有限元考试复习题
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第1章 杆件结构
1.1 单元刚度如何叠加成结构的整体刚度矩阵？为什么这样叠加？如何从刚度矩阵的物理意义去理解此叠加关系？叠加成的整体刚度矩阵又有什么特点？
答：（1）首先对杆件结构进行自然离散，并对其进行节点编号和单元编号，然后通过坐标转换公式将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。将所得的单元刚度矩阵按节点编号进行组装，即可形成整体刚度。
（2）这样的叠加方法条理清晰，便于电脑程序编程，分块进行，效率较高，且尤其适用于大量杆件结构体系，将所有的计算程序化后，大大节省了时间，并且精度较高。
（3）刚度矩阵的物理意义是表示结构或构件单元在单位位移或变形下所能承受的力的大小。通过单元刚度矩阵建立单元节点力与节点位移之间的关系，通过整体刚度矩阵建立所受外荷载与整体位移之间的关系。通过单元刚度矩阵叠加构建整体刚度矩阵，则建立起了结构整体外荷载与整体位移之间的方程，进而通过求得的整体位移进一步求出单元之间的节点位移，并最终求得各单元之间的节点力。
（4）特点：1）对称性。由于杆单元的单刚是对称矩阵，则由它们集成的总刚也具有对称性。2)奇异性。即无论是单刚还是总刚都是奇异的，它们不存在逆阵。3)存在相当数量的零元素。由于杆系结构的特点，一个节点可能只连接少数几个单元，因此可能与周围邻近的几个节点之间存在非零的元素。
1.2 如图所示的圆杆，由两个不同截面的杆件（1）与（2）组成，在节点1，2，3上作用有轴向节点载荷1Q 、2Q 、3Q 而平衡。试写出3个轴向载荷与节点的轴向位移1u 、
2u 、3u 之间的矩阵关系。
解：
杆件1的单元刚度矩阵为：[]1
111111EA k l -⎡⎤
=
⎢⎥-⎣⎦
；
杆件2的单元刚度矩阵为：[]2
22
1111EA k l -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
； 结构的整体刚度矩阵为：
111
11
1
11121
1221
12
221
2211
1211222221
22
2
22
2EA EA l l k k EA EA EA EA K k k k k l l l l k k EA EA l l ⎡⎤-
⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎢⎥
-⎢⎥⎣
⎦
而又12l l L ==，所以
11
1
1222
2A A E K A A A A L A A -⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦
令节点位移向量为{}123,,T
u u u δ=，节点力为{}123,,T
F Q Q Q =，从而可得3个轴向载荷与节点的轴向位移其关系为
11
1
121122232
23Q A A u E Q A A A A u L Q A A u -⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎢
⎥=-+-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎣
⎦⎩⎭
1.3 如图所示为三角桁架，已知25/101.2mm N E ⨯=，两直边的长度m l 1=，各杆的截面积21000mm A =，求此结构的整体刚度矩阵[]K ，若节点的编号改变后，问[]K 的有无变化？
解：杆件的单元刚度矩阵为：[]1111i
i i
EA k l -⎡⎤
'=
⎢⎥-⎣⎦
，从而可得各个单元在局部坐标
系下的单元刚度矩阵为：
[]11111EA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦；[]21111EA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦；[
]31111k -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦
平面杆单元坐标转置矩阵：
cos sin cos sin T α
ααα⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，而又00012390045ααα===-、和，
从而各个单元的坐标转置矩阵分别为：
10101T ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；21010T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
；32
22T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢
⎢-⎢⎣⎦
根据上面给出的坐标转置矩阵，可得各个单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为
[][]11110000
001011010001010011000100
000
10101T EA EA k T k T l l ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤'⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
[][]222
2101
010001110000000011100101
0100
00
000T EA EA k T k T l l -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤'⎢⎥⎢⎥==
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
[][
]333
3101111101111001111011100111111011111T k T k T --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
-----⎡⎤⎡⎤'⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥
⎥⎢⎥
----⎣⎦⎣⎦⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
令节点位移向量为{}112233,,,,,T
u v u v u v δ=，节点力为{}112233,,,,,T
x y x y x y F q q q q q q =，
按照整体刚度矩阵的拼装原则，可得