二次项定理10大典型例题
二次项定理典型例题
典型例题一例1在二项式i \1的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所I 2如丿有有理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决. 解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r =0,1,2.得系数为：t 1 = 1, t 2 = C ； — = — n,上3 = C ：—二一n(n -1),2 24 81 由已知：2t2 =匕 t3 n=1 n(n-1), 8n = 8通项公式为彳 16 J3r人1二=0,1,2…8,T r 1为有理项，故16-3r 是4的倍数,2.r = 0,4,8.依次得到有理项为「= x 4,T 5= C ；丄4 x =色x,T g = c 8斗x ，一 x 2.24 8 28256说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类 似地，C ，2 33)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r 的取值，得到共有17项.典型例题二分析：本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系 数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行研究. 由于系数的绝对值都是正数，我们可以用作商来研究系数绝对值的变化情况， 另外各项系数正负交替， 又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值.30-5r解：展开式的通项公式为：T r ■! =C ；0(-1)r 2”求v'x>1023：的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项.系数的绝对值为 C ；o 2 -，记为t r d . 用前后两项系数的绝对值作商得：t r 羊I C ；F 2』徇10!j!(10_r)! 10_r口_ C l 。
2」_药 _(r+1)!(9_r)!2 10! 一2("1)5+ 105 3 t 5 X8典型例题三7 2 7例 3 已知(1 -2x)=a ° -a 2X 亠 a ?x ，求：(1) a 1 a 2 a^ ' ■■- a 7；(2) a 1 ■ a3 a 5 a 7 ；( 3) a 0 a 2 a 4 a 6.分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类 问题的结果•字母经常取的值有0、1、一 1等.解：(1)取x = 0可得a 0 =1,令_1 2(r 1)得：心3即r = 0、1、2时，上述不等式成立. 所以，系数的绝对值从第 系数绝对值最大的项为第1项到第4项增加，以后逐项减小.554项，T 4=C 40(—1)32」X W=—15X 。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二次项定理10大典型例题
(1)知识点的梳理1．二项式定理：(a b)n C n0a n C n1a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n(n N ) ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。
②二项式系数 :展开式中各项的系数 C n r (r 0,1,2, ,n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项。
用T r 1 C n a b 表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(a b)n与(b a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0 ,是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。
各项的次数和等于n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是时时金，，C：, ,C：.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
5.性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C0C n k Cn 1②二项式系数和：令a bC0 C：C： L C；C：2n变形式 1 2 rC n C n L C n C：2n4•常用的结论：令a 1,b x, (1 x)n C0C：x C；x2L C；x「L C；x n(n N )令a 1,b x, (1 x)n C0 C：x C：x2L C；x r L ( 1)n C：x n(n N )③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a 1,b 1，则C0 C：C：C；L ( 1)n Cn (1 1)n 0，从而得到：Cn Cn c；c2r C1 C n3L C；'1- 2“2厂2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：(a n 0 nx) C n a 0 x C^a n 1xC；a n 2x2L C n C n 0 na x a°1 2 [ na〔x a?x L a n X(x a)n C0a0nx C：ax n 1C：a2x n 2 L C n C n n 0 na x a n x2 1L a?x a〔x a°令x 1,则 a o a1 a2 a；L a n (a 1)n①令x 1,则 a o a1 a2 a；L a n (a 1) n ②①②得,a o a2 a4L a n (a 1)n(a21)r1-(奇数项的系数和)①②得,a1 a3 a5L a n■^卫旦工(偶数项的系数和)2⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n是偶数时，则中间一项的二项式n 系数C n2取得最大值。
二项式定理十大典型例题纯WORD版
⼆项式定理⼗⼤典型例题纯WORD版1．⼆项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①⼆项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的⼆项展开式。
②⼆项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做⼆项式展开式的通项。
⽤1r n r r r n T C a b -+=表⽰。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()n b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分⼆项式系数与项的系数，⼆项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C 项的系数是a 与b 的系数（包括⼆项式系数）。
4．常⽤的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①⼆项式系数的对称性：与⾸末两端“对距离”的两个⼆项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n nC C -= ②⼆项式系数和：令1a b ==,则⼆项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理经典题型及详细答案
二项式定理经典考点例析考点1：二项式系数与项的系数1、在28(2x -的展开式中，求： （1）第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）2x 的系数.2.若1()nx x+展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为___________.3.已知二项式102)3x求 （1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数考点2：二项式定理逆用1、5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-=_____________2、5432)12()12(5)12(10)12(10)12(51+-+++-+++-x x x x x =_____________考点3：求二项式展开式中的特定项、某一项【例题】 1、二项式3522()x x-的展开式中5x 的系数___________；2. 二项式43(1)(1x -的展开式中2x 的系数是___________.3.若4(1a +=+（,a b 为有理数），则a b +=___________.4.二项式8(2-展开式中不含4x 项的系数的和为___________.5、二项式53)31()21(x x -+的展开式中4x 的系数___________.【练习】1.二项式4(1)x +的展开式中2x 的系数为___________..2.二项式210(1)x -的展开式中，4x 的系数为___________.3.二项式6展开式中含2x 项的系数为___________. 4.二项式533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数___________.、常数项和有理项【例题】 1. 二项式61(2)2x x-的展开式的常数项是___________.2、二项式100的展开式中x 的系数为有理数的项的个数___________.3. 二项式261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为___________.4.二项式5)12(++xx 的展开式中常数项是___________. 【练习】1.8(2x -的展开式中的常数项___________. 2.在261()x x+的展开式中，常数项是___________.3.二项式5)44(++xx 的展开式中常数项是___________. 4.二项式54)31()21(xx -+的展开式中常数项是___________. 考点4：求展开式中的各项系数之和的问题1、已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++.求：（1）0a ； （2）763210a a a a a a ++++++ ；（3）763210a a a a a a -++-+-（4）6420a a a a +++；（5）7531a a a a +++；（6）2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++. （7）||||||||||||763210a a a a a a ++++++ .（8）7766321022842a a a a a a ++++++ ；（9）7766321022842a a a a a a ++++++； 2.在二项式9(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）所有项的系数的绝对值之和.3.利用二项式nn n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 432210)1(展开式nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 32842)4(2)3(0)1()2(2)1(3210153142032103210=+++++=+++=+++=-++-+-=+++++-考点5：多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式9)21(x +展开式中，(1)二项式系数的最大项 (2)系数的最大项 2、二项式12)21(x -展开式中（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项.（3）求展开式中系数最小的项.3、已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值．4、n xx )1(4+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为__________．【练习】1、2102()x x+的展开式中系数最大的项； 2、求7(12)x -展开式中系数最大的项．3、设x =50(1)x +展开式中第几项最大？4、已知()nx x 2323+展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.考点6：含参二次函数求解【例题】1.【特征项】在二项式25()a x x-的展开式中x 的系数是-10，则实数a 的值是___________.2.【常数项】若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是___________.3.【有理项】已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项________. 4.【特征项】在210(1)x px ++的展开式中，试求使4x 项的系数最小时p 的值.5.【系数最大】已知1(2)2nx +的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项． 【练习】1.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是-84，则a =___________.2.已知2)n x的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中2x 的系数_____. 3.若二项式22()nx x-的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为___________ 4.已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．考点7：求解某些整除性问题或余数问题1. 求证22*389()n n n N +--∈能被64整除.2. 9291被100整除所得的余数为_________ 3. 设21(*)n k k N =-∈，则11221777...7nn n n n n n C C C ---+⋅+⋅++⋅被9除所得的余数为_________4. 求证：（1）51511-能被7整除；（2）2332437n n +-+能被64整除.5. 如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n ，经过33(275)n n +++天是星期几？考点8：计算近似值1、求60.998的近似值，使误差小于0.001. 2、求51.997精确到的近似值.考点9：有关等式与不等式的证明化简问题1、求121010101010124...2C C C ++++的值. 2、化简：1231248...(2)nnn n n n C C C C -+-++-. 3、求证：01121*(2)!...()(1)!(1)!n nn n n n n n n C C C C C C n N n n -+++=∈-+.4、证明下列等式与不等式（1）123123 (2)nn n n n n C C C nC n -++++=⋅.（2）设,,a b c 是互不相等的正数，且,,a b c 成等差数列，*n N ∈，求证2nnna cb +>. 【练习】1、=++++nn n n n n C C C C 2222210 ；2、=-++-+-nn n n n n n n C C C C C 2)1(22232210 ； 3、求证：12122-⋅=+++n n n n n n nC C C4、求证：nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++5、已知7292222210=++++nn n n n n C C C C ，求n n n n C C C +++ 21考点10：创新型题目1、对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上） 2、规定!)1()1(m m x x x C m x +--=，其中x ∈R，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．(1) 求315-C的值；(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(xxC C 取得最小值(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．。
二项式定理(习题含答案)
