最短路径问题_比赛题目
(完整版)最短路径习题
13.4课题学习最短路径问题1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是。
BA②如右图是一个长方体木块，已知AB=3，BC=4，CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
DCA B2．①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
李庄张村②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。
请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。
BAL③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。
3．如图是一个长方体木块，已知AB=5，BC=3，CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
4．现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
5．如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。
6．正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。
7．在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。
张村李庄ABCDABAB图(2)8．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为____ ___。
最短路径练习题
最短路径练习题一、选择题：1. 在图论中，最短路径问题是指在加权图中找到两个顶点之间的最短路径，以下哪个算法不是用于解决最短路径问题的？A. Dijkstra算法B. Bellman-Ford算法C. Prim算法D. A*搜索算法2. 以下哪个选项不是Dijkstra算法的前提条件？A. 图必须是有向图B. 所有边的权重必须非负C. 图中不能有负权重边D. 图可以是无向图3. 以下哪个算法可以处理包含负权重边的图？A. Dijkstra算法B. Bellman-Ford算法C. Floyd-Warshall算法D. A*搜索算法4. Floyd-Warshall算法的时间复杂度是：A. O(n^2)B. O(n^3)C. O(nlogn)D. O(n)5. 以下哪个选项是Dijkstra算法的步骤之一？A. 从起点开始，不断扩展最短路径树B. 从终点开始，不断扩展最短路径树C. 从每个顶点开始，计算到其他顶点的最短路径D. 从每个顶点开始，不断扩展最短路径树二、填空题：1. 在Dijkstra算法中，初始时，除了起点的最短路径为0外，其他所有顶点的最短路径都设为________。
2. Dijkstra算法中，当所有顶点都被访问过之后，算法结束，此时得到的距离数组中存储的是从起点到每个顶点的________。
3. Bellman-Ford算法可以处理图中的负权重边，但该算法不能处理图中的________。
4. Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，它可以在O(n^3)的时间复杂度内计算出图中所有顶点对之间的最短路径。
5. A*搜索算法是一种启发式搜索算法，它通过________和实际代价的和来估计从当前顶点到目标顶点的代价。
三、简答题：1. 描述Dijkstra算法的基本思想，并说明其在处理有向图中的最短路径问题时的优势。
2. 说明Bellman-Ford算法如何检测图中是否存在负权重环，并解释其在处理负权重边时的适用性。
最短路径经典练习题
最短路径经典练习题一、基础理论题1. 请简述迪杰斯特拉（Dijkstra）算法的基本原理。
2. 什么是贝尔曼福特（BellmanFord）算法？它适用于哪些类型的图？3. 请解释A搜索算法中启发式函数的作用。
