第10章 约束条件下多变量函数的寻优方法
约束条件下多变量函数的寻优方法
第十章约束条件下多变量函数的寻优方法●将非线性规划→线性规划●将约束问题→无约束问题●将复杂问题→较简单问题10．1约束极值问题的最优性条件非线性规划：min f(X)h i(X)=0 (i=1,2,…,m) (10.1.1)g j(X)≥0 (j=1,2,…,l)一、基本概念1．起作用约束设X(1)是问题(10.1.1)的可行点。
对某g j(X)≥0而言：或g j(X(1))=0：X(1)在该约束形成的可行域边界上。
该约束称为X(1)点的起作用约束。
或g j(X(1))＞0：X(1)不在该约束形成的可行域边界上。
该约束称为X(1)点的不起作用约束。
X(1)点的起作用约束对X(1)点的微小摄动有某种限制作用。
等式约束对所有可行点都是起作用约束。
()θcos ab b a =⋅ 2．正则点对问题(10.1.1)，若可行点X (1)处，各起作用约束的梯度线性无关，则X (1)是约束条件的一个正则点。
3．可行方向（对约束函数而言）用R 表示问题(10.1.1)的可行域。
设X (1)是一个可行点。
对某方向D 来说，若存在实数λ1>0，使对于任意λ(0<λ<λ1)均有X (1)+λD ∈R ，则称D 是点X (1)处的一个可行方向。
经推导可知，只要方向D 满足：▽g j (X (1))T D>0 (j ∈J ) (10.1.3)即可保证它是点X (1)的可行方向。
J 是X (1)点起作用约束下标的集合。
在X (1)点，可行方向D 与各起作用约束的梯度方向的夹角为锐角 。
4．下降方向（对目标函数而言）设X (1)是问题(10.1.1)的一个可行点。
对X (1)的任一方向D 来说，若存在实数λ1>0，使对于任意λ(0<λ<λ1)均有f(X (1)+λD)<f(X (1))，就称D 为X (1)点的一个下降方向。
经推导可知，只要方向D 满足：▽f(X (1))T D<0 (10.1.5)即可保证它为X (1)点的下降方向。
多变量约束优化方法
多变量约束优化方法多变量约束优化问题是指在给定一组目标函数和一组约束条件下，通过调整多个自变量的取值，找到使目标函数最优化且满足约束条件的解。
这类问题在实际应用中非常常见，如工程设计、金融管理、运筹学、物流和供应链管理等领域。
传统的优化方法对于多变量约束优化问题求解存在一些问题，如计算复杂度高、易陷入局部最优解等。
因此，为了有效解决这类问题，研究者们提出了多种多变量约束优化方法，下面将介绍其中几种主流的方法。
一、线性规划方法（Linear Programming, LP）线性规划是最简单且常用的多变量约束优化方法之一、它的目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题可以通过单纯形法（Simplex Method）或内点法（Interior Point Method）求解。
虽然线性规划方法的计算复杂度比较低，但它只适用于线性目标函数和线性约束条件的情况。
二、非线性规划方法（Nonlinear Programming, NLP）非线性规划方法可以处理目标函数和约束条件是非线性的情况。
常用的非线性规划方法有梯度法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式，在每一步计算目标函数在当前点的梯度，并根据梯度的信息调整自变量的取值，以逐步逼近最优解。
非线性规划方法的计算复杂度较高，但是可以处理复杂的实际问题。
三、遗传算法（Genetic Algorithm, GA）遗传算法是一种通过模拟生物进化过程的优化方法。
它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，逐步解空间中的最优解。
遗传算法具有全局收敛性和并行计算的特点，对于复杂的多变量约束优化问题有较好的适应性。
四、粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）粒子群优化算法是一种通过模拟鸟群或鱼群的行为进行优化的方法。
在粒子群优化算法中，每个个体（粒子）的位置代表潜在解，速度代表解的方向。
粒子的位置和速度通过迭代的方式进行更新，直到找到最优解。
约束问题的最优化方法
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
min . g k x s.t. x Rn gu x g k x gu x 0
0
0
u 1, 2,..., S 1 u S 1,..., m
以求得的设计点作为新初始点，继续其判断可行性，若仍有不
满足的约束，则重复上述过程，直至初始点可行。
的选择：
要求： ①
② 方法： ①
在可行域内；
不要离约束边界太近。 人工估算，需要校核可行性；
②
计算机随机产生，也需校核可行性。
§5.2 内点惩罚函数法
方法： ③ 搜索方法： 任意给出一个初始点； 判断其可行性，若违反了S个约束，求出不满足约束中的最大值： g k ( x 0 ) max{ gu x 0 } u 1,2,..., S； 应用优化方法减少违反约束：
uI
Z
I为违反约束的集合。
