二次项定理10大典型例题

（1）知识点的梳理

1．二项式定理：

011()()n n n r n r r n n n

n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式

④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用

1r n r r r n T C a b -+=表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是

012,,,,,,.r n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）

。

4．常用的结论：令1,,a b x ==0122(1)()n r r n n n

n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,

a b x ==-0122(1)(1)()

n r r n n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈ 5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

0n n n C C =， (1)

k k n n

C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为

0122r n

n n n n n n C C C C C ++++++= ，变形式1221r n

n n n n n C C C C +++++=- 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n

n n n n n n C C C C C -+-++-=-= ，从而得到：0242132111222

r r n

n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=

⨯= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

00112220120120011222021210

01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=----- 令则①令则024135(1)(1),()2

(1)(1),()2

n n

n n n

n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=

+---+++=

②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n

C 取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数1

2n n

C

-,12n n

C

+同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开

式中各项系数分别

为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有11

2r r

r r A A A A +++≥⎧⎨

≥⎩，从而解出r 来。（2）专题总结

专题一

题型一：二项式定理的逆用；

例：12321666 .

n

n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅= 解：012233(16)6666n n n n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅ 与已知的有一些差距，

123211221666(666)6

n

n n

n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=

⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666

n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=- 练：1231393 .n n

n n n n C C C C -++++= 解：设1231393n n n n n n n

S C C C C -=++++ ，则122330122333333333331(13)1n n n n n n n n n n n n

n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+- (13)14133

n n n S +--∴==

题型二：利用通项公式求n x 的系数；

例：在二项式n

+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？

解：由条件知245n n C -=，即2

45n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，

由

2102

1

10343

4110

10

()

()r r r r

r

r r T C x x C x

--

+--+==，由题意102

3,643

r r r --

+==解得，则含有3x 的项是第7项63

36110210T C x x +==,系数为210。

练：求29

1()2x x

-

展开式中9x 的系数？解：291821831999111

()()()(222

r r r r r r r r r r r T C x C x x C x x ----+=-

=-=-，令1839r -=,则3

r =故9x 的系数为3

39

121(22

C -=-。题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式210(

x +

的展开式中的常数项？

解：5202102110

10

1()

(

2r r

r

r

r r r T C x C x --+==，令5

2002r -=，得8r =，所以

88

910145(2256

T C ==

练：求二项式6

1(2)2x x

-

的展开式中的常数项？解：666216611

(2)(1)(

)(1)2()22

r r r r r r r r r r T C x C x x ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以33

46(1)20

T C =-=-练：若21

()n x x

+的二项展开式中第5项为常数项，则____.

n =