二项式定理一、 求展开式中特定项1、在30+的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ） A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项 【答案】C 【解析】()r r rrr r xC x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，30......2,1,0=r ，若要是幂指数是整数，所以=r 0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若2531()x x+展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x =，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n =，解得5n =，所以2531()x x+展开式的通项为10515r rr T C x -+=，当2r =时，常数项为2510C =，4、二项式82)x的展开式中的常数项为 ． 【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T （r=0,1,,8）,显然当2=r 时，1123=T ，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(2)(13)x x--的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r rx -，当第一项取2时，04C 1=，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x-时，14C (3)12x -=-，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设2sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛⋅+ ⎝的展开式中常数项是 ． 【答案】332=- 332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．二、 求特定项系数或系数和7、8()x 的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28- 【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--，令2=r ，则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ． 【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=，令2r =可得2615C =．则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是 ． 【答案】-55【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅）（两部分组成，所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C ． 10、已知dx xn 16e1⎰=，那么nx x ）（3-展开式中含2x 项的系数为 ． 【答案】135【解析】根据题意，66e111ln |6e n dx x x=⎰==，则n x x ）（3-中，由二项式定理的通项公式1r n r r r n T C a b -+=，可设含2x 项的项是616(3)r rr r T C x -+=-，可知2r =，所以系数为269135C ⨯=．11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-，则8a 等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．12、在二项式1)2nx 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x -．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，r n C 取最大值，∴8n =，第4项为119(163)333381()72C x x +-=-．13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++，那么017a a a +++的值等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令1x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++，得70127(12)1a a a a -=++++=-，令0x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++，得70(10)1a -==，所以12711a a a ++++=-，即1272a a a +++=-，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在*3)()n n N x-∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于 ．【答案】270-【解析】当1=x 时，()322--=n，解得5=n ，那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯，所以系数是-270. 17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【答案】0.【解析】由(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=，令1x =得：80128(121)a a a a -⨯=++++，即01281a a a a ++++=再令0x =得：80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯，即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16，或 2n=﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r？=（﹣1）r？？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r ？？54﹣r =1×6×25=150，19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．【答案】255 【解析】178a a a +++=87654321a a a a a a a a +-+-+-+-，所以令1-=x ，得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-， 所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、 求参数问题20、若32nx x 的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ，第四项为常数，则必有025=-n ，即5=n ，所以正确选项为B. 21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n （ ）A 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1，令2=-k n ，得2-=n k ，所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n，解得6=n ；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x-，∴当43r -=，即1r =时，133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=． 23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（ ） A ．10或1 B ．53-或1 C ．2或53- D ．10± 【答案】B ．【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=，∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B ．24、设23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ． 【解析】令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ． 四、 其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。
二次项定理10大典型例题
(1)知识点的梳理1. 二项式定理：(a b)n C°a n C：a n1b L C；a n r b r L C：b n(n N ),2. 根本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式.②二项式系数：展开式中各项的系数C；(r 0,1,2, ,n).③项数：共(r 1)项,是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项.用T r1 C^a"「b「表小.3. 注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1)项.②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改.(a b)n与(b a)n是不同的.③指数：a的指数从n逐项减到0,是降籍排列.b的指数从0逐项减到n ,是升籍排列.各项的次数和等于n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是C：,C n,C：, ,C：, ,C：.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数).③ 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 布—珈式宗押中今 a1 b 1|T1[| pp 1 p 2 「3| /i\n c nn—I ) a1,bI )人 J C n C n C nC n L ( I) C n(I I)11 |-A-t 4旦车11 . c 0c 2c 4c 2 rc 1 c 3 I c 2 r 1 1c n c n1 〃[叩彳寸王」-C n C n C n C nC n C n L C n2 2 2④ 奇数项的系数和与偶数项的系数和：(a nX) C 0a n X 0C ：a n 1X C 2a n 2 2 X L c n 0 n C n a X a °1 a 1x2 a ?x nLa n X(Xn a) C 0a 0X n C ：aXn 1 C%2 n 2 X L c n n 0 C n a X n a n XL2 a ?x1a 〔x a °令X1, 那么 a . aa 2 a 3La n (a 1)n①令 X1,那么 a 0 a 1 a 2 a 3 L a n (a 1)n ②① ②得,a 0 a 2 a 4L a n 直卫(奇数项的系数和)2 ①②得,a 1 a3 a 5La n(a (a"(偶数项的系数和)22): 二项式 系数和：令a b1,那么二 项式系数的和C 0 C 1 Cn Cn Cn L CrCnL 况 2n,变形式C n Cn L C n L 况2n 1.为4.常用的结论: 令 a 1,b x,n M 八1- 2 2 r rn n(1 X) C nC n X C n X L C n X LC n X (n N ) 令 a 1,bX, (1 X )n C 0 C ：X CnX 2 L C ；X r L ( 1)n C ：X n (n N ) 5.性质：①二项式系数的对称性: C 0 C ,•••与tr 末两端 C n' Cn 1“对距离〞的两个二项式系数相等,S n(1 3)n1⑤ 二项式系数的最大项：如果二项式的籍指数n 是偶数时,那么中间一项的二项式n系数c n2取得最大值.如果二项式的籍指数n 是奇数时,那么中间两项的二项式系数n 1 n 1cn^’cF 同时取得最大值.⑥ 系数的最大项：求(a bx)n 展开式中最大的项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别A r 1 A,, __ …,为A I ,A 2, ,A ni,设第r 1项系数取大,网有,从而解出r 来.A ri A r 2(2)专题总结/ A厂 \ n c 0c 1厂 c 2 厂2c 3厂 3] c n厂 n r_--—( /rn 冬Ar / r 口 匚角牛：(1 6) c nc n 6 c n 66 L c n 6与的有一些差距,八1 八232n n11/八12 2nn 、 c n c n 6 c n 6 L c n6(c n 6 c n 6Lc n 6 )61(c 0 c ： 6 c ： 62 L况 6n 1)1[(1 6)n 1] ：(7n 1)666练：c n 3c ：9c 3 L3n 1c n n.布忍• -t/J -o c 1OC 2cC 3 [ O n1八 n [t]\\用牛：以 S n c n3c n9^ L 3题型一：二项式定理的逆用;例：c n c 2 6 Cn 62L c n n 6n 13S c 13 c 232 c 333 LODn ~n o 〜n o 〜n o c ；3nc 0c 1 3 c 2 32c 333Ln~n O n O〜n On nnc n 31 (1 3)1题型二：利用通项公式求x n 的系数；例：在二项式〔£ yx2〕n 的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有X 3的项的 系数？解：由条件知C ： 2 45,即C ： 45, n 2 n 90 0,解得n9〔舍去〕或n 10 ,由1210 r 2T r i C ；0〔x 4〕10 r 〔x 3〕r C ；0x'3「,由题意-r 3,解得 r 6, 4 3那么含有x 3的项是第7项T 6 - CiV 3 210x 3,系数为210.练：求(x 2 —)9展开式中x 9的系数？2xr,2、9r, 1. r r182r, 1. r r r , 1. r 18 3r解：T r 1 C 9(x ) ( 一) C 9x ( -) x C 9( 一)x ,令 18 3r 9,那么2x 2 2r 3故x 9的系数为C ；( 1)3芝. 22题型三：利用通项公式求常数项;1例：求二项式〔x 2 十〕10的展开式中的常数项?2.x5 ,一 一,—r 0,得r 8,所以 2 45256■—〕6的展开式中的常数项?2xr 6 rr , 1 . rr r6r,1、r6 2r角牛：T r 1 C 6 (2 x) ( 1) () ( 1) C 6 2 (—) x ,令 6 2r 0,侍 r 3,所2x2以 T 4 ( 1)3C 320练：假设(x 2 1)n 的二项展开式中第5项为常数项,那么n .T 9G 80(1)8求二项式(2x练:5r r 1 r 20 5r r C ；(-)rx2,令 202解：T r1隽疽〕10「42、n4,1、4 4 2n 12解：T 5 C n (x ) (—) C n x ,令 2n 12 0,得 n 6.x题型四：利用通项公式,再讨论而确定有理数项； 例：求二项式 5 孜)9展开式中的有理项？1 1 27 r解：T r 1 C ；(x 2)9r ( x 3)r ( 1)r C ；x 〒,令 2^^ Z ,(0 r 9)得 r 3 或 r 9,所以当 r 3时,4 , T 4 ( 1)3C 93x 484x 4 ,6当 r 9 时27 r3 T ( 1)3C 9x 3x 3o-=1 r .,---- ., 110 ( l)V/gx x o6题型五：奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和； 例：假设(J7 品^)n 展开式中偶数项系数和为 256,求n . \ x令x 1,那么有a .a 1 a n 0,①,令x 1,那么有a . a 1 a 2 a 3( 1)n a n 2n ,②将①-②得：2(a 1 a 3 a 5)2, a1 a3 a52,有题意得,2n 1 25628, n 9.练：假设(£ £)n 的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项.242r 13 2r 1Q n 1o n 1 用牛•Q C n C n C nC nC n C n L C n2,21024 ,解得n 11所以中间两个项分别为n 6,n 7 , T 5 1席(；巳)6(』5)5 462 x 4,1 x , x61T 6 1 462 x 17题型六：最大系数,最大项； 一 , 1 ■一一 一. 一 一 一…—)n 展开式中各项系数依次设为 解：设(•.,了例：〔1 2x〕n,假设展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：QC： C6 2C；, n2 21n 98 0,解出n 7或n 14,当n 7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5 T4的系数C3〔-〕423 35,,2 2, 1 OT5的系数C7〔｛〕 2 70,当n 14时,展开式中二项式系数最大的项是丁8,1 7 7T8的系数C74〔—〕727 3432.2练：在〔a b〕2n的展开式中,二项式系数最大的项是多少？解：二项式的籍指数是偶数2n,那么中间一项的二项式系数最大,即T2n E1,—12也就是第n 1项.练：在〔兰二〕n的展开式中,只有第5项的二项式最大,那么展开式中的常数项 2 3 x是多少？解：只有第5项的二项式最大,那么n1 5,即n 8,所以展开式中常数项为第七2项等丁C；〔；〕2 7练：写出在〔a b〕7的展开式中,系数最大的项？系数最小的项？解：由于二项式的籍指数7是奇数,所以中间两项〔第4,5项〕的二项式系数相等, 且同时取得最大值,从而有T4 C3a4b3的系数最小,T5 C；a3b4系数最大.练：假设展开式前三项的二项式系数和等丁79,求〔1 2x〕n的展开式中系数最大2的项？1 1解：由C：c n Cn 79,解出n 12,假设T「1 项最大,Q 〔1 2x〕0 〔1 4x〕A r 1 A r C124 C12 4,化简得到9.4 r 10.4, 乂Q0 r 12,A r 1 A r 2 CU r C I；^11 _ _ _ _ _r 10,展开式中系数最大的项为Tn,有£ (；)12C*410x 10 16896x 10练：在(1 2x)10的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设T r 1项最大,QT r 1C 1r 0 2r x r题型七：含有三项变两项； 例：求当(x 2 3x 2)5的展开式中x 的一次项的系数？ 、,r 9K9Kr 9R rr ........................解法①：(x 3x 2)[(x 2) 3x] , T r 1 C s (x 2) (3x),当且仅当 r 1时,T r1的展开式中才有x 的一次项,此时T r 1 T 2 C 5(x 2 2)43x , 所以x 得一次项为C ；C ：243x 它的系数为C 5C 44243 240.解法②：255 5 _05_14_5_05_14 _55 x 3x 2) (x1)(x 2) (C 5 x C 5xC 5)(C 5x C 5x 2 C 5 2 )故展开式中含x 的项为C ；xC 525 C ；x24 240x ,故展开式中x 的系数为240.练：求式子(x 1 2)3的常数项?| 2)3 (J , /=p 6,设第r 1项为常数项,那么_ r r6 r1 r6_r6 2rT r 1 C 6( 1) |x(口)( 1) C 6 x ,得 6 2r 0,r 3,xT 31 ( 1)3C 3 20.题型八：两个二项式相乘；A r A rA r C ；2rA r 2驾2「C 1012rC 1012r 1解得 1 2(11 r 1J ； r)'化简得到6.3 k7.3, 乂Q0 r 10,7/7718 C 102 x 15360x .r 7,展开式中系数最大的项为解：(x例：求(1 2x)3(1 x)4展开式中x 2的系数.解：Q(1 2x)3的展开式的通项是 C3 (2x)m C T 2m x m ,m 0,* m 3,* m 6 3n,即 成 或n 0, n 4, n 8,时得展开式中的常数项为 C ； C S C 3勇 C ； C 180 4246. 练：C 1 c(1 x x )(x ")的展开式中没有吊数项,n N 且2 n 8,那么n . x 解：(x [y 展开式的通项为c n x nr x 3r c n x n4r ,通项分别与前面的三项相乘可得xr n 4r r n 4r 1 r n 4r 2 -C n x ,C n x,C n x ,Q 展开式中不含吊效项,2 n 8n 4r 且 n 4r 1 且 n 4r 2,即 n 4,8且 n 3,7且n 2,6, n 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和 ； 例：在(x J 2) 2006的二项展开式中,含x 的奇次蓦的项之和为 S,当x J 2时,S角牟： 设(x 拒)2006=a 0 a 1x 1 a 2x 2 a 3x 3 L(i x)4的展开式的通项是C 4 ( x)nC 41n x n ,其中 m 0,1,2,3,n 0,1,2,3,4,令 m n 2,那么 m 0 且 n 2,m 1 且 n 1,m 2 且 n0,因此(1 2x)3(1 x)4 …、.