g u x ， 当 g u x 0时， maxg u x ,0 { 0 ，当g u x 0时， x, r
(k )
{
f x r k maxg u x ,0 f x
uI
Z
Z一般取2。
k
k
(k )
H [h ( x
第十章_具有约束的最优控制问题
对于给定的 ，或者 关于( y , u ) 对所有t [ 0 , T ] 是凹 的，或者 H 0 关于 y 对于所有t [ 0 , T ] 是凹的。
如果是无限水平问题，充分性定理仍然适用，但是要 加上一个补充性条件：
T
lim ( t )[ y ( t ) y ( t )] 0
G ( t , y , u ) [ 的运动方程
T
]
(t )
在计划时期内的初始值和终结值是：
0 0
( 0 ) G ( , y , u ) d 0
(T ) G ( , y , u ) d k
0
上页的最优控制问题变为：T 最优控制问题： 最大化 0 F ( t , y , u ) dt
]
H y [ 的运动方程 ]
y
H
[ y 的运动方程
( T ) 0 [ y 的横截条件
( t ) 常数 0
和
]
k
G ( t , y , u ) dt
0
T
0
k
G ( t , y , u ) dt 0 0
T
]
(t )
在计划时期内的初始值和终结值是：
0 0
( 0 ) G ( , y , u ) d 0
(T ) G ( , y , u ) d k
0
上页的最优控制问题变为： 最优控制问题： 最大化 F ( t , y , u ) dt 0 y f (t, y , u ) 满足
(10 . 43 ) (10 . 44 ) (10 . 45 ) (10 . 47 )
约束条件下的最优化问题
在约束条件下的最优化问题是指在一定的限制条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。
这类问题可以通过数学建模和优化算法来解决。
常见的约束条件包括等式约束和不等式约束。
等式约束要求某些变量之间的关系满足特定的等式关系，而不等式约束则要求某些变量之间的关系满足特定的不等式关系。
数学上，约束条件可以表示为：
1. 等式约束：g(x) = 0，其中g(x)是一个关于变量x的函数。
2. 不等式约束：h(x) ≤0，其中h(x)是一个关于变量x的函数。
最优化问题的目标函数可以是线性的、非线性的，甚至是在某些特殊情况下可能是非凸的。
根据问题的具体形式，可以选择适合的优化算法进行求解，如线性规划、非线性规划、整数规划等。
常见的优化算法包括：
1. 梯度下降法：用于求解无约束或有约束的凸优化问题，在连续可导的情况下通过迭代调整参数来逐步接近最优解。
2. KKT条件法：用于求解有约束的凸优化问题，通过构建拉格朗日函数和KKT条件来确定最优解。
3. 内点法：用于求解线性规划和凸优化问题，通过在可行域内寻找目标函数的最优解。
4. 遗传算法：用于求解复杂的非线性优化问题，通过模拟自然进化过程中的选择、交叉和变异操作来搜索最优解。
5. 模拟退火算法：用于求解非线性优化问题，通过模拟固体退火的过程来逐步降低温度并接近最优解。
在实际应用中，约束条件下的最优化问题广泛应用于工程、经济、运筹学、物流等领域。
通过合理地建立数学模型，并选择合适的优化算法，可以有效地解决这类问题，并得到最优解或接近最优解的结果。
约束问题的最优化方法
m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
新目标函数： Φ ( x, r1 , r2 ) =
(k ) M
(k ) p
G[ g u ( x)] + r2 ∑ H [hv ( x)] f ( x) + r1 ∑ u =1 v =1
m
p
H [hv ( x)] 其中r ∑ G[g u ( x)] 和 r ∑ 称为加权转化项，并根据它们在惩 v =1 u =1 罚函数中的作用，分别称为障碍项和惩罚项。
2、等式约束优化问题（EP型）
x ∈ D ⊂ Rn s.t. hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
3、一般约束优化问题（GP型）
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
k →∞
lim[Φ ( x ( k ) , r1 , r2 ) − f ( x ( k ) )] = 0 k →∞
(k ) (k )
分类： 根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函 数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。 这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick 提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规 划问题开创了一个新局面。 适用范围：求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。
多变量约束优化方法
