行列式计算方法归纳总结

数学与统计学学院

中期报告

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目录

1 引言 (1)

2行列式性质 (2)

3行列式计算方法 (6)

3.1定义法 (6)

3.2递推法 (9)

3.3化三角法 (9)

3.4拆元法 (11)

3 .4加边法 (12)

3.6数学归结法 (13)

3.7降价法 (15)

3.8利用普拉斯定理 (16)

3.9利用范德蒙行列式

参考文献......................................................................................................... 错误!未定义书签。8

行列式的概念及应用

摘要：

本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。

关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式

The concept and application of determinant Summary:

This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant.

Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant

1 引言

行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。

1 行列式的性质

1.1 性质1 把行列式各行变为相应的列，所得行列式与原行列式相等。

即：

a

a

a

a a a a a a nn

n n n

n

2

1

222

21

11211=

a

a

a

a a a a a a nn

n

n

n n

212

22

12

1

2111

()1

其实，元素

a

ij

在()1的右端位于第j 行第i 列，即此时i 是列指标，j 为行指标。

在行列式中，行与列的地位是对称的，所以有关行的性质，对列也成立。

1.2 性质2 如果行列式中一行为零，那么行列式为零。

因为

a

a

a

ka

ka

ka a a a nn

n n in

i i n

2

1

2

1

11211==+++A ka A ka A ka in in i i i i 2211

()A a A a A a in in i i i i k +++ 2211=a

a

a a a

a

a

a

a

nn

n n in

i i n

k

2

1

2

1

112

11

即当k =0时，就有行列式为零。

1.3 性质3 如果行列式的某一行()或一列的元都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行()或列而其余行()或列不变的两个行列式的和。

a

a a

c b c b c b a

a

a

nn

n n n n n

21

221

1112

11

+++

=

()()()()()

A c A

c A c A b A b A b A c b A c b A c b in n i i in

n

i i in

n

n

i i +++++++=++++++ 2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

1

1

1

=

a

a

a

b

b

b a

a

a nn

n n n

n

1

1

2

1

112

11

a

a

a

c

c

c

a

a

a

nn

n n n

n

2

1

2

1

112

11

+

1.4 性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。

证明： 设行列式

a

a

a

a a

a

a a a

a

a

a

nn

n n kn

k k in

i i n

2

1

2

1

2

1

112

11

=

()

a a a a nj kj ij j j j j j j j n

k

i

n

n k i 11

111∑-⎪⎭

⎫

⎝⎛τ ()2

中第i 行与第k 行相同，即

.,,2,1,n j a

a kj

ij

==

为了证明()2为零，只须证明()2的右端所出现的项全能两两相消就行了。 事实上，与项