八 一……n n 991111_2 2-0 0C 32 C 4( 1)练：求(1次)6(1二)10展开式中的常数项x解:_1m3、610m(1 Jx) (1 ~^=)展开式的通项为 C 6 x 3C*x 4C 6m C 1；4 m 3n12x 12其中 m 0,1,2, ,6, n 0,1,2, ,10,当且仅当 4m2006a 2006x3 .2006a 3x La 2006x(x20061 2=a ° a 〔x a 2x①②得2(a〔x a g x3a5x5L a2005x2005) (x V2) 2006(x ^2) 2006(x 回2006展开式的奇次籍项之和为S(x) 1[(x V2) 2006(x V2) 2006]3 2006当x 、.2时,S(.、2) -[C,2 ...2)2006 C..2 ..2)2006] 230082 2题型十：赋值法；例：设二项式〔3衣-〕n的展开式的各项系数的和为p ,所有二项式系数的和为x s,假设p s 272 ,那么n等丁多少？解：假设〔3坂-〕n a0a1x a2x2a n x n,有P a°a〔a n ,xS C0 C：2n,令x 1 得P 4n, 乂p s 272 ,即4n 2n 272 〔2n 17〕〔2n 16〕 0 解得2n 16或2n17〔舍去〕,n 4.n练：假设3、反 & 的展开式中各项系数之和为64,那么展开式的常数项为多少？xn孚的展开式中各项系数之和为那么展开式的常数项为C：(3'、x)3 ( -L)3540.、- x练：井(1 2 2021 1 2 3I 2021R 鱼鱼a2021有(I 2x) a. a〔x &x a3x L a2021x (x R),火1J? ?222021目Ji且力布及.1巾/曰 c % & a2021 a1 a2 a2021 …角牛•令x2,可侍a0 —歹声0,y ^? 产a0a1 a2 a2021任W x 0可侍a0 1,因叩2歹普9 1.〜5 5 4 3 2 1练：有(x 2) a5x a4x a3x a?x a〔x a°,那么a〔a? a3 a4 a5 .解：令x 0得a032,令x 1 得a°a1 a2 a3 a4 a5 1,_26、(1 x) (1 x)210(1 x)10 11(1 x)[1 (1 x) ]=(x 1) (x 1),原式中1 (1 x)由丁各项均能被64整除32n 2 8n 9(n N *)能被64整除1、(x — 1)11展开式中x 的偶次项系数之和是 1、 设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是 f(1) f( 1)( 2)11/210242122n n2、 C n 3C n 3 C n 3 C n 2、 2、 4n3、 (农 二)20的展开式中的有理项是展开式的第 项.、5 3、 3,9,15,214、 (2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和,故令 x=1,那么所求和为35・5、求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中x 4的系数. K (A y Y 2V1 Y 、10 Y 3V1 Y \9 曹彳旦到今 Y 4的I 而 心领第一个因A 中的 15、 (I x x )(I x)(I x )(i x),女1 寸工1j x 目 JW ., 久、小牛 I mu J 目J I与(1-x)9展开式中的项C 4( x)4作积,第一个因式中的一x 3与(1-x)9展开式中的项C ；( x)作积,故x 4的系数是C ； C 9 135,6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数.a 〔 a ? 83 84 a § 31.题型十一：整除性； 例：证明：32n 2 8n 9(nN )能被64整除®2n 2n 1:3 8n 9 9 8n—— n 1 ——9 (8 1) 8n 9Q n 11Q n C n 18 C n 18 C ；1182n 1 n 1 C n 18 C n 18n 90 Q n 1 1Q nC n 18 C n 18Cn 1182 8(n 1) 1 8n 9Q n 11Q nC n 18 C n18n 1 a2精品资料，欢迎下载！ x 3实为这分子中的x 4,那么所求系数为C 17,.•.•k € 乙9k-1 € Z, 8111 被 9 除余 &10、在(x 2+3x+2)5的展开式中,求x 的系数. 10、 (x 2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x 的项为C 5 5x ,在(2+x)5展开式中,常数 项为25=32,含x 的项为C ；24x 80x展开式中含x 的项为1 (80x) 5x(32) 240x ,此展开式中x 的系数为24011、 求(2x+1)12展开式中系数最大的项.11、设T r+1的系数最大, 那么 T r+1的系数不小丁 T r 与T r+2的系数,即有r Q 12 r r 1 子3 r C 12 2 C 12 2 r 912 r r 1 11 C 12 2 C 12 12r C ；2 2C ；21 2E C,1c1 1 3 r 4 , r 4 3 3 展开式中系数最大项为第 5 项,T 5=16C ：2x 4 __ 47920x 7、假设f(x) (1 x)m (1 x)n (m n N)展开式中,x 的系数为 值时,x 2的系数最小？7、由条件得 m+n=21 , x 2的项为C ：x 2 21,问m 、n 为何 n € N ,故当n=10或11时上式有最小值, 时,x 2的系数最小.自然数n 为偶数时, 1 2C 1n C 2 2c n 8、求证: C 2c n8、原式=(C 0 C ； C 2 n 1 n \ C n C n ) 9、求8011被9除的余数. 9、 11 11-011-110 80(81 1) C 1181 C 1181 , 21 2 399 m (n —) ——.因 2 4 m=11 和 n=10,或 m=10 和 C 2x 2,那么 C m C 2 也就是 c n 3 (C 1n C n 2“ 1 c n C n 1) 2n 2n 1 3.2n 1 _ 10 _ . C 11 81 81k 1(k Z),。
(完整版)二项式定理典型例题解析
二项式定理 概念篇【例1】求二项式(a — 2b)4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开•解：根据二项式定理得 (a — 2b)4=c 0 a 4+c 4 a 3( — 2b)+C 4 a 2( — 2b)2+C 3 a( — 2b)3+C 4 (— 2b)4=a 4 — 8a 3b+24a 2b 2— 32ab 3+i6b 4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把— 2b 中的符号“―”忽略【例2】展开(2x -2代2x分析一：直接用二项式定理展开式•解法一：(2x - 32)5=C °(2x)5+c l (2x)4(— q )+C ；(2x)3( — q )2+c 5(2x)2(—与)3+2x2x 2x 2xC 5 (2x)( — 2)4+C ；( — 2)52x 2 2x 2分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开解法二：35--和件[C 5 (4x 3)5+C 1 (4x 3)4(— 3)+C 5 (4x 3)3(— 3)2+C 3 (4x 3)2( — 3)3+C 4 (4x 3)( — 3)4 + C 5( — 3)5]荷(1024x 15— 3840x 12+5760x 9— 4320x 6+l620x 3— 243) 32x 10说明：记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便【例3】在(x — ■ 3)10的展开式中，x 6的系数是 ________ . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是c 4°.解法二：(x —，3)10 的展开式的通项是 T r+1=C ；0X 10—r ( — 3 )r .令10— r=6，即r=4,由通项公式可知含 x 6项为第5项，即T 4+1=C ：0x 6( — . 3 )4=9C 40x 6. ••• x 6的系数为9C ：0.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含 x 6这一项系数，而不是求含 x 6的二项式系数，所以应是解法二正确 如果问题改为求含 x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C ：0.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项=32x 5— 12Ox 2+180 x135 405+87243 10 .32x=327°=32x 5— 120x 2+180 x 135 405x 4 +8x 7243 32x 10 .式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关【例4】已知二项式(3 . x — —)10,3x(1) 求其展开式第四项的二项式系数； (2) 求其展开式第四项的系数； (3) 求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式•解：(3..X — -2)10 的展开式的通项是 T r+i =C ；o (3.、x )10—r ( — 2)r (r=o , 1,…，10).3x3x•••第9项为常数项，其值为256说明：二项式的展开式的某一项为常数项， 就是这项不含“变元”，一般采用令通项T r+1中的变元的指数为零的方法求得常数项.【例6】(1)求(1+2x)7展开式中系数最大项； (2)求(1 — 2x)7展开式中系数最大项.分析：利用展开式的通项公式， 可得系数的表达式， 列出相邻两项系数之间关系的不等 式，进而求出其最大值.7!2r7! 2r 1即 r!(7r)!(r 1)!(7 r 1)!7! 2r7! 2r 1r !(7 r)!(r 1)!(7 r 1)!(1)展开式的第 4项的二项式系数为 C ?0=120.(2)展开式的第 (3)展开式的第 2 4 项的系数为 C ；037(— — )3= — 77760.34 项为—77760( x )7十，即一77760 • x .z\.(3 .. x — —)10写成］3 x +(— A)： 10,从而凑成二项式定理的形式3x 3x【例5】求二项式(x 2+ 1 )10的展开式中的常数项.2丘说明：注意把 分析：展开式中第r+1项为C ；0(x 2)10—r ( 1)r ，要使得它是常数项，必须使2Jxx ”的指数为零，依据是X 0=1 , x M 0.解：设第r+1项为常数项，则 Eg 2)102053r 1 r人 52(一)r (r=0, 1，…，10)，令 20 —r=0,2 2••• T9=C 80(1)8=45 256解：(1)设第r+1项系数最大，则有C 72r (C r 1?r 1 C 72r ( C r 1?r 1系数最大项为 T 6=C 7 25X 5=672X 5.(2)解：展开式中共有 8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得•又因(1 - 2x)7括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值， 故系数最大值 必在中间或偏右，故只需比较C 4( 2)4C 3T 5和T 7两项系数的大小即可-C6( 2)6 =4C >1, 所以系数最大项为第五项，即 T 5=560X 4.说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法， (2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁 .【例7】(1+2x)n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大 的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n ,再根据n 的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T 6=C ；j (2x)5, T 7=C 6 (2X )6，依题意有。
二项式定理经典例题总结
二项式定理一、二项式定理的推导()n b a +展开式如何？()()________________________________________32=+=+b a b a ()?10=+b a 例析()?4=+b a归纳()=+nb a ____________________________________________________ 二、二项式定理的有关概念1、二项展开式2、项数3、二项式系数4、二项展开式的通项5、二项式()nb a +展开式的特点 ①②③注意：①二项式()n b a +的第1+r 项是_________和二项式()na b +展开式的第1+r 项是__________，所以______________________②二项式系数即__________与二项展开式中对应项的系数___________,所以___________. 例如：()521x +第3项的二项式系数与第3项的系数 ③()nb a -的展开式？ ④当1,1==b a 时，()n n 2__________________________11==+即___________________________________________________典型例题：二项式定理的应用例1、展开612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 例2、求()721x +的展开式的第4项的二项式系数和系数.例3、求1521⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 展开式中含9a 项的系数. 三、杨辉三角 ()n b a +展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以单独列成下表：___________________________称为“杨辉三角”.四、二项式系数的性质1、每一行的两端都是____，其余每个数都等于它“_____”两个数的和..即____________________________2、对称性（等距性）：每一行中，与首末两端“等距离“的两个数________.即___________________________3、增减性与最大值：①若二项式的幂指数n 是偶数，那么二项展开式中间一项，即________________二项式系数最大.②若二项式的幂指数n 是奇数，那么二项展开式中间两项，即_________________二项式系数最大.4、二项式系数和为_____.即____________________________________________________典型例题（一）：二项式定理通项的直接应用例1、（12天津）在5212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，x 的系数为______ 例2、(12重庆) 821⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中常数项为_______ 例3、（10陕西）)(5R x x a x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中3x 的系数为10，则实数a 为_____ 例4、（10安徽）6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式中，3x 的系数为_______ 例5、（06山东）已知n x i x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2展开式中第三项与第五项系数之比为143-，则展开式中的常数项为______例6、已知,)cos (sin 0dx x x a +⎰=π则61⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 二项式展开式中含2x 项的系数为_____例7、（10湖北）在()2043y x +展开式中，系数为有理数的项共有_____项.例8、（06江苏）1031⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含x 的正整数指数幂的项数为______ 例9、（12全国）若n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的21x 系数为___ 典型例题（二）：多项式问题例1、（12安徽）()522112⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项是______ 例2、（10辽宁）()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x 的展开式中的常数项为_____ 例3、（08辽宁）已知()nx x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++3211展开式中的没有常数项，82,≤≤∈*n N n ，则_____=n例4、（08浙江）在()()()()()54321-----x x x x x 展开式中，含4x 的项的系数为___ 例5、（10全国）()()533121x x-+展开式中的x 系数为_____ 例6、（08江西）()1010111⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中常数项为_____ 例7、（08全国）()()4611x x +-展开式中的x 系数为_____典型例题（三）：二项式系数与展开式系数性质的应用 例1、若()01556677713a x a x a x a x a x +++++=- ⑴7654321a a a a a a a ++++++=________⑵7531a a a a +++=__________⑶6420a a a a +++=___________例2、（08福建）若()012233445552a x a x a x a x a x a x +++++=-，则_____54321=++++a a a a a 例3、若012233444)1()1()1()1(a x a x a x a x a x ++++++++=，则______123=+-a a a例4、()0166778883)1()1()1()1()2(1a x a x a x a x a x x +-++-+-+-=-++ ，则______6=a例5、已知()01223344555)1()1()1()1()1(1a x a x a x a x a x a x +-+-+-+-+-=+，则______531=++a a a例6、（12浙江）5)(x x f = 0122334455)1()1()1()1()1()(a x a x a x a x a x a x f ++++++++++=，则_____3=a 例7、（10江西）()82x -展开式中不含4x 项的系数的和为______ 例8、在102)1(xx -的展开式中系数最大的项是第_______项. 例9、设展开式n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-15的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240=-N M ，则展开式中x 的系数为_____例10、已知n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2的展开式中第5项的系数与第3项的系数比3:56，则该展开式中2x 的系数为_____例11、在n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-312展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为_____ 例12、若)(6271327*++∈=N n C C n n ,nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32展开式中的常数项为____ 例13、（11课标全国）512⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x a x 展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为_____。