第7章 多维约束优化方法Chapter 7 Constrained Several Variables Technique7-1 概述 Summarize工程中的优化设计问题绝大多数是约束优化问题，即nR X X f ∈)(m innp v X h m u X g t s v u <===≥,,2,10)(,,2,10)(..约束最优点不仅与目标函数的性质有关，也与约束函数的性质有关。
因此，约束优化问题比无约束优化问题情况更复杂，求解困难也更大。
根据对约束条件处理方法的不同，解决约束优化问题的方法分成二类: 1) 直接法 Direct Method寻优过程直接在设计空间的可行域D 内进行，但对每一个迭代点)(k X 必须进行可行性()(()01,2,,)k u g X u m ≤= 和下降性))()(()1()(+>k k X f X f 检查。
直接算法简单，直观性强，对目标函数和约束函数的函数性态没有特殊的要求。
但是它的计算量大、收敛速度慢，因此效率低，比较适用于解决低维数的、具有不等式约束的优化问题。
这类算法包括随机方向法、复合形法等。
2) 间接法 Indirect Method间接法的主要思路是，首先将约束优化问题转化为无约束优化问题，然后再用无约束 优化方法来进行求解。
间接解法分很多类，其中比较有代表性的、用的比较广泛的是惩罚函数法。
7-2 惩罚函数法 Penalty Method在将约束优化问题转换成无约束优化问题时,惩罚函数法的处理思路与拉格朗日法很相似, 都是把目标函数与约束条件合并形成新的函数,而后求其最优解。
但惩罚函数法得到的新函数不是一个而是一个系列。
因此，用无约束优化算法求解得的最优解也是一个系列，即**2*1,,kX X X ，当k →∞时，**k X X →。
因此，惩罚函数法又称序列无约束最小化技术Sequential Unconstrained Minimization Technique ， 即SUMT 法。
《约束优化方法》课件
牛顿法
01 总结词
基本原理、优缺点
02
基本原理
牛顿法基于泰勒级数展开，通 过迭代更新参数，构造出目标 函数的二次近似模型，并利用 该模型求解最优解。在约束优 化问题中，牛顿法通常用于处 理等式约束或非线性不等式约 束。
03
优点
04
收敛速度快，通常只需要较少的 迭代次数就能找到最优解。
缺点
对初值选择敏感，如果初值选择 不当，可能无法收敛到最优解； 同时计算量较大，需要存储和计 算Hessian矩阵。
物流配送问题旨在在满足客户需求和运输能力等约束 条件下，合理安排货物的配送路线和运输方式，以最 小化运输成本或最大化运输效率。
详细描述
物流配送问题需要考虑客户分布、运输网络、运输能 力、时间限制等多个约束条件，通过优化配送路线和 运输方式，提高物流效率和客户满意度。
2023
REPORTING
THANKS
非线性规划的解法包括梯度法、牛顿 法、共轭梯度法等，这些方法可以用 于解决函数优化、机器学习、控制系 统等领域的问题。
整数规划
整数规划是约束优化方法中的一种特殊类型，它要求所有决策变量均为整数。
整数规划的解法包括分支定界法、割平面法等，这些方法可以用于解决车辆路径问题、背包问题、布局问题等具有整数约束 的问题。
REPORTING
线性规划
线性规划是最早的约束优化方法之一 ，它通过寻找一组变量的最优解来满 足一系列线性不等式约束和等式约束 ，并最大化或最小化某个线性目标函 数。
线性规划的解法包括单纯形法、分解 法、网络流算法等，这些方法可以用 于解决生产计划、资源分配、运输问 题等实际应用。
非线性规划
非线性规划是约束优化方法的一个重 要分支，它研究的是目标函数和约束 条件均为非线性的优化问题。
数学中的多目标优化问题
数学中的多目标优化问题在数学领域中，多目标优化问题是一类涉及多个目标函数的优化问题。
与单目标优化问题不同，多目标优化问题的目标函数不再是一个唯一的优化目标，而是存在多个冲突的目标需要同时考虑和优化。
这类问题的解决方法有助于在实际应用中找到最优的综合解决方案。
本文将介绍多目标优化问题的定义、应用领域和解决方法。
一、多目标优化问题的定义多目标优化问题可以描述为寻找一个决策向量，使得多个目标函数在约束条件下达到最优值的过程。
具体而言，假设有n个优化目标函数和m个约束条件，多目标优化问题可以定义为：Minimize F(x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x))Subject toc1(x) ≤ 0, c2(x) ≤ 0, ..., cm(x) ≤ 0h1(x) = 0, h2(x) = 0, ..., hk(x) = 0其中，x是一个决策向量，f1(x)、f2(x)、...、fn(x)是目标函数，c1(x)、c2(x)、...、cm(x)是不等式约束条件，h1(x)、h2(x)、...、hk(x)是等式约束条件。
二、多目标优化问题的应用领域多目标优化问题的应用广泛，涉及各个领域。
以下是几个常见的应用领域：1. 工程设计：在工程设计中，常常需要权衡多个目标，如成本、质量、安全等，通过多目标优化可以找到最佳设计方案。
