第2章_土壤水动力学基本方程

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2非饱和水流运动基本方程

Darcy’s Law of Soil Water Flow in Unsaturated Zone
非饱和土壤水分运动和饱和土壤水分运动一样，水分从水势高处向水势低处运动。一般认为，适用于饱和水流动的达西定律在很多情况下也同样适用于非饱和土壤水分流动。 1931年，Richards最早将达西定律引入非饱和土壤水流动。非饱和土壤水分流动的达西定律:
Guelph土壤入渗仪
3.2 容水度(或比水容量)
单位基膜势(负压值)变化所引起土壤含水率的变化，一般称为容水度或比水容量（C)，可以下式表示：
Ch d
dh
表示在单位压力水头降低时自单位体积土壤中所释放出来的水的体积，它与饱和土壤的给水度相似。用测水分特征曲线的方法来测定
3.3 土壤水分扩散度D
q K ( m ) 或 q K ( )
饱和土壤水分流动的达西定律:
qKsH
水势组成：流动准则：
ψg :
饱和流
非饱和流
ψ =ψg +ψp
总水头
高
低
ψ =ψg +之高度
ψp:
至地下水面的高度
ψp= 0
ψm :
ψm = 0
ψm 取决于土壤的干湿程度
在不同的平均负压(吸力)值下，通量与负压梯度成正比，两者呈直线关系，但其斜率(即水力传导度)随平均负压而变。
k (h)
h=-30cm h=-50cm
h
负压梯度△h/△x
3.1.2 饱和水力传导度及其测定
双环入渗仪
The assumption is that the soil layer immediately below the ponded area is fully saturated and thus the matric potential is essentially zero. Common Steady Flow Analysis (Unit Gradient): Accounts only for the flow component due to gravity.

第二章土壤水分运动基本方程2

第二章土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即()H h k q ∇= （2-2-1）式中：H ∇——为水势梯度；k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。

Richards 方程垂向一维方程为)1)(( )(±∂∂-=∂∂-=zhk zH k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。

由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。

若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。

一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。

但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。

在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。

因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。

一维Richards 方程的几种形式：根据()()θθθD hk =∂∂（K=C ×D ）得： x h k q x ∂∂-=)(θ x D q x ∂∂-=θθ)( y h k q y ∂∂-=)(θ yD q y ∂∂-=θθ)( )1)((±∂∂-=z h k q z θ )]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。

土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。

如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为z y x ∆∆∆，由于该立方体很小，在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为z y x v v v 、、，在t ～t+Δt 时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）：t y x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入（2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：t z y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+=ρ出t y x z z v v t z x y y v v z zy y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ （2-2-3）式中：ρ––––水的密度；z y x ∆∆∆,,––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；x x v x ∆∂∂，y y v y ∆∂∂，z zvz ∆∂∂––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变化值。

相间相互作用原理与土壤水动力学基本方程

文献标识码：Ａ文章编号：０１６９【０Ｚ０－０ —６１０ —７１２０）５６５０
中图分类号：Ｐ６１２４．
非饱和土壤中的水分运动问题一直是土壤学研究的重要课题。也是土壤水动力学研究的核心内容。传统上，土壤水分运动的基本方程是通过引入达西定律导出的。对于非饱和土，其表达式为［１】
世纪六七十年代发展达到高潮，对多相介质材料力学的发展产生了重要的影响。但由于其理论体系十分复杂。人们对相介质之间相互作用的认识非常有限，所以混合物理论一直未能得到广泛重视和应用，国际理性力学界对该理论体系的研究在２Ｏ世纪８Ｏ年代以后也日趋沉寂。
收稿日期：２０９２：修订日期：２０ —２１０１０ —５０１１ —０
作者简介：邵龙潭（９３一）１６，男，吉林梨树人，大连理工大学教授，主要从事环境土力学与孔隙介质力
学方面的研究。
是总水势，当温度势和溶质势可以不考虑时，它由
土壤的导水率是在达西定律中引入的一个比例系数。对于静态条件下的饱和土，ｋ０是（）常数；而对于非饱和土。ｋ）随土壤的含水率或基质势的变化而变化的，一般认为难以依据（是

第二章土壤水分运动基本方程2

第二章土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即（2-2-1）()H h k q ∇=式中：——为水势梯度；H ∇ k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。

Richards 方程垂向一维方程为)1)(()(±∂∂-=∂∂-=zhk z H k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。

由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。

若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。

一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。

在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。

因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。

一维Richards 方程的几种形式：根据（K=C ×D ）得：()()θθθD hk =∂∂x hk q x ∂∂-=)(θx D q x ∂∂-=θθ)( yhk q y ∂∂-=)(θyD q y ∂∂-=θθ)()1)((±∂∂-=zhk q z θ)]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。

土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。

如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为，由于该立方体很小，z y x ∆∆∆在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为，在t ～t+Δt 时段内，流入立方z y x v v v 、、体的质量为（3个面流入）：ty x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入（2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：tz y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+=ρ出（2-2-3）t y x z z v v t z x y y v v z z y y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ式中：ρ––––水的密度；––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；z y x ∆∆∆,,，，––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变x x v x ∆∂∂y y v y ∆∂∂z zvz ∆∂∂化值。

水动力学基本微分方程

Q y dy 沿y方向流入单元体的水量： (Qy y 2 )dt
流出： (Q Qy dy)dt y
y 2
沿z方向流入单元体的水量： v2 dx dy dt 流出：v1 dx dy dt
流入量－流出量＝：
Q x x方向： dxdt x
y方向： Q y y dydt
2 H 2 H 2 H s H 2 2 2 K t x y z
２.对于二维的情况，常用和T表示(
各项均乘以m）
H H H (Tx ) (Ty ) ， x x y y t 2 H 2 H H 当Tx Ty T时, 则 2 2 x y T t
上述分析表明：H降低，承压含水层释放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和结构有关，为了表征含水层弹性释水（储水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
H H H H ( K xx ) ( K yy ) ( K zz ) s x x y y z z t
上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取坐标轴方向与主渗透方向一致。
（二）方程的化简和讨论
１.对于均质各向同性含水层，Ｋ为常数，这时简化为：
a
o
b a dy
x y Ｑx为单位时间内通过abcd断面流入的水量。在dt内，
沿x方向通过abcd断面流入均衡单元的水量 a＇b＇c＇d＇断面从均衡单元流出的水量为
Qx (Qx dx)dt x

第2章土壤水的保持和运动3

∂v y + dy ) dxdzdt ∂y
∂vy vy + dy ∂y
dz
vx +
∂vx dx ∂x
ρ (v x +
dy
∂vx x dx ) dydzdt ∂x
dx
vz
y
流入和流出单元体的质量差
流入
m i = ρ v x dydzdt + ρ v y dxdzdt + ρ v z dydxdt
流出
以含水率θ为变量的基本方程
∂θ ∂ ⎡ ∂h ⎤ ∂ ⎡ ∂h ⎤ ∂ ⎡ ∂h ⎤ ∂K (θ ) = K (θ ) ⎥ + K (θ ) ⎥ + ⎢ K (θ ) ⎥ + ∂t ∂x ⎢ ∂x ⎦ ∂y ⎢ ∂y ⎦ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ∂z ⎣ ⎣
dz
vx +
∂vx dx ∂x
x
dy
dx v z
y
达西定律（Darcy’s Law）
∂ϕ v x = − K (θ ) ∂x
∂ϕ v y = − K (θ ) ∂y
∂ϕ v z = − K (θ ) ∂z
非饱和导水率（水力传导度） (Hydraulic Conductivity)
水力传导度是指单位水头差作用下，单位断面积上流过的水流通量，它是土壤含水率或土壤基质势的函数。由实验测定。
饱和土壤水流
∂v x ∂v y ∂v z + + =0 ∂x ∂z ∂y
拉普拉斯方程
Richards方程
∂v y ∂v z ∂v ∂θ = −( x + ) + ∂t ∂x ∂y ∂z
∂ϕ ∂x
根据达西定律 ∂θ 有： =

