第一章 电力网络分析的一般方法

树(Tree)和树支(Tree Branches，Twigs):具有N+1个节点，
b条支路的连通图G的一个连通子图Gi，它包含G中的所有节
点，但不包含任何回路，则该连通子图Gi称为图G的一棵树。 树中所含的支路称为树支，它一定只具有N条，即树支数一
定为N。
补树(Co tree)和连支(Link):包含所有存在于图G(有N+1个 节点，b条支路)中而不存在于其对应的树Gi中的支路的子图 称为图G的树Gi的补树，补树中所含的支路称为连支，连支 数一定为b-N。 对于一个具体图G来说，其树的选定有任意性，即可以有多 种选择，但一旦选定以后，则树支和连支就有确定性。
Z Y 1
称为节点阻抗矩阵.
1.4.2 回路网络方程
ub e s z b ( i b i s )
Bub 0 B i l i b
T
Bzb BTi l B(es z b i s )
z b i s e s
e l B(e s e ) s
Zl i l e l
回路电流 列矢量
节点电压 列矢量
1.2.5
道路-支路关联矩阵
1.3
1.3.1
电力网络支路特性的约束
一般支路及其退化
uk ek zk (ik isk ) ik isk yk (uk ek）
uk zk (ik isk ) ik isk yk uk
uk＋ek zk ik ik yk (uk ek )
1.2.4 基尔霍夫定律的表达 1.KCL表达 支路电流 传统表达： ii 0 列矢量 i j 节―支关联矩阵表达：Aib 0 T 回－支关联矩阵表达：B i l i b 2.KVL表达 支路电压 传统表达： ui 0 列矢量 il Bu 回－支关联矩阵表达： b 0 节―支关联矩阵表达： Tun ub A
Zl Bzb BT
Yl e l i l
Yl Z
1 l
回路阻抗矩阵
1.4.3 割集网络方程 1.4.4 基于道路的回路网络方程
1.5 关联矢量与支路的数学描述
1.5.1 一般无源支路的数学描述 在有N个独立节点的网络中的正弦稳态分析中，N个节点的电 压为复数矢量(N×1维)，支路k与独立节点i和j关联，导纳参 数为yk,规定支路k的正方向从i指向j. 则其关联矢量为:
连通图(Connected Graph):图G中任何一对节点之间至少有 一条路径，则该图为连通图。 有向图(Oriented Graph):图G中的每一个支路都有规定的方 向，电力网络一般均抽象成有向的连通图。 子图(Sub graph):图Gi的边集和节点集均属于图G的边集和 节点集，并为其子集，则图Ci为图G的子图。
电力网络分析的四个基本步骤：
（1）建立电力网络元件的物理与数学模型；
（2）建立电力网络的数学模型；
（3）选择合理的数值计算方法；
（4）电力网络问题的计算机求解。
1.2
电力网络的拓扑约束
1.2.1 图的概念和一些基本定义 研究网络的拓扑约束时，与网络元件的特性，即具体的支路 参数无关，可以把网络的联结关系抽象成一个图(Graph)。 图(Graph):抽象支路和节点的集合，它反映节点与支路之间 的关系。 节点(Node)或顶点(Vertex)：是支路端点的抽象，也是支路 的连接点。 支路(Branch)，亦称边(Edge)：是二端电路元件的抽象，一 条支路有两个端点，即它与两个节点关联[不包括自回路 (Self-Loop))．
k 1 k 1
b
b
若支路是是并联支路，它与独立节点i和参考节点关联，则其 关联矢量为:
M k [01 0]T
1 i N
1.5.2 广义关联矢量和变压器/移相器支路的数学描述
对于含有非标准变比的变压器支路，经常采用经过变换的 π型等值电路，即用三条支路来描述，把变比含在支路参 数中，对于移相器支路则要用一个有源的π型等值电路来 描述。这种方法不简捷，也不太直观。 将关联矢量和关联矩阵加以推广，用广义关联矢量和广义关联
1 0 0 0 0
回(基本回路)――支(路)关联矩阵B