2. 金融投资：在金融领域，投资者可能追求最大化收益、最小化风险等多个目标，多目标优化可以帮助投资者找到最优的投资组合。
3. 能源管理：在能源管理中，需要综合考虑最大化能源利用率、减少能源消耗等目标，通过多目标优化可以得到最优的能源管理策略。
4. 交通规划：在交通规划中，需要考虑最小化交通拥堵、最大化交通效率等目标，多目标优化可以帮助规划者做出最佳的交通规划方案。
三、多目标优化问题的解决方法多目标优化问题的解决方法有多种，下面介绍几个常用的方法：1. 加权法：加权法是最简单的多目标优化方法之一。
带约束条件的优化函数
带约束条件的优化函数带约束条件的优化函数主要是在优化模型中加入一些限制条件，使得优化结果符合实际要求。
这些限制条件可以是问题自身的性质，也可以是实际情况中的限制，例如机器的能力限制、现有条件下的资源限制等。
在带约束条件的优化函数中，我们不仅需考虑优化变量的取值，而且还需考虑约束条件的具体限制。
因此，我们需要在原来的目标函数中加入一些限制条件，以反映出问题的实际约束。
一般来说，带有约束条件的优化问题可以表示如下：$$ \min f(x) $$$$\text{s.t.} \begin{cases} g_i(x) \leq 0, & i=1,...,m\\ h_j(x) = 0, & j=1,...,n \end{cases}$$其中，$f(x)$为目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$分别为不等式约束和等式约束函数，$m$和$n$分别为不等式约束和等式约束的个数。
这个式子可以理解为，在最小化$f(x)$的同时，需要满足$g_i(x) \leq 0$和$h_j(x) = 0$的约束条件。
为了解决这样的优化问题，需要使用一些常见的方法。
以下列举几种常见的解法：1. 拉格朗日对偶法在这个方法中，我们将原优化问题转化为一个新的优化问题，其中每个约束都有一个对应的拉格朗日乘子。
以一个简单的二次规划为例，优化问题可以表示为：使用拉格朗日对偶法，我们可以得到原问题的一个对偶问题：$$ \max -b^T\lambda - d^T\mu $$其中，$\lambda$和$\mu$分别为不等式和等式约束的拉格朗日乘子。
在这个对偶问题中，我们最大化一个函数$g(\lambda,\mu)$，其中，对偶函数$g(\lambda,\mu)$是原问题的下界，任何可行解$x$在原问题中有$f(x)\geq g(\lambda,\mu)$。
这个对偶问题可以通过某些算法求解，最后可以得到原问题的优化解。
2. 内点法内点法是用于求解线性和非线性的带约束优化问题的一种优化算法。
第十章 多目标优化方法简介
求f2 (x)最优值时，公式如下：
min f 2 x * x D x f x f 1 1 1
采用分层序列法，求解过程中可能出现中断现 象，使求解过程无法继续进行下去。一般采用宽容 分层序列法
min f1 x f1* 1 xD min f 2 x f 2* 2 * x D x f x f 1 1 1 1 min f 3 x f 3* 3 * x D x f x f 2 i i i min f l x 4 * x D x f x f l 1 i i i
在约束条件下的极小值是maxminminmaxmaxxfxfxfxfxfxfxfkkkkkkkkk????多目标问题的一个设计方案的好坏程度可以用各功效系数的平均值加以评定即用总的功效系数的大小来评价该设计方案的好坏显然最优设计方案应是多目标问题的一个设计方案的好坏程度可以用各功效系数的平均值加以评定即用总的功效系数的大小来评价该设计方案的好坏显然最优设计方案应是qq??????21max21?????qq????这样当时表示取得最理想的设计方案反之表示这种设计方案不可行也表明必有某项分目标系数的
对实际问题来说，还应注意目标函数值量纲的 影响，建议首先对目标函数进行无量纲化：
f k min ( X )、f k max X 是f k ( X )在约束条件下的极小值 和极大值。
f k ( X ) f k min ( X ) f k X f k max ( X ) f k min ( X )
wk是第k个分目标函数的加权因子(wk>0)，其值 决定于各目标的数量级及重要程度。 如何确定合理的加权因子是线性加权法的核心，
数学优化与约束条件问题的求解
数学优化与约束条件问题的求解数学优化是指在给定的一组约束条件下，寻找使得目标函数达到最优值的一组变量取值。
在实际问题中，许多决策问题都可以被转化为数学优化问题，如生产优化、资源分配、路径规划等。
然而，由于约束条件的存在，优化问题的解并不总是容易获得。
因此，本文将介绍数学优化中的约束条件问题，并探讨其求解方法。
一、约束条件问题的定义与分类在数学优化中，约束条件是对优化变量的取值进行限制的条件。
根据约束条件的性质，可将约束条件问题分为等式约束条件和不等式约束条件两类。
1. 等式约束条件等式约束条件指的是将优化变量的某些参数通过等式进行约束。
例如，若要优化一个长度为L的长方形的面积，则可以设长为x，宽为y，且满足x * y = L。
这个约束条件即为等式约束条件。
2. 不等式约束条件不等式约束条件则是通过不等式来约束优化变量的取值范围。