第4讲土壤水份运动基本方程

What is hydraulic conductivity?
K is a property of both media and fluid. Experiments show: K is the intrinsic permeability (L2), a property of media only. ρ is the mass density (M/L3) μ is the dynamic viscosity (M/LT) and measures the resistance of fluid to shearing that is necessary for flow.
导水率K
综合反映了多孔介质对流体流动的阻碍作用
多孔介质的基质特征：质地、结构… 流体物理性质：粘滞性、密度…
实验室测定现场测定
双环入渗试验 Guelph渗透仪抽水试验
Darcy定律的微分形式：
微分形式与差分形式有区别吗？
dH q = −K s dL
Return to fluid potential equation, Neglect velocity (kinetic) term, and substitute for p
m
)
θ方程（扩散型方程）：
引入扩散率D：
D (θ ) = K (θ ) = K (θ C (θ )
)
dθ dψ m
∂ψ m dψ m ∂θ ∂θ = K (θ ) = D(θ ) K (θ ) ∂x dθ ∂x ∂x
∂θ ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂K (θ ) = D(θ ) ⎥ + ⎢ D(θ ) ⎥ + ⎢ D(θ ) ⎥ ± ∂t ∂x ⎢ ∂x ⎦ ∂y ⎣ ∂y ⎦ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ∂z ⎣

土壤水动力学

修订时间：2013年3月太原理工大学博士研究生入学考试专业基础课考试大纲考试科目代码2017考试科目名称土壤水动力学招生学院代码007招生学院名称水利科学与工程学院招生专业代码081500招生专业名称水利工程参考书目1.《土壤水动力学》，雷志栋，杨诗秀，谢森传，清华大学出版社，北京，19882.《土壤物理学》，华孟，王坚，北京农业大学出版社，1993考查要点一、土壤水分的形态和能态1. 土壤水的形态2. 土壤水分运动的能态3. 非饱和土壤流的达西定律4. 非饱和土壤水力传导度5. 土壤水分特征曲线及其应用重点：土水势、土壤水力传导度、土壤水分特征曲线二、土壤水分运动的基本方程1. 土壤的物理点2. 多孔介质水分运动的基本假定3. 直角坐标系下土壤水分运动的基本方程4. 土壤水分运动的其他基本方程5. 土壤水分运动通量法重点：土壤水分运动过程的基本简化和假定、基本方程的变换和适用条件、土壤水分运动通量法。

三、土壤水分入渗1. 土壤入渗过程2. 土壤入渗过程的线性化解析解3. Green-Ampt入渗模型4. 水平渗吸条件下的Philip解5．经验入渗公式与讨论重点：土壤水分入渗过程及其驱动力、线性化解析解和各种经验入渗公式及其适用条件。

四、土壤水分蒸发1. 土壤水分入渗蒸发过程2. 定水位条件下均质土壤的稳定蒸发3. 层状土壤的稳定蒸发4. 非稳定蒸发过程重点：土壤水分入渗蒸发过程及其控制条件、均质土壤的稳定蒸发过程的求解。

五、土壤水分运动参数的测定方法1. 土壤水分运动参数室内测定方法2. 土壤水分运动参数田间测定方法。

第2章_土壤水动力学基本方程

2.3非饱和土壤水运动的达西定律
2.3.3非饱和导水率的数学表达
含水量为 s Δ ，最大半径为 R1的毛管排空。 2 2 Δ M 1Δ M 1 i 1,2,, M 1 对一般情况 K s iΔ K s Δ 2 w g j 2 w g j i 1 h2 2 h2 j j 2 M M M 又
K s iΔ K s i M2 K s i 1,M , M 1 2, 1 Ks Δ1 M 1 例题2.1 2 2 j 1 h 2 2 w g j 1 h j j j 1 h j
j i 1 h 2 j
Δ 1 1 1 g 2 j i 1 h2 2 i h j w j j
H h z h 1 J w K h K h K h z z z
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
2.3.2 Buckingham-Darcy通量定律
Buckingham-Darcy通量定律也可写成：符号相反, 向下为正
非饱和流与饱和流的比较：共同之处：都服从热力学第二定律，都是从水势高的地方向水势低的地方运动。不同之处： ①土壤水流的驱动力不同。饱和流的驱动力是重力势和压力势；
非饱和流的是重力势和基质势。
②导水率差异非饱和导水率远低于饱和导水率；当基质势从0降低到 -100kpa时，导水率可降低几个数量级，只相当于饱和导水率的十万分之一。 ③土壤空隙的影响土壤。在高吸力下，粘土的非饱和导水率比砂土高。
16~40cm/d
〉100cm/d
中
很高
40~100cm/d
高
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
绝大多数田间和植物根区的土壤水流过程都处在非饱和状态。非饱和流研究为土壤物理学最活跃的研究领域之一。 2.3.1 非饱和流与饱和流的比较

节土壤水分运动基本微分方程

∵基质势 m 可用负压水头表示， ∴上式中的 m 可换为负压水头 h 。(h m ) 注意：以基质势为因变量的基本方程可用于统一系统的饱和－非饱和流动、分层土壤水分运动的求解。 m 随 k 或变化太大，对计算结果敏感。缺点：
2.以为因变量的基本方程：
引入参数：非饱和土壤水的扩散率 D ( ) （ D ( ) 由实验测量）
2-2 土壤水分运动基本微分方程
一、方程的推导（质量守恒定律）：
z
B
A A’
B’
1 qx qx dx 2 x
D
C
z
C’
qx
1 qx dx 2 x
x
D’ y x
y
O
注意： qx 为土壤水分运动通量：单位时间、单位面积上通过的水体积。
讨论在dt时间内，微分单元体中的水均衡问题沿x方向流入的土壤水质量为：
此方程即非饱和土壤水运动的基本微分方程（二阶非线性）
二、基本微分方程的各种形式
1.以基质势为因变量的基本方程：
d 引入比水容量：c d m
。
m d m c(m ) t dm t t
m m m c( m ) k ( m ) k ( m ) t x x y y m k ( m ) k ( m ) z z Z
q r k ( ) r
1 q k ( ) （水平面上的夹角） r sin
1 q k ( ) r （垂直方向的夹角）
r

以基质势为因变量的基本微分方程： m m 1 1 (r k ) (k ) 2 t r r r (r sin ) m 1 k sin k 2 (k ) cos r r r

水动力学基本微分方程

J dH Sin ,
ds
由于很小， tg sin
相当于忽略了渗透速度的垂直分量 Vz ，
H(x, y, z,t) H(x, y,t) 代替，在铅垂面上各点的水头都是相
等的；或者说，水头不随深度而变化，同一铅直面上各点的水力坡度和渗透速度都相等，渗透速度可表示为：
dH vx K dx , H H (x)
分给水能力用给水度（Specific yield）表示；
给水度的物理意义：当含水层中水头下降一个单位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的水量。
4.贮水率与给水度的区别
① 弹性释水由减压引起， s 为压力变化所给出的水量，为重力疏干排出的水量；
② 贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关，给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关；
（二）越流含水层中渗流基本微分方程 1.假定
a.忽略弱透水层的弹性释水； b.水流在弱透水层中是垂向运动，而在主含水层中
折射为水平运动；
2.方程的建立
在主含水层中取一微分柱体（其长宽分别为dx、 dy，高为含水层厚度m）作为均衡单元。下面分析在 dt时段内，微分柱体的水均衡问题。
P(x，y）
设P(x, y)位于柱体中心，
上述分析表明：H降低，承压含水层释放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和结构有关，为了表征含水层弹性释水（储水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
越流系数反映越流量的大小，越大，相同水
头下的越流量也越大。

土壤水动力学1(77)

