因为[][]1m m m <<+，所以[][][][]()21m m m m m <<+， 所以[][][]()21m a m m <<+.当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以[][][][]()21m m m m m >>+， 所以[][][]()21m a m m >>+.记[]k m =，综上，我们可以得到“0a >且*k N ∀∈，2a k ≠且()1a k k ≠+”.【点睛】本题主要考查函数的新定义和函数的周期性，同时考查了学生的运算和推理能了，综合性较强，属于难题.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
即
k
ex x2
在
x
0
时没有变号零点，令
g
x
ex x2
，
x
0
，则
gx
ex
x
x3
2
，
当 x 2 时， g x 0 ，函数单调递增，当 0 x 2 时， g x 0 ，函数单调递减，
故当 x 2 时， g x 取得最小值 g 2 e2 ，故 k e2 即 k e2 ．
4
4
4
17：
18：
50.12 7 41.54 140 7 42
7 0.25 ． 28
i 1
把 (4,1.54) 代入 v lg c x lg d ，得 lg c 0.54 ，
∴ vˆ 0.54 0.25x ，∴ lg yˆ 0.54 0.25x ，
∴ yˆ 100.540.25x 3.47 100.25x ，
， AM 0,1,
2 2
，
AP
0, 0,
2
，
设平面 MAC 的法向量 n x, y, z ，
AC
n
2x y 0
则
AM
n
y
2 z 0 ，令 y
2 ，则 x 1 ， z 2 ，n 1,
2, 2 .
2
PA 平面 ABCD ， AP 为平面 ACD 的一个法向量，
故最多能生产 12 千件产品．
22：【详解】(Ⅰ) (i) 当 k=6 时， f x x3 6ln x ， f ' x 3x2 6 .可得 f 1 1， f '1 9 ，
x
所以曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 y 1 9 x 1 ，即 y 9x 8.
(ii) 依题意， g x x3 3x2 6ln x 3 , x 0, .
cos AP, n
AP n
AP n
2 2
2 7
27 7
，
二面角 M AC D 为锐二面角，二面角 M AC D 的余弦值为 2 7 . 7
生 中 高 彩 精 ：
21：（1）根据散点图判断，y c d x 适宜作为非原料总成本 y 关于生产该产品的数量 x 的回归方程类型．
x
从而可得
g
'x
3x2
6x
6 x
3 x2
，整理可得：
g ( x)
3(x
1)3 ( x x2
1)
，
令 g ' x 0 ，解得 x 1.
当 x 变化时， g ' x, g x 的变化情况如下表：
x
0,1
x 1
1,
g ' x
0
g x
单调递减 极小值
单调递增
所以，函数 g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为 g(1)=1，无极大值.
生 中 高 彩 精 ：
（Ⅱ）证明：由 f (x) x3 k ln x ，得 f (x) 3x2 k . x
对任意的 x1,
x2 [1, ) ，且 x1
x2 ，令
x1 x2
t
(t 1) ，则
x1 x2 f x1 f x2 2 f x1 f x2
（2）由 y c d x ，两边同时取常用对数得 lg y lg c d x lg c x lg d ．
设 lg y v ，∴ v lg c x lg d ，
7
∵ x 4, v 1.54, xi2 140 ，
i 1
7
∴ lg d
i 1 7
xivi 7xv xi2 7x 2
即 y 关于 x 的回归方程为 yˆ 3.47100.25x ．
（3）设生产了 x 千件该产品.则生产总成本为 g(x) 3.47100.25x x 101000 ．
又 g(x) 3.47 100.25x 10000x 在其定义域内单调递增，且 g(12) 3.47 103 120000 123470 ，
x1
x2
3x12
k x1
3x22
k x2
2
x13
x23
k
ln
x1 x2
x13
x23
3x12 x2
3x1x22
k
x1 x2
x2 x1
2k
ln
x1 x2
x23
t3 3t2 3t 1
k
t
1 t
2
ln
t
.
①
令 h(x) x 1 2ln x, x [1, ) . x
———————————————————————————————————————————— 19：
生 中 高 彩 精 ：
20：解：（1）如图，取 AP 的中点 E ，连接 BE, EM . E, M 分别为 PA, PD 的中点， EM // 1 AD ，
2 又 BC//AD 且 AD 2BC ，EM //BC ，四边形 BCME 为平行四边形， BE//CM ，又 CM 平面 PAB ， BE 平面 PAB ，MC// 平面 PAB .
k
t
1 t
2
ln
t
t3 3t2 3t 1
3
t
1 t
2
ln
t
t3 3t2 6 ln t 3 1.
②
t
由(Ⅰ)(ii)可知，当 t 1时， g t g 1 ，即 t3 3t2 6ln t 3 1，
t
故 t3 3t2 6 ln t 3 1 0 ③ t
由①②③可得 x1 x2 f x1 f x2 2 f x1 f x2 0 .
参考答案 1~8：BBCAC CCB 9~12：ABC ABD ACD ACD
13：−26； 14：−2； 15： 1 , 3 ； 16：[− e2 , +∞)
38
4
16
题：函数定义域 0, ，
f
x
x2ex
2xex kx2 x 2 ，
x3
由题意可得， x 2 是 f x 0 唯一的根，故 ex kx2 0 在 0, 上没有变号零点，
当
x>1
时，
h (x)
1
1 x2
2 x
1
1 x
2
0
，
由此可得 h x 在1, 单调递增，所以当 t>1 时， ht h1 ，即 t 1 2ln t 0 .
t
因为 x2 1， t3 3t2 3t 1 (t 1)3 0 ， k 3 ，
所以 x23
t3 3t2 3t 1
（2）由题意知： PA, AB, AD 两两垂直，以 A 为坐标原点， AB, AD, AP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、
z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则 A0,0,0 ， D 0, 2,0 ， C
2,1, 0
， M 0,1,
2 2
，
P
0, 0,
2
，
AC
2,1, 0