第三章 连续转动群 2014..

������(φ) φ 0
φm 1
Cz(φ)
–1
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反演：
，
，
.
由引理1，
∴
，
.
◆含奇数次反演或镜面反射的操作对应行列式为 ‒1 .
正当操作： det A = 1； 非正当操作： det A = ‒1 .
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引理 2. det A = 1 的正交矩阵A对应一个定轴转动。 证明：
∴
构造三元一次方程组：
（反演 = 绕含反演中心的轴转 ������角再做关于 σh 的镜面反射， ）
④ 平移(translation)：体系中所有点沿相同方向移动 相同距离的操作，用矢量 表示（指向表方向，长度 表距离）。
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◇ 点操作(point operation)： 体系中至少有一点不动的对称操作，称为点对称 操作，简称点操作。包括旋转和镜面反射。
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◇ 点操作的特点
设不动点为坐标原点，则点操作
不改变任意两矢量 ， 间的相对位 置（保长、保角变换）。
α α
点操作对应一个算符 Â ： 内积
满足此关系的变换是保长、保角变换
O
由 有 变换算符Â 及对应矩阵A是幺正的。
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三维实空间中，变换Â 不会将实矢量变成复矢量，
∴ Â是实变换，结合幺正性，表明Â是正交算符，
第三章 连续转动群
第一节 基本概念和定理
对称操作： 使物质体系所占空间位置不变的空间变换。 对称操作需满足两个基本条件： ① 任意两点间距离不变； ② 任意两向量间夹角不变。（ ②点可由①点导出）
对称操作群： 对于一个物质体系，由该体系的所有对称操 作构成的集合。
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对称操作类型： ① 旋转(rotation)：绕固定轴(有向直线 )转某个 角度α ∊[0 ~ 2������)，记作Ck(α) . ② 镜面反射(或镜象、反映) (mirror reflection)： 镜面记作σ ，以 为法向量的平面，记作 . σh , σv 分别为垂直和通过主轴的镜面。 ③ 反演(inversion)：有定点O，使任一向量OP 变成 OP′ 的操作，记作I . 点O 称为反演中心。反演与 镜面反射相互关联，其中一个是基本操作。
.
det ( A‒I0 ) = 0 ，有非零解。
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设解为 x0，y0 ，z0 ，并定义
，
可见，矢量 为旋转操作A的转轴。
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第二节 定轴转动群 SO(2)
一、群元表达式
SO(2) 群的群元：Cz(φ)，φ是表征群元的连续ห้องสมุดไป่ตู้数。 φ → 0 时，
χ 称为无穷小算符（并非无穷小量，起生成元作用）。
（二维旋转对称操作构成的二维旋转群，也称二维转动群）
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3. 圆球 绕过球心的任意转轴，旋转任意角度，均是对称 操作，全体操作构成 SO(3)群或 R(3)群。 (三维旋转群) 过球心平面镜面反射也是对称操作，与R(3)群操作 联合构成O(3)群。(三维全正交群，三维正交群，三维转动反演群) Ci = { E, I } I 与纯旋转操作对易，有 SO(3)⊗ Ci = O(3)
（群元算符的导数仍是算符）
φ为有限值时， ，n为正整数。 取n → ∞ ， .
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◇ χ 是反厄米算符： χ = χ + 证：Cz(φ)是幺正算符， φ → 0 时，可忽略 φ2 项，有 ∴ χ = χ+ . 定义 ，有 ，
.
◇ 不同线性空间中 χ 算符有不同的矩阵形式。 1. 三维实空间：φ → 0 时，
◇ 空间操作(space operation)： 由平移操作实现，体系中所有点发生同方向同距 离的移动。 例： 1. C3v 群：仅含点操作。
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2. 花瓶 • 有旋转对称轴； • 旋转任意角度不变，无限多个 对称操作； • 角度������旋转操作：Cz(φ)
所有Cz(φ)操作构成一个Abel群，称为SO(2)群或 R(2)群。
以（ê 1, ê 2, ê 3）为基，有：
， （正交矩阵性质）
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引理 1. 三维实空间中，纯旋转操作所对应正交矩阵 A 的行列式等于 1 。
z
φ
O
证明：Cz(φ) → A ，det A = ������(φ) . φ 连续变化，则 A的矩阵元和行列式 也应连续变化。 Cz(0) → I0 ，������(0) = 1 . 反证法：设在某 φ 处，������(φ) = –1, 则必有φm ∊ (0, φ) ，使 ������(φm) = 0 , 而这违反 det A = ±1 . ∴ ������(φ) = 1 .
A为正交矩阵：
；
.
由全体3维正交变换(矩阵)构成的群称为三维全 正交群，O(3)群。
SO(3)群是Special orthogonal group .
O(3) = SO(3) Ci , Ci = { e, I } . O(3)：三维旋转反演群。 ⇨ n维全正交群 O(n)
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旋转、反射在实空间中对应着正交算符 Â ，
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（1）经典力学中，物体处于二维势场 如果 具有绕 z 轴旋转对称性，
中， ，即
可见
= 常数，即
是守恒量。
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（2）量子力学中： 算符在 作用下不变， 为本征函数， 两边乘以 ： 是矩阵，也是本征值。
可见，旋转算符和哈密顿算符具有相同的本征函数。
所以
•
.
可作SO(2)群不可约表示的基（1维表示空间）， 同时也是 和 的本征函数。
φ
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∴
由 ，∴ ； . ；
χ 的变换矩阵形式：
• 该矩阵虽然奇异，但 SO(2) 群元 Cz(φ) 的表示矩阵 I0(3) + χ φ 不奇异。
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2. χ 算符的另一种形式
一维函数空间(基 φ → 0 时, )：
θ
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二、不可约表示和特征标
SO(2) 群是Abel群，不可约表示均1维，无穷多个。 对β 求导：
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方程的解为 而
要求 不可约表示：
特征标： SO(2)群： • 不同m值对应不同不可约表示，无穷多个； • 群元、群元算符形式： ； • 不可约表示、特征标： ； • 不能认为 （算符 ≠ 数）。
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◆ 特征标正交性定理： 有限群：
SO(2)群： 应有
ρ(φ)为 φ 处群元密度
若设ρ(φ) = g/2π ，则有
力学系统中的某力学量，若存在轴旋转对称，则沿此轴的 角动量守恒，且态函数中必有因子项 .
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