重量含水量
GRAVIMETRIC WATER CONTENT (GWC)
•GWC = Mw / Ms100%
qg
体积含水量
VOLUMETRIC WATER CONTENT (VWC)
qv
• VWC = Vw / Vt 100% • = Vw / (Vs + Vf) • = GWC BD / DW
二、土壤水的研究概况
研究概况
1931年理查兹（Richards）在用能量概念研究土壤水的基础上对达西定律进行了推广，使其适用于非饱和土壤，大大推动了土壤水的动态研究，也使土壤水运动的数学模拟得到了发展。近几十年来，土壤水的研究已成为土壤物理学中一个重要分支，一个最活跃的领域。随着电子计算机的大量应用和各学科的相互渗透，非饱和土壤水运动的研究发生了由经验到理论，从定性到定量的深刻变化，从而形成相对独立的一个领域——土壤水动力学。土壤水分的研究已成为土壤物理、农田水利、水文学等众多学科领域的前沿课题。如国家自然科学基金委员会的自然科学发展战略的报告中，自然地理和土壤学科均把土壤圈（或地表）物质（水、热、盐）循环和能量转换列为优先资助领域。水利学科中的地表水、土壤水、地下水三水之间的转化规律、SPAC水分传输理论等列为优先研究。
所有土壤孔隙都为水所充满时的土壤含水率。
土壤水分常数
土壤水分的有效性土壤水无效水汽态水吸着水有效水毛管水过剩水重力水
土壤水分状况：干大气压：1000 105 ℃ 土壤下水分烘干常数土 31 15～16 吸凋湿萎系系数数
湿
的土 0 引水力之全间
6.25 1/3 1/10 毛最毛管田大管断间持分持水子裂持水含水量持量水量水量量毛管悬着水吸湿水膜状水重力水毛管上升水难有效水无效水易有效水多余水 65％田持灌水下限

第2章土壤水的保持和运动2

土水势的测定
四、张力计法
张力计是测定土壤吸力（基质势）的一种仪器。张力计又叫土壤湿度计、负压计等。
•原理
采用多孔的陶瓷头与植物根系从土壤中吸收水分相似的原理，当土壤中的水分减少，水势降低时，埋置在土壤中的张力计管中的水分会从多孔的陶瓷头渗出，此时张力计管中形成一定的真空度，通过测量张力计管中的真空度，就可以反映出土壤中水势的变化。
土壤水势二wmsgpt渗透势土壤水分中的溶质所引起的水势土壤水分中的溶质所引起的水势温度势由于温度变化引起的土壤水势的变化由于温度变化引起的土壤水势的变化重力势重力引起的土壤水势重力引起的土壤水势总水势土壤水的总势能基质势土壤基质的吸附力和毛管力所引起的水势土壤基质的吸附力和毛管力所引起的水势压力势当土壤饱和时自由水面下土壤由于静水压力所产生的水势自由水面下土壤由于静水压力所产生的水势二土壤各分势
土壤 A 砂土 10%
土壤 B 粘土 15%
水流向何方？
（二）土水势(soil water potential) 国际土壤学会名词委员会定义: 土水势(ψ土)：从一已知高度的蓄水池中，把无限少量的纯水，在一个大气压下等温地和可逆地转移到土壤中的某一指定高度成为土壤水所必须作的功。能量很难获得它的绝对值，几乎都是相对而言，这里需要一个标准状态—纯水池中的纯水作为参照标准，并规定水势为零。进一步将水分在土壤中状态进行分析会得出影响土壤水分能量水平的因素，就得到了许多分势。
二、土壤各分势
1、重力势(Gravitational potential): ψg （±）由于重力作用而引起的土壤水势的变化。所有土壤水度受到重力的作用。实质上是由于位置差所产生的土壤水分的能量差。可以和参比面进行比较，得到土壤水的重力势值及符号。重力势大小估算: ψg =mgZ (Z 土壤剖面上高度) at height Z above Z0 per unit mass ψg=mgZ/m=gZ (J/kg) per unit volume ψg =mgZ/v=ρwgZ (N/m2) per unit weight ψg=mgZ/mg=Z (m)

