实验九 光学信号的空间频谱与空间滤波

说 明
【思考题】 1. 为什么笼统地说频谱平面就是傅立叶透镜的后焦平面是错误的？ 2. 分析总结单透镜系统光路的特点。 3. 为什么采用一维方向滤波器滤波，当让 45 斜方向的频பைடு நூலகம்分量通过时，输出像的条纹间距 比让水平和竖直分量通过时的条纹间距小(条纹变密)？
D
9- 4
由复指数函数的正交性。
∞
−∞
∫e
− j 2π ( f x − mf 0 ) x
dx = δ ( f x − mf 0 )
上式中 δ ( f x − mf 0 ) 称为 δ 函数，于是
G( f x ) =
m = −∞
∑c
∞
m
δ ( f x − mf 0 )
(9-5)
由 δ 函数的性质可知，当 f x − mf 0 = 0 时， δ ( f x − mf 0 ) 取值才不为零；可知当 f x − mf 0 ≠ 0 时，
物面 ( x, y ) 频谱面 像面 ( x′, y′)
A B C
P1 P2
S −1 S0 S −1
P3 图 9-2 阿贝成像原理示意图
C′
B′
A′
9- 2
像。但图 48-1 的第二次变换不是由长距离来完成夫琅和费衍射的，而是通过透镜 L2 来实现的， 这些由 P2 平面上各光点发射的发散球面波被 L2 变换成不同角度传播的平面波在输出平面 P3 处实 现干涉叠加,形成输出像。 4. 光学信号的空间滤波 如前所述，光学信号经傅立叶变换透镜变换在频谱面上形成信号的频谱(信号的夫琅和费衍射 图样)。如果在频谱面上设置各种空间滤波器，挡去频谱中某一些空间频率成分，或改变某些分量 的位相，则将明显地影响图像，这就是空间滤波。光学信息处理的实质就是设法在频谱面上滤去 无用信息分量或改变某些分量而保留有用分量，从而在输出面上获得所需要的图像信息。 总之，空间滤波是光学信号处理的一种重要技术，它是通过对物频谱的改造处理来达到对信 号(物分布)作相应改造处理，这也正是相干光信息处理的基本思想与内容。 【实验仪器】 OIP 光学信号处理系统；He-Ne 激光器(或半导体激光器)；测微目镜(或横卧显微镜)，游标卡 尺。 【实验内容】 1. 打开激光器，将小孔屏插入固定滑座，小孔屏高度适中。让激光通过小孔，当滑座在整个 导轨上移动，激光束都通过了小孔，说明对激光器的调节已完成了否则还应调节激光器。 2. 图 9-1 排布光路，顺序是傅立叶透镜 L1 、 L2 ，准直镜 L0 ，使它们等高共轴后再加入扩束 镜C 。 3. 在 L1 的前焦面 P 或低频正交光栅)， 在 L1 的后焦平面( P2 平面)处放置白屏， 1 上放物(网格物， 其上呈现出网格的傅立叶频谱，改变物面与 L1 的距离，观察频谱大小有无变化(注意观察并和后面 提到的光路进行比较)，再将网格物放置在 L1 的前焦面上。 4. 用游标卡尺测量 x 2 及 y 2 方向 ± 1 级光斑的距离 2 x 2 和 2 y 2 ，它们的一半代入式(48-3)，求 物信号在 x 2 及 y 2 方向的基频。 5. 取下 P2 处的白屏换成滤波器，P3 放置测微目镜(或横卧显微镜)， 微调测微目镜使图像最佳， 变换不同滤波器，观察系统的输出，完成表 9-1。 6. 将光路改为图 9-4 所示的单透镜光路，再做一次实验，注意： (1) 改变物和傅立叶透镜间的距离频谱面位 置是否发生了变化； (2) 改变物和傅立叶透镜的距离， 观察频谱面 上输入物的夫琅和费衍射图样的大小有无变化。
u
Laser
S C
S′
P 1
L1
P2
P3
v
图 9-4 单透镜系统光路
9- 3
表 48-1 空间滤波实验结果对应表 输 入 图 像 滤 波 器 通 过 的 频 谱 输 出 图 像 频谱全部 通过， 输出 物原像。 频谱在竖 直方向上 通过， 输出 水平横线。 频谱在水 平方向上 通过， 输出 竖直横线。 频谱在 45° 斜方向分 量通过， 输 出斜线空 频增大。 频 谱 在 -45° 斜 方 向分量通 过， 输出斜 线方向与 左对称。 挡 去 ±1 级分量， 输 出网格空 频加倍。 只让 0 级 挡去 0 级， 通过， 网格 输 出 网 格 全部消失。 像 衬 度 反 转。
+∞
G( f x , f y ) =
−∞
∫ ∫ g ( x, y ) e
− j 2π ( f x • x + f y • y )
dxdy = FT{g ( x, y )}
(9-1)
符号 FT 表示傅立叶变换。 G ( f x , f y ) 本身也是两个自变量 f x , f y 的函数。 f x , f y 分别是与 x, y 方 向对应的空间频率变量。 G ( f x , f y ) 被称为光信号 g ( x, y ) 的傅立叶频谱，亦称空间频谱。一般地 说， g ( x, y ) 是非周期函数， G ( f x , f y ) 应该是 f x , f y 的连续函数。式(9-1)的逆运算被称为逆傅立 叶变换，即
+∞
g ( x, y ) =
−∞
∫ ∫ G( f
x
, f y )e
