第三章 连续转动群 2014..

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������(φ) φ 0
φm 1
Cz(φ)
–1
9
反演:


.
由引理1,


.
◆含奇数次反演或镜面反射的操作对应行列式为 ‒1 .
正当操作: det A = 1; 非正当操作: det A = ‒1 .
10
引理 2. det A = 1 的正交矩阵A对应一个定轴转动。 证明:

构造三元一次方程组:
(反演 = 绕含反演中心的轴转 ������角再做关于 σh 的镜面反射, )
④ 平移(translation):体系中所有点沿相同方向移动 相同距离的操作,用矢量 表示(指向表方向,长度 表距离)。
2
◇ 点操作(point operation): 体系中至少有一点不动的对称操作,称为点对称 操作,简称点操作。包括旋转和镜面反射。
5
◇ 点操作的特点
设不动点为坐标原点,则点操作
不改变任意两矢量 , 间的相对位 置(保长、保角变换)。
α α
点操作对应一个算符 Â : 内积
满足此关系的变换是保长、保角变换
O
由 有 变换算符Â 及对应矩阵A是幺正的。
6
三维实空间中,变换Â 不会将实矢量变成复矢量,
∴ Â是实变换,结合幺正性,表明Â是正交算符,
第三章 连续转动群
第一节 基本概念和定理
对称操作: 使物质体系所占空间位置不变的空间变换。 对称操作需满足两个基本条件: ① 任意两点间距离不变; ② 任意两向量间夹角不变。( ②点可由①点导出)
对称操作群: 对于一个物质体系,由该体系的所有对称操 作构成的集合。
1
对称操作类型: ① 旋转(rotation):绕固定轴(有向直线 )转某个 角度α ∊[0 ~ 2������),记作Ck(α) . ② 镜面反射(或镜象、反映) (mirror reflection): 镜面记作σ ,以 为法向量的平面,记作 . σh , σv 分别为垂直和通过主轴的镜面。 ③ 反演(inversion):有定点O,使任一向量OP 变成 OP′ 的操作,记作I . 点O 称为反演中心。反演与 镜面反射相互关联,其中一个是基本操作。
.
det ( A‒I0 ) = 0 ,有非零解。
11
设解为 x0,y0 ,z0 ,并定义

可见,矢量 为旋转操作A的转轴。
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第二节 定轴转动群 SO(2)
一、群元表达式
SO(2) 群的群元:Cz(φ),φ是表征群元的连续ห้องสมุดไป่ตู้数。 φ → 0 时,
χ 称为无穷小算符(并非无穷小量,起生成元作用)。
(二维旋转对称操作构成的二维旋转群,也称二维转动群)
4
3. 圆球 绕过球心的任意转轴,旋转任意角度,均是对称 操作,全体操作构成 SO(3)群或 R(3)群。 (三维旋转群) 过球心平面镜面反射也是对称操作,与R(3)群操作 联合构成O(3)群。(三维全正交群,三维正交群,三维转动反演群) Ci = { E, I } I 与纯旋转操作对易,有 SO(3)⊗ Ci = O(3)
(群元算符的导数仍是算符)
φ为有限值时, ,n为正整数。 取n → ∞ , .
13
◇ χ 是反厄米算符: χ = χ + 证:Cz(φ)是幺正算符, φ → 0 时,可忽略 φ2 项,有 ∴ χ = χ+ . 定义 ,有 ,
.
◇ 不同线性空间中 χ 算符有不同的矩阵形式。 1. 三维实空间:φ → 0 时,
◇ 空间操作(space operation): 由平移操作实现,体系中所有点发生同方向同距 离的移动。 例: 1. C3v 群:仅含点操作。
3
2. 花瓶 • 有旋转对称轴; • 旋转任意角度不变,无限多个 对称操作; • 角度������旋转操作:Cz(φ)
所有Cz(φ)操作构成一个Abel群,称为SO(2)群或 R(2)群。
以(ê 1, ê 2, ê 3)为基,有:
, (正交矩阵性质)
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引理 1. 三维实空间中,纯旋转操作所对应正交矩阵 A 的行列式等于 1 。
z
φ
O
证明:Cz(φ) → A ,det A = ������(φ) . φ 连续变化,则 A的矩阵元和行列式 也应连续变化。 Cz(0) → I0 ,������(0) = 1 . 反证法:设在某 φ 处,������(φ) = –1, 则必有φm ∊ (0, φ) ,使 ������(φm) = 0 , 而这违反 det A = ±1 . ∴ ������(φ) = 1 .
A为正交矩阵:

.
由全体3维正交变换(矩阵)构成的群称为三维全 正交群,O(3)群。
SO(3)群是Special orthogonal group .
O(3) = SO(3) Ci , Ci = { e, I } . O(3):三维旋转反演群。 ⇨ n维全正交群 O(n)
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旋转、反射在实空间中对应着正交算符 Â ,
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(1)经典力学中,物体处于二维势场 如果 具有绕 z 轴旋转对称性,
中, ,即
可见
= 常数,即
是守恒量。
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(2)量子力学中: 算符在 作用下不变, 为本征函数, 两边乘以 : 是矩阵,也是本征值。
可见,旋转算符和哈密顿算符具有相同的本征函数。
所以

.
可作SO(2)群不可约表示的基(1维表示空间), 同时也是 和 的本征函数。
φ
14

由 ,∴ ; . ;
χ 的变换矩阵形式:
• 该矩阵虽然奇异,但 SO(2) 群元 Cz(φ) 的表示矩阵 I0(3) + χ φ 不奇异。
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2. χ 算符的另一种形式
一维函数空间(基 φ → 0 时, ):
θ
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二、不可约表示和特征标
SO(2) 群是Abel群,不可约表示均1维,无穷多个。 对β 求导:
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方程的解为 而
要求 不可约表示:
特征标: SO(2)群: • 不同m值对应不同不可约表示,无穷多个; • 群元、群元算符形式: ; • 不可约表示、特征标: ; • 不能认为 (算符 ≠ 数)。
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◆ 特征标正交性定理: 有限群:
SO(2)群: 应有
ρ(φ)为 φ 处群元密度
若设ρ(φ) = g/2π ,则有
力学系统中的某力学量,若存在轴旋转对称,则沿此轴的 角动量守恒,且态函数中必有因子项 .
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