4. 如何判断一个图中是否存在负权环？5. 简述弗洛伊德（Floyd）算法的基本步骤。
二、单选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 初始化距离表B. 选择当前距离最小的顶点C. 更新相邻顶点的距离D. 重复步骤B和C，直到所有顶点都被访问A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 启发式函数B. 起始节点C. 目标节点D. 图的规模三、多选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 深度优先搜索算法D. 广度优先搜索算法A. 初始化距离矩阵B. 更新距离矩阵C. 查找负权环D. 输出最短路径A. 图的存储结构B. 顶点的数量C. 边的数量D. 起始顶点四、计算题A (3)>B (2)> D\ | ^ \ | | \(2)\ | (1)/C \|(4)A (1)>B (2)> D\ ^ |\(2)\ | (3)/C \ |(1)A (2)>B (3)> D\ | ^\(3)\ | (1)/C \ |(2)五、应用题1. 假设你是一名地图软件的开发者，请简述如何利用最短路径算法为用户提供导航服务。
2. 在一个网络游戏中，玩家需要从起点到达终点，途中会遇到各种障碍。
请设计一种算法，帮助玩家找到最佳路径。
六、判断题1. 迪杰斯特拉算法只能用于无向图的最短路径问题。
（）2. 贝尔曼福特算法可以检测图中是否存在负权环。
（）3. 在A搜索算法中，如果启发式函数h(n)始终为0，则算法退化为Dijkstra算法。
（）4. 弗洛伊德算法的时间复杂度与图中顶点的数量无关。
（）七、填空题1. 迪杰斯特拉算法中，用来存储顶点到源点最短距离的数组称为______。
最短路径问题_比赛题目
最短路径问题_⽐赛题⽬2011年CUDA校园编程竞赛指定题⽬?最短路径问题最短路径问题(Shortest Path Problem)是经典图论问题之⼀，具有重⼤研究价值和⼯程意义。
从学术⾓度来说，图灵奖得主EdsgerDijkstra针对该问题的⼀系列⼯作是现代算法研究的起点之⼀，以他的名字命名的Dijkstra最短路径算法成为计算机科学家武器库中的基本装备。
从⼯程意义上讲，最短路径问题是对⼤量⼯程问题的直观抽象。
最典型的例⼦当然是导航，我们在⾕歌地图上寻找驾车路径时，显然就是要找到⼀条物理距离最短或者⾏驶时间最短的路线。
此外，机器⼈路径规划、集成电路布线、计算机⽹络路由等应⽤都需要寻找最短路径。
因此，今年我们选择该问题作为CUDA校园编程竞赛指定题⽬。
最短路径问题是在图(graph)的概念上定义的。
这⾥的“图”服从图论中的定义，但是不需要学习图论也可以理解其概念。
⼀个图由节点(vertex或者node)集合和边(edge或者arc)集合组成，图1是⼀个例⼦。
其中，标有数字的圆圈是节点，分别具有编号0到5，即节点0到节点5⼀共六个。
两个节点之间可以由⼀条边连接，由相应节点标志，例如图1中连接节点0和1的边可以记作(0,1)。
边可以有⽅向或⽆⽅向，本次竞赛中只考虑有⽅向的边，因此图1中的边都有箭头。
这时可以⼀条边(i,j)是由节点i指向节点j，当然反过来也⾏，相应的图被称为有向图。
每条边上⼀般可以有⼀个权重，表⽰某种属性，图1⾥⾯每条边旁边的数字就是相应权重。
对本次竞赛⽽⾔，可以把权重理解为相应节点之间的真实物理距离，因此权重是⼤于0的实数。
图1. 图及其节点和边在⼀个图⾥⾯，从某⼀节点i开始，经由⼀系列边可以到达某个节点k，则i→k称为⼀条路径(path)，该路径的长度是所有经过的边上的权重之和。
如果从某⼀节点出发，能够找到⾄少⼀条去往其它任何节点的路径，则该图是连通的，本次竞赛只考虑连通图。
连通图中的任意两个节点i和j之间⼀般来说存在多条路径，最短路径问题就是找到其中最短的⼀条。
最短路径练习题
最短路径练习题一、基础理论题1. 请简述迪杰斯特拉（Dijkstra）算法的基本原理。
2. 什么是贝尔曼福特（BellmanFord）算法？它与迪杰斯特拉算法有什么区别？3. 请解释弗洛伊德（Floyd）算法的核心思想。
