反褶积

第二章 反褶积

将地震记录看成是反射系数序列与地震子波的褶积，反褶积就是要消除这种褶积过程，从地震记录得到反射系数序列。一般说来，反褶积的目的是消除某种已知的或未知的褶积过程的运算。反褶积也可能用来消除震源信号或者记录仪器的响应。反褶积也可能是用另一种褶积过程代替原来的褶积过程。

反褶积是一种滤波。与一般滤波的区别有两点：一是着眼点在改变子波，而不是衰减噪声。二是方法上是根据需要达到的目标由地震资料自动推导滤波器，而不是通过试验选择滤波器。

反褶积是子波级的处理，是常规处理中最精细的环节。

一 子波与反褶积

原始记录上的子波不管如何千变万化，必然是单边子波。可控震源原始记录上的子波也是单边的，即扫描信号，经过相关以后才变成双边子波。单边子波是物理可实现的，双边子波是非物理可实现的。

单边子波可以是最小相位子波、最大相位子波或混合相位子波。

判别方法可以有很多，对于下面的讨论来说，用Z 变换大概是最方便的。将子波的各个样点值作为系数、样点序号作为Z 的幂次，写成Z 多项式，如果Z 多项式的根的模全部大于1，即根全部在单位圆外，就是最小相位子波；如果Z 多项式的根全部在单位圆内，就是最大相位子波；如果Z 多项式的根有一些在单位圆外，有一些在单位圆内，就是混合相位子波。

Z 多项式可以因式分解，每个因式有01=+bZ 形式，它代表有一个根Z 1-=。（b 可以是实数，也可以是复数。如是复数，必然共轭成对出现。）可见当1b 时，这个因式是最大相位的。如果所有因式是最小相位的，子波就是最小相位的；如果所有因式是最大相位的，子波就是最大相位的；如果有一部分因式是最小相位的，有一部分因式是最大相位的，子波就是混合相位的。

因此，最小相位子波的尾点的绝对值必然小于其首点的绝对值，最大相位子波的尾点的绝对值必然大于其首点的绝对值，混合相位子波则可以是任何情形。

根据这个简单规则，至少在看到尾点的绝对值大于首点的绝对值的子波时，立刻就能判断它绝对不可能是最小相位子波。

为什么要考究子波是是不是最小相位的？这与反褶积算子有关。为了要使反褶积结果是在子波起跳位置上的一个尖脉冲，不同相位子波的反褶积算子有不同的性质。其原因在于所含的因式性质不同，

一个因式01=+bZ 有两种情况：1b ，反褶积算子的Z 多项式是

()()11-+=bZ Z A （1） 最小相位因式1

()() +-+-=+=-3322111Z b Z b bZ bZ Z A （2）

有无限多项。因为1

图1. 最小相位因式B(Z)及其反褶积算子A(Z)

反褶积结果是

()()()()[]()11332211 111++-+=-++-+-+=+N N N N N Z

b Z b Z b Z b bZ bZ Z A bZ （3） 结果是无延迟的尖脉冲，另外由于算子截断而在延迟N +1个样点处还产生一个附加脉冲，因为1

因此最小相位因式有单边的最小相位反褶积算子。 再看最大相位因式，此时有1>b ，如果其反褶积算子也展开成

()() +-+-=+=-3322111Z b Z b bZ bZ Z A （4） 则由于1>b ，随着Z

的幂次增高，系数越来越大，因此单边反褶积算子是发散的，是非物

理可实现的。这种算子不允许截断。因此最大相位因式不存在单边反褶积算子。见图2。

这个问题也容易解决，因为最大相位因式的样点次序（时间）前后倒转，就是最小相位因式，而最小相位因式的反褶积算子在上面已经是可以得到的。

于是可以得到时间反序的算子。将上式改写成

()()

[]()

++-=+-+-=+=-----------------33221133221111111 11Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b bZ Z A （5） 这虽然也是非物理可实现的，但在计算上是可以实现的，因为在计算中，样点的时间先后不过是位置不同，“时间”是可以“倒流”的。 因为1>b ，故有11<-b ，这样，反褶积算子Z 多项式的系数随着Z 的负幂次的增大是收敛的，允许取有限项。

()()113322111 -----------+++-==N N N Z b Z b Z b Z b Z A （6）

反褶积算子Z 多项式中Z 的幂次都小于0，表明输出在输入之前，是时间反方向的单边算子。见图2。

图2. 最大相位因式B(Z)及其反褶积算子A(Z)

如果将时间倒过来看，用Z 作为反方向的延迟因子即超前因子，来代替上式的1-Z ，

括号内的部分就成为 ()()()[]N N N N N N

Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z A -----+------++-+-=-+-+-=11 13322111133221 （7）

括号内就与最小相位算子形式一样，只是Z 的意义不同。

在逆时间方向具有最小相位形式的算子，如果不考虑时间原点，

也就是对算子进行时移，

形式上就是最大相位的。

上面讨论说明：最小相位因式的反褶积算子是单边的最小相位的；最大相位因式的反褶积算子是负时间方向“单边”的，具有时移的最大相位形式。

讨论了子波因式的反褶积算子，就可以讨论子波与反褶积算子的关系。子波的反褶积算子是各个因式的反褶积算子的褶积，即它们的Z多项式的乘积。

最小相位子波的所有因式都是最小相位的。所有因式的反褶积算子也都是单边的、最小相位的。这些反褶积算子的Z多项式乘积也是单边的、最小相位的。因此最小相位子波的反褶积算子是单边的、最小相位的。

最大相位子波的所有因式都是最大相位的。所有因式的反褶积算子都是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。这些反褶积算子的褶积也是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。因此最大相位子波的反褶积算子是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。

混合相位子波的因式一部分是最小相位的，一部分是最大相位的。这些因式的反褶积算子一部分是单边的、最小相位的；一部分是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。这些反褶积算子褶积的结果是双边的，形式是混合相位的，因此混合相位子波的反褶积算子是双边的，形式是混合相位的。见图3。

图3. 混合相位子波B(Z)及其反褶积算子A(Z)

这就是不同性质的子波有不同性质的反褶积算子。

因式分解和多项式除法只是为了说明反褶积算子的性质，不是实际处理中应用是方法。实际处理大都用最小二乘法。

在已知子波的情况下，用最小二乘法推导反褶积算子，期望输出（desired output不很确切的通用译名）为子波起跳点处的尖脉冲。一般情况下可取双边反褶积算子。