计算方法讲义：六 函数逼近
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第六章 函数逼近
用简单的函数近似代替复杂函数，是计算数学中最基本的方法之一。近似又
称为逼近，被逼近的函数与逼近函数之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项。
简单函数：仅用加、减、乘、除。多项式是简单函数。插值也可
以理解为一种逼近形式。用
Taylor
展开：
10)1(00)
(000)()!
1()()(!)())(()()(++-++-+
-'+=n n n
n x x n f x x n x f
x x x f x f x f ξ 的部分和逼近f (x )也是一种逼近方法，其特点是：x 越接近于x 0，误差就越小。如何在给定精度下求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题。逼近的度量标准有：一致逼近和平方逼近。
6.1 函数内积
本节介绍几个基本定义：权函数、内积、正交、正交函数系。
定义1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，若具有下列性质：(1) ρ
(3) 对非负的连续函数g (x )，若⎰=b
a dx x x g 0)()(ρ，则在(a ,
b )上g (x ) ≡ 0，称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。 常用权函数有：2
11)(],1,1[x
x -=
-ρ；
x e x -=∞)(],,0[ρ；2
)(],,[x e x -=∞+-∞ρ；1)(],1,1[=-x ρ等。
定义2 设f (x )，g (x ) ∈ C [a , b ]，ρ (x )是[a , b ]上的权函数，则称
⎰=b
a dx x g x f x g f )()()(),(ρ为f (x )与g (x )在[a ,
b ]上以ρ (x )为权函数的内积。
内积有如下性质：(1) (f , f )≥0，且(f , f )=0 ⇔ f = 0；(2) (f , g ) = (g , f )；
(3) (f 1 + f 2, g ) = (f 1, g ) + (
f 2,
g )；(4)对任意实数k ，(kf , g ) = k (f , g )。 定义3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]，若⎰==b
a dx x g x f x g f 0)()()(),(ρ，则称f (x )与g (x )在[a ,
b ]上带权ρ (x )正交。
定义 4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件
()⎩⎨
⎧==>≠=)
是常数i i j
i
A j i j i A j
i x x ,,1,0,(,0,0)(),(( ϕϕ，则称{ϕk (x )}是[a , b ]上
带权ρ (x )的正交函数系。当A ij ≡ 1时称函数系为标准正交函数系。 例 验证多项式：3
1
,,12-x x 在]1,1[-上带权ρ (x ) = 1两两正交。容易验
证⎰-=⋅1101xdx ，⎰-=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⋅1120311dx x ，⎰⎰--=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⋅11113203131dx x x dx x x ，
⎰
->1
1
2
01dx ，⎰->1
1
20dx x ，⎰
->⎪⎭⎫
⎝
⎛-1
1
2
2031dx x 结论成立。
例
nx nx x x sin 1
,
cos 1,
,,sin 1
,
cos 1
,
21π
ππ
π
π
在[-π ,π ]上是正交
的，且函数自乘之积在[-π ,π ]上的积分是1。
6.2切比雪夫多项式
切比雪夫多项式具有很多重要性质，是函数逼近的有效工具。
定义：可以用递推关系给出切比雪夫（Chebyshev ）多项式T n (x)的定义如下：),2,1)(()(2)(,)(,1)(1110 =-===-+n x T x xT x T x x T x T n n n 。
可用归纳法证明：)
cos(
))
(cos(θ
θn
T
n
=，假设对于小于等于n的情况此式成立，则对n+1的情况是：
)
)1
cos((
)
sin(
sin
)
cos(
cos
]
sin
)
sin(
cos
)
[cos(
)
cos(
cos
2
)
)1
cos((
)
cos(
)
cos(
2
))
(cos(
1
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
+
=
-
=
+
-
=
-
-
=
+
n
n
n
n
n
n
n
n
T
n
利用此关系（令θ
cos
=
x）可以证明切比雪夫多项式的正交性：
切比雪夫多项式具有以下性质：
(1)正交性：{T n (x)}在[-1, 1]上是带权
2
1
1
)
(
x
x
-
=
ρ的正交多项式序列，
(2)奇偶性：当n为奇数时T n (x)为奇函数；n为偶数时为偶函数，
(3)零点：T n (x)在[-1,1]上有n个零点)
,
,2
,1
(
,
2
)1
2(
cos n
k
n
k
x
k
=
-
=
π，
(4)极值点：T n (x)在[-1,1]上有n+1个极值点
n
k
x
k
π
cos
=
'，n
k,
,2,1,0
=，轮流取1和-1。