轴心受压构件

(1a)
EIyu'' Nu Ny0 0
EIyu '' Nu 0
(2)
EI ''' GIt ' Nx0v' Ny0u' ( Nr02 R) ' 0
EI'' (GIt R Nr02) Nx0v 0(1b)
（1）两组方程代表了整体失稳两种模态：弯曲失稳与弯扭失稳
（2）与双轴对称截面理想压杆的区别
mb (
a
n2a)2 mb
m、n的几何意义（波数图形）
n
=1时临界力有最小值
Nxcr n1
2D
b2
( mb a
a )2 mb
k
2D
b2
p.98图5-16
Nxcr
2D
4 b2
2E
4
12(1
2)
t3 b2
临界应力
xcr
Nxcr t
4
2E
b2 /
12(1 2) t2
宽厚比
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.2, P98-99
四边简支： k=4.0；
三边简支，与压力平行一边自由：k =0.425+(b / a)2
三边简支，与压力平行一边有卷边支承： k=1.35
结论：约束越强，稳定系数就越大，临界应力越高
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.2, P98-100
四、宽厚比、弹性与非弹性稳定
稳定临界应力与宽厚比
xcr
M x2 Nx0
本坐标系中
原因：形心相对剪力中心转动后 x0 为负值
轴压力合力点作用位置相对偏移所致
z
z
N N
II v
Iy
N
v M x1 y
N
x0
y
x M x2
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 参阅§5.3, P78-81, §6.4, P130-133
二、理想压杆弹性失稳的平衡方程
EIxv'' Nv Nx0 0 EIyu'' Nu Ny0 0
EIω ''' GIt ' Nx0v' Ny0u'( Nr02 R ) ' 0
整体失稳变形平衡方程基本假定
——弹性
II
——小变形：包括弯曲变形u, v和扭转变形
——以变形后位置建立平衡方程（几何非线性） I
弯曲平衡 (以第1式为例)
剪力中心沿 y 轴挠度，由平衡产生 M x1 N v
形心位置发生扭转，再产生
五、有几何缺陷压杆的稳定承载力
初始挠曲对稳定承载力的影响
例：双轴对称截面绕 x 轴有初挠曲 v0
弯曲平衡方程 EIxv'' Nv 0 EIx(v vo)'' Nv 0
z
若 vo vom sin( z / L)
N:0
w
vo v
N
NE
则 v vm sin( z / L)
vm vom /(1 N / NE)
第2节 截面强度 参阅§4.1.2, P66-68, §5.2, P78
截面极限状态和工程计算公式
什么是截面极限状态？ 钢结构受压构件和受拉的截面承载强度是否一样？
截面承载力（强度） N u min{ Af y , An fu } A, An —— 毛截面和净截面；（最小受力截面） fy , fu —— 钢材屈服强度和极限强度
工程计算公式（承载力设计值） N min{Afd , 0.7 An fu }
一、理想压杆
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 参阅§3.1, P48-51, §5.3, P78-81
截面几何中心（形心）和物理中心（质心） 始终重合
杆件轴线（截面形心的连线）笔直
轴力作用线与杆件轴线始终重合
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 参阅§3.1, P48-51, §5.3, P78-81
八、柱子曲线
中国钢结构设计规范的柱子曲线
——4条稳定系数曲线
1.0
——依截面形式、失稳方向、
板件厚度、制造加工方式确定归类
截面分类表 p.85-87 表5.4
cr / f y
稳定系数确定方法
——公式法 计算通用(相对)长细比
柱子曲线
fy
(轴心压杆稳定系数)
E 通用长细比有什么物理意义吗？
计算 当 0.215 =1-1 2
y
x
x
— 横向力过该点不产生扭矩
y — 无外扭矩构件只受弯、剪
x0 y
x0
— 该点为截面扭转的不动点
y0
形心 剪力中心
z
L
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 参阅§3.1, P48-51, §5.3, P78-81
二、理想压杆弹性失稳的平衡方程
EIxv'' Nv Nx0 0 EIyu'' Nu Ny0 0
N
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.3.3, P80-83