二项式定理归类(解析版)
专题28二项式定理归类目录【题型一】二项式通项公式.............................................................................................................1【题型二】积型求某项.....................................................................................................................3【题型三】展开式二项式系数和...................................................................................................4【题型四】展开式各项系数和.........................................................................................................5【题型五】赋值法求部分项系数和.................................................................................................7【题型六】换元型赋值求系数与系数和.........................................................................................8【题型七】求系数最大项...............................................................................................................10【题型八】杨辉三角形应用...........................................................................................................11【题型九】三项展开式...................................................................................................................13培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................15培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................17培优第三阶——培优拔尖练.. (19)【题型一】二项式通项公式【典例分析】二项式5的展开式中常数项为（）A ．80B ．80-C ．40-D ．40【答案】B【分析】求出展开式的通项，再令x 的指数等于0，即可得出答案.【详解】解：二项式5的展开式的通项为()15556155C 2C kkkk kkk T x --+⎛=⋅-=- ⎝，令15506k-=，则3k =，所以常数项为()3352C 80-=-.故选：B.1.将二项式8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（）A ．37A B ．6366A A C ．6367A A D ．7377A A 【答案】C【分析】先利用二项式定理判断其展开式中有理式的项数，再利用插空法进行排列即可.【详解】根据题意，得816324418811C C C 22k k kk k kkk k k T x x x ----+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为08k ≤≤且*N k ∈，当0k =时，16344k-=，即1T 为有理式；当4k =时，16314k-=，即5T 为有理式；当8k =时，16324k-=-，即9T 为有理式；当{}1,2,3,5,6,7k ∈时，163Z 4k-∉，即k T 为无理式；所以8展开式一共有9个项，有3个有理式，6个无理式，先对6个无理式进行排列，共有66A 种方法；再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有37A 种方法；利用分步乘法计数原理可得，一共有6367A A 种方法.故选：C.2.在72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x 的系数是（）A ．35B ．35-C ．560D ．560-【答案】C【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中1x的系数.【详解】二项式72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()7727722rr rr r r C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令7214r r -=-⇒=，所以72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数为()44721635560C -⋅=⨯=.故选：C3.．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第四项为（）A ．160B ．160-C ．3160x D ．3160x -【答案】D【分析】直接根据二项展开式的通项求第四项即可.【详解】在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第四项为()()333323334662C 2C 160T x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故选：D.【题型二】积型求某项【典例分析】已知()511a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数为10，则实数a 的值为（）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B【分析】因为()555111111a x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合二项展开的通项公式运算求解.【详解】511x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为515511C 1C rrr r r r T x x -+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4,5r =，∵()555111111a x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴3455C C 10510a a +=+=，解得12a =，故选：B.【变式训练】1.．()()8x y x y -+的展开式中36x y 的系数为（）A ．28B ．28-C ．56D ．56-【答案】B【分析】由二项式定理将8()x y +展开，然后得出8()()x y x y -+，即可求出36x y 的系数.【详解】由二项式定理：8()()x y x y -+080171808888()(C C C )x y x y x y x y =-+++080171808080171808888888(C C C )(C C C )x x y x y x y y x y x y x y =+++-+++090181818081172809888888(C C C )(C C C )x y x y x y x y x y x y =+++-+++观察可知36x y 的系数为6523888887876C C C C 2821321⨯⨯⨯-=-==-⨯⨯⨯.故选：B.2.在()()2311x x +-展开式中，含4x 项的系数是（）A ．5-B ．5C ．1-D ．1【答案】D【分析】由题意可得()()()()233211121x x x x x +-=++-，再对()31x -借助于二项展开式分析运算.【详解】∵()()()()233211121x x x x x +-=++-，且()31x -的展开式的通项为()()3133C 11C ,0,1,2,3rrr r r rr T x x r -+=⨯⨯-=-=，则含4x 项的系数是()()32323321C 11C 1⨯-+⨯-=.故选：D.3.()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．2B ．6C ．8D ．12【答案】D【分析】先将()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开，再求，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项，即可求出答案.【详解】()4442=11+12x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：4421441C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当420r -=即2r =时，242C =12⋅，所以()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为12.故选：D.【题型三】展开式二项式系数和【典例分析】．()101x -的展开式中所有奇数项的二项式系数和为（）．A ．128B ．256C ．512D ．1024【答案】C【分析】根据奇数项的二项式系数和为22n计算可得；【详解】解：()101x -的展开式中所有奇数项的二项式系数和为1025122=，故选：C ．【变式训练】1.已知2(n x的展开式中，各二项式系数和为64，则x 7的系数为（）A ．15B ．20C ．60D ．80【答案】C【分析】由二项式系数和求得n ，再利用通项可得x 7的系数.【详解】由二项式系数和为264n =，解得6n =，通项为()512622166C C 2rr rr r r r T x x --+==，令51272-=r ，得2r =，则x 7的系数为226260C =.故选：C.2.已知()2*2nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中3x 的系数为（）A ．240-B ．240C ．160-D ．160【答案】C【分析】由二项式系数的性质求出n ，写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为3，即可得出答案.【详解】由展开式中各项的二项式系数之和为64，得264n =，得6n =．∵622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()()621231662C 1C ·2·1rrrr r r rr r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1233r -=，则3r =，所以其展开式中3x 的系数为()3336C 21160⨯⨯-=-．故选：C.3.已知二项式212mx x ⎛⎫+ ⎝⎭的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x 3项的系数是（）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】D【分析】由二项式系数的和的公式解得m 的值，运用二项展开式的通项公式解出r 的值，进而可得3x 项的系数.【详解】由题意知，264m =，解得：6m =，所以621()2x x +的二项展开式的通项公式为663166211C C 22rr r r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，令6－3r ＝3，得r ＝1，故含3x 项的系数为161132C =.故选：D.【题型四】展开式各项系数和【典例分析】在3nx⎛⎝的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（）A ．15B ．45C ．135D ．405【答案】C【分析】令1x =可得展开式各项系数和，再由二项式系数和为2n ，即可得到方程，求出n ，再写出二项式展开式的通项，令x 的指数为0，即可求出r ，再代入计算可得；【详解】解：对于3nx ⎛ ⎝，令1x =，可得各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以6426422nn n ===，解得6n =，所以63x ⎛+ ⎝展开式的通项为()36662166C 3C 3rr r r r r r T x x ---+=⋅=⋅，令3602r -=，解得4r =，所以42056C 3135T x =⋅=；故选：C1.．0x ∀≠，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可以写成关于221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的多项式，则该多项式各项系数之和为（）.A ．240B ．241C ．242D ．243【答案】D【分析】利用换元法，将101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为()52t +，从而利用赋值法即可求得该多项式各项系数之和.【详解】因为222112x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，令221t x x =+，则()5105221122x x t x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令1t =，则()5523243t +==，所以该多项式各项系数之和为243.故选：D.2.已知二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（）A ．405-B ．405C ．81-D ．81【答案】A【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.【详解】令1x =，可得所有项的系数之和为2325n n =⇔=，则11(5)(52)5522155(1)3C (1)3C r r r r rr rr rr r Tx xx------+=-=-，由题意5312r-=，即1r =，所以展开式中含x 项的系数为4153C 405-=-．故选：A ．3.已知5312a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为4，则该展开式中的常数项为（）A ．200B ．280C ．200-D ．280-【答案】D【分析】根据题意将1x =代入，由各项系数的和为4可求得a 的值，再根据二次项展开式求出512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项()5521512C rr r rr T x --+=-，分别与x 和33x相乘得到常数项，可求出r 的值，再合并即可得到结果.【详解】由题意，令1x =，得到展开式的各项系数和为1a +，所以14a +=，解得3a =.所以55553331311312222a x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=-+- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()5521512C r r r rr T x --+=-，令521r -=-，解得3r =；令523-=r ，解得1r =，所以展开式中的常数项为()()35335115512C 312C 280---⨯+⨯-⨯=-.选项D 正确，故选D.【题型五】赋值法求部分项系数和【典例分析】若()6652460126x y a y a xy a x y a x +=+++⋅⋅⋅+，则()()220246135a a a a a a a +++-++的值为（）A ．0B ．32C ．64D ．128【答案】A【分析】先利用赋值法求得0123456a a a a a a a -+-+-+和0123456a a a a a a a ++++++的值，进而求得()()220246135a a a a a a a +++-++的值.【详解】1x =，1y =-时，01234560a a a a a a a =-+-+-+1x =，1y =时，012345664a a a a a a a =++++++()()220246135a a a a a a a +++-++()()012345601234560640a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+++++++=⨯=，故选：A.【变式训练】1.已知()727012752x a a x a x a x -=++++，则0127a a a a ++++=（）A ．128B ．2187C ．78125D ．823543【答案】D【分析】由展开式通项公式可得系数0246a a a a 、、、小于0，系数1357a a a a 、、、大于0，由赋值法令=1x -，所求值即为()7-5-1-2⨯⎡⎤⎣⎦.