例如，在生产优化问题中，某种产品的生产成本与产量之间存在关系，若生产量为x，成本为y，则可能存在y >= f(x)的不等式约束条件，其中f(x)为生产成本函数。
二、约束条件问题的求解方法为了解决约束条件问题，数学优化领域提出了一系列求解方法，包括拉格朗日乘子法、KKT条件等。
1. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的求解约束条件问题的方法。
该方法通过构建拉格朗日函数，并通过求导等条件，将优化问题转化为一个无约束条件的问题。
具体步骤如下：（1）构建拉格朗日函数：设目标函数为f(x)，等式约束条件为g(x)，不等式约束条件为h(x)，则拉格朗日函数L(x, λ)为L(x, λ) =f(x) + λg(x) + μh(x)，其中λ和μ为拉格朗日乘子。
（2）通过求导求解：将L(x, λ)对x进行求偏导，并令其等于0，求得优化问题的解。
2. KKT条件KKT条件是指在最优解处，优化变量的取值要同时满足目标函数、等式约束条件和不等式约束条件的一组条件。
具体包括原始可行性条件、对偶可行性条件、互补松弛条件和梯度条件等。
多目标约束条件下 最优解
多目标约束条件下最优解多目标约束条件下的最优解一、引言在现实生活中，我们常常面临多个目标和约束条件的冲突。
例如，我们在购买商品时可能既追求价格优惠，又希望品质可靠；在规划旅行路线时既希望时间紧凑，又希望玩得尽兴。
这些问题都可以被抽象成多目标优化问题，其中的解称为最优解。
二、多目标优化问题的定义多目标优化问题是指在存在多个目标函数和多个约束条件的情况下，寻找一个解使得目标函数达到最优的同时满足所有约束条件。
其中，目标函数可以是最大化或最小化的目标，约束条件可以是等式约束或不等式约束。
三、多目标优化问题的解决方法1.加权法加权法是一种常用的求解多目标优化问题的方法。
它通过对各个目标函数进行加权，将多个目标函数融合为一个单一的综合目标函数，并通过求解这个综合目标函数的最优解来得到最优解。
加权法的优点是简单易行，但是需要人为设定权重，可能存在主观性。
2. Pareto最优解Pareto最优解是指在多目标优化问题中，无法找到一个解使得所有目标函数同时达到最优，而是存在一组解，其中每个解在某个目标函数上优于其他解。
这些解构成了Pareto最优解集。
Pareto最优解的求解需要使用Pareto支配的概念，即一个解在目标函数上优于另一个解。
通过比较所有解之间的Pareto支配关系，可以找到Pareto最优解集。
四、多目标优化问题的应用多目标优化问题在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 供应链优化：在供应链管理中，需要考虑成本、交货时间、货物质量等多个目标，通过多目标优化可以找到最佳供应链配置方案。
2. 交通规划：在城市交通规划中，需要考虑车流量、行车速度、排放污染物等多个目标，通过多目标优化可以设计出最优的交通路网。
3. 能源系统优化：在能源系统设计中，需要考虑能源利用效率、环境影响、经济性等多个目标，通过多目标优化可以找到最佳的能源系统配置方案。
五、多目标优化问题的挑战与展望多目标优化问题的求解面临着许多挑战。
多目标约束条件下 最优解
多目标约束条件下最优解多目标约束条件下的最优解在现实生活中，我们经常会面临多个目标同时存在的问题。
例如，在企业决策中，我们不仅要考虑利润最大化，还要考虑成本最小化、风险最小化等多个目标。
在这种情况下，我们需要找到一个最优解，使得多个目标同时得到最优化。
为了解决这类问题，我们可以使用多目标优化方法。
多目标优化是指在存在多个目标函数的情况下，寻找使这些目标函数同时最优化的解。
与传统的单目标优化不同，多目标优化需要考虑多个目标之间的相互关系和权衡。
在多目标优化中，我们需要考虑两个方面的约束条件：目标函数的约束条件和决策变量的约束条件。
目标函数的约束条件是指我们希望优化的目标函数需要满足的条件，例如利润最大化、成本最小化等。
决策变量的约束条件是指决策变量需要满足的条件，例如资源限制、技术要求等。
为了找到多目标优化问题的最优解，我们可以借助多目标优化算法。
常用的多目标优化算法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
这些算法通过不断地迭代和优化，逐渐接近最优解。
在多目标优化中，我们常常需要面临一个折中的问题。
由于多个目标之间存在冲突，很难同时达到最优化。
因此，我们需要在多个目标之间进行权衡，找到一个平衡点。
这个平衡点不是每个目标都达到最优，而是在不同目标之间找到一个最优的平衡。
为了解决这个问题，我们可以使用多目标优化中的非支配排序方法。
非支配排序方法将解空间划分为多个不同的层次，每个层次代表一个非支配解的集合。
在每个层次中，我们可以选择一个最优的解作为代表。
这样，我们就可以得到一个解的集合，其中每个解都是在多个目标之间找到的最优平衡。
除了非支配排序方法，我们还可以使用模糊集理论来解决多目标优化问题。
模糊集理论可以将模糊的目标函数和约束条件转化为具体的数值，从而进行优化。
通过模糊集理论，我们可以考虑不同目标之间的模糊性和不确定性，找到一个最优的解。