第二章-土壤水分运动基本方程2

第二章土壤水分运动基本方程如前所述,达西定律是由达西〔Darcy,Henry 1856〕通过饱和砂柱渗透试验得出,后由Richards 〔1931〕将其扩伸至非饱和水流中,并规定导水率为土壤负压h 的函数,即()H h k q ∇= 〔2-2-1〕式中：H ∇——为水势梯度；k 〔h 〕——为导水率,是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速. Richards 方程垂向一维方程为注意：H=h ±z ,垂直坐标向上为"+〞；向下时为"–〞.由于k 〔h 〕受滞后影响较大,上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程.若将导水率作为容积含水率函数,即以k 〔θ〕代替人k 〔h 〕,则可避免滞后作用的影响.一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用,即水流通量与势能梯度成正比.但在饱和土壤中,压力为正值,其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力〔正值〕和相对于基准面高度来确定的位置水头,总水头为压力水头和位置水头之和,水由总水头高处向低处流动.在非饱和土壤中,基质势为负值,土水势在不考虑溶质势、温度势与气压势时,只包括重力势和基质势.因此,总水头常以负压水头和位置水头之和来表示.一维Richards 方程的几种形式：根据()()θθθD hk =∂∂〔K=C ×D 〕得：第一节直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律,且符合质量守恒的连续性原理.土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导.如图2-2-1所示,从土壤中取出微分单元体abcdefgh ,其体积为z y x ∆∆∆,由于该立方体很小,在各个面上的每一点流速可以看成是相等的,设其流速为z y x v v v 、、,在t ～t+Δt 时段内,流入立方体的质量为〔3个面流入〕：t y x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入〔2-2-2〕流出立方体的质量为〔3个面流出〕：t y x z z v v t z x y y v v z zy y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ 〔2-2-3〕式中：ρ––––水的密度；z y x ∆∆∆,,––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；x x v x ∆∂∂,y y v y ∆∂∂,z zvz ∆∂∂––––分别表示水流经微分体后,其流速在x 、y 、z 方向的变化值. 由式<2一2－2〕、式〔2－2－3〕之差可求得流入和流出立方体的质量差：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=z v y v x v z y x ρt z y x ∆∆∆∆⨯ 〔2—2—4〕设θ为立方体内土壤含水率,则在Δt 时间内立方体内质量变化又可写为t z y x tm ∆∆∆∆∂∂=∆θρ〔2—2—5〕根据质量平衡原理〔流入量－流出量＝储存量变化量〕,式〔3－2－4〕、式〔3—2—5〕应相等,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂z v y v x v t z y x θ〔2-2-6〕根据达西定律得：()x H k v x ∂∂-=θ,()y H k v y ∂∂-=θ,()zHk v z ∂∂-=θ 〔2-2-7〕式中k 〔θ〕––––土壤水力传导度,为含水率的函数；H ––––总土水势,为基质势与重力势之和〔H ＝h ＋z 〕. 因此,式〔2－2—6〕可以写作以下形式：()()()zz H k y y H k x x H k t ∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂θθθθ 〔2-2-8〕上式可以简写为()[]H k t∇∇=∂∂θθ〔2-2-9〕式〔2－2－8〕或式〔2－2－9〕为土壤水分运动基本方程.在饱和土壤中,含水量和基质势均为常量.水力传导度也为常量,常称渗透系数,则方程〔2－2－8〕可写为0222222=∂∂+∂∂+∂∂zHy H x H 〔2－2－10〕或写作02=∇H 〔2－2－10‘〕2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇〔2－2－11〕式中：▽2––––拉普拉斯算子.式〔2－2－10〕或式〔2－2－10‘〕为饱和土壤水流的拉普拉斯方程.二、基本方程的不同形式为运用基本方程分析各种实际问题的方便,可将基本方程改写为多种表达形式. 为简便起见,以下均以一维垂向土壤水分运动为例,给出基本方程的不同表达形式. 〔一〕以含水率θ为变量的基本方程由式〔2－2－8〕可得一维垂向土壤水分运动的基本方程为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂z H k z t θθ〔2－2－12〕式中：H ––––总土水势；z ––––为水流方向坐标,取z 向上为正. 因为H=h 十z,所以上式可写作()()zk z h k z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθ〔2－2－13〕式<2－2－13〕为以θ为变量的基本方程,将zh z h ∂∂∂∂=∂∂θθ代入式〔2－2－13〕得：令()()θθθD hk =∂∂,则式〔2—2—13〕可以写成〔一维垂向土壤水分运动方程〕： ()()zk z D z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθθ〔2－2－14〕在水平运动的情况下,重力项等于0,所以()xD v x ∂∂-=θθ,其形式与Fick 扩散定律相同.式〔2－2－14〕具有扩散方程的形式,故将D 〔θ〕称为扩散度.()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂x D x t θθθ〔2－2－14‘〕 Fick 定律：自由水中溶质的分子扩散通量符合Fick 定律：式中：J 为溶质的扩散通量； D 为溶质的扩散系数；xc∂∂为溶质的浓度梯度. 〔二〕以基质势h 为变量的基本方程由于()th h c t h h t ∂∂=∂∂∂∂=∂∂θθ ,则式〔2－2－14〕可以写成：()()()zh k z h h k z t h h c ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂〔2－2－15〕式中：c 〔h 〕––––比水容量〔也称容水度〕,c 〔h 〕=h∂∂θ,表示单位基质势变化时含水率变化.〔三〕以参数v 为因变量的基本方程采用Kirchhoff 变换,令()()()⎰⎰⎰-∞==ccch hh h h d k Vd k d k v ττττττ1则()h k Vh v 1=∂∂ 由式〔2-2-15〕得：()()zh k z z h h k t h h ∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂∂∂θ ()()zvv X z v t v v Y ∂∂+∂∂=∂∂22〔2－2－16〕式中h c ––––土壤的进气值,即土壤含水率开始小于饱和含水率时的负压值. 另外,()()()()()h k h c h D h h k v Y ==∂∂=11θ；()()()hh k h k v X ∂∂=1 在非饱和区：在饱和区：且因为 ()0=∂∂=h h c θ,()0=∂∂hh k 所以 ()0=v Y ；()0=v X则方程式〔2－2－16〕为：022=∂∂zv〔四〕以位置坐标z 为变量的土壤水运动方程以z 为变量,则z 为θ、t 的函数,z 〔θ,t 〕为未知函数.已知θ=θ〔z,t 〕,当0≠∂∂zθ处,可以解出z= z 〔θ,t 〕,即[14] 对z,t 分别求导数：01=∂∂∂∂-z z θθ,0=∂∂-∂∂∂∂-tzt z θθ于是 θθ∂∂=∂∂z z 1与θθ∂∂∂∂-=∂∂z t zt 将以上式子代入方程〔2－2－14〕得：()θθθθθ∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂-k z z D t z 〔2－2－17〕〔五〕以参数u 为因变量的土壤水运动方程定义()()()⎰⎰⎰==θθθθθθθθθθθθisiid D Ud D d D u 1式中：i θ––––初始含水率；()⎰=θθθθid D U ；s θ—饱和含水率.由式〔2-2-14〕得：将()θθD Uu 1=∂∂代入上式得：所以 ()z u k zu D t u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂θθ22〔2-2-18〕以上各式中式〔2－2－14〕、式〔2－2－15〕是二种经常采用的形式,形式的选定取决于要解决问题的边界条件和初始条件.以含水率θ为因变量的基本方程常用于求解均质土层或全剖面为非饱和流动问题,这种方程形式对于层状土壤或求解饱和—非饱和流问题不适用；以负压水头h 为因变量的基本方程是应用较多的一种形式,可适用于饱和—非饱和水流求解与层状土壤的水分运动分析计算,但由于非饱和土壤水的导水率k 〔h 〕与容水度c<h>,受滞后影响较大,计算中参数选取不当会造成较大误差；以v,u 为因变量基本方程实际上分别相当于以负压水头h 和含水率θ为因变量的基本方程,在某些情况下由于经代换后方程较为简单,易于求解；以坐标为因变量的基本方程根据定解条件需要求解较简单的土壤水分运动问题.以上为直角坐标系中土壤水分运动的基本方程,求解某些土壤水分运动问题时,采用柱坐标系可能更方便.第二节柱坐标系中土壤水分运动基本方程在推导柱坐标系中的基本方程时,方法同直角坐标系,同样可用达西定律与连续方程相结合的方法导出.若以z 轴为轴的柱坐标系,根据达西定律,在此坐标系中可表示为：式中：r 、φ、z ––––分别表示柱半径,角坐标和垂直坐标〔图2—2—2〕q r 、q φ、q z ––––相应于r 、φ、z 三个方向的通量； H ——总水势.下面利用质量守恒来推导连续方程.Δt 时段内,在r 方向的流入量为r q r △φ△z △t ,流出量为⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂+r r q q r r()r r ∆+t z ∆∆∆ϕ,则流入与流出量之差〔忽略高阶无穷小量〕为t z r r r q q r r ∆∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+-ϕ 〔2-2-19〕同理,在φ方向流入流出量之差为t z r q ∆∆∆∆∂∂-ϕϕϕ 〔2-2-20〕在z 方向土壤水分流入流出量之差为t z r q z∆∆∆∆∂∂-ϕϕ〔2-2-21〕上述三个方向流入和流出单元体的水量差总计为t z r z q q r q r q z r r ∆∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+-ϕϕϕ 〔2-2-22〕单元体体积应为 z r r r ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆+ϕ2,略去高阶无穷小量后为r △φ△z △t,在△t 时间内单元体内水分增量为t z r t∆∆∆∆∂∂ϕθ〔2-2-23〕根据质量守恒原理武〔3－2－22〕应与式〔3－2－23〕相等,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+-=∂∂z q q r r q q rt z r r ϕθϕ11 〔2-2-24〕式〔2－2－24〕为柱坐标系中土壤水分运动的连续方程.