第四章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分

a
0
4
解
I

4
0
2 2 a
y
yx

4
a
1 0d x
o
y0 a x
2 2 2 2 a sin a cos d
0
1 1 d x
- 11 -
第一节
例3 求 I
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分

L
对弧长的曲线积分 x a co s t , x yd s , L : 椭 圆 ( 第 象 限 ). y b sin t ,
3
- 18 -
解 I

0
2
a cos t b sin t
( a sin t ) ( b cos t ) dt
2 2
ab 2 sin t cos t a sin t b cos
2 2 2 0
2
t dt
2 2 2 2

ab 2(a b
2 2

) 0
2
2
b ( a b ) sin t d ( b ( a b ) sin t )
和对
Mn
B 记作 曲 lim f ( k ,k ) sk 线 L f ( x, y) d s 0 k 1 积 分 则称此极限为函数 与 存在, 曲 Mk ( k , k ) 在曲线 L上对弧长的曲线积分, 或第 面 sk 积 M k 1 称为被积函 分 一类曲线积分. M2
2
y
o
x
(1, 2 ) 曲 线 求 I x yzd s , 其 中 : x a co s , y a sin , 例5 积 分 与 z k 的 一 段 . ( 0 2 ) 曲 解 面 积 2 2 分 I a cos sin k a 2 sin 2 a 2 cos 2 k 2 d
L
f ( x , y )d s 存 在 .
性质 （1） 设 a , b 为常数，则
L ( af
( x , y ) bg ( x , y ) ds a f ( x , y ) ds b g ( x , y ) ds
L L
（2） 设 L L1 L 2 , 则
L
f ( x , y ) ds
2 2 2 2
2

ab ( a ab b ) 3(a b )
.
- 12 -
第一节
对弧长的曲线积分
例4
第 十 章
求I
L
yds ,
其中 L : y 4 x , y
2
(1, 2 )
从 ( 1 , 2 ) 到 ( 1 , 2 ) 一段 .
x
y
2
4
解
I
2 y
2
1 ( ) dy 0 . 2
注意 ( t ) ( t ) 连续
2 2
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0
k 1
n
-7-
第一节
对弧长的曲线积分
因此
f ( x, y) ds
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
f [ ( t ), ( t )]
2 2 ( t ) ( t )dt
对弧长的曲线积分
三
第 十 章
几何与物理意义
(1) 当 ( x , y ) 表 示 L的 线 密 度 时 ,
M

( x , y ) ds ;
L
曲 ( 2 ) 当 f ( x , y ) 1时 , L 弧 长 d s ; 线 L 积 z 分 ( 3 ) 当 f ( x , y ) 表 示 立 于 L上 的 与 曲 面 柱 面 在 点 ( x , y )处 的 高 时 , 积 分 o S 柱 面 面 积 f ( x , y )d s .
第 十 章 曲 线 积则 分 与 曲 面 积 分
t
tk
k 1
(t ) (t ) d t
2 2

( k ) ( k ) t k ,
2 2
点 ( k , k ) 对应参数为
n
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0
k 1
2
2
x R cos L: y R sin
o

L R x


3

R sin
2 2
( R sin ) ( R cos ) d
2
3
sin 2 R sin d 2 R 2 4 0

2


R ( sin cos )

n

M n1
数， 称为积分弧段 . d s 称为弧元素 L 曲线形构件的质量 M ( x , y )d s
-3L
M1 A M0
第一节
对弧长的曲线积分
存在条件： 当 f ( x , y ) 在 光 滑 曲 线 弧 L 上 连 续 时 ,
对弧长的曲线积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
( k ,k )
B Mn
M n1
曲 线 为计算此构件的质量, 采用 积 分 “大化小, 常代变, 近似和, 与 曲 面 积 可得 n 分
M k 1
M sk
k
求极限”
M1 A M0
M2
M

k 1
-2-
第一节
对弧长的曲线积分
2.定义 设L 是平面中一条有限长的光滑曲线,
第 义在 L上的一个有界函数, 若通过对 L的任意分割 十 章 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”