4. A算法是如何工作的？它相较于其他最短路径算法有什么优势？5. 请列举几种常见的最短路径问题应用场景。
二、单项选择题A. 初始化距离表，将起点到其他点的距离设置为无穷大B. 每次从距离表中找出未确定最短路径的点中距离最小的点C. 更新距离表时，可以出现负权边D. 确定起点到所有点的最短路径后，算法结束A. 图中存在负权边B. 图中存在负权环C. 图中不存在负权环D. 图中存在多条边3. 在弗洛伊德算法中，path[i][j]表示的是？A. 从点i到点j的最短路径长度B. 从点i到点j的最短路径C. 从点j到点i的最短路径长度D. 从点j到点i的最短路径A. 当前点到终点的直线距离B. 当前点到终点的实际路径长度C. 当前点的邻接点数量D. 当前点的父节点三、填空题1. 在迪杰斯特拉算法中，用来存储起点到各点最短距离的数据结构是______。
2. 贝尔曼福特算法的时间复杂度为______。
3. 弗洛伊德算法的核心三重循环分别对应三个变量：______、______和______。
4. A算法的启发式函数f(n) = g(n) + h(n)，其中g(n)表示______，h(n)表示______。
四、应用题A 6 B| \ |1 2 3| \ |D 4 CA >B (2)^ || vC <D (1)A >B (4)^ || vC >D (2)4. 请简述如何使用A算法解决迷宫问题，并给出一个示例。
五、编程题1. 编写一个迪杰斯特拉算法的实现，输入为一个带权无向图和起点，输出为起点到其他各顶点的最短路径长度。
2. 编写一个贝尔曼福特算法的实现，输入为一个带权有向图和起点，输出为起点到其他各顶点的最短路径长度及是否存在负权环。
《最短路径问题》精编练习题(提高)
《最短路径问题》精编练习题（提高）一、解答题1.如图，在平面直角坐标系中．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1，并写出B1、C1的坐标；(2)直接写出△ABC的面积是_____；(3)在x轴上找到一点P，使PA+PC的值最小，请标出点P在坐标轴上的位置．2.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；(2)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=3，E为AB的中点，在线段AC上找一点H，使得BH+EH的值最小，并求出该最小值．4.如图，在四边形ABCD中，∠ACB=90°，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，求此时∠AMN+∠ANM的度数．5.如图，点M、N在∠AOB的内部，P为射线OA上的一个动点，Q射线OB上的一个动点，求作点P，Q，使得MP+PQ+QN的长最短．6.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，点P,Q分别为线段AB，AD上的两个定点，且QD=15,BP=AQ=20．(1)作点Q关于直线BD对称的点Q＇．(2)在BD上有一动点E，求PE+QE的最小值．7.如图，△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PC+PE 最小时，求∠ACP 的度数．8.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，BC=a ，点D 是BC 上一动点(不与点B 、C )重合，∠BDE=12∠C ，BE ⊥DE ．(1)求∠AFD 的度数；(2)在点D 运动过程中，BEDF 的值是否为定值？说明理由．(3)当CD=13BC 时，连接AD ，△ABD 三边上分别有动点P 、M 、N ，(点P 在BD 上)，当△PMN 的周长取最小值时，求AP 的长．9.已知M ，N 分别是∠AOB 的边OA ，OB 上的定点．(1)如图(1)，若∠O=∠OMN ，过M 作射线MD ∥OB ，点C 是射线MD 上一动点，∠MNC 的平分线NE 交射线OA 于E 点．