将式〔2－2－18〕代入上式,即得柱坐标系中土壤水分运动基本方程：()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂=∂∂z H k z H k r r H k r r H r k t θϕθϕθθθ21 〔2-2-25〕以总水势H=h+z,水容度c=dhd θ,以与导水率k 〔θ〕,扩散度D 〔θ〕等代入,基本方程可表示为()()()()zk z D z D r r rD r r t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθϕθθϕθθθ211 〔2-2-26〕对于平面轴时称问题,上式可改写为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂r rD r r t θθθ1 〔2-2-26‘〕同理可推得以x 〔或y 〕轴为轴的柱坐标系的基本方程：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂x D x k r r k D r r rD r r t θθϕθϕθϕϕθθϕθθθsin cos 112〔2-2-27〕关于球坐标系中的基本方程应用较少,推导方法同上,这里不再论述.第三节土壤水分运动基本方程的定解条件土壤水运动基本方程的定解条件包括初始条件和边界条件,为了简单起见,将以直角坐标系中基本方程常用形式为例进行论述.〔一〕初始条件相应于前式〔２—２—1４〕、式〔２—２—15〕的初始条件分别以下式表达：()()z z i θθ=0, 〔2-2-28〕()()z h z h i =0, 〔2-2-29〕脚标"i 〞表示初始已知量.初始条件：t=0时剖面上θ、h 的分布已知. 〔二〕边界条件边界条件一般有一类边界、二类边界、三类边界三种. 1．一类边界条件〔变量已知的边界Γ1〕对干式〔2－2－14〕、式〔2－2－15〕的一类边界的表达式为()()t t z 00,θθ= 〔2-2-30〕()()t h t z h 00,= 〔2-2-31〕脚标"0〞均表示一类边界上的值；z 0为一类边界的坐标.在一维垂向土壤水分运动中,一类边界的情况发生在压力入渗〔地表形成水层〕时,地表含水率达到饱和含水率,或当强烈蒸发时,表土达到风干土含水率的情况.2．二类边界条件〔边界Γ2上水流通量已知的情况〕相应于式〔2－2－14〕、式〔2－2－15〕表达式为()()()t k z D εθθθ=+∂∂-Γ2| 〔2-2-32〕 ()()()t z z h h k ε=∂-∂-Γ2| 〔2-2-33〕式〔2－2—32〕与式〔2－2－33〕中,均假设垂直坐标z 向下为正.在一维垂向土壤水分运动中,这种情况常发生在降雨、灌水入渗或蒸发强度已知的边界.在降雨或灌水入渗时,ε〔t 〕为正值,在蒸发时ε〔t 〕为负值.在不透水边界和无蒸发入渗的边界,ε〔t 〕=0,则式〔2－2－32〕、式〔2－2－33〕分别为()()θθθk z D =∂∂ 〔2-2-32,〕 ()()h k z hh k =∂∂ 〔2-2-33,〕3．三类运界条件［相当于水流通量随边界Γ3上的变量〔θ或h 〕值而变化的情况］三类边界的一般形式为321a f a zfa =+∂∂ 〔2-2-34〕式中,f 为变量.在土壤蒸发强度为表土含水率或表土负压的函数的情况下,式〔2－2－14〕、式〔2－2－15〕的三类边界条件表达式为()()b a k z D +=-∂∂θθθθ 〔2-2-35〕 ()()()b h a h k zhh k +=-∂∂ϕ 〔2-2-36〕方程式〔2－2－35〕右端的a θ+b 表示三类边界上水流通量为表土含水率θ的线性函数. 方程式〔2－2－36〕右端的a φ<h>+b 表示三类边界上水流通量为表土负压的函数.例如、土壤的下部有弱透水层阻隔,边界受顶托补给,其补给强度决定于下部弱透水层的导水率k 2,弱透水层上、下的压力h 1、h 2,其厚度为δ,方程的三类边界条件可写成：()()()δδ--=-∂∂122h h k h k z hh k 〔2-2-36,〕上述的二种边界条件是经常遇到的情况.在野外实际情况下,有时还存在地下水位为已知的运动边界,此时可将地下水面处h=0作为边界条件.如在任一时间,地下水埋深为d 〔t 〕,则()()0, ,==t d h t d z 〔2-2-37〕d 〔t 〕表示 t 时刻的地下水面所在位置,如地下水位是等速下降的,则()0d vt t d += 〔2-2-38〕式中：v ––––地下水位下降的速度.如地下水位是由于水井抽水引起下降的,则()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=at r W T Qd t d 4420π 〔2-2-39〕式中：d 0––––下水初始埋深；Q ––––井的抽水流量；T ––––地下水含水层的导水系数； a ––––地下水含水层的导压系数；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛at r W 42––––井函数〔见泰斯公式〕； r ––––计算点离抽水井若地下水位变化规律未知,不能作动边界处理.第四节土壤水分运动参数土壤水分运动中的主要参数有土壤水力传导度k 〔又称导水率〕,比水容量c 〔也称容水度〕与扩散度D 〔也称扩散率〕等.这些参数的变化决定了土壤水分运动状态,所以了解和掌握这些参数的特性与其变化规律是十分重要的.一、土壤水力传导度k土壤水力传导度是反映土壤水分在压力水头差作用下流动的性能.一般在饱和土壤中导水率称为渗透系数.土壤水力传导度为在单位水头差作用下,单位断面面积上流过的水流通量.它是土壤含水率或土壤负压的函数.饱和土壤孔隙中都充满水,导水率达到最大值,且为常量.在非饱和土壤中,因土壤孔隙中部分充气,导水孔隙相应减少,导水率低于饱和土壤水情况,而且导水率是负压或含水率的函数,随着含水率降低而减小.由于在吸力作用下,土壤水首先从大孔隙中排除,随着吸力增加,水流仅能在小孔隙中流动.所以,土壤从饱和到非饱和将引起导水率的急剧降低.当吸力由零增至1×105Pa 时,导水率可能降低好几个数量级,有时降低到饱和导水率的1／100000.对于不同结构土壤,饱和与非饱和土壤水导水性能的相对关系是不同的.饱和土壤导水性能最好的是粗粒砂性土壤,导水最差的土壤是细质粘土,但非饱和土壤在较大负压情况下则情况可能相反.具有大孔隙粗质土壤,在吸力作用下孔隙中水分很快排除,导水率迅速下降；而粘质细颗粒土壤,在较高吸力下,许多小孔隙仍充满水,仍具有一定的导水性能,因此,导水率下降较缓慢.所以,细颗粒粘质土壤在同一吸力条件下可能较大孔隙粗质土壤具有较高导水率[15].所以,导水率与含水率〔或负压〕关系是较复杂的,目前还不能用理论分析方法推导它们之间关系式,需通过试验测定.图2－2－3为非饱和土壤水在负压水头作用下流动的模型.在水平土柱两端有多孔板,分别由平水箱保持一定水位,使其负压为h 1和h 2,在负压梯度△h/△x 的作用下,立柱中土壤水从1端向2端运移.土壤水通量q 可由1端补给量或2端溢出量测得,两者相等时,水流处于稳定状态.非饱和土壤水力传导度可由达西定律求得.由于水平土柱沿程负压〔或含水率〕是变化的,求得的导水率k 也应是变化的,若距离较小,可以平均负压〔或含水率〕确定平均土壤水力传导度.在不同的平均负压〔吸力〕值下,通量与负压梯度成正比,如图2－2－4所示[15].两者呈直线关系,但其斜率〔即水力传导度〕随平均负压而变.此外,土壤水力传导度还与土质有关,如图2－2－5所示,砂性土壤饱和导水率高于粘性土壤,随着土壤吸力增加,砂性土壤导水率降低速率较粘性土壤快,所以吸力增大时,粘质土壤导水率反大于砂质土壤.非饱和土壤水力传导度k 与土壤负压h 或含水率θ的关系通常由试验资料拟合成经验公式,一般有以下几种形式.〔1〕土壤水力传导度与负压〔吸力〕h 的关系式：()||h c s e k h k -= 〔2-2-40〕()n h a h k -=|| <2-2-41>()bh a h k n +=|| <2-2-42>式中：k s ––––饱和土壤水导水率,或称渗透系数；a,b ––––经验常数； c,n ––––经验指数.〔2〕土壤水力传导度与土壤含水率θ的关系式：()()θθθ--=s c s e k k <2-2-43> ()m s k k θθ= <2-2-44>()nr s rs k k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=θθθθθ <2-2-45> ()212111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=mmr s r r s rs k k θθθθθθθθθ <2-2-46> 式中：θr ––––某一特征含水率,通常采用最大分子持水率；θs ––––饱和含水率；c,m,n ––––均为经验指数,在式〔2－2－46〕中,10,11<<-=m nm 其他符号意义同前.k 值的量纲单位为［LT -1］.由于土壤负压与含水率的关系曲线––––土壤水分特征曲线有滞后现象,所以,土壤水力传导度随负压的变化同样也存在滞后现象,即在同一负压下,干燥过程中的土壤水力传导度高于湿润过程中的土壤水力传导度.但土壤水力传导度与含水率关系受滞后作用的影响较小.二、土壤水分扩散度D土壤水扩散度为单位含水率梯度下,通过单位面积的土壤水流量,其值为土壤含水率的函数,即()()θθθ∂∂=h k D .扩散度与土壤含水率的关系如图2－2－6所示,这种关系有时可用以下经验公式表示：()θθb ae D = <2-2-47>式中：a,b ––––经验常数,D 的量纲为［L 2T -1］.以上公式仅能用于含水率较高的阶段.在土壤含水率很低时,由于土壤水汽扩散速度增大,使扩散度随土壤含水率降低而增大.在土壤含水率很高的情况下,土壤接近于饱和,扩散率趋向于无限大.三、容水度c容水度表示压力水头减小一个单位时,自单位体积土壤中所能释放出来的水体体积,量纲为［L －１］.容水度可以用下式表示：它是负压的函数,为水分特征曲线上任一特定含水率θ值时的斜率〔导数〕,并随土壤水分特征曲线而变化,所以它取决于土壤含水率和土壤质地等.第五节考虑水汽热耦合关系的土壤水分运动基本方程长期以来,人们都采用等温模型研究土壤水分运动.在自然条件下,日夜温差很大,地表以下不同深度处温度的差异和变化影响土壤水分的转化和运移,用等温模型来研究土壤水分运动常带来一定误差.一些学者根据能量平衡和热传导理论,提出了考虑水、汽、热耦合关系的土壤水运动基本方程.根据Philip 、De Vries 和Milly 的理论［１６~１８］,多孔介质中的水分质量通量可以表示为V L m q q q+= <2-2-48>式中：m q––––水分总质量通量〔kg/s 〕；L q––––水流质量通量〔kg/s 〕； V q––––水汽质量通量<kg/s>.在入渗速率不很大的情况下,土壤中水和汽之间存在局部热动力学平衡时,L q 与V q可表示为［１７］()1+∇-=h k R q L L ρ<2-2-49> h D T D q HV V TV V V ∇+∇-=ρρ<2-2-50>式中：ρＬ––––土壤水密度〔kg ／cm 3〕；h ––––土壤水压力水头〔cmH 2O,1cmH 2O=9．