高等数学部分习题答案摘录

次序

不定积分基本积分公式

不定积分第一换元法(凑微分法)

不定积分第二换元法

不定积分的倒数换元法

不定积分分部积分法

不定积分有理函数积分法

不定积分三角有理式的特殊情形

定积分的定义

定积分变上限积分

定积分的性质

定积分的换元法

定积分的分部积分法

利用对称性求定积分

定积分的应用

向量代数

其他类型习题

简称

上册：《高等数学》上册南开大学数学科学学院刘光旭张效成赖学坚编

下册：《高等数学》下册南开大学数学科学学院刘光旭张效成赖学坚编

讲义：《高等数学习题课讲义》（第三版）上册薛运华赵志勇编著

提示

在文档中可以用Ctrl+F搜索关键字，例如“利用对称性求定积分”，“231页B1”等，这样能更快地查找。

不定积分基本积分公式

不定积分第一换元法(凑微分法)

1.如果被积函数中明显含有复合函数，就能顺藤摸瓜，找到中间变量，

也就是找到凑微分的对象。只要在被积函数中再找出，就可以凑微分了（允许差一个常倍数）。

2.如果复合函数不明显，但被积函数中有一个因子适合看成，也可以先凑微分，

再看剩余部分能否理解成的函数.

3.有些题则需要主动进行恒等变形，将被积函数中分解成与的乘积。

讲义112页14.2(9)

006

解题思路如下

008

分子分母同时乘以x，xdx凑微分

也可以直接令t=

如果把x换成tant呢？估计也行。011

012上册200页A1(62)

013

022

先通分，然后注意到

是的导数，是f的导数

于是可以通过商的导数公式凑出来

不定积分第二换元法

以去掉根号，简化运算为最终目的，其他的都是手段总结规律是为了提高尝试的成功率

熟练掌握后，什么招好使就使什么招，规律也有例外003

028上册198页A1(16)

上面的解答有点小问题

还可以这样

因为不定积分是在某个区间内求原函数，两种区间只能取其中一个（也可以是子区间），所以也可以不讨论。

假设换个题，被积函数处处有定义，就得注意讨论了。

但是中，x<-1时，这两个C不相等，前一个叫C1比较好。如果是用表示原函数，则必须分类讨论了。

因为有x的奇数次方，

这样更省事。

032

035讲义习题15.2(7)

还要把t换回x

041

令t=，可以算，但很麻烦所以选取以下做法

不定积分的倒数换元法

024上册200页(63)

忘了+C

不定积分分部积分法

图里写得不太正式，第一行的意思是，首选对数函数、反三角函数作u(x)，剩下的凑成dv 如果没有，再选多项式函数作u(x)

解方程的例子：

抽象函数的例子：

抵消的例子：

048上册201页A2

002上册198页(21)

解法二

004

解法二

上面的解法忘记+C 007

分部积分时，首选对数函数、反三角函数作u(x)

这题两个都出现了，任选一个作u(x)，先干掉一个，剩下那个就好办了

上面的方法选择对数函数作u(x)，下面的方法选择反三角函数作u(x)，都是可以的（跳步的地方请读者自行脑补）

实际上，也可以选择对数函数和反三角函数的乘积作u(x)，解法如下

009上册199页(39)

39题答案是错的，正确计算会比较麻烦，可以跳过此题。

这个函数在x=1不可导，

所以在点x=1不能用分部积分法,需要先求其他处的原函数，然后利用原函数连续性求出x=1处的值。详细解答如下：

010上册199页(40)

不定积分有理函数积分法

部分分式就这四种

只要分母中有二次不可约因式，分子就是一次多项式

否则分子是常数

有理真分式如何拆成部分分式

1、先把分母f(x)因式分解，分解成一次因式、二次不可约因式的乘积

2、凡是分母能够整除f(x)的部分分式都要在右式出现，不能整除的不出现

3、右式通分，对比两边的分子

4、可以对比多项式各项系数，也可以代入x的特殊取值，求出部分分式的分子中那些待定系数

018上册199页(42)

不定积分三角有理式的特殊情形

可以推广到整数

本题是m=-1，n=0的情形

定积分的定义

015上册220页B4(2)

其中

这是普通的定积分，c>0 最后再求极限

逼近

030上册219页A10

033上册211页B1

定积分变上限积分（参见习题课讲义134-136页）

注：f连续，且被积函数不含参变量x，才能用以上公式。

求导：

换元，令u=x-t，再求导即可

019上册219页A1(4)求导

026上册211页A8

定积分的性质

005

016上册220页B5 ,B6

6题见习题课讲义129页例16.8 5题方法与6类似

036

积分中值定理即可

021上册211页B7

025上册211页B6

老师第六题可以用柯西中值定理吗?

g(x)有时可能=0，不满足柯西中值定理的条件029上册211页A7