【详解】()752x -的展开式中第1k +项为()()()77771777C 52C 52=kkkk k kk k k k T x x a x ----+-=-=-，故系数()777C 52kk kk a --=-，即当k 为奇数时，系数0246a a a a 、、、小于0，当k 为偶数时，系数1357a a a a 、、、大于0.()7012701234567-823543----5-1-2a a a a a a a a a a a a ++++=++++=⨯=⎡⎤⎣⎦.故选：D2.()4234012341x a a x a x a x a x +=++++，则01234a a a a a -+-+=（）A ．1B ．3C ．0D ．3-【答案】C【分析】根据展开式，利用赋值法取=1x -即得.【详解】因为()4234012341x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，可得()401234110a a a a a -+-+=-=.故选：C.3.已知()()4529012912x x a a x a x a x -+=++++，则2468a a a a +++=（）A ．40B ．8C ．16-D ．24-【答案】D【分析】设45()(1)(2)f x x x =-+，根据二项式展开式可得0(0)a f =、02468(1)(1)2f f a a a a a -+++++=，即可求解.【详解】设45()(1)(2)f x x x =-+，则50(0)232a f ===，0129(1)0a a a a f ++++==4012349(1)216a a a a a a f -+-+--=-==，所以02468(1)(1)82f f a a a a a -+++++==，所以246883224a a a a +++=-=-.故选：D.【题型六】换元型赋值求系数与系数和【典例分析】已知()()()()20232202301220232111x a a x a x a x -=+++++++，则0122023a a a a ++++=（）A ．40462B ．1C ．20232D ．0【答案】A【分析】首先利用换元，转化为()20232202301220233t a a t a t a t -=++++，再去绝对值后，赋值求和.【详解】令1t x =+，可得1x t =-，则()()20232023220230122023213t t a a t a t a t --=-=++++⎡⎤⎣⎦，二项式()20233t -的展开式通项为()202312023C 3rr rr T t -+=⋅⋅-，则()20232023C 31(02023rr rr a r -=⋅⋅-≤≤且N)r ∈．当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，因此，()2023404601220210122023312a a a a a a a a ++++=-+--=+=．故选：A ．1.已知10111012C C n n =，设()()()()201223111n nn x a a x a x a x -=+-+-++-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a ++++=，④展开式中所有项的二项式系数和为1.其中正确的个数有（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据组合数的性质求得n ，根据二项式展开式的通项公式、赋值法、二项式系数和的知识求得正确答案.【详解】101110122023n =+=，①对.()20232202301220232023(23)(1)(1)(1211)x a a x a x a x x -=+-+-+=--⎡⎤⎦+-⎣，所以02023202320232023C 22n a a =⋅==，②错.令2x =得0121n a a a a ++++=，③对.展开式中所有项的二项式系数和为20232，④错.所以正确的说法有2个.故选：C2.已知36C C n n =，设()()()()201223111n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则12n a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】利用组合数的性质可求得n 的值，再利用赋值法可求得0a 和012n a a a a +++⋅⋅⋅+的值，作差可得出所求代数式的值.【详解】因为36C C n n =，所以由组合数的性质得369n =+=，所以()()()()929012923111x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，令2x =，得()90129223a a a a ⨯-=+++⋅⋅⋅+，即01291a a a a +++⋅⋅⋅+=.令1x =，得()902131a ⨯-==-，所以()()12901290112a a a a a a a a +++=+⋅⋅⋅⋅++⋅=⋅+---=，故选：D.3.．已知(1)n x -的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若()2012(1)1(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+++++⋯++，则1a 等于（）A ．192B ．448C ．192-D ．448-【答案】B【分析】根据奇数项二项式系数和公式求出n ，再利用展开式求1a .【详解】(1)n x -的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，1264n -∴=，即7n =；则77(1)[(1)2]x x -=+-的通项公式为717C (1)(2)k k kk T x -+=+-，令71k -=，则6k =，所以6617C (2)448a =⨯-=.故选：B【题型七】求系数最大项【典例分析】已知22nx ⎫+⎪⎭的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116，则展开式中二项式系数最大的项为第（）项.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】先求出二项式展开的通项公式，分别求出第3项的系数与倒数第3项的系数，由题意得到关于n 的方程，即可确定其展开式二项式系数最大项.【详解】22nx ⎫⎪⎭的展开式通项公式为52122C C 2rn r n r r r rr n n T x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，则第3项的系数为22C 2n ⋅，倒数第3项的系数为22C 2n n n --⋅，因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116，所以22422C 212C 216n n n n ---⋅==⋅，所以2226C 2C 2n n n n --⋅=⋅，解得8n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，故选：C 【变式训练】1.已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（）A ．448-B ．1024-C ．1792-D ．5376-【答案】C【分析】先根据二项式系数的性质可得=8n ，再结合二项展开式的通项求各项系数()82C r rr a =-，分析列式求系数最小项时r 的值，代入求系数的最小值.【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则=8n∴展开式的通项为()83821882C 2C ,0,1,...,8rr rr rr r T x r x --+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭则该展开式中各项系数()82C ,0,1,...,8r rr a r =-=若求系数的最小值，则r 为奇数且+2200r r r r a a a a --≤-≤⎧⎨⎩，即()()()()+2+28822882C 2C 02C 2C 0r r r r r r r r -----≤---≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得=5r ∴系数的最小值为()55582C 1792a =-=-故选：C.2.已知m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，且137a b =，则m 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】根据二项式系数的性质确定,a b ，由关系137a b =列方程求m 的值.【详解】由题意可知221C ,C m mm m a b +==,137a b =,22113C 7C m mm m +∴=,即()()()2!21!137!!!1!m m m m m m +=⋅⋅+,211371m m +∴=⨯+，解得6m =．故选：C ．3.已知()*(1),n mx n m +∈∈N R 的展开式只有第5项的二项式系数最大，设2012(1)n n n mx a a x a x a x +=++++，若18a =，则23n a a a +++=（）A ．63B ．64C ．247D ．255【答案】C【分析】根据二项式系数的性质求出n ，根据18a =求出m ，再由赋值法求解即可.【详解】因为展开式只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以8n =，718C 8a m =⋅=，∴1m =，∴8280128(1)x a a x a x a x +=++++，令1x =，得8012382256a a a a a +++++==，令0x =，得01a =，∴2325681247n a a a +++=--=．故选：C ．【题型八】杨辉三角形应用【典例分析】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A ．222234510C C C C 165+++⋅⋅⋅+=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【答案】C【分析】A 选项由11C C C m m m n n n -++=及22222322234510334510C C C C C C C C C 1++++=+++++-即可判断；B 选项由二项式系数的增减性即可判断；C 选项由11C C C m m m n n n -++=及6767C C =即可判断；D 选项直接计算比值即可判断.【详解】由11C C C m m m n n n -++=可得22222322234510334510C C C C C C C C C 1++++=+++++-32223445101111109C C C C 1C 11164321⨯⨯=++++-=-=-=⨯⨯，故A 错误；第2022行中第1011个数为1010101120222022C C <，故B 错误；666766767678778889C C C C C C C C C ++=++=+=，故C 正确；第34行中第15个数与第16个数之比为14153434343321343320C :C :15:203:4141311514131⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故D 错误.故选：C.【变式训练】1.将三项式展开，得到下列等式：20(1)1a a ++=212(1)1a a a a ++=++22432(1)2321a a a a a a ++=++++2365432(1)367631a a a a a a a a ++=++++++⋯观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数(不足3个数时，缺少的数以0计)之和，第k 行共有21k +个数．则关于x 的多项式()2253(1)a ax x x +-++的展开式中，8x 项的系数（）A ．()2151a a +-B ．()2151a a ++C ．()21523a a ++D ．()21523a a +-【答案】D【分析】直接利用广义杨辉三角和数据的组合的应用求出结果．【详解】根据广义杨辉三角的定义：()5210987654321151530455145301551a a a a a a a a a a a a ++=++++++++++；故()5210987654321151530455145301551x x x x x x x x x x x x ++=++++++++++；关于x 的多项式()()52231a ax x x +-++的展开式中8x 项的系数为()()22315301523aa a a -⨯+⨯=+-.故选：D ．2.当N n ∈时，将三项式()21nx x ++展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 的系数为75，则实数a 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据广义杨辉三角形可得出()521x x ++的展开式，可得出()()5211ax x x +++的展开式中8x 的系数，即可求得a 的值.【详解】由广义杨辉三角形可得()521098765432151530455145301551xx x x x x x x x x x x ++=++++++++++，故()()5211ax x x +++的展开式中，8x 的系数为153075a +=，解得2a =.故选：C.3.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，若第n 行中从左至右第14与第15个数的比为2:3，则n 的值为___________.【答案】34【分析】根据杨辉三角形中数据的规律可以写出第n 行中从左至右第14与第15个数的表达式，根据比例结果可计算得n 的值.【详解】由题意可知，根据数字规律可以看出第n 行中从左至右第m 个数为1C m n -所以，第n 行中从左至右第14与第15个数分别是13C n 和14C n ；即1314C 2C 3nn =，由组合数计算公式!C !()!m nn m n m =-可得142133n =-，计算的34n =；故答案为：34.【题型九】三项展开式【典例分析】下列各式中，不是()422a a b +-的展开式中的项是（）A ．78aB ．426a bC ．332a b -D ．3224a b -【答案】D【分析】根据题意多项式展开式中，有一个因式选2a ，有2个因式选b -，其余的2个因式选2a ，有1个因式选b -，剩下的3个因式选2a ，分别计算所得项，即可得到结果.【详解】()422a a b +-表示4个因式22a a b +-的乘积，在这4个因式中，有一个因式选2a ，其余的3个因式选2a ，所得的项为()3132743C 2C 8a aa ⨯⨯=，所以78a 是()422a a b +-的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选b -，其余的2个因式选2a ，所得的项为()()222224242C C 6b a a b ⨯-⨯⨯=，所以426a b 是()422a a b +-的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选b -，剩下的3个因式选2a ，所得的项为()()313343C C 232b a a b ⨯-⨯=-，所以332a b -是()422a a b +-的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选b -，其余的2个因式中有一个选2a ，剩下的一个因式选2a ，所得的项为()()2212132421C C C 224b a a a b ⨯-⨯⨯⨯⨯=，所以3224a b -不是()422a a b +-的展开式中的项.故选:D.三项展开式的通项公式：1.411()x y x y+--的展开式的常数项为A ．36B ．36-C ．48D ．48-【答案】A【分析】先对多项式进行变行转化成441()1x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出22x y 项，第2个括号出221x y 项.【详解】∵4444111()1x y x y x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴411x y x y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为22244222(C (C 361))x y x y ⨯=.故选：A.2.在()621x x +-的展开式中，含3x 项的系数为（）A ．30-B ．10-C ．30D ．50【答案】B【分析】把()621x x +-看成6个()21x x +-相乘，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，即可得到结果.【详解】()621x x +-是6个()21x x +-相乘，需要依次从每个()21x x +-的三项（1，x ，2x -）中选出一项后相乘，就可得到展开式中的一项.得到3x 项的方法有两类：第一类是，6个()21x x +-的1个()21x x +-里选出x ，1个()21x x +-里选出2x -，其余()21x x +-里选出1，相乘得3x -，这类方法，共可得到114654CC C 30⨯⨯=个3x -，合并同类项后即得到330x -；第二类是，6个()21x x +-的3个()21x x +-里选出x ，其余()21x x +-里选出1，相乘得3x ，这类方法，共可得到3363C C 20⨯=个3x ，合并同类项后即得到320x .再将上述两项合并，得333302010x x x -+=-，因此3x 项的系数为10-.故选：B.3.()823x y z ++的展开式中，共有多少项？（）A ．45B ．36C ．28D ．21【答案】A【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数.【详解】解：当()823x y z ++展开式的项只含有1个字母时，有3项，当()823x y z ++展开式的项只含有2个字母时，有2137C C 21=项,当()823x y z ++展开式的项含有3个字母时，有27C 21=项,所以()823x y z ++的展开式共有45项；故选：A.培优第一阶——基础过关练1．()()412x x --的展开式中，3x 项的系数为（）A ．2B ．14C ．48D ．2-【答案】B 【分析】3x 项由()41x -的2x 项与x 的积和()41x -的3x 项和2-的积组成，再结合二项式定理得出系数.【详解】()41x -展开式的通项为()441C rr rx--，在()()412x x --中，3x 项由()41x -的2x 项与x 的积和()41x -的3x 项和2-的积组成，故可得3x 的系数为()()()2121441C 11C 214-⨯+-⨯-=．