总结起来，多目标约束条件下的最优解是一个在多个目标之间找到的最优平衡点。
约束多目标优化计算
约束多目标优化计算
约束多目标优化是指在优化问题中存在多个目标函数，并且这些目标函数之间存在一定的约束关系。
在这种情况下，我们希望找到一组解，使得目标函数达到最优的同时，满足约束条件。
常见的约束多目标优化计算方法有以下几种：
1. 加权方法：将多个目标函数转化为单一目标函数，通过分别设定各个目标函数的权重，并根据问题的特点来选择合适的权重值，通过单一目标函数的优化来求解。
2. Pareto最优解方法：通过Pareto最优解的概念，将多目标优化问题转化为求解Pareto最优解的问题。
Pareto最优解是指找到一组解，使得无法通过调整其中任何一个目标函数而同时改善其他目标函数的解。
3. 约束法：将约束条件与目标函数一起考虑，将约束条件作为目标函数的一部分进行优化。
可以使用罚函数法将约束条件转化为目标函数的罚项，通过优化罚函数来求解。
4. 模糊多目标优化方法：将多目标优化问题转化为一个模糊多目标优化问题，通过模糊集合论的相关概念和方法来求解。
通过模糊集合的隶属函数来描述目标函数和约束条件之间的模糊程度，并通过模糊规则来进行决策。
这些方法各有优劣，选择合适的方法取决于具体问题的特点和约束条件的复杂程度。
在实际应用中，可以根据问题的具体情况选择相应的方法来进行约束多目标优化计算。
多变量约束优化算法实例
1、非线性不等式约束【例1】已知 f(x)=e x1∗(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1) ，且满足非线性约束：{x1x2−x1−x2≤−1.5x1x2≥−10，求min x f(x)。
【分析】fmincon函数要求的约束一般为c(x)≤0。
故对约束条件要变形。
【程序清单】%编写目标函数：function y=objfun(x)y=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);%编写返回约束值得函数：function[c,ceq]=confun(x)%非线性不等式约束c=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2); -x(1)*x(2)-10];%线性等式约束ceq=[];x0=[-1,1];%采用标准算法options=optimset('largescale','off'); %这是对寻优函数搜索方式的设定，LargeScale指大规模搜索，off表示在规模搜索模式关闭。
[x,fval]=fmincon('objfun',x0,[],[],[],[],[],[],'confun',options)【输出结果】x =-9.5474 1.0474fval =0.02362、边界约束问题【例2】已知 f(x)=e x1∗(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1) ，求minxf(x)。
且满足非线性约束：{x1x2−x1−x2≤−1.5 x1x2≥−10边界约束：{x1≥0 x2≥0【分析】此类问题在非线性约束的基础上增加了变量x的边界条件，在fmincon 函数输入参数中加上Ib和ub参数即可。
【程序清单】%编写目标函数：function y=objfun(x)y=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);%编写返回约束值得函数：function[c,ceq]=confun(x)%非线性不等式约束c=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2); -x(1)*x(2)-10];%线性等式约束ceq=[];x0=[-1,1];%设置下界Ib=[0,0];%无上界ub=[];%采用标准算法options=optimset('largescale','off'); %这是对寻优函数搜索方式的设定，LargeScale指大规模搜索，off表示在规模搜索模式关闭。
数学建模案例之多变量有约束最优化
数学建模案例之多变量有约束最优化多变量有约束最优化是数学建模中常见的问题之一，其目标是在多个变量的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
举个例子，假设我们有一块草地，现在要在上面建设一个矩形花坛，花坛的周长为20米。
我们想要最大化花坛的面积。
如何确定花坛的尺寸才能使得面积最大呢？我们可以设花坛的长为x，宽为y，则花坛的面积为S=xy。
又因为花坛的周长为20米，所以有2x+2y=20。
我们的目标是最大化S。
这是一个多变量有约束最优化问题。
我们可以将其转化为单变量无约束优化问题，通过消元的方式求得一个变量的表达式，然后将其代入目标函数中求解。
具体步骤如下：1.将约束条件与目标函数联立，得到一个包含约束条件和目标函数的方程组。
2x+2y=20S=xy2.将方程组中的一个变量用另一个变量表示，然后代入目标函数中，得到一个只含一个变量的函数。