由于基本回路中仅包含一条连支，基本回路数等于连支数， 可以加以适当的安排，上述的图G有下列形式的回—支关联 矩阵：支路处于回路中，元素为非零，方向与参考方向一 致为1，否则为－1。
割―支关联矩阵Q

由于基本割集仅包含一条树支，上述的图G有下列 形式的割――支关联矩阵Q ：支路处于割集内，元 素为非零，方向一致为1，否则为－1。
基本回路(Basic Loop):每一个回路必然包含不少于一条连
支，只包含一条连支的回路称为基本回路。对于一个连通图 G来说，基本回路数必然与其连支数相对应。 割集(Cut set)和基本割集(Basic Cut set)：连通图G中的 一组支路的最小集合，它把图G分割成两个互不连通的子图
(其中一个子图可以是一个孤立的节点)，这个支路集合称为
2．网络拓扑的约束与基尔霍夫定律
网络拓扑的约束反映网络中各元件，即各支路之间的联结关 系。它与元件的特性，即与各支路的参数无关，因此，当不 考虑网络中各支路的参数时，网络可以抽象成一些抽象的支 路和由它们联结成的节点。 对于节点j(包括广义节点)，与节点j相关联的各支路电流ii 之间符合基尔霍夫电流定律:
Mk [01 10]T
1 i j N
支路k的电压为: MT VN k
根据欧姆定律： k Ik Mk yk MTVN M k
关联矢量Mk描述了支路k在网络中的联结关系，并在已知 节点电压的条件下，通过网络方程，可以求得支路电流。
对所有无源支路求和
M k I k I N ( M k yk MT )VN YVN k
uk ek zk (ik isk ) ik isk yk (uk ek）
若网络内所有支路之间不存在互感，则zb和yb是对 角线矩阵，对角线元素即是对应的支路阻抗zk和支 路导纳yk，若支路之间存在互感，则zb在相应于互 感支路相关的位置上存在非对角线的非零元素。 由于网络的支路方程和原始阻抗(导纳)矩阵仅表达 了支路电压和支路电流之间的关系，并未涉及支路 之间的联结关系，所以它仅是网络支路特性约束的 表达形式。
矩阵来描述含有非标准变比的变压器和移相器支路，可以简单
dL j i j dt
uj
欧姆定律
Байду номын сангаас
1 电容： i j dt u j Cj t
Vk zk I k
线性支路与线性元件：参数Rj，Lj，Cj与电气量和 时间无关，组成该元件的支路均为线性支路，则该 元件为线性元件；
线性网络：网络中所有元件均为线性元件，则该网 络称为线性网络； 非线性网络：若网络中至少包含了一个非线性支路， 即该支路的参数是电气量的函数，则该网络是非线 性网络。


电力网络的电气运行性能受到两个约束，即元件特 性的约束和联结关系的约束(拓扑约束)。
1．元件特性的约束与欧姆定律

电力网络元件的电气特性：用一条或几条等值支路来表示，支路的参 数(R，L，C)是元件特性的表现，它制约着支路电压u和支路电流i之间 的关系。
电阻： 电感：
R ji j u j
第1章 电力网络分析的一般方法
1.1 网络分析概述
1.1.1 网络的概念