试探究∠MEN 与∠MCN 的数量关系．(2)如图(2)，若P 是线段ON 上一动点，Q 是射线MA 上一动点．∠AOB=20°，当MP+PQ+QN 取得最小值时，求∠OPM+∠OQN 的值．10.(1)如图①，点A ，B 在直线l 同侧，在直线上找一点P ，使AP+BP 的值最小．作法如下：作点B 关于直线l 的对称点B ＇，连接AB ＇，与直线l 的交点就是所求的点P ，线段AB ＇的长度即为AP+BP 的最小值．(2)如图②，等边△ABC 中，若E 是AB 的中点，P 为高AD 上一点，AD=3，连接BP ，求BP+PE 的最小值．(3)如图②，等边△ABC 中，若P 为高CE 上一点，AD=3，求BP+12CP 的最小值． (4)如图③，∠AOB=30°，P 是四边形OACB 内一定点，Q ，R 分别是OA ，OB 上的动点，当△PQR 周长的最小值为5时，求OP 的长．11.如图1，等边△ABC 三边相等，三个内角都是60°的三角形)的边长为10cm ，动点D 和动点E 同时出发，分别以每秒1cm 的速度由A 向B 和由C 向A 运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为ts ，0<t ≤100，DC 和BE 交于点F ．(1)在运动过程中，CD 与BE 始终相等吗？请说明理由；(2)连接DE ，求t 为何值时，DE ∥BC ；(3)如图2，若BM ⊥AC 于点M ，点P 为BM 上的点，且使PD+PE 最短．当t=7s 时，PD+PE 的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．12.如图，在△ABC 中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，AC=4，D 为AB 的中点，E 为线段AC 上任意一点(不与A ，C 两点重合)，当点E 在线段AC 上运动时，求DE+12CE 的最小值．。
最短路线练习题
最短路线练习题在我们日常的生活中，经常会面临着需要找到最短路线的情况。
无论是出行、送货还是旅游，找到最短路线可以节省时间和精力。
为了提升解决这类问题的能力，下面我们来做一些最短路线的练习题。
练习题一：假如你正在一个陌生的城市旅游，你想从你所在的地方（点A）前往一个景点（点B）。
给定地图上的道路信息，以及各点之间的直线距离，请你找出从点A到点B的最短路线。
这道题目需要我们运用最短路算法来解决。
最常见的算法之一是迪杰斯特拉算法。
迪杰斯特拉算法的基本思想是：从起点开始，不断扩展已经找到的最短路线，直到找到终点为止。
具体步骤如下：1. 初始化：将起点到所有其他点的距离设置为无穷大，将起点到自身的距离设置为0。
2. 将起点标记为已访问。
3. 从起点开始，找到与起点直接相连且未被访问过的点中，距离最短的一个点。
4. 更新与该点相连的所有点的距离，如果通过该点到某个点的距离更短，则更新该点的距离。
5. 标记该点为已访问。
6. 重复步骤3到步骤5，直到找到终点或者所有点都被标记为已访问。
7. 如果找到终点，则回溯路径，即可得到最短路线。
练习题二：现在来做一个稍微复杂一些的练习题。
假设你是一名送货员，需要驾驶卡车从仓库（点A）出发，依次前往多个客户的位置（点B、点C、点D...）。
你希望按照最短距离完成任务。
为了解决这个问题，我们可以运用另一种常见的最短路算法，即弗洛伊德算法。
弗洛伊德算法的基本思想是：逐一考虑所有点作为中转点，计算出任意两点之间的最短距离。
具体步骤如下：1. 初始化：将各个点之间的距离初始化为无穷大。
2. 设置直接相连的两个点之间的距离为实际距离。
3. 逐一考虑每个点作为中转点，计算出通过该点的路径是否更短，若更短，则更新距离。
4. 重复步骤3，直到所有点都作为中转点计算过。
通过弗洛伊德算法，我们可以得到任意两点之间的最短距离。
然后，我们可以利用这些距离信息，进行路径规划，找出从仓库出发，依次前往各个客户位置的最短路线。
中国计算机应用技术大赛全国算法精英大赛题解
我国计算机应用技术大赛全国算法精英大赛是一项旨在挖掘和培养计算机算法领域人才的赛事，也是我国计算机领域最具权威性和影响力的赛事之一。