故选：B ．2．6⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（）A ．160-B ．64-C ．64D ．160【答案】C【分析】在二项展开式的通项公式中令x 的幂指数为3，求出r 的值，即可求得3x 的系数.【详解】6的展开式的通项公式为663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==⋅-⋅，令33r -=，则0r =，故展开式中3x 的系数为0606C 2(1)64⋅-=.故选：C.3．已知1021001210(1)-=++++x a a x a x a x ,则()01210+++=a a a a （）A ．10-B ．10C ．1D ．1-【答案】D【分析】赋值法分别求0a 和1210a a a +++即可.【详解】令0x =可得01a =,令1x =可得012100a a a a ++++=即121001a a a a +++=-=-,所以()012101a a a a +++=-.故选:D.4．在4(1)(12)()a x y a ++∈N 的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，若()()0,11,06f f +=，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用二项式定理展开公式求解.【详解】()01140,1C C 2,a f =⋅()1041,0C C ,a f =⋅所以()()0,11,0246f f a +=+=解得1a =，故选：B.5．()61x a y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含14x y -项的系数为15-，则=a （）A ．1B ．1-C ．1±D ．2±【答案】C【分析】先求出()6a y +的通项公式，然后整理出14x y -项的系数，根据系数相等可得答案.【详解】()6a y +的展开式的通项公式为66C rrr ay -，令4r =，可得6246C 15r r ra y a y -=；所以含14x y -项的系数为215a -，即21515a -=-，解得1a =±.故选：C.6．511(12)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A ．9-B ．10-C ．9D ．10【答案】A【分析】由二项式定理的通项公式计算可得结果.【详解】∵555111(12)(12)(12)x x x x x ⎛⎫+--=+- ⎪⎝⎭，5(12)x -第1r +项为：155C (2)C (2)r r r r r r T x x +=-=-，(0,1,,5)r =，51(12)x x -的第1k +项为：11551C (2)C (2)k k kk k k T x x x-+=-=-，(0,1,,5)k =∴展开式中的常数项()()001155C 2C 21109T =-+-=-=-.故选：A.7．已知()na b +的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n =（）A ．11B ．10C ．12D ．13【答案】C【分析】当n 为偶数时，展开式中第12n+项二项式系数最大，当n 为奇数时，展开式中第12n +和32n +项二项式系数最大.【详解】∵只有第7项的二项式系数最大，∴172n+=，∴12n =．故选：C8．若()()()()()42201223222nn x x x a a x a x a x -+=+-+-++-，则564a a a +=（）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】D【分析】将23x x +中含有x 的项都写成2x -的形式，即可得解.【详解】()()()()()442223222107x x x x x x ⎡⎤+⎣⎦-+=---+()()()654272102x x x =-+-+-，所以6541,7,10a a a ===，所以56445a a a +=.故选：D.培优第二阶——能力提升练1．8x ⎛⎝的展开式中，以下为有理项的是（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】AC【分析】根据给定二项式求出其展开式的通项，再求出通项中x 的幂指数为整数的所对项数即可.【详解】8x ⎛⎝的展开式的二项式通项为138822188C C ,0,1,2,3,4,5,6,7,8r r r rr r T xx x r ---+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令823r -为整数，求得0r =，2，4，6，8，所以对应第1,3,5,7,9项为有理项，故选：AC2．在62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的是（）A ．常数项为160B ．第3项二项式系数最大C ．所有项的二项式系数和为62D ．所有项的系数和为63【答案】ACD【分析】先求62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式可得选项A 的正误，利用n 的值可得选项B 、C 的正误，所有项的系数和可以利用赋值法求解【详解】62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为66261662C 2C rr r r r r r T x xx ---+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，由260r -=，得3r =，所以常数项为3362C 160=，A 正确；二项式展开式中共有7项，所以第4项二项式系数最大，B 错误；由6n =及二项式系数和的性质知，所有项的二项式系数和为62，C 正确；令1x =，得()660126213a a a a +++⋯+=+=，所有项的系数和为63，D 正确；故选：ACD.3．若2022220220122022(1)x a a x a x a x -=++++，则（）A ．01a =B ．12022a =C ．1220221a a a +++=-D ．012320221a a a a a -+-++=【答案】AC【分析】对ACD ，由赋值法可判断；对B ，由二项式展开项通项公式可求.【详解】对A ，令0x =得01a =，A 对；对B ，由二项式展开项通项公式可得第2项为()1120212202211C 120222022T x x a x a =-=-=⇒=-，B 错对C ，令1x =得0122022122022001a a a a a a a a +++=++=-+⇒=-+，C 对；对D ，令=1x -得0123220222022a a a a a -+-++=，D 错.故选：AC.4．下列说法中正确的有（）A ．2799C C =B ．233445C C C +=C ．123C C C C 2n n n n n n ++++=D ．()41x +展开式中二项式系数最大的项为第三项【答案】ABD【分析】根据组合数的性质即可判断AB ；根据二项式之和即可判断C ；对于D ，先求出展开式的通项，不妨设第1k +项的系数最大，则有144144C C C C kk k k -+⎧≥⎨≥⎩，从而可得出答案.【详解】对于A ，由组合数的性质可得2799C C =，故A 正确；对于B ，由组合数的性质可得233445C C C +=，故B 正确；对于C ，因为0123C C C C C 2n n n n n n n +++++=，所以1231C C C C 2n n n n n n ++++=-，故C 错误；对于D ，()41x +展开式的通项为14C kkk T x +=，不妨设第1k +项的二项式系数最大，则144144C C C C kk k k -+⎧≥⎨≥⎩，解得2k =，所以()41x +展开式中二项式系数最大的项为第三项，故D 正确.故选：ABD.5．()521x y ++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.【答案】30【分析】求出()521⎡⎤++⎣⎦x y 的通项令2r =时得()3245C 1+x y ，再求出()31x +展开式中2x 的系数可得答案.【详解】()521⎡⎤++⎣⎦x y 展开式通项为()55211C -+=+rr r r T x y ，{}0,1,2,3,4,5r Î，当2r =时()32425C 1=+T x y ，由()301223333331C +C +C +C +=x x x x 得2x 的系数为3，故24x y 的系数为25C 330⨯=.故答案为：30.6．已知()01311(1)22nn n x a a x a x ⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭，写出满足条件①②的一个n 的值__________.①*3,n n ≥∈N ；②3,0,1,2,,i a a i n ≥=.【答案】8,9,10或11.（答案不唯一）【分析】令1x t +=，得到1C ,0,1,2,,2ii i na i n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，再由3,0,1,2,,i a a i n ≥=求解.【详解】解：令1x t +=，得01112nn n t a a t a t ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭，1C ,0,1,2,,2ii i n a i n ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，由条件②知32323234343411C C ,,22811,11C C ,22n n n n a a n a a ⎧⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪⎪ ⎪ ⎪≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒⇒≤≤⎨⎨≥⎛⎫⎛⎫⎪⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩.又*,n n ∈∴N 的值可以为8,9,10或11.（答案不唯一）故答案为：8,9,10或11.（答案不唯一）7．若()()542345321x a bx cx dx ex fx x -=+++++++，其中a ，b ，c ，d ，e ，f 为常数，那么b c d f +++=______.【答案】109【分析】利用赋值法求a b c d e f +++++和a ，利用二项式展开式通项公式求e ，由此可得结果.【详解】因为()()542345321x a bx cx dx ex fx x -=+++++++，令1x =，得316a b c d e f -=++++++，整理得：19a b c d e f +++++=-，令0x =，得961a -=+，97a =-，因为()52x -的展开式的通项公式为()515C 2rr rr T x -+=⋅-，所以()532x -的展开式中含4x 项的系数为()153C 2⋅-，又()41x +的展开式中含4x 项的系数为44C ，所以()153C 21e ⋅-=+，31e =-，将a 、e 代入即可求得109b c d f +++=.故答案为：109.8．0x ∀≠，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可以写成关于221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的多项式，则该多项式各项系数之和为_________.【答案】243【分析】利用换元法，将101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为()52t +，从而利用赋值法即可求得该多项式各项系数之和.【详解】因为222112x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，令221t x x =+，则()5105221122x x t x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令1t =，则()5523243t +==，所以该多项式各项系数之和为243.故答案为：243培优第三阶——培优拔尖练1．已知集合{}2019,12,6,10,5,1,0,1,8,15H =---，记集合H 的非空子集为1M 、2M 、L 、1023M ，且记每个子集中各元素的乘积依次为1m 、2m 、L 、1023m ，则121023m m m +++的值为___________.【答案】1-【分析】构造函数()()()()()()()()()()201912610511815f x x x x x x x x x x x =+++---+++，设该函数展开式中所有项系数之和为T ，则1210231m m m T +++=-，利用赋值法可求得结果.【详解】设集合H 的十个元素分别为1a 、2a 、L 、10a .1210121391012389101210121023m a a a a a a a a a a a a a a a a m m a a =+++++++++++++++.设函数()()()()()()()()()()201912610511815f x x x x x x x x x x x =+++---+++展开式中所有项系数之和为T ，则1210231m m m T +++=-，因为()10T f ==，所以11T -=-．故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：本题主要考查的集合子集的判定，构造函数求解，属于难题．本题的关键是根据二项定理的推导过程构造出函数()()()()()()()()()()201912610511815f x x x x x x x x x x x =+++---+++，这种转化思想是本题的难点．2．设0i a i =（，1，2，…，2022）是常数，对于∀x ∈R ，都有()()()()()20220122022112122022x a a x a x x a x x x =+-+--++---（），则012345202120222!3!4!2020!2021!a a a a a a a a -+-+-+-+-=________.【答案】2021【分析】先令1x =，求得0a 的值，再将给定的恒等式两边求关于x 的导数，然后令1x =，从而可得所求的值.【详解】因为()()()()()()20220122022112122022xa a x a x x a x x x =+-+--++---，则令1x =可得01a =.又对()()()()()()20220122022112122022xa a x a x x a x x x =+-+--++---两边求导可得：()()()()()2021122022202212122022x a a x x a x x x ''=+--++---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()()()()12n f x x x x n =--⨯⨯-，则()()()()()()12+2n f x x x x n x x n ''=--⨯⨯--⨯⨯-⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()1112111!n n f n n -'=-⨯⨯-=--，所以()()()12202120211232022202211112!12021!a a a a ⨯=+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-故123202220222!2021!a a a a =-+--，所以012345202120222!3!4!2020!2021!202212021a a a a a a a a -+-+-+-+-=-=.故答案为：2021.【点睛】本题考查函数的导数以及恒等式的系数和的求法，注意根据恒等式的特征选择合适的赋值，本题属于较难题.3．()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为______.【答案】-6480【分析】()()662323a b c a b c +-=+-⎡⎤⎣⎦，利用二项式定理得到()3345402T c a b =-⋅+，再展开()32a b +，计算得到答案.【详解】()()662323a b c a b c +-=+-⎡⎤⎣⎦，展开式的通项为：()()61623rrr r T C a b c -+=+-，取3r =，则()()()63333346235402T C a b c c a b -=+-=-⋅+，()32a b +的展开式的通项为：()3132mm m m T C a b -+=，取2m =，得到()22233212T C a b ab ==，故23ab c 的系数为540126480-⨯=-.故答案为：6480-.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．对任意正整数i ，设函数()414034log 2i f x i =-⋅的零点为i a ，数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，则使得n S 能被2n +整除的正整数n 的个数是________．【答案】0【分析】要求零点，应先把函数()i f x 解析式中的对数化为相同底数，再求函数的零点可得2017i x a i ==，进而写出数列{}n a 的前n 项和201720172017123n S n =++++，用二项式定理和整除思想说明2017n 不能被2n +整除即可。
二项式定理（习题含答案）