8×103Pa 〕； T ––––绝对温度〔C 〕； D TV ––––热蒸汽扩散系数； D HV ––––蒸汽传导率；Ｒ––––水蒸汽气体常数,R ＝4．615×１０６erg ／〔g ℃〕〔1erg=10－７J 〕. 在水汽和多孔介质中水体达到局部平衡时,两者之间的自由能相等,则()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=273exp 0T R hgT V ρρ 〔2-2-51〕式中：ρv ––––绝对湿度〔g ／cm 3〕；ρ0〔T 〕––––水汽饱和状态下的绝对湿度〔g ／cm 3〕,根据Camilo 等[19]研究表明：()()[]273ex p 100+-=T R R T ρ <2-2-52>Constantz 等对水力传导度与温度的关系进行了研究,提出了水力传导度可表示为()()()T g h kk T h k L r μρ=,<2-2-53>若忽略温度变化对流体密度影响,则k 〔h,T 〕可表示为()()()()T T T h k T h k μμ00,,= <2-2-54> 以上各式中：k ––––多孔介质内渗透率〔cm 2〕；k r <h 〕––––相对非饱和渗透率； g ––––重力加速度〔cm ／s 2〕；k<h,T 0〕––––在参考温度T.时的水力传导率〔cm/d 〕 μ––––流体动力粘滞系数.式〔2－2－54〕中μ〔T 0〕／μ〔T 〕可表示为()()2020000211.00384.01000211.00384.01T T T T T T ++++=μμ <2-2-55>根据Philip 和De Vries 等研究,热蒸汽扩散系数D TV 和蒸汽传导率D HV 分别可表示为［１６,１７］()()C s cmT R h g T H fD D v a L TV ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂Ω=-/2732001ρρθρ <2-2-56>()()s cm T R gfD D va L HV /2731+Ω=-θρ <2-2-57>()⎩⎨⎧>++<='kL k V kL Vf θθθθθθθθθ1 <2-2-58>()()s cm T D a /2731229.0275.1-= <2-2-59>()32L θθ-=Ω <2-2-60>式中：f ––––在Philip 和 De Vries 公式中对水汽扩散引入的修正因子,f=f ′ξ,经验系数ξ=1．3～3．2；θk ––––液体水流流动盯以忽略时的含水率； Da ––––空气中分于扩散系数〔cm 2/s 〕； Ω––––由气体所充填孔隙的弯曲率；θL ––––孔隙中蒸汽的体积与土壤体积比； H ––––为相对湿度,H=exp 〔hg ／RT 〕. 根据质量守恒定律得；()()V L V V L L q q t+-∇=∂+∂θρθρ <2-2-61>将式〔2－2－49〕、式〔2－2－50〕、式〔2－2－51〕代人上式,得到水分运动方程：()[][]zk T D h D k t T S t h S TV HV T h∂∂+∇∇+∇+∇=∂∂+∂∂<2-2-62> 其中 TV L V r L LVh hh S ∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ρρθθρρ1在单位体积多孔介质中的热量为()⎰-+-=LWd L T T C Q L V L L θθρθρ000 <2-2-63>式中：C Ｌ=∑=51i ii C θ为水汽介质的热容量〔cal ／cm 3,lcal ＝4．1868J 〕；C i ,θi ––––土壤中水、汽、石英和其他矿物质与有机质的体积热容量与占土体百分数； L 0––––在参考温度T 下的蒸发潜热,cal ／g,在T=20℃时,L0=585cal ／g. 蒸发潜热L 可以下式表示：式中：C v ––––常压下水蒸汽比热；C i ––––水的比热.W 为微分吸湿热〔cal ／g 〕,由热动力学原理,可表示为[17—１９]：()g cal T j T h g j W /1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=- <2-2-64>式中：j ––––热功当量〔erg ／cal 〕.多孔介质内任一点处的热通量为()()m L V TV L h q T T C Lq T D L q 01-++∇-=ρλ<2-2-65>∑∑===5151/i i i i i i i k k θλθλ <2-2-66>式中：λ––––土壤的热传导系数[cal ／〔cm ·s ·℃〕］,它是通过土壤中各种组分的热传导系数加权平均而求得的.k i ––––固体颗粒温度梯度与水体温度梯度之比. Chung [20]提出了一个热传导系数的经验式()[]C s cm cal b b b L L ︒⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=69.488/21321θθλ <2-2-66,>将式〔2－2－63〕与式〔2－2－65〕代入热量连续方程得：()()()[]m L h HV L h rq T T C LD T tT C t T C 0-∇-∇∇+∇∇=∂∂+∂∂ρλ〔2-2-67〕其中 hLh Vr T H THC C ∂∂+∂∂+=θρ2C 为湿土壤的热容量［cal/〔cm 3·℃〕］.式〔2－2－62〕和式〔2－2－67〕与其相应定解条件组成了水、汽、热耦合求解模型.对一维问题,方程可简化为［２１］：()z kz T D z z h D k z t T S t h S TV HV T h∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ 〔2-2-68〕 ()[]m L HV v h Tq T T C zz h LD z z T z t h C t T C 0-∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂ρλ 〔2-2-69〕由于方程中系数也为待求函数的函数,这些非线性方程需通过迭代求解［７］.在求解过程中,常用的压力和热量〔能量〕单位有以下几种.〔1〕压力单位常采用帕〔Pa 〕、巴〔bar 〕、标准大气压〔atm 〕、毫米汞柱〔mmHg 〕、毫个水柱〔mmH 2O 〕等.〔2〕热量〔能量〕常用单位有焦尔〔J 〕、卡［路里］〔cal 〕,尔格〔erg 〕. 以上单位的相互转换关系见下表所示.第六节土壤水分通量法一、土壤水分通量法基本原理土壤水分通量法是直接利用达西定律和质量守恒原理分析计算土壤水通量与潜水的入渗量或蒸发量的一种方法,这种方法在有定位点负压h 〔基膜势〕和含水率观测资料地区应用简便.根据质量守恒原理,一维垂向土壤水流连续方程〔见2-2-6〕可写作：zqt ∂∂-=∂∂θ 〔2-2-70〕上式由z 1至z 2积分得：dz tz q z q z z ⎰∂∂=-21)()(21θ〔2-2-71〕式中：q 〔z 1〕、q 〔z 2〕––––分别表示高度为z 1和z 2处土壤水运动通量.在t 1至t 2时段内〔Δt 〕,上式可写作：()()⎰⎰-=-21211221,,)()(z z z z dz t z dz t z z Q z Q θθ 〔2-2-72〕式中：Q 〔z 1〕、Q 〔z 2〕––––分别表示高度为z 1和z 2处通过单位断面面积的水量〔t 1至t 2时段内〕.式〔2－2－72〕表明,当已知时段前后两个瞬时土壤剖面上含水率分布时,仅需已知一断面上土壤水通量即可求得任一断面的通量或水量.因此,称该方法为土壤水通量法.由于这种方法是根据时段前后两个瞬时含水率剖面确定水流通量和水量的,在某些情况下,称之为瞬时剖面法.通量法可分为零通量面法和已知通量法两种.二、零通量面法由前述可知,当不考虑溶质势、气压势和温度势时,土壤水的总水势为基膜势Ψm 与重力势Ψg 之和,常用负压水头h 和位置水头z 之和表示.在测定土壤剖面上基质势和重力势后,可计算出土壤剖面上总水势分布曲线,如图2－2－7所示.由达西定律,土壤水通量为：q ＝()z H h k ∂∂-,当zH∂∂＝0时,q ＝0,即为零通量面.图2－２—７中A 、B 两断面均为零通量面,但A 、B 两断面的水流状况是不同的.对A 断面而言,水流向上、下断面运移,也可称为发散型零通量面.而B 断面的上、下断面水流分别向断面B 汇集,故称聚合型零通量面.图2－2－7中有两个零通量面,这表明降雨〔或灌水〕入渗与蒸发是交替发生的.一般土壤较长时间处于单一的蒸发或入渗状态,剖面上可能不存在零通量面.当剖面上存在零通量面时,可根据式〔2－2－72〕求任一断面z 处土壤水通量,即：()()⎰⎰-=zz z z dz t z dz t z z Q 021,,)(θθ 〔2-2-72’〕也可自d 至z 0间土壤贮水量的变化,如图2－2－8中面积1234求自地表蒸发的水量,()()⎰⎰-=dz d z dz t z dz t z d Q 021,,)(θθ.同样,也可根据面积154计算入渗补给地下水的水量.三、已知通量法如上所述,当长期处于蒸发或入渗状态时,土壤剖面上并不一定存在零通量面.在这种情况下,若能已知某一断面上土壤水通量,则可利用已知通量断面,推求其他断面通量,这种方法称为已知通量法.常用的已知通量法有表面通量法和定位通量法［８］.表面通量法是已知地表入渗量或蒸发量,以地表为已知通量面,推求任一断面通量的方法.若土壤表面在t 1至t 2时段内入渗量〔或蒸发量〕为Q m ,则根据式〔2－2－72〕,任一断面z 处单位面积上流过水量为()()⎰⎰-+=dzd zm dz t z dz t z Q z Q 12,,)(θθ 〔2-2-73〕式中：d ––––地表距地下水面距离〔以地下水面为基准面〕.地表的入渗量可以实际测定,蒸发量可近似地采用公式计算〔如可用Penman 公式求蒸散发量〕.定位通量法是在作物根层以下某一特定位置〔如地下水面以上一定位置处〕上下z 1和z 2安装负压计,测定这两点负压.如土壤水力传导度k 〔h 〕已预先测定,则可计算这两点间平均断面z 1—2的通量为⎪⎭⎫⎝⎛+∆--=-1)()(1221z h h h k z q 〔2-2-74〕式中：h 1、h 2––––分别为断面z 1和z 2处负压值.在已知断面z 1—2通量情况下,可求得t 1至t 2时段内流经断面z 1—2的单位面积土壤水量为Q 〔z 1—2〕.同样可由Q 〔z 1—2〕求得任一断面流量Q 〔z 〕：()()⎰⎰---+=-21211221,,)()(z zz zdz t z dz t z z Q z Q θθ 〔2-2-75〕使用上述已知通量法需有定位点含水率和负压资料,且需要预先测定土壤水力传导度k<h>值.土壤的水力传导度常采用表面通量法,根据时段前后两个瞬时的土壤剖面含水率的变化进行测定.在试验室条件下可用垂直土柱测定土壤水力传导度,在土柱的下边界利用供水装置瞬时供水,并保持一恒定水位.在野外条件下可在田面灌水后,用塑料薄膜或其他不透水材料覆盖,在地表形成零通量面,每隔一定时间测定土壤剖面上各点的含水率和土壤负压,即可采用位于地表的零通量面法根据时段前后剖面含水率计算各断面的通量q .在已求得各断面通量q 后,即可根据任意两相邻断面z 1、z 2处的土壤负压值h 1、h 2自下式计算平均负压221h h h +=时的k<h>值： ()()11221±∆-=-zh h z q h k 〔2-2-76〕式中：△z= z 2－z 1.当z 向下为正时,以上等式右端项分子中取＋1,在z 向上为正时取－1.。