三、双轴对称截面理想压杆的临界力
失稳临界力
EI xv'' Nv Nx0 0
EI xv'' Nv 0
N Ex
2 EI x
L2ox
2 EAI
x
/
A
2
EAi
2 x
L2ox
L2ox
2 EA 2x
(5-9)
同理
NEy 2EIy / L2oy 2EA/ 2y
N : 0 NE*x
w v vm
N
N
N Ex
NE* x
v
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定
七、非弹性失稳
E
2E 2
fy
？
N
* E
2E*A 2
fy
理论演变
a) Engesser 切线模量假定
b) Engesser 双模量假定
c) Shanley 切线模量理论
Et
E Et
Et
σ
弹塑性状况
e
Et
失稳临界应力 E NE / A 2E / 2
讨论：3种临界力中何者控制压杆的承载力？
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.3.3, P82, §5.3.5, P87-88
四、单轴对称截面理想压杆的临界力
基本方程之一解耦（设 x 轴为对称轴）
EIxv'' Nv Nx0 0
EIxv'' Nv Nx0 0
EI x v IV Nv '' 0
EI x
Ebh 3 12
——单位板宽上的轴压力 N x
平衡方程的物理意义及与杆件的比较
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.2, P97-98
二、四边简单支承板的稳定临界力
四边简单支承板 (边界上挠度、弯矩为零) 四边简单支承板的临界力
Nxcr
2D
b2
zN
Nv'
x0
EIω ''' GIt ' Nx0v' Ny0u'( Nr02 R ) ' 0 v
约束扭转与翘曲
y
Nv' y
x
对剪心求矩 略去高阶量
轴线弯曲引起的扭转分量 N v ' x0 , N u ' y0 N
M z1 Nv'x0
本坐标系中
x0 为负值
纵向应力(残余应力)对扭转平衡的影响
五、有几何缺陷压杆的稳定承载力
无几何缺陷 (如初始挠曲、初始扭转)的压杆
弯曲平衡方程 EIxv'' Nv 0
z
NEx 2EIx / L2ox
N : 0 NEx
w v
N Ex
N
分枝问题/屈曲问题：欧拉屈曲
vm
y N
vm
横坐标改为 w，荷载-位移（轴压变形）曲线是怎么样的？
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.3.4, P83-85
截面上任一点都存在杆轴方向应力
dAa '
dAa(s) ' a(s) ' a(s)2 dA Nr02 '
r02
Ix
Iy A
x
2 0
y
2 0
d
dz
' a(s)2 rdA ' R
a
dA
ad
a d
y
dAa ' x
a(s)
dAa(s) ' ad / dz a '
双轴对称截面的平衡方程
结构系统中的“压杆”
第1节 概述
第1节 概述 参阅§4.1.1, P66, §5.1, P77-78
截面形式和破坏类型
受压构件的截面 (参见 p.66）
双轴对称截面、单轴对称截面、无对称轴截面/实腹式、格构式
构件破坏类型
——截面强度破坏：截面有较大削弱处或非常粗短的构件 ——构件整体失稳：弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳 p.97 ——构件中板件的局部失稳
五、板件相互约束对稳定承载力影响
板件相互影响
考虑板件相互影响的单板修正——采用板组约束系数
xcr
k
2E 12(1
2)
t2 b2
xcr
k
2E 12(1
2)
t2 b2
直接采用计入板相互影响的稳定系数 k k(约束系数)
p.99 表5-6
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.3, P101-103
k
2E 12(1 2)
t2 b2
宽厚比 b/t
xcr
2E*
[k 1/ 2 (b / t)]2
E
2E 2
从弹性到非弹性
xcr
t
k
2E 12(1
2)
t2 b2
t Et / E
xcr
d /d 0
0 Et E
fy
fy
E
弹塑性修正
b/t
Et / E
1.0
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.2, P99-100
临界力 N Ey 2 EI y / L2oy
两联立方程的求解：p. 87-88
1 ( NEx
1 NEθ
)
NEω
(1
x02 ) r02