0 x 0
1
1
y
1 4 x dx
2
3 2 1
B(1,1)
yx
2
x
L
0
1 2 (1 4 x ) 12
o
1 x

1 12
( 5 5 1)
- 10 -
第一节
对弧长的曲线积分
例2

第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
设C 是由极坐标系下曲线 a , 0 及 所围区域的边界, 求 分段积分
0

1 2
ka
2
a k .
2 2
- 13 -
第一节
对弧长的曲线积分
例6. 计算
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
其中为球面
x y
2
2
z
2
9 2
与平面 x z 1的交线.
1 4
解:
1 ( x 1 )2 2 : 2 xz 1
y 1 ,
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x ) (d y )
2 2 2 2
y
(t ) (t ) d t
o
因此上述计算公式相当于“换元法”.
-8-
ds d y dx x x
第一节
对弧长的曲线积分
其中为球面 所截的圆周.
被平面
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
解: 由对称性可知


1
2 x ds

2
y ds
2

z ds
2

x ds
2
3
( x y z ) ds
2 2

1
3 2 3
a ds
2
1 3
a 2 a
2

a
3
- 15 -
第一节
L L
y
y ds . ds
L L
- 17 -
第一节
对弧长的曲线积分
例8. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
解: 建立坐标系如图, 则
I
y
L
y ds
( )
如果曲线 L 的方程为

第 十 章
则有
a
b
f ( x , ( x ) ) 1 2 ( x ) d x
如果方程为极坐标形式:L : ( ) ( ),则
曲 线 f ( ( ) cos , ( ) sin ) 2 ( ) 2 ( ) d 积 分 与 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 曲 面 : x ( t ), y ( t ) , z ( t ) ( t ) 积 分则 f ( x , y , z )d s
第一节
对弧长的曲线积分
第一节 对弧长的曲线积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
一 对弧长的曲线积分的概念与性质
二 对弧长的曲线积分的计算与应用 三 几何与物理意义
-1-
第一节
对弧长的曲线积分
一 对弧长的曲线积分的概念与性质
第 十 章
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在平面所 占弧段为AB , 其线密度为




f ( ( t ) , ( t ), ( t ) )
-9-
(t ) (t ) (t ) d t
2 2 2
第一节
对弧长的曲线积分
例1. 计算
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1 )
曲 注 意 ： 函 数 f ( x , y )在 闭 曲 线 线 积 分 分 记 为 f ( x , y )d s . L 与 曲 面 积 分
L上 对 弧 长 的 曲 线 积
-5-
第一节
对弧长的曲线积分
二、对弧长曲线积分的计算与应用
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
定理:
是定义在光滑曲线弧
L
f ( x, y)
S y
( x, y)
L
x
- 16 -
第一节
对弧长的曲线积分
( 4 ) 曲 线 弧 对 x轴 及 y轴 的 转 动 惯 量
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
,
Ix

y ds,
2 L
Iy

x ds.
2 L
(5) 曲 线 弧 的 重 心 坐 标
x
x ds , ds
上的连续函数, 则曲线积分
且
2 2
L
f ( x, y) d s


f [ ( t ) , ( t )] ( t ) ( t ) d t
证: 根据定义
lim f ( k ,k ) sk
0
k 1 n
-6-
第一节
对弧长的曲线积分
设各分点对应参数为
sk
2
化为参数方程
x
:
y 2 sin
z
1 2
2 cos 1 2 2 cos
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 2
则

ds ( 2 sin )
I 9 2 0
2
2
( 2 sin ) d 2d
2
2 d 18
- 14 -
第一节
对弧长的曲线积分
例7. 计算
L
f ( x , y ) ds
1
L
f ( x , y ) ds
2
-4-
第一节
对弧长的曲线积分
类似可以将定义推广到三元函数 f ( x , y , z ) 在空间 曲线 上对弧长的曲线积分
第 十 章
n
f ( x , y , z )ds lim0 1 k
f ( k , k . k ) s k