第二章土壤水分运动基本方程2讲诉

Richards 方程垂向一维方程为)1)(( )(±∂∂-=∂∂-=zhk zH k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。

由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。

若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。

一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。

在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。

因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。

一维Richards 方程的几种形式：根据()()θθθD hk =∂∂（K=C ×D ）得： x h k q x ∂∂-=)(θ xD q x ∂∂-=θθ)(y h k q y ∂∂-=)(θ y D q y ∂∂-=θθ)( )1)((±∂∂-=z h k q z θ )]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。

土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。

如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为z y x ∆∆∆，由于该立方体很小，在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为z y x v v v 、、，在t ～t+Δt 时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）：t y x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入（2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：t z y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+=ρ出t y x z z v v t z x y y v v z z y y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ （2-2-3）式中：ρ––––水的密度；z y x ∆∆∆,,––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；x x v x ∆∂∂，y yv y ∆∂∂，z z v z ∆∂∂––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变化值。

土壤水动力学课件

一、土壤水分入渗过程及规律
（三）入渗过程中土壤含水量的垂直分布规律 2. 水分过渡带（区）
在饱和带以下，土壤含水量随深度的增加急剧减小，形成一个水分过渡带。
3. 传导区
土壤含水量基本上保持在饱和含水量与田间持水量之间，沿垂线均匀分布，形成一个传导区，随着供水历时的增长湿润锋不断下移，水分传导区不断向下延伸，而土壤含水量则保持在上述数值范围内（60-80%s），并且这一带毛管势梯度极小，水分的传输运动主要为重力作用。
一、土壤水分入渗过程及规律
（三）入渗过程中土壤含水量的垂直分布规律 4. 湿润带（区）
是连续湿润锋面与水分传导带的一个含水量随深度迅速减小的水分带，随着湿润锋的不断下移，使其下面的干土含水量增加，变为湿润带。
5. 湿润锋
在湿润带的末端，土壤含水量突变，与下层干土有明显界面，称为湿润锋。
新的认识
一、《土壤水动力学》学习思考问题
•微小单元体建模过程进行了假设与概化，土壤质地与模型参数关系。 •土壤水运动方程与地下水运动方程的共同点与区别。 •土壤水动力学在本专业研究现状与实际应用状况。
一、《土壤水动力学》应用
•水库淹没抬田工程—获得工程设计（土层结构及相应厚度）施工指标（压实度等） •排涝除渍工程。 •滩涂开发工程。 •盐碱化治理工程
z = 0, t ＞ 0
➢具有地下水埋深不变，即土壤水势为已知的有限土壤剖面，除初始条件如上所述而外，应将上下边界规定为 Dirchlet条件。
一、土壤水分入渗过程及规律（四）影响入渗过程的条件
工程造价和工程施工分层方案和各层土质受周围可用土质影响保水保肥保耕作土土壤通气和适度渗漏需要第一部分国内外相关浸没和抬田工程技术发展研究现状42抬田工程的研究现状亭子口库区农田防护工程保水保土性能室内试验第一部分国内外相关浸没和抬田工程技术发展研究现状图4大型土柱试验装置42抬田工程的研究现状亭子口库区农田防护工程低地垫高方案第一部分国内外相关浸没和抬田工程技术发展研究现状图3防护区典型剖面设计52江西省峡江抬田工程关键技术研究技术路线峡江抬田工程关键技术研究抬田区内典型区划分相应的作物种植结构耕作制度灌溉制度作物各生长阶段根系深度土壤水分地下水位等耐渍指标调查类比原位测定分析原状各土层渗透系数密实度含水率模拟水库运行状态下测坑地下水位测试不同土层厚度耕作层粘土层填筑密度填筑含水量渗透系数分析原状土各层物理化学特性粘粒含量现状耕作层犁底层厚度及土壤特性调查测定模拟某填筑方案非水库运行水位耕作作物生长过程调查产量模拟水库运行状态下不同填筑高度形成的测坑地下水埋深对水稻各生长阶段可能产生的渍害程度野外调查与现场试验室内实验抬田区原状指标调查试验抬田工程填筑高度及各层填筑厚度密度等指标确定小区模拟试验测坑模拟试验室内实验模拟并测试不同土层厚度耕作层粘土层填筑密度填筑含水量渗透系数确定保水及控制含水率剖面观测并取耕作层厚度粘土层土样进行室内实验测试小区测坑试验填土各土层土样保水保肥粘粒含量抬田工程前后各项指标时间空间尺度监测数据库抬田工程技术经济评价制定抬田工程规范发表论文申请专利抬田工程申报奖项图图44抬田工程关键技术研究的技术路线第一部分国内外相关浸没和抬田工程技术发展研究现状第六章土壤水分的入渗入渗infiltration蒸发evaporation水循环入渗infiltration蒸发evaporation蒸腾transpiration田间土壤水循环的两种形态一土壤水分入渗过程及规律入渗是水分进入土壤的过程