二项式定理（习题含答案）二项式定理一、求展开式中特定项1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项【答案】C【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为，4、二项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填．6、设，则的展开式中常数项是．【答案】 332，30x 4567()r r rrrr x C x x C T 65153********--+?==30......2,1,0=r =r 2531 ()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r r r T C x -+=2r =2 510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420 sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是．【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为．10、已知，那么展开式中含项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2rr r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=n x x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a 8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为．13、如果，那么的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x-21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++017a a a +++1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++70127(12)1a a a a -=++++=-0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++70(10)1a -==12711a a a ++++=-1272a a a +++=-*3)()n n N ∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- 1238a a a a ++++=0 (sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r=（﹣1）r54﹣r．令4﹣=1，解得r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r ？？54﹣r =1×6×25=150，19、设，则．【答案】【解析】，所以令，得到，所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15，则（）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++01281a a a a ++++=0x =80128(120)000a a a a -?=+?+?++?01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=- 178a a a +++=255178a a a +++=87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，．23、若的展开式中的系数为10，则实数（） A或1 B ．或1 C ．2或 D ．【答案】B．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，∴或，故选B ．24、设，当时，等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】令，则可得，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n6=n 4r+14T =C r r r a x -43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r r r T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2312(21)22222225418721 n nn n n +-++++= =-=?+=?=-。
二次项定理典型例题-学生用-
典型例题例1 在二项式n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 例2 求10321⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项． 例3 已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ，求：（1）7321a a a a ++++ ； （2）7531a a a a +++；（3） 6420a a a a +++．例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++x x 展开式中的常数项． 例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．例6 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ； （2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n ．． 例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．例8 展开52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ． 例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）．A ．11B ．33C ．55D ．66 例10 若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ． 例11 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________． 例12 已知n x x )1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为 112，求x 的值．例13 nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．例14 设n m x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含 2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=- ，求(1) 721a a a +++ ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是________________. 例17 求证：对于+∈N n ，111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n ．例18 在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为（ ）．A ．160B ．240C ．360D ．800 例19 已知92⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为___________． 例20 (1)求证：n n n n n n C C C )2(3)1(333133221-=-++⋅-⋅+-(2)若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，求2312420)()(a a a a a +-++的值． 例21 若+∈N n ，求证明：3724332+-+n n 能被64整除． 例22 已知n x x )3(232+的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．例23 求证：(1) p n m m p n p m n p m n C C C C C C C +-=+++0110 ；(2) 1144220242333--+⋅=++++n n n n n n n n C C C C (K n 2=，*N n ∈)选择题1．在今年公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员二名，农业企业管理人员和农业法宣传人员各一名，报考农业公务员的考生有10人，则可能出现的录用情况种数是（ ）A ．5040B ．2520C ．1260D ．2102. 若一位学生把英语单词“error ”中字母的拼写错了，则可能出现错误的种数是（ ）Ａ．9 Ｂ．10 Ｃ．19 Ｄ．20３．从10个学生中挑选若干人组成一组，如果必含其中某人的组合数等于必不含某人的组合数，则这样的一个组合的人数有（ ）Ａ．４个 Ｂ．５个 Ｃ．６个 Ｄ．７个４. 4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 （ ）A ．48B ．36C ．24D ．18５．小王打算用70元购买面值为20元和30元的两种IC 电话卡，若他至少买一张，则不同的买法一共有（ ）A.5种B.6种C.7种D.8种６．编号为１、２、３、４、５的五个人，分别去坐在编号为１、２、３、４、５的五个座位上，至多有两个号码一致的坐法有（ ）种．Ａ．１２０ Ｂ．１１９ Ｃ．１１０ Ｄ．１０９７．已知直线01=-+by ax （a ，b 不全为0）与圆5022=+y x 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）A ．60条B ．66条C ．72条D ．78条８．从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有 （ ）A ．9个B ．15个C ．45个D ．51个9．在某市举行的“长城杯”足球比赛中，由全市的6支中学足球队参加.比赛组委会规定：比赛采取单循环赛制进行，每个队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在今年即将举行的“长城杯”足球比赛中，参加比赛的市第一中学足球队的可能的积分值有A.13种B.14种C.15种D.16种 （ ）10．氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，其肽链由７种不同的氨基酸构成，若只改变其中的三种氨基酸的位置，其余四种不变，则不同的改变方法有（ ）种．Ａ．２１０ Ｂ．１２６ Ｃ．７０ Ｄ．３５11．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）A ．484121214C C CB ．484121214A AC C ．33484121214A C C C D ．33484121214A C C C 12．某中学拟于下学年在高一年级开设《矩阵与变换》、《信息安全与密码》、《开关电路与布尔代数》等三门数学选修课程。
高二数学二项式定理与性质试题答案及解析
高二数学二项式定理与性质试题答案及解析1.展开式中的系数为10，则实数a等于（）A．-1B．C．1D．2【答案】D【解析】二项式的展开式的通项，当时，，系数，解得，答案选D.【考点】二项式定理2.已知（－）n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：（1） n的值；（2）展开式中含x3的项．【答案】（1）9；（2）－18x3【解析】（I）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是2时比x的指数是1时的系数要大162，所以．（II）根据上一问写出的特征项以及已经求出的n值即可计算展开式中含x3的项即：．试题解析：（1）∵T3＝（）n－2（－）2＝4x，T2＝（）n－1·（－）＝－2x，依题意得4＋2＝162，∴2＋＝81，∴n2＝81，n＝9.（2）设第r＋1项含x3项，则Tr＋1＝（）9－r（－）r＝（－2）r x，∴＝3，r＝1，∴第二项为含x3的项：T2＝－2x3＝－18x3【考点】（1）展开式项的系数；（2）二项式系数.3.的展开式中含项的系数A．30B．70C．90D．150【答案】B【解析】的展开式中含的系数为.【考点】二项式定理的应用.4.若已知，则的值为 .【答案】1【解析】令，可得；令，可得；两式结合可得.【考点】二项式定理的应用.5.二项式（﹣2x）6的展开式中，x2项的系数为_________．【答案】-160【解析】，由题意可知，解得r=3，因此系数，答案为-160.【考点】二项式定理6.设，则（）A．﹣2014B．2014C．﹣2015D．2015【答案】D．【解析】由题意可得即为展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数为：，故选D．【考点】二项式系数的性质．7.已知的最小值为n，则的展开式中常数项为（）A．20B．160C．-160D．-20【答案】C【解析】当时，，因此，当时，常数项为.【考点】二项展开式的通项公式.8.对任意实数，有，则的值为 .【答案】【解析】，所以，关键是要配成指定形式，再展开.【考点】二项式定理.9.的展开式中的常数项是 .【答案】【解析】由通项公式得，若要表示常数项，则令，得，所以常数项为，二项式定理及其应用的问题几乎离不开通项公式，记牢通项公式那是必须的.【考点】二项式定理及其应用.10.展开式中含的有理项共有（）A． 1项B． 2项C．3项D． 4项【答案】C【解析】由二项式定理可得展开式:,其中的有理项必须满足,故可取0,6,12，即有3项，故C.【考点】二项式定理.11.二项展开式中的常数项为( )A．112B．-112C．56D．-56【答案】A【解析】由二项展开式可知，常数项中即，可常数项为.故选A.【考点】二项式定理.12.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．-40B．-20C．20D．40【答案】D【解析】令，可得各项系数和为，故，原式变为，展开式的通项为，常数令，即，则的系数为，令，则，则的系数为，所以原展开式中常数项为．【考点】二项展开式，二项式的各项系数和．13.已知的展开式的二项式系数的和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992,求(2x －)2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．【答案】(1) T6=－8 064; (2) T4＝－15 360x4．【解析】(1)的二项式系数和为，则由题可得，得，由二项式系数的性质知第项最大；(2) 设第r＋1项的系数的绝对值最大，可得到关于的不等式，解得取整可知，代回可得系数的绝对值最在的项为第项．解：由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5． 4分(1)由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，即．∴． 6分(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，∴．∴， 8分得，即，解得， 10分∵r∈Z，∴r＝3．故系数的绝对值最大的是第4项，． 12分【考点】二项式系数和项的系数．14. (1＋2x2)8的展开式中的常数项为________．【答案】－42【解析】设8的第r＋1项为Tr＋1＝(－1)r C8r x8－2r.则令8－2r＝0，得r＝4；令8－2r＝－2，得r＝5.故原式展开式中常数项为1×(－1)4C84＋2×(－1)5C85＝－42.15.求10展开式中的常数项．【答案】4351【解析】解：∵10＝10，则其通项为：Tk＋1＝C10k·k，(其中k＝0,1,2，…，9)．要求原式的常数项，则需要求k的展开式中的常数项．∵Tr＋1＝C k r·a k－r·a－2r＝C k r·a k－3r(其中r＝0,1，2，…，k)．由题意，令k－3r＝0，则k＝3r，即k是3的倍数，所以k＝0,3,6,9.当k＝0时，C100＝1.当k＝3时，r＝1，C103·C31＝360.当k＝6时，r＝2，C106·C62＝3150.当k＝9时，r＝3，C109·C93＝840.所以原式展开式中的常数项是C100＋C103·C31＋C106·C62＋C109·C93＝4351.16. 1－90C101＋902C102－903C103＋…＋(－1)k90k C10k＋ (9010)1010除以88的余数是________．【答案】1【解析】原式＝(1－90)10＝(88＋1)10＝8810＋C101889＋…＋C10988＋1.因为前10项均能被88整除，故余数为1.17. (1)已知(1－2x)2008＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2008x2008(x∈R)，求a＋a1＋a2＋…＋a2008的值；(2)已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，求a1＋a3＋a5＋…＋a13的值．【答案】(1)1 (2)(27－67)【解析】解：(1)令x＝1，则(1－2x)2008＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2008x2008变为(1－2)2008＝a＋a1＋a2＋…＋a2008，∴a0＋a1＋a2＋…＋a2008＝1.(2)分别令x＝1及x＝－1，可得两式相减，用上式减下式可得2(a1＋a3＋…＋a13)＝27－67，∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝ (27－67)．18.（1）求的展开式中的常数项；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由二项式定理的通项展开式公式可得.故要求所求的常数项即的系数为零即可求得相应的r的值.从而可得常数项.（2）由已知以及结合要得到的结论可以设想所有含的部分为1即可令.可是又多了一个的值，所以要想办法将含有部分转化为零即可，所以令即可得到的值从而可得所求的结论.试题解析：（1）展开式通项为.由，可得.因此展开式的常数项为第7项：= .（2）恒等式中赋值，分别令x=-2与x=-1，得到然后两式相减得到.【考点】1.二项式定理的展开式.2.展开式两边的变化对比.3.特殊数字的设定.19.二项式的展开式中含有的项，则正整数的最小值是A．4B．6C．8D．12【答案】B【解析】根据题意，由于二项式的展开式中含有的项，其通项公式为，n=-4，则可知n的最小值即为r=4,n=6.故可知答案为B.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的基本运用，属于基础题。
二项定理常考题型及解法