本届比赛共吸引了来自全国各地的上千名算法精英参赛，他们在比赛过程中展现出了高超的算法实力和丰富的计算机知识，为整个赛事增添了无限的精彩和激烈竞争。
通过参与本次大赛的比赛内容和过程观察，我们对比赛中的一些典型题目进行了深入分析和解题思路总结。
我们希望通过本文，向广大计算机算法爱好者和参与者们介绍一些本次大赛的精彩题目，并提供一些解题思路和算法分析，帮助大家更好地了解和掌握这些优秀的算法应用。
以下是我们对本次大赛某些典型题目的解题思路总结和分析：1. 题目一：最短路径问题这是一个典型的图论问题，要求在一个有向加权图中求解从起点到终点的最短路径。
常见的解决方法是使用Dijkstra算法或者Floyd算法，通过编程实现对图的遍历和动态规划，找出最短路径的权值和路径节点。
在实际编程过程中，需要考虑如何有效地存储图结构和权值，以及如何高效地搜索和更新最短路径信息。
2. 题目二：动态规划问题动态规划是一类重要的算法设计思想，本次比赛中也出现了相关的动态规划问题。
这类问题通常要求在满足一定约束条件下，求解某种最优解或者最大值。
动态规划算法通过状态转移和递推的方式，逐步逼近最优解。
在解决动态规划问题时，需要注意如何定义状态和状态转移方程，以及如何设计合适的算法逻辑和辅助数据结构，以实现高效的动态规划求解。
3. 题目三：字符串匹配与查找问题字符串匹配与查找是计算机算法领域中一个经典且常见的问题。
在本次比赛中，也出现了相关的字符串匹配和查找题目。
常见的解决方法包括暴力法、KMP算法、Boyer-Moore算法等。
这些方法都在字符串匹配效率、空间复杂度和实际应用场景上有不同的特点和优劣势。
在解决字符串匹配和查找问题时，需要根据具体情况选择合适的方法，并且要考虑相关算法的实现细节和优化技巧。
最短路径问题专项练习题(含解析)
故选 ．
11.【答案】C
【解答】
解：∵ ，
∴此时 ，
∵点 与点 关于 对称， 平分 ，
∴ ，
在 中， ．
即 的最小值为 ．
故选 ．
12．解：在射线BC上取一点E′，使得BE′＝BE．过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°，
∴AH＝ AC＝12，
∵BD平分∠ABC，
问题：某正方体盒子，如图左边下方 处有一只蚂蚁，从 处爬行到侧棱 上的中点 点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．
34.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝65°，则∠NMA的度数是度．
（2）若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．
（1）如图 为 ，有点 , ， ，则线段 的“对称点”是________．（填“ ”" "或" "）
如图 为线段 的“完美对称点”， 为线段 的中点， 为线段 的一个“对称点”，则 的最小值为________．
14.如图，在 中， ， ，点 在 边上，且 ， ，动点 在 边上，连接 ， ，则 的最小值是________．
A． B．
C． D．
3.如图，点 ， 在直线 的同侧，若要用尺规在直线 上确定一点 ，使得 最短，则下列作图正确的是（）
A. B. C. D .
4.如图，一圆柱高 ，底面半径为 ，一只蚂蚁从点 爬到点 处吃食，要爬行的最短路程是( )
A. B. C. D.
5．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
最短路径问题总动员（含答案）