土壤水运动方程

土壤水运动方程1. 引言土壤水运动是指土壤中水分在各种力的作用下的运动和变化过程。

了解土壤水运动方程是研究土壤水分运动和管理水资源的基础。

本文将介绍土壤水运动方程的基本概念、应用和数学表达式。

2. 土壤水运动方程的意义土壤水运动方程描述了土壤中水分的变化过程，可以帮助我们理解土壤中水分的分布、流动和供水能力。

通过研究土壤水运动方程，我们可以预测土壤中水分的变化，优化灌溉和排水系统，提高农作物的产量和质量，合理利用水资源，保护环境。

3. 水分入渗方程水分入渗是指降雨或灌溉水进入土壤中的过程。

水分入渗方程描述了水分在土壤中的渗透和传导过程，可以用来计算水分的入渗速率和入渗深度。

常见的水分入渗方程有贾斯宁方程、菲利普斯方程和格林-阿姆普斯方程等。

这些方程考虑了土壤的孔隙结构、土壤水分含量和水力梯度等因素对入渗过程的影响。

例如，菲利普斯方程可以表示为：∂θ∂t =C⋅∂2θ∂z2其中，θ表示土壤含水量，t表示时间，z表示深度，C是一个表示土壤性质的常数。

4. 土壤水分运动方程土壤水分运动方程描述了土壤中水分的流动和变化过程。

它是由质量守恒定律、能量守恒定律和运动方程综合得出的。

土壤水分运动方程考虑了土壤水分的流动、蒸发腾发和土壤水分含量的变化等因素。

最常用的土壤水分运动方程是Richard方程，它可以表示为：∂θ∂t =∇⋅(K s⋅∇θ)−∂E∂z其中，θ表示土壤含水量，t表示时间，K s是土壤水分传导系数，∇和⋅表示梯度和点积运算符，E表示蒸发腾发。

土壤水分运动方程可以用来计算土壤中水分的分布和流动速度，预测土壤中水分的变化，优化灌溉和排水系统的设计，提高农作物的生长条件。

5. 应用与案例研究土壤水运动方程在农业生产、土壤水分管理和地下水资源保护等方面有重要的应用价值。

农业灌溉通过研究土壤水运动方程，我们可以预测土壤中水分的分布，合理调控灌溉水量和灌溉时间，提高灌溉的效率，减少水分的浪费。

例如，根据土壤水运动方程，可以优化灌溉系统的设计，选择合适的灌溉方式和灌溉设备，提高农作物的产量和质量。

土壤水动力学

§3 非饱和土壤水运动基本方程…………………………………… 19
一、直角坐标系的基本方程……………………………………… 19
二、基本方程的各种形式………………………………………… 20
三、柱坐标系下的基本方程……………………………………… 24
§4 土壤水运动基本方程的定解条件……………………………… 26
土壤水动力学
绪论
土壤水动力学
教案
冯绍元教授
2002 年 7 月
1
土壤水动力学
绪论
农业水土工程、水文学及水资源、水土保持与荒漠化防治等相关硕士研究生专业基础理论课。
计划学时：60
Soil Water Dynamics Total sixty class hours, and it contains as follow：
第一章
土壤和水的基本概念………………………………………….3
§1 土壤的基本物理性质………………………………………………3
§2 土壤水的基本物理性质……………………………………………6
一、土壤水的形态……………………………………………………6
二、土壤水的能态……………………………………………………7
四、 Smith—Parlange 入渗公式…………………………………… 42
五、 Kostiakov 入渗公式…………………………………………… 43
六、 Horton 入渗公式……………………………………………… 43
七、 Holtan 入渗公式……………………………………………… 44
第四章
蒸发条件下的土壤水分运动……………………………………45
二、 δ 函数近似解…………………………………………………… 39

2 土壤水分运动

§2 土壤水分运动
土壤水分运动的两种途径：毛管理论、水势理论。

毛管理论仅适用于对一些简单的问题分析。

水势理论则是根据在土壤水势基础上推导出的扩散方程，研究土壤的水分运动。

这种方法理论严谨，适用于各种边界条件，因而具有广阔的应有前景。

一、土壤水运动基本方程
在一般情况下，达西定律同样适用于非饱和土壤水分运动。

根据达西定律和质量守恒原则，可推导出水壤水运动基本方程。

土壤水运动基本方程的两种形式：式（1-11）和式（1-14。

在初始条件和边界条件已知的情况下，可求解式（1-11）和式（1-14），得各点土壤含水率（或负压）和土壤水流量的计算公式，或用数值计算法，直接计算各点土壤含水率（或负压）和土壤水流量。

二、入渗条件下土壤水分运动
除雨和灌水入渗是补给农田水分的主要来源。

教材中针对地面已形成一薄水层情况，推导了如下基本公式：
（1）剖面含水率分布，式（1-19'）
（2）入渗速度公式，式（1-20）
（3）入渗速度挖计算公式，式（1-21）
（3）在单间t内入渗入总量计算公式，式（1-21'）
菲利普根据严格的数学推导，由一维土壤水运动方程，推导出了入渗速度的近似计算式，式（1-22），以及t时间内总入渗量计算公式，式（1-23）。

我国习惯采用考斯加可夫经营公式计算入渗速度和入渗水量。

即式（1-25）和式(1-26）。

本课程专门安排了一个实验来验证考斯大林加可夫公式。

第2章_土壤水动力学基本方程

2非饱和水流运动基本方程

第二章 土壤水分运动基本方程2

相间相互作用原理与土壤水动力学基本方程

第二章 土壤水分运动基本方程2

水动力学基本微分方程

第2章 土壤水的保持和运动3

第4讲 土壤水份运动基本方程

土壤水动力学

第2章_土壤水动力学基本方程

节土壤水分运动基本微分方程

水动力学基本微分方程

土壤水动力学1(77)

第2章 土壤水的保持和运动2

第二章-土壤水分运动基本方程2

第二章 土壤水分运动基本方程2讲诉

土壤水动力学课件

土壤水运动方程

土壤水动力学

2 土壤水分运动

第二章土壤水分运动基本方程2

第二章土壤水分运动基本方程2

第2章土壤水的保持和运动3

第4讲土壤水份运动基本方程

第2章土壤水的保持和运动2

第二章土壤水分运动基本方程2讲诉