解析几何 求圆的轨迹方程(专题一)师用

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专题一 求圆的轨迹方程

教学目标:

1、 掌握直线与圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程;

2、 掌握直线与圆的位置关系,可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程

3、 理解圆的标准方程与一般方程之间的关系,会进行互化。 教学重难点:

1、 掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程;

2、 会求曲线的轨迹方程(圆) 教学过程:

第一部分 知识点回顾

一、圆的方程:

1.圆的标准方程:()()2

2

2

x a y b r -+-=。

2.圆的一般方程:2222

0(D E 4F 0)+-x y Dx Ey F ++++=>

特别提醒:只有当22

D E 4F 0+->时,方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22

D E -

-,

的圆 思考:二元二次方程2

2

0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么? 答案: (0,A C =≠且0B =且2

2

40D E AF +->)); 3.圆的参数方程:{

cos sin x a r y b r θθ

=+=+(θ为参数)

,其中圆心为(,)a b ,半径为r 。圆的参数方程的主

要应用是三角换元:

222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==;22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤≤。

4.()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如 (1)圆C 与圆2

2

(1)1x y -+=关于直线y x =-对称,则圆C 的方程为____________ (答:2

2

(1)1x y ++=);

(2)圆心在直线32=-y x 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ (答:9)3()3(2

2

=-+-y x 或1)1()1(2

2

=++-y x );

(3)已知(P -是圆

{

cos sin x r y r θθ

==(θ为参数,02)θπ≤<上的点,则圆的普通方程为________,

P 点对应的θ值为_______,过P 点的圆的切线方程是___________

(答:22

4x y +=;

3

;40x -+=); (4)如果直线l 将圆:x 2

+y 2

-2x-4y=0平分,且不过第四象限,那么l 的斜率的取值范围是_ (答:[0,2]); (5)方程x 2

+y 2

-x+y+k=0表示一个圆,则实数k 的取值范围为____(答:2

1

3sin x M x y y θ

θ

===(θ为参数,0)}θπ<<,{}b x y y x N +==|),(,

若φ≠N M ,

则b 的取值范围是_________(答:(

-)

二、点与圆的位置关系:已知点()00M ,x y 及圆()()()22

2

C 0:x-a y b r

r +-=>,

(1)点M 在圆C 外()()2

2

2

00CM r x a y b r ⇔>⇔-+->;

(2)点M 在圆C 内⇔()()22

2

00CM r x a y b r <⇔-+-<;

(3)点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()2

2

0y b r +-=。如

点P(5a+1,12a)在圆(x -1)2+y 2

=1的内部,则a 的取值范围是______(答:13

1

||

直线:0l Ax By C ++=和圆()()2

2

2

C :x a y b r

-+-=()0r >有相交、相离、相切。可从代数和几

何两个方面来判断:

(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况): 0∆>⇔相交;0∆<⇔相离;0∆=⇔相切;

(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):

设圆心到直线的距离为d ,则d r <⇔相交;d r >⇔相离;d r =⇔相切。提醒:判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如

(1)圆1222

2

=+y x 与直线sin 10(,2

x y R π

θθθ+-=∈≠

k π+,)k z ∈的位置关系为____

(答:相离);

(2)若直线30ax by +-=与圆22

410x y x ++-=切于点(1,2)P -,则ab 的值____

(答:2);

(3)直线20x y +=被曲线22

62x y x y +--150-=所截得的弦长等于

(答:;

(4)一束光线从点A(-1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2

+(y-3)2

=1上的最短路程是

(答:4); (5)已知(,)(0)M a b ab ≠是圆2

2

2

:O x y r +=内一点,现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线

2:l ax by r +=,则

A .//m l ,且l 与圆相交

B .l m ⊥,且l 与圆相交

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