最短路径问题总动员（含答案）最短路径问题专题练习1. 如图，长⽅体中，，，，⼀蚂蚁从点出发，沿长⽅体表⾯爬到点处觅⾷，则蚂蚁所⾏路程的最⼩值为A. B. C. D.2. 如图是⼀个三级台阶，它的每⼀级的长、宽和⾼分别是，，，和是这个台阶的两个相对的端点，点有⼀只壁虎，它想到点去吃可⼝的⾷物，请你想⼀想，这只壁虎从点出发，沿着台阶⾯爬到点，⾄少需爬A. B. C. D.3. 如图，个边长为的⼩正⽅形及其部分对⾓线所构成的图形中，如果从点到点只能沿图中的线段⾛，那么从点到点的最短距离的⾛法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所⽰，圆柱的底⾯周长为，是底⾯圆的直径，⾼，点是母线上⼀点且．⼀只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表⾯爬⾏到点的最短距离是A. B. C. D.5. 如图，是⼀个三级台阶，它的每⼀级的长、宽、⾼分别为，，，和是这个台阶两个相对的端点，点有⼀只蚂蚁，想到点去吃可⼝的⾷物，则蚂蚁沿着台阶⾯爬到点的最短路程是．A. B. C. D.6. 如图，已知，，，要在长⽅体上系⼀根绳⼦连接，绳⼦与交于点，当所⽤绳⼦最短时，绳⼦的长为A. B. C. D.7. 已知蚂蚁从长、宽都是，⾼是的长⽅形纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所⾏的最短路线的长是A. B. C. D.8. 如图所⽰，⼀圆柱⾼，底⾯半径长，⼀只蚂蚁从点爬到点处吃⾷，要爬⾏的最短路程（取）是A. B. C. D. ⽆法确定9. 如图圆柱底⾯半径为 cm，⾼为 cm，点，分别是圆柱两底⾯圆周上的点，且，在同⼀母线上，⽤⼀棉线从顶着圆柱侧⾯绕圈到，则棉线最短为A. cmB. cmC. cmD. cm10. 如图，点为正⽅体左侧⾯的中⼼，点是正⽅体的⼀个顶点，正⽅体的棱长为，⼀蚂蚁从点沿其表⾯爬到点的最短路程是A. B. C. D.11. 如图所⽰是⼀棱长为的正⽅体，把它分成个⼩正⽅体，每个⼩正⽅体的边长都是 .如果⼀只蚂蚁从点爬到点，那么，间的最短距离满⾜A. B. C. D. 或12. 如图所⽰，圆柱形玻璃杯的⾼为，底⾯周长为，在杯内离杯底的点处有⼀滴蜂蜜，此时⼀只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为A. B. C. D.13. 如图，点的正⽅体左侧⾯的中⼼，点是正⽅体的⼀个顶点，正⽅体的棱长为，⼀蚂蚁从点沿其表⾯爬到点的最短路程是A. B. C. D.14. 我国古代有这样⼀道数学问题：“枯⽊⼀根直⽴地上，⾼⼆丈周三尺，有葛藤⾃根缠绕⽽上，五周⽽达其顶，问葛藤之长⼏何?”，题意是如图所⽰，把枯⽊看作⼀个圆柱体，因⼀丈是⼗尺，则该圆柱的⾼为尺，底⾯周长为尺，有葛藤⾃点处缠绕⽽上，绕五周后其末端恰好到达点处．QQ群450116225则问题中葛藤的最短长度是尺．15. 如图，已知圆柱体底⾯的半径为，⾼为，，分别是两底⾯的直径．若⼀只⼩⾍从点出发，沿圆柱侧⾯爬⾏到点，则⼩⾍爬⾏的最短路线长度是（结果保留根号）．16. 如图，圆柱形容器⾼，底⾯周长为，在杯内壁离杯底的点处有⼀滴蜂蜜，此时⼀只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 .17. 如图所⽰的正⽅体⽊块的棱长为，沿其相邻三个⾯的对⾓线（图中虚线）剪掉⼀⾓，得到如图②的⼏何体，⼀只蚂蚁沿着图②中的⼏何体表⾯从顶点爬⾏到顶点的最短距离为 .QQ群45011622518. 如图，长⽅体的底⾯边长分别为和，⾼为．如果⽤⼀根细线从点开始经过个侧⾯缠绕⼀圈到达点，那么所⽤细线最短需要．19. 如图，长⽅体的长为，宽为，⾼为，点距离点，⼀只蚂蚁如果要沿着长⽅体的表⾯从点爬到点，蚂蚁爬⾏的最短距离是．20. 我国古代有这样⼀道数学问题：“枯⽊⼀根直⽴在地上，⾼⼆丈，周三尺，有葛藤⾃根缠绕⽽上，五周⽽到其顶，问葛藤之长⼏何?”题意是：如图，把枯⽊看做⼀个圆柱体，因⼀丈是⼗尺，则该圆柱的⾼是尺，底⾯周长为尺，有葛藤⾃点处缠绕⽽上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中的葛藤的最短的长度是尺．21. 如图，长⽅体的底⾯边长分别为和，⾼为，若⼀只蚂蚁从点开始经过个侧⾯爬⾏⼀圈到达点，则蚂蚁爬⾏的最短路径长为 .22. ⼀只蚂蚁从长、宽都是，⾼是的长⽅体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它爬⾏的最短路线的长是．23. 如图所⽰是⼀段三级台阶，它的每⼀级的长、宽和⾼分别为，，，和是这段台阶两个相对的端点. 