2x+2y=20 可以化简为 x=10-y，将其代入目标函数S=xy，得到S=y(10-y)=10y-y^23.求解这个只含一个变量的函数的最大值或最小值。
对函数S(y)=10y-y^2求导，得到S'(y)=10-2y。
令导函数为0，即求解方程10-2y=0，得到y=54.将求解得到的变量值代入约束条件中，得到另一个变量的值。
将y=5代入方程x=10-y，得到x=10-5=55.将求解得到的变量值代入目标函数中，得到目标函数的最大值或最小值。
将x=5，y=5代入S=y(10-y)，得到S=5(10-5)=25综上所述，在花坛的周长为20米的约束条件下，使得花坛的面积最大时，花坛的尺寸为5米×5米，面积为25平方米。
多变量有约束最优化问题的解法方法不仅仅局限于上述步骤，还可以利用拉格朗日乘子法、KKT条件等进行求解。
通过适当选择合适的方法，可以高效地解决实际问题中的多变量有约束最优化问题。
总结起来，多变量有约束最优化问题是数学建模中常见的问题之一，通过转化为单变量无约束问题，可以找到目标函数的最大值或最小值。
约束优化方法课件
s．4 当一次迭代的初始点与终点的函数值达到
和其步长达到
f( x ) f( x (0) )
f( x (0) )
ε 1
x x (0) ε 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
时，即结束搜索过程。其最优解为： x*= x， f(x* ) ＝f(x )。否则转向第2步。
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随机方向搜索法的特点 （1）随机方向搜索法的优点是对目标函数的性态无特殊要求，程序结构简单，使 用方便。另外，由于搜索方向是从许多方向中选择出目标函数值下降最好的方向， 再加上随机变更步长，所以收敛速度比较快。若能选取一个较好的初始点，则其迭 代次数可以减少。因此，它对于大型机械优化设计问题是一种较为有效的方法。
3.2.1 约束优化方法概述
一、约束优化问题的数学模型
minf(x) x D Rn
s.t. gi (x) 0 hj (x) 0
i 1, 2, m j 1, 2, p n
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二、约束优化方法分类
（1). 直接法 直接法是在满足约束条件的可行域内直接求出问题的约束最优解，整个求解过 程在可行域内进行，因而所得的任一方案都是可行的。原理比较简单，方法比较适 用。
R=a+r(b-a)
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二、初始点的选择 通常可以有两种确定方法： (1)决定性的方法 即在可行域内人为地确定一个可行的初始点。当约束条件比较简单时，这种
方法是可用的。但当约束条件比较复杂时，人为选择一个可行点就比较困难， 建议用下面的随机选择方法。
(2)随机选择方法 即利用计算机产生的伪随机数来选择一个可行的初始点x(0)。
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3.2.2 约束随机方向法
基本原理
对于求解
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j g j ( X ) 0 , j 1, , l j 0 ,
j 1, , l
2. 凸规划的全局最优解定理 对非线性规划问题(1)而言, 若 f(X) 是凸函数，gj(X)是凹函数， hi(X)是线性函数，则库恩—塔克点 X* 是全局最优解.
[注] d为点X1的下降方向f(X1)Td<0 .
5. 可行下降方向
设有非线性规划问题
min f ( X ) s . t . hi ( X ) 0 , i 1 , , m g j ( X ) 0 , j 1, , l (1 )
运筹学
二、库恩—塔克(Kuhn-Tucker)条件
j1
称为广义拉格朗日函数.
二、库恩—塔克(Kuhn-Tucker)条件
运筹学
对于凸规划, 库恩—塔克条件是最优点存在的充要条件. 1. 一阶必要条件定理 对非线性规划问题(1)而言, 若X*是局部或全局极值点且为正则 点, 则一定存在向量 ( , , m ) 及 ( 1 , , l ) ,使得下述条件 1 成立. f (X ) h (X ) g (X ) 0
是确定某点为最优点的一阶必要条件. 只要是最优点且为正则点就必满足该条件. 对于凸规划, 库恩—塔克条件是最优点存在的充要条件. 1. 一阶必要条件定理 对非线性规划问题(1)而言, 若X*是局部或全局极值点且为正则 点, 则一定存在向量 ( , , m ) 及 ( 1 , , l ) ,使得下述条件 1 成立.
设有非线性规划问题
min f ( X ) s . t . hi ( X ) 0 , i 1 , , m g j ( X ) 0 , j 1, , l (1 )
运筹学
3. 可行方向 设R是非线性规划问题(1)的可行域, X1是可行点, d为某个给定 方向, 若存在1>0, 使得对于任意的(0< <1), 都有 X1+ dR 则称方向d为点X1处的一个可行方向.
