计算方法讲义：六 函数逼近

第六章 函数逼近用简单的函数近似代替复杂函数，是计算数学中最基本的方法之一。

近似又称为逼近，被逼近的函数与逼近函数之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项。

简单函数：仅用加、减、乘、除。

多项式是简单函数。

插值也可以理解为一种逼近形式。

用Taylor展开：10)1(00)(000)()!1()()(!)())(()()(++-++-+-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ 的部分和逼近f (x )也是一种逼近方法，其特点是：x 越接近于x 0，误差就越小。

如何在给定精度下求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题。

逼近的度量标准有：一致逼近和平方逼近。

6.1 函数内积本节介绍几个基本定义：权函数、内积、正交、正交函数系。

定义1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，若具有下列性质：(1) ρ(3) 对非负的连续函数g (x )，若⎰=ba dx x x g 0)()(ρ，则在(a ,b )上g (x ) ≡ 0，称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。

常用权函数有：211)(],1,1[xx -=-ρ；x e x -=∞)(],,0[ρ；2)(],,[x e x -=∞+-∞ρ；1)(],1,1[=-x ρ等。

定义2 设f (x )，g (x ) ∈ C [a , b ]，ρ (x )是[a , b ]上的权函数，则称⎰=ba dx x g x f x g f )()()(),(ρ为f (x )与g (x )在[a ,b ]上以ρ (x )为权函数的内积。

内积有如下性质：(1) (f , f )≥0，且(f , f )=0 ⇔ f = 0；(2) (f , g ) = (g , f )；(3) (f 1 + f 2, g ) = (f 1, g ) + (f 2,g )；(4)对任意实数k ，(kf , g ) = k (f , g )。

定义3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]，若⎰==ba dx x g x f x g f 0)()()(),(ρ，则称f (x )与g (x )在[a ,b ]上带权ρ (x )正交。

定义 4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件()⎩⎨⎧==>≠=)是常数i i jiA j i j i A ji x x ,,1,0,(,0,0)(),(( ϕϕ，则称{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系。

当A ij ≡ 1时称函数系为标准正交函数系。

例 验证多项式：31,,12-x x 在]1,1[-上带权ρ (x ) = 1两两正交。

容易验证⎰-=⋅1101xdx ，⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1120311dx x ，⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅11113203131dx x x dx x x ，⎰->11201dx ，⎰->1120dx x ，⎰->⎪⎭⎫⎝⎛-1122031dx x 结论成立。

例nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ在[-π ,π ]上是正交的，且函数自乘之积在[-π ,π ]上的积分是1。

6.2切比雪夫多项式切比雪夫多项式具有很多重要性质，是函数逼近的有效工具。

定义：可以用递推关系给出切比雪夫（Chebyshev ）多项式T n (x)的定义如下：),2,1)(()(2)(,)(,1)(1110 =-===-+n x T x xT x T x x T x T n n n 。

可用归纳法证明：)cos())(cos(θθnTn=，假设对于小于等于n的情况此式成立，则对n+1的情况是：))1cos(()sin(sin)cos(cos]sin)sin(cos)[cos()cos(cos2))1cos(()cos()cos(2))(cos(1θθθθθθθθθθθθθθθ+=-=+-=--=+nnnnnnnnTn利用此关系（令θcos=x）可以证明切比雪夫多项式的正交性：切比雪夫多项式具有以下性质：(1)正交性：{T n (x)}在[-1, 1]上是带权211)(xx-=ρ的正交多项式序列，(2)奇偶性：当n为奇数时T n (x)为奇函数；n为偶数时为偶函数，(3)零点：T n (x)在[-1,1]上有n个零点),,2,1(,2)12(cos nknkxk=-=π，(4)极值点：T n (x)在[-1,1]上有n+1个极值点nkxkπcos='，nk,,2,1,0=，轮流取1和-1。

例 在[-1, 1]上找多项式逼近e x ，使误差ε < 0.01。

先对e x在0处作泰勒展开，有 ++++=!3!2132x x x e x，取前六项之和54325120124161211)(x x x x x x p +++++=作为e x 的近似，这时截断误差0038.0!61!61)(65<<=e x e x R ξ，能否降低 p 5(x )的次数？将p 5(x )表示为54321051920119213841748131922176481)(T T T T T T x p +++++=，由于在1≤x 上1)(≤x T k ，若略去最后两项，则误差为0058.0192011921<+。