网络:指把若干元件有目的地、按一定的形式联结 起来、完成特定任务的总体。 电力系统:由电源、电力网络、负荷三部分组成。 电力网络包括:输电和配电线路、变压器和移相器、 开关、并联和串联电容器、并联和串联电抗器等 元件，它们按一定的形式联结成一个总体，达到 输送和分配电能的目的。
i
i j
i
0
对于闭合回路l，回路中的各支路电压ui之间符合基尔霍夫 电压定律：
u
il
i
0
1.1.2 电力网络分析的主要步骤
选取物理量、建立物理的和数学的模型是研究、分 析一个客体过程中关键的一步，是得到定量关系的 基础。
物理模型是被研究的客体的一种简化和抽象，选取 何种物理模型取决于研究的目的和内容。例如输电 线路是由载流导体、绝缘结构和机械构架等组成的 一个客体。当研究其电气特性时，可以根据研究的 具体内容，把输电线抽象成分布参数的长线、多个 π型电路的链式电路，直到一个集中的电抗等不同 的模型。
u b e s z b (i b i s ) y b (u b e s ) i b i s
1.4 网络方程――网络的数学模型
1.4.1 节点网络方程
y b ( ub e s ) i b i s
Aib 0及A T un ub
(Ayb AT )un A(i s y bes )
uk zk ik ik yk uk
1.3.2 网络支路方程和原始阻抗（导纳）矩阵
把网络内所有支路方程集中到一起，引入电势源矢量及电 流源矢量 e s [e1 ek eb ]T
i s [is1 isk isb ]T

网络支路方程：
u b e s z b (i b i s ) y b (u b e s ) i b i s
y be s i s
i n A(i s i ) s
Yun i n
Y Ay b A T 节点导纳矩阵
Y Ayb A T
Yun i n
A矩阵反映了网络的拓扑约束，yb反映了网络的支路特性约 束，所以节点导纳矩阵集中了网络两种约束的全部信息。加 上网络的边界条件，即节点注入电流,从而构成了以节点电压 表示的网络的数学模型。 若网络参数以阻抗形式表示，则节点网络方程为: Zi n u n
关联(1ncident)：支路与节点的连接关系，用k(i，j)表示， 即支路是与节点i,j关联。 节点的度(Degree):节点所关联的支路数。

路径(Path):在图G中，从始点出发经过若干支路和节点到达 终点，其中的支路和节点均不能重复出现，形成的一个开边 列(Open Edge Train)称为路径。 回路(Loop):即闭合的路径(Closed Path)，路径中的始点和 终点重合，回路中所有节点的度均为2。
图G的一个割集。割集是分割出来的部分与图G其他部分之间 的联系，分割出来的部分是图G的一个广义节点。每一个割 集至少包含一条树支。仅包含一条树支的割集称为基本割集。 对于图G来说基本割集数必然与树支数相对应。
1.2.2
关联矩阵
网络的拓扑特性(联结关系)可以用一个图来形象表 示，但为了便于应用计算机，也可以用一张表－矩 阵来表示，描述网络拓扑结构的矩阵为关联矩阵 (incident Matrix)。 由于可以从不同的角度、用不同的形式来说明联结 关系，因此就有不同的关联矩阵。
数学模型的建立就是找到一种合适的数学形式，来表达物理 模型中物理量之间的关系，把一个物理问题抽象成一个数学 问题。网络方程就是网络的数学模型，列写网络方程就是按 照选定的数学型式，把网络的两种约束全部表达出来，而不 包含不必要的约束。 物理量的选取，物理模型和数学模型的建立都不是唯一的， 取决于研究的目的和内容，也取决于当时能够采用的研究、 计算的手段和工具。物理模型和数学模型本身就标志着对问 题认识的深度和科学技术发展的水平． 网络分析的基本内容，除了选取物理量、建立物理和数学模 型以外还包括根据物理模型进行物理模拟试验和根据数学模 型研究并确定算法、编制计算机程序、进行计算机实践试验， 分析是通过试验和计算提供认识研究对象本质更多的信息， 而分析得到的结论还需要在实践中，包括现场试验和应用中 验证。
节(点)―支(路)关联矩阵 (Node-Branch Incident Matrix)

有向连通图G有N+1个节点，b条支路，其中第l条支路从节 点i出发，到节点j终止。则其(N+1)×b阶节—支关联矩阵 有如下形式：
例：
注意稀疏性！
0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 A 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0