点有⼀只蚂蚁，想到点去吃可⼝的⾷物，设蚂蚁沿着台阶⾯爬到点的最短路程为，则以为边长的正⽅形的⾯积为 .QQ群45011622524. 如图，长⽅体的底⾯边长分别为和，⾼为．如果⽤⼀根细线从点开始经过个侧⾯缠绕⼀圈到达点，那么所⽤细线最短需要；如果从点开始经过个侧⾯缠绕圈到达点，那么所⽤细线最短需要25. 在⼀个长为⽶，宽为⽶的矩形草地上，如图堆放着⼀根长⽅体的⽊块，它的棱长和场地宽平⾏且⼤于，⽊块的正视图是边长为⽶的正⽅形，⼀只蚂蚁从点处，到达处需要⾛的最短路程是⽶（精确到⽶）26. 如图为⼀圆柱体⼯艺品，其底⾯周长为，⾼为，从点出发绕该⼯艺品侧⾯⼀周镶嵌⼀根装饰线到点，则该装饰线最短长为．27. 如图，⼀个没有上盖的圆柱盒⾼为，底⾯圆的周长为，点距离下底⾯，⼀只位于圆柱盒外表⾯点处的蚂蚁想爬到盒内表⾯对侧中点处吃东西，则蚂蚁需爬⾏的最短路程的长为．28. 图1 所⽰的正⽅体⽊块棱长为，沿其相邻三个⾯的对⾓线（图中虚线）剪掉⼀⾓，得到如图 2 的⼏何体，⼀只蚂蚁沿着图 2 的⼏何体表⾯从顶点爬⾏到顶点的最短距离为．29. ⼀只蚂蚁沿棱长为的正⽅体表⾯从顶点爬到顶点，则它⾛过的最短路程为．30. 如图，圆锥的主视图是等边三⾓形，圆锥的底⾯半径为，假若点有⼀蚂蚁只能沿圆锥的表⾯爬⾏，它要想吃到母线的中点处的⾷物，那么它爬⾏的最短路程是．31. 如图，圆锥的母线长是，底⾯半径是，是底⾯圆周上⼀点，从点出发绕侧⾯⼀周，再回到点的最短的路线长是．QQ群45011622532. 如图，⼀个正⽅体⽊柜放在墙⾓处（与墙⾯和地⾯均没有缝隙），有⼀只蚂蚁从柜⾓处沿着⽊柜表⾯爬到柜⾓处．（1）请你在正⽅体⽊柜的表⾯展开图中画出蚂蚁能够最快达到⽬的地的可能路径；（2）当正⽅体⽊柜的棱长为时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．33. 葛藤是⼀种植物，它⾃⼰腰杆不硬，为了争夺⾬露阳光，常常绕着树⼲盘旋⽽上，它还有⼀个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为，绕⼀圈升⾼，则它爬⾏路程是多少?（2）如果树的周长为，绕⼀圈爬⾏，则爬⾏⼀圈升⾼多少?如果爬⾏圈到达树顶，则树⼲多⾼?34. 如图所⽰，长⽅体的长为，宽为，⾼为，点与点之间相距，⼀只蚂蚁如果要沿着长⽅体的表⾯从点爬到点，需要爬⾏的最短距离是多少?35. 图①，图②为同⼀长⽅体房间的⽰意图，图③为该长⽅体的表⾯展开图．（1）已知蜘蛛在顶点处；①苍蝇在顶点处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙⾯爬⾏的最近路线；②苍蝇在顶点处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬⾏的最近路线和往墙⾯爬⾏的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为的与相切，圆⼼到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬⾏路线．若与相切，试求的长度的范围．QQ群45011622536. 如图，直四棱柱侧棱长为，底⾯是长为，宽为的长⽅形．⼀只蚂蚁从顶点出发沿棱柱的表⾯爬到顶点．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬⾏（不能重复爬⾏同⼀条棱）的最长路程．37. 如图，观察图形解答下⾯的问题：（1）此图形的名称为．（2）请你与同伴⼀起做⼀个这样的物体，并把它沿剪开，铺在桌⾯上，则它的侧⾯展开图是⼀个．（3）如果点是的中点，在处有⼀只蜗⽜，在处恰好有蜗⽜想吃的⾷品，但它⼜不能直接沿爬到处，只能沿此⽴体图形的表⾯爬⾏．你能在侧⾯展开图中画出蜗⽜爬⾏的最短路线吗?（4）的长为，侧⾯展开图的圆⼼⾓为，请你求出蜗⽜爬⾏的最短路程．38. 如图，⼀只⾍⼦从圆柱上点处绕圆柱爬⼀圈到点处，圆柱的⾼为，圆柱底⾯圆的周长为，求⾍⼦爬⾏的最短路程．39. 