NE2ω NEx NEθ
1
NEω
能否从上式推导无对称轴截面的理想压杆稳定临界承载力？
能否推导出 弯扭失稳时的换算长细比 (p.88 公式5-37）？
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.3.4, P83-85
2Et 2
a)
b)
c)
N E ( cr )
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.3.4, P84
八、柱子曲线
cr / f y
cr
/
fy
轴心受压构件 稳定系数
Np
1.0
( fy)
弹塑性修正
含残余应力影响
e
稳定承载临界力(临界应力) ——长细比曲线
缺陷影响
柱子（轴心压杆） 稳定系数曲线
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.3.4, P83-87
轴心受压构件
Axially Compressive Member
第一节 概述 第二节 截面强度 第三节 实腹式轴心压杆的整体稳定 第四节 轴心压杆中板件的局部稳定 第五节 格构式轴心压杆的整体稳定和肢杆稳定 第六节 轴心受压构件的刚度 第七节 轴心受压构件的设计计算
结构系统中的“压杆”
第1节 概述
一、薄板受压时的失稳变形和平衡方程
理想轴心受压薄板
——板件平直，厚度相等 ——板件宽度b和厚度t之比大于10
N
x
——轴压均匀分布，作用板的中面
受压薄板的弯曲失稳
t
y
xb
a
t
w
受压薄板弹性失稳的平衡方程
4w D( x4
2
4w x2y4
4w y4 )
Nx
2w x2
0
——单位板宽抗弯刚度
D Et3
12(1 2)
N N ult cr A ( cr / f y ) Af y Af y N Af d
注意点： ——整体稳定计算采用毛截面 ？ ——采用设计规范的轴压构件稳定系数 计算步骤 ——确定轴力设计值 ——计算构件长细比（针对不同轴线！） ——确定轴压构件稳定系数 ——稳定校核
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.1.3, P78, §5.6.2, P97
或 N (1vom /vm)NE
vom v m
极值型失稳 结论 Nult NE
y
vm
N
初始扭转对稳定承载力有何影响？
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定
六、残余应力对压杆稳定承载力的影响
残余应力分布及峰值大小对稳定承载力的影响
12 E
max f y
1 E max 1 r- fy
r-
12
1
r
(5-10)
NE ( 2EIω / L2o GIt R) / r02 2EA/ 2 (5-11)
式中计算长度与边界约束条件有关, 长细比(5-21)~(5.23)
双轴对称截面3个微分方程独立，得到3个解，对应3种失稳模态
杆端弯曲约束和扭转约束的自由、铰支、固接
约束对应的计算长度系数 p.81
二、理想压杆弹性失稳的平衡方程
EIxv'' Nv Nx0 0 EIyu'' Nu Ny0 0
EIω ''' GIt ' Nx0v' Ny0u'( Nr02 R ) ' 0
教材（5.5）
截面坐标、剪力中心概念 (弯曲中心，扭转中心) 由形心轴规定的剪力中心坐标
x
x0
x y0
x
y
y
六、板件失稳后性能
板件失稳后性能特点
——屈曲后强度
屈曲后强度物理原因和
Fra Baidu bibliotek
cr
数学分析
fy
cr1
屈曲后强度会否高于屈服点？
屈曲后强度与屈服点的比较
cr2 cr3
板件 压杆
v w
w
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.3, P103-104
当 0.215 =(A- A2 4 2 ) / 2 2 A=2 +3 + 2
其中系数
1、
、
2
3
按截面分类确定，数值由p.85
表5-3得到
——查表法 截面分类→计算长细比→查附录4 (p.340-344) 直接得到
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.5, P91
九、工程计算方法
工程计算原理
三、板的多种边界条件及板的稳定系数
临界应力的一般表达方式
xcr
2E 4 12(1 2 )
b2 / t2
k
12(1
2E
2
)
t2 b2
k ——板的稳定系数，与荷载分布状态、边界约束条件有关
板的边界约束条件
——简单支承（铰接）、固接、自由 ——边界约束条件的搭配 ——实际构件中板件的边界约束
不同边界约束条件下矩形板的稳定系数 k