在1≤x 上若用32103841748131922176481)(T T T T x y +++=近似代替e x 的总误差不超过0.0038+0.0058 < 0.01。

定理：在区间[-1,1]上所有首1的n 次多项式中,与0的偏差最小的多项式为12)(-n n x T 。

证明：假设有一个首1的n 次多项式P(x)与0的偏差比12)(-n n x T 还小，则考虑Q(x)=P(x)-12)(-n n x T ，注意Q(x)次数小于n ，由于12)(-n n x T 在[-1,1]有n+1个极值点，则Q(x)在[-1,1]有n 个不同零点，于是Q(x)恒等于0，所以P(x)=12)(-n n x T 。

要使拉格朗日插值多项式L(x)尽量逼近函数f(x)，则余项R(x)就要尽量小。

在R(x)中f(x)是固定的，而ξ又是未知数，所以要减小余项，有一条途径是恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值。

只在区间[-1, 1]上讨论切比雪夫插值法：当取切比雪夫多项式零点n k n k x k 2,1,0),2212cos(=++=π为插值点时， ∏=+-=-=---=ni n n i n n x T x x x x x x x x x 0110)(2)()())(()( ω则有)!1(2)(max )()1(+≤+n x f x R nn6.3 最佳平方逼近介绍在[a, b]上较易计算的最佳平方逼近。

定义1 设)(x i ϕ在[a , b ]上连续，如0)()()(1100=+++x a x a x a n n ϕϕϕ 当且仅当010====n a a a ，则称)(x i ϕ在[a , b ]上是线性无关的，否则称线性相关。

如果函数系{ϕk (x )}中的任何有限个函数线性无关，则称函数系{ϕk (x )}为线性无关函数系，例如{1, x , …, x n , …}就是在[a , b ]上线性无关。

设)(x i ϕ在[a ,b ]上线性无关，a 0,a 1,…,a n 是任意实数，则)()()()(1100x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++= 的全体是C [a ,b ]的一个子集，记为},,,{Span 10n ϕϕϕ =Φ，并称)(x i ϕ是基底。

例如P n = Span {1, x , x 2, …, x n }表示由基底1, x , …, x n 生成的多项式集合。

定理 连续函数)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 在[a , b ]上线性无关的充分必要条件是克莱姆(Gram)行列式G n ≠ 0，其中这个定理等价于)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 在[a , b ]上线性相关的充分必要条件是G n = 0，证明这个结论更简单一些。

定义2 对于给定的函数],[)(b a C x f ∈，称S *(x )是f (x )在集合Φ中的最佳平方逼近函数，如果[]=-⎰dx x S x f x ba 2*)()()(ρ []dx x s x f x ba x S ⎰-∈2)()()()(min ρφ，},,,{10n Span ϕϕϕ =Φ。

求)()(0**x a x S j nj j ϕ⋅=∑=的问题可归结为求系数**1*0,,,n a a a ，使dx x a x f x a a a I j n j j ban 2010)()()(),,,(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑⎰=ϕρ 取得极小值。

由于I (a 0,a 1, …，a n )是关于a 0, a 1, …，a n 的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件0=∂∂ka I，写成矩阵形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(10101011100101000n n n n n n n n f f f a a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ，此方程叫法方程，其系数行列式就是G n ，由于ϕ0, ϕ1, …, ϕn 线性无关，故G n ≠ 0，上述方程组存在唯一解。

例1 ]1,1[,)(4-∈=x x x f ，求不超过二次的多项式，使⎰--112dx)]()([x P x f 最小。

设2)(cx bx a x P ++=，即取1)(0=x ϕ，x x =)(1ϕ，22)(x x =ϕ，1)(=x ρ。

由法方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(222120212111010201000f c b a f c b a f c b a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+7252323252322c a b c a ，解此线性方程组得：76,353,0=-==c a b ，所以276353)(x x P +-=，偏差⎰-=-1124012.0))((dx x P x 。

6.4 最小二乘逼近已知函数关系)(x f y =的实验数据为mm y y y x f x x x x 1010)(，其中m m x b x a x x x ==<<<,,010 。