如图，⼀个长⽅体形的⽊柜放在墙⾓处（与墙⾯和地⾯均没有缝隙），有⼀只蚂蚁从柜⾓处沿着⽊柜表⾯爬到柜⾓处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达⽬的地的可能路径；（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；40. 如图⼀个长⽅体形的⽊柜放在墙⾓处（与墙⾯和地⾯均没有缝隙），有⼀只蚂蚁从柜⾓A处沿着⽊柜表⾯爬到柜⾓处．当＝，＝，＝时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．41. ⼀只蚂蚁从长、宽都是，⾼是的长⽅体纸箱的点沿纸箱爬到点，如图，求它爬⾏的最短路线的长．42. 如图所⽰是⼀段楼梯，已知，，楼梯宽 .⼀只蚂蚁要从点爬到点，求蚂蚁爬⾏的最短路程.QQ群45011622543. 如图，⼀个长⽅体⽊柜放在墙⾓处（与墙⾯和地⾯均没有缝隙），有⼀只蚂蚁从柜⾓A处沿着⽊柜表⾯爬到柜⾓处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达⽬的地的可能路径．（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3）求点到最短路径的距离．44. 已知圆锥的底⾯半径为，⾼，现在有⼀只蚂蚁从底边上⼀点出发．在侧⾯上爬⾏⼀周⼜回到点，求蚂蚁爬⾏的最短距离．45. 如图，是⼀个长⽅体盒⼦，长，宽，⾼．（1）⼀只蚂蚁从盒⼦下底⾯的点沿盒⼦表⾯爬到点，求它所⾏⾛的最短路线的长．（2）这个长⽅体盒⼦内能容下的最长⽊棒的长度为多少?46. 图1、图2为同⼀长⽅体房间的⽰意图，图 3为该长⽅体的表⾯展开图．（1）蜘蛛在顶点处．①苍蝇在顶点处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙⾯爬⾏的最近路线．②苍蝇在顶点处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬⾏的最近路线和往墙⾯爬⾏的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图中，半径为的与相切，圆⼼到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬⾏路线，若与相切，试求长度的范围．47. 如图，长⽅体中，，，⼀只蚂蚁从点出发，沿长⽅体表⾯爬到点，求蚂蚁怎样⾛最短，最短路程是多少?48. 如图，平⾏四边形中，，，，将平⾏四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若点时直线上的⼀个动点，请计算的最⼩值．49. 实践操作在矩形中，，，现将纸⽚折叠，点的对应点记为点，折痕为（点，是折痕与矩形的边的交点），再将纸⽚还原．QQ群450116225（1）初步思考若点落在矩形的边上（如图①）．①当点与点重合时，，当点与点重合时，；②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时菱形的边长．（2）深⼊探究若点落在矩形的内部（如图③），且点，分别在，边上，请直接写出的最⼩值．（3）拓展延伸若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某⼀种情况，使得线段与线段的长度相等?若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．答案1. B2. C 【解析】将台阶⾯展开，连接，如图，线段即为壁虎所爬的最短路线．因为，，在中，根据勾股定理，得，所以．所以壁虎⾄少爬⾏．3. C 【解析】4. B5. D6. A 【解析】 .7. B 8. B 9. B 10. C11. B 12. A 13. C 【解析】将正⽅体的左侧⾯与前⾯展开，构成⼀个长⽅形，⽤勾股定理求出距离即可．如图，．14.15.【解析】将圆柱的侧⾯沿剪开并铺平得长⽅形，连接，如图．线段就是⼩⾍爬⾏的最短路线．根据题意得．在中，由勾股定理，得，．所以．16.17.18.19.【解析】只要把长⽅体的右侧表⾯剪开与前⾯这个侧⾯所在的平⾯形成⼀个长⽅