知识篇知识结构与拓展高二数学2021年5月二"#定理常考题型及解法■四川省成都经济技术开发区实验中学校杜海洋一、知识点总结!二项式定理!+#"=+%#+•…+ C；"&#%+--------C$#$($#N$"2.基本概念①二项展开式：上式右边的多项式叫作"+#"的二项展开式$②二项式系数：展开式中各项的系数C；(%=0,1,2,・#,$)$③项数：共$+1项，是关于"与#的齐次多项式$④通项：展开式中的第％+1项叫作二项式展开式的通项，用&%+%=#%"$%#%表＜$3.注意关键点①项数：展开式中总共有$+1项$②顺序：注意正确选择其顺序不能更改&与！是不同的$③指数："的指数从$逐项减到0,是降S排列'的指数从$逐项升到$,是升需排列$每一项的次数和等于$$④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C$&CC$C$，项的系数是"与#的系数(包括二项式系数"%.常用的结论令"=1,#=工，=C$+C%'+ C''2---------+C$'%++C$"$令"=1,#=—',(1—"C$—C$'+ C'2--------C%'%+---------(—1"C$'$!#N$"$5.性质①二项式系数的对称性$与首末两端“相等距离”的两个二项式系数相等，即C$"C$，…，C$"C$($②二项式系数和$令a=b=1,则二项式系数的和为C$+ C1+C2+…+C$+…+C$"2$，变形式为C1+C$--------C$+-----------C$"2$—1$③奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和$在二项式定理中，令a=1,b=—1,则c$—C1+c2—c(-------+(—1$$c$"(1—1$$ "0,从而得到C$+C2+C：…+C%+…" C1+C$--------C%+1+…"2*2$"2$1$④奇数项的系数和与偶数项的系数和$$$0，1$12$22$$，$a +…+C$a0'$"a$+a'1+a?'2+…+ a$'$$同理,''"1,贝U a$+a1+a2+a(…+a$=(a+1$$$①令'"—1，贝U a$—a1+a2—a3+…+a "(a—1$$$②①+②得,a$+a2+a4…= (a+1$$+(a—1$$(奇数项的系数和$2①一②得,a1+a(+a5…" a+1$$—Q"(偶数项的系数和$$⑤二项式系数的最大项$如果二项式的S指数$是偶数时，则中间一项的二项式系数C2取得最大值$如果二项式的S指数$是奇数时，则中间两项的二项式系数C亍，c T同时取得最大值$⑥系数的最大项$求(a+b'$$的展开式中最大的项，一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A1，A2,…，A$+1，设第％+1项系数最大,Jn"""知识篇知识结构与拓展丁今虫""""""高二数学 2021年5月应有*从而解出％的值$% + 2&二、二项式定理常见考题的解法题型一：二项式定理的正逆用伸I ! 设（1+工"="$ + "%工 + "'工2 +24°. 2_° —r 得「n(n — 1)(n — 2)2"3 — 2" 2 " 4 彳得 ,n(n — 1) n(n — 1)(n — 2)(n — 3)"2 •2 • 2 °解得n "5$(2)(方法 一)(1+ 3 )5"C 5 + C 1 3 + #2(3)2+c 5 (3)3 +c 5 (3) + c 5 (3)5 —"+# 3$由于"& ##n $ & 因此 &""#5 + 3#2+-#5= 1 + 30 + 45 "76 & #"#1 +3#3 + -#5 "44$故"2—3#2 = 762 —3 X 442 " — 32$(方法二)(1+ 3)5 " #5 + #1 3 +#2(3)2+#5 (3)3 +#5 (3) + #5 ( 3)5 = "+ # 3, (1 — 3)5 " #5 + #： (— 3) +#2(— 3)2 + #3 ( — 3)3 + #5 ( — 3) + #5(— 3)5 = #0 — #5 3 + #2 ( 3 )2 — #3(3"+ #5(3) —#5(3)5 $由于"，##N $，因此，(1 — 3)5 ""—#3，故"2 — 3#2 " (1 + 3)5 - (1— 3)5 =(1 —3)5"—32$练习1 若#' + #'2 +-------+ C 能被7整除，则 'n 的值可能为()$A*h =4 , n "31*工=4 , n " 4#. ' = 5,n = 4D. ' = 6,n = 5---"”，已知"（=2"'"4$（1） 求n 的值；（2） 设（1+ （" ="+# （，其中"&#N $，求"2 *— 3#2 的值 $解析：（1）由（1 + 工"=#n + c ++--------, n %4 ,可得：n(n — 1)(n — 2),， "4 " #n =n(n — 1) )n — 2) )n — 3)解析：#' + #'2 + …+ #$h " = （1+工）"—1 $当工=5 ,n = 4 时，（1+h ）$ —1 = 6 — 1 =35X37能被7整除，故选#$题型二：利用通项公式求的系数I "（2 ' + 1）6的展开式中'的系数是（）$A. 120B. 60 #.30 D. 15解析：二项式（2 ' + 1）6的展开式的通6 %项为 丁%+1=C % （2 '）6 % =26 %#%'丁 $6 — %令-2 = 1，解得 % = 4$ 则（2 /T + 1）6的展开式中'的系数是22#6 = 60,选B $练习2 若---1）展开式中含一2项''2的系数与含A 项的系数之比为一5,则n 等于）$A. 4B. 6解析：（工一1）#. 8 D. 10展开式的通项为:(2')%+1&ri令 n —2% = —2,解得 % = ^^ $故含1项的系数为（一1）宁2宁#甘CCn +~ 4令 n —2% = —4，解得 % = —2— $-In + 4 n 4 n +含=项的系数为(一1)丁2丁#了ccn +2 n 2 n +2将n = 4,6,8,10代入检验得n = 6,故选B题型三：利用通项公式求常数项i #如果32—2）的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）$A. 10B. 6 #.5 D. 3解析：展开式的通项为&%+1=#；（3工2）%・知识篇知识结构与拓展高二数学2021年5月5由题意得2$—5%"$&$"2%（%=0,1, 2,…，"一1"故当%"2时，正整数$的最小值为5,选C$练习3（2006年山东卷）已知（'2—'）的展开式中第三项与第五项的系数之比为3—肓，其中4"—1,则展开式中常数项是（"A.—45i B45iC.—45D*45解析：第三项的系数为一C2，第五项的系数为#4，由第三项与第五项的系数之比为3，解得$"10$当％"0,4,8时，该项为含'的整数次S 的项，所以展开式中含'的整数次S的项的系数之和为C8+C4+C8"72$题型五：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和%已知（1一'"5"a$+a'+a2'2 +a3'3+a4'4+a5'5,贝U（a$+a?+a4）（a]+ a3+a5）的值等于$解析：令'"1,可得a$+a1+a2+a3+ a4+a5=0$CD再令'"一1,可得a$一a1+a2一a3+ a4a52532$②则&%+1C；$①+②，变形得a$+a2+a4"16$①一②，变形得a1+a3+a5"—16$故（a$+a2+a4）（a1+a3+a5）的值等于—256$中，所有的奇数项的系数和为1024,求它展开式的中间项$解析：因为c$+C2+C4…+C%+…" C1+C3+---------C%+1+…"2$1,所以2$1" 1024,解得$"11$所以第6项、第7项为中间两项，&5+1"（—i"C；0'2$令40—5%"0,解得%"8$故所求的常数项为（—i）8C8$"45,选2$题型四：先利用通项公式，再讨论或确定有理数项!$二项式（2+逅'"的展开式中系数为有理数的项共有！）$A.6项B.7项C.8项D-项解析+3'"展开式的通项为&%+1" 25%%25%%2233C%$'%，项的系数为2233C%$$要使系数为有理数&需是6的倍数，所以％"0,6,12,18,24,30,36,42,48$故展开式中系数为有理数的项共有-项，选2$练习％（二+'"的展开式中含'462'15$丁）462'&6+1的整数次幕的项的系数之和为_____$（用数字作答）解析：&%+1"#8('"题型六：最（小）大系数，最大项!&在二项式（'一1）11的展开式中,系数最小的项的系数为_____$（结果用数值表示）解析：在二项式（'一1）11的展开式中，通项公式为&%+1"#11・工11%・（一1）%，要使此项的系数最小，需%为奇数，且c；1最大$根据二项式系数的性质可得，当%"5或6时, C；1最大，故系数最小的项为第6项（%"5）,等于一C11"—462,答案为一462$练习'在（1+2'）10的展开式中系数最大的项是多少？解析：假设&%+1项最大$J>"""""诃"知识篇知识结构与拓展丁今虫"""王""高二数学2021年5月因为&%+1=#0・2'%,所以*+1+1i%+11010。
二项式定理大典型问题及例题
二项式定理大典型问题及例题1. 问题介绍二项式定理是高中数学中的重要概念，它描述了如何展开二项式的幂。
在学习和应用二项式定理时，会遇到一些典型问题，本文将详细介绍这些问题，并给出相应的例题，以便读者更好地理解和掌握二项式定理的应用。
2. 公式回顾在探讨二项式定理的问题之前，我们先回顾一下二项式定理的公式：$$(a + b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 +C_n^2 a^{n-2} b^2 + \\ldots + C_n^n a^0 b^n$$其中Ck表示从n个不同元素中选择k个元素的组合数。
n在这个公式中，指数n表示二项式的幂，而a和b是二项式定理的底数。
3. 典型问题现在，我们来看一些典型的二项式定理问题。
3.1 求展开式的某一项系数问题：已知展开式(2x+3y)6，求展开式中x2y4的系数。
解析：要求展开式中x2y4的系数，需要找到对应的组合数。
根据二项式定理，x2y4的系数等于 $C_6^2 \\times 2^2\\times 3^4$。
计算得到该系数为 5400。
3.2 求展开式的某一项的值问题：已知展开式 $(1 + \\frac{1}{x})^8$，求展开式中的第四项的值。
解析：展开式中的第四项为 $C_8^3 \\times 1^5 \\times (\\frac{1}{x})^3$。
化简后得到 $C_8^3 \\times\\frac{1}{x^3}$。
根据组合数公式，$C_8^3 =\\frac{8!}{3!5!}$。
计算该值得到 56。
所以，展开式中的第四项的值为 $\\frac{56}{x^3}$。
3.3 求展开式的和问题：求展开式(−2x+5)4的和。
解析：根据二项式定理展开式的形式，展开式的和等于各项的系数之和。
展开式中各项的系数可以通过计算对应的组合数得到。
展开式(−2x+5)4的和等于 $C_4^0 \\times (-2)^4 \\times 5^0 + C_4^1 \\times (-2)^3 \\times 5^1 + C_4^2 \\times (-2)^2 \\times 5^2 + C_4^3 \\times (-2)^1\\times 5^3 + C_4^4 \\times (-2)^0 \\times 5^4$。
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（1）知识点的梳理1．二项式定理：011()()n n n r n r r n n nn n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r r r n T C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()n b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x ==0122(1)()n r r n n nn n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==-0122(1)(1)()n r r n n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈ 5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n nC C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r nn n n n n n C C C C C ++++++= ，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=- 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n nn n n n n n C C C C C -+-++-=-= ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=----- 令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。
（2）专题总结专题一题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .nn n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅= 解：012233(16)6666n n n n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅ 与已知的有一些差距，123211221666(666)6nn nn n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=- 练：1231393 .n nn n n n C C C C -++++= 解：设1231393n n n n n n nS C C C C -=++++ ，则122330122333333333331(13)1n n n n n n n n n n n nn n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+- (13)14133n n n S +--∴==题型二：利用通项公式求n x 的系数；例：在二项式n+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？解：由条件知245n n C -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r r rrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得，则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。
练：求291()2x x-展开式中9x 的系数？解：291821831999111()()()(222r r r r r r r r r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121(22C -=-。
题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式210(x +的展开式中的常数项？解：5202102110101()(2r rrrr r r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88910145(2256T C ==练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项？解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r r r T C x C x x ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以3346(1)20T C =-=-练：若21()n x x+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C x x--==，令2120n -=，得6n =.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9-展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)r rrr rr r T C x x C x--+=-=-，令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或，所以当3r =时，2746r -=，334449(1)84T C x x =-=-，当9r =时，2736r -=，3933109(1)T C x x =-=-。
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n -展开式中偶数项系数和为256-，求n .解：设n -展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n n n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=。
练：若n+的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
解：0242132112r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅= ，121024n -∴=，解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==，565451462n T C x -+==⋅，611561462T x-+=⋅题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2)2n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+= 解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数，434571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，7778141C ()234322T ∴==的系数。
练：在2()n a b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即2112n n T T ++=，也就是第1n +项。
练：在(2n x 的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第5项的二项式最大，则152n+=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =练：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347T C a b =-的系数最小，43457T C a b =系数最大。
练：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项？解：由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22x x +=+ 1111212111212124444r r r r r r r r r r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤ ，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121(4168962T C x x ==练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？解：假设1r T +项最大，1102rr r r T C x +=⋅ 111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤ ，7r ∴=，展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x ==题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为1445423C C x 它的系数为1445423240C C =。