j 2π ( f x • x + f y • y )
df x df y
(9-2)
上式可以理解为，一个复杂光学信号可以看作是由无穷多列平面波的干涉叠加组成，每列平面波 的权重就是 G ( f x , f y ) 。 应该指出，式(9-1)、(9-2)所代表的傅立叶变换运算是通过透镜来完成的。换句话说，透镜(正 透镜)除了具备我们已熟悉的成像功能外，还有一个功能就是能完成傅立叶变换，这是现代光学赋 予它的新的任务。如图 48-1 所示的是一个光学信息处理中最基本的光路 4 f 系统光路。图中 c 为 扩束镜； L0 为准直镜； L1 , L2 为两个傅立叶变换透镜； P1 为输入平面(物面)； P2 为傅立叶变换平 面(或频谱平面，频率平面)； P3 为输出平 面(像面)； D 为小孔屏(可不用)。当我们 把光信号 g ( x1 , y1 ) 置于 P1 平面。在 P2 平 面就能得到它的频谱 G ( f x , f y ) 。频率变 量 f x , f y 与坐标 x 2 , y 2 的关系为
δ 函数衰减为零。从式(9-5)我们看到，一个周期性结构物体的傅立叶频谱，由一个加权了的 δ 函
数列组成，亦即一个周期性结构物体具有离散谱(亦称分立谱、线状谱)。这和非周期函数具有连续 谱不同。利用上述性质我们可以由 P2 平面上测得的 ± 1 级频谱分量与零频谱之间的距离 x 2 ，代入 式(48-3)求得这个周期性物在 x 2 方向上的基频。 3. 阿贝成像理论 如图 9-2 所示，阿贝成像原理认为：透镜成像过程可分为两步，第一步是通过物的衍射光在 系统的频谱面上形成空间频谱(夫琅和 费衍射图样)，这是衍射所引起的“分 频”作用；第二步是代表不同空间频 率的各光束在像平面上相干叠加而形 成物体的像，这是干涉所引起的“合 成”作用。这两步从本质上讲对应着 两次傅立叶变换。如果这两次傅立叶 变换完全理想，即信息没有任何损失， 则像和物完全一样。这也是人们常说的“两次衍射成像理论” 。 现以一维光栅作为物，插入图 9-1 所示的 4 f 系统中的 P1 处，单色平行光垂直照射其上，产 生衍射光，这是一组沿不同角度传播的平面波。它们向透镜 L1 投射去， L1 将它们变换成会聚球面 波，并在频率平面 P2 上形成夫琅和费衍射图样，一组光点阵列，每一个光点代表了一个傅立叶分 量，这是第一次夫琅和费衍射实现的分频。光通过 P2 平面后立刻成为发散球面波，若P2至P3间的 距离足够长，光束能够自动完成又一次夫琅和费衍射，各个光束在像平面实现干涉叠加形成输出
9- 1
1 mm 。当测得频谱面 P2 上一点在 x 2 , y 2 方向的值，利用式(48-3)就可以获得相应的频率值。
2． 周期结构物的频谱以及基频的测量 光学实验中有很大一类实际元器件具有周期结构，例如一片光栅，一个网格物体都属这一类。 这类物体可用周期函数来表述。数学级数理论告诉我们，一个周期函数只要满足狄里赫利条件， 就可以把它展成级数来表示，为简单起见，我们采用一维周期函数
Laser
X1 L0
C
P 1
X2 L1
P2
L2
X3
P3
D O
f
Z
f
f
f
⎧ f x = x 2 λf ⎨ ⎩ f y = y 2 λf
图 48-1 4 f 系统光路
(9-3) 空间频率变量 f x , f y 的单位为 lines mm 或 式中 λ 为单色准直光波长，f 为傅立叶透镜 L1 的焦距。
实验九 光学信号的空间频谱与空间滤波
一个光信号与它的频谱是同一事物在两个空间的表现，光信号分布于坐标空间 ( x, y ) ,而它的 频谱存在于频率空间 ( f x , f y ) 。由信号到频谱可以通过透镜(欲获得准确的变换，当然不是一般的 透镜所能凑效的)来实现。阿贝成像理论以及阿贝—波特实验告诉人类：可以通过对信号的频谱进 行处理(滤波)来达到对信号本身作相应处理的目的。这正是现代光学信息处理最基本的思想和内 容。 阿贝—波特实验告诉我们，人类已迈进了光学信息处理的大门。 【实验目的】 1．了解信号与频谱的关系以及透镜的傅立叶变换功能。 2．掌握现代成像原理和空间滤波的基本原理，理解成像过程中“分频”和“合成”的作用。 3．掌握光学滤波技术，观察各种光学滤波器产生的滤波效果，加深对光学信息处理基本思想 的认识。 【实验原理】 1． 光学信号的傅立叶频谱 一个光学信号 g ( x, y ) 往往是空间变量 x, y 的二维函数，其傅立叶变换被定义为
∞
g ( x) =
m = −∞
∑c
m
e j 2πmf 0 x
(9-4)
式中 m 为级次数， f 0 为周期函数的空间基频率，空间基频为空间周期 d 的倒数，即 f 0 = 1 d 。 周期函数 g ( x) 的空间频谱为
∞ ⎡ ∞ ⎤ G ( f x ) = ∫ ⎢ ∑ c m e j 2πmf 0 x ⎥ e − j 2πf x x dx = ∑ c m ∫ e − j 2π ( f x − mf 0 ) x dx m = −∞ ⎦ − ∞⎣ m = −∞ −∞ ∞ ∞