第10章 约束条件下多变量函数的寻优方法
§10.1 约束极值问题的最优性条件
设有非线性规划问题
min f ( X ) s . t . hi ( X ) 0 , i 1 , , m g j ( X ) 0 , j 1, , l (1 )
运筹学
一、基本概念 1. 起作用约束
等式约束对所有可行点来说都是起作用约束. 2. 正则点
例2 求下列非线性规划问题.
min f ( X ) 2 x 1 2 x 1 x 2 x 2 10 x 1 10 x 2
2 2
s .t . x 1 x 2 5
2 2
3 x1 x 2 6
令J为X1点所有起作用约束的下标的集合, 即 J={j|gj(X1)=0, 1≤j≤l} 则d为点X1的可行方向gj(X1)Td≥0 (jJ). d为点X1的下降方向f(X1)Td<0 . 例3 设有非线性规划问题(教材4.11题)
等式约束对所有可行点来说都是起作用约束. 2. 正则点 对于非线性规划问题(1), 若在可行点X1处, 各起作用约束的 梯度线性无关, 则X1是约束条件的一个正则点. 3. 可行方向 设R是非线性规划问题(1)的可行域, X1是可行点, d为某个给定 方向, 若存在1>0, 使得对于任意的(0< <1), 都有 X1+ dR 则称方向d为点X1处的一个可行方向.
m l i j i j i1 j1
j g j ( X ) 0 , j 1, , l j 0 ,
j 1, , l
2. 凸规划的全局最优解定理 对非线性规划问题(1)而言, 若 f(X) 是凸函数，gj(X)是凹函数， hi(X)是线性函数，则库恩—塔克点 X* 是全局最优解. [注] (1) f(X) 是开凸集R上的凸函数 f(X) 的海赛矩阵2f(X)在 R上处处半正定. (2) f(X) 是开凸集R上的严格凸函数 f(X) 的海赛矩阵2f(X)在 R上处处正定.
例1 求下列非线性规划问题.
min f ( X ) x 1 s .t . x 1 0 x1 x 2 1 1 3 ( x 2 1)
2
X*=(1/2,1/2)T, z*=5/4
二、库恩—塔克(Kuhn-Tucker)条件
运筹学
对于凸规划, 库恩—塔克条件是最优点存在的充要条件. 1. 一阶必要条件定理 对非线性规划问题(1)而言, 若X*是局部或全局极值点且为正则 点, 则一定存在向量 ( , , m ) 及 ( 1 , , l ) ,使得下述条件 1 成立. f (X ) h (X ) g (X ) 0
min f ( X ) ( x 1 2 ) ( x 2 3 )
2 2
运筹学
s .t . x 1 ( x 2 2 ) 4
2 2
x2 2
求在下列各点处的可行下降方向,并绘图表示各点的可行下降 方向的范围. (1) X1=(2, 2)T (2) X2=(3, 2)T (3) X3=(0, 0)T
对于非线性规划问题(1), 若在可行点X1处, 各起作用约束的 梯度线性无关, 则X1是约束条件的一个正则点.
设有非线性规划问题
min f ( X ) s . t . hi ( X ) 0 , i 1 , , m g j ( X ) 0 , j 1, , l (1 )
运筹学
一、基本概念 1. 起作用约束
运筹学
作业：P202页第4.17题之（3） 补充：
min f ( X ) ( x 3 ) s .t . 1 x 5
2
二、库恩—塔克(Kuhn-Tucker)条件
运筹学
对于凸规划, 库恩—塔克条件是最优点存在的充要条件. 1. 一阶必要条件定理 对非线性规划问题(1)而言, 若X*是局部或全局极值点且为正则 点, 则一定存在向量 ( , , m ) 及 ( 1 , , l ) ,使得下述条件 1 成立. f (X ) h (X ) g (X ) 0
m l i j i j i1 j1
j g j ( X ) 0 , j 1, , l j 0 ,
j 1, , l
2. 凸规划的全局最优解定理 对非线性规划问题(1)而言, 若 f(X) 是凸函数，gj(X)是凹函数， hi(X)是线性函数，则库恩—塔克点 X* 是全局最优解.
f (X )
i1
m
i hi ( X j1
l
j g j ( X ) 0 , j 1, , l
j
0
,
l
j 1, , l
[注]
f (X )
i1
m
i hi ( X ) j g j ( X )
运筹学
[注] 令J为X1点所有起作用约束的下标的集合, 即
J={j|gj(X1)=0, 1≤j≤l}
则d为点X1的可行方向gj(X1)Td≥0 (jJ).
4. 下降方向 设X1是可行点, 对于该点任一方向d, 若存在1>0, 使得任意(0< <1), 都有f(X1+ d)< f(X1), 则称方向d为X1点的一个下降方向.
[注] 令J为X1点所有起作用约束的下标的集合, 即
J={j|gj(X1)=0, 1≤j≤l} 则某个方向d为点X1的可行方向gj(X1)Td>0 (jJ).
3. 可行方向 设R是非线性规划问题(1)的可行域, X1是可行点, d为某个给定 方向, 若存在1>0, 使得对于任意的(0< <1), 都有 X1+ dR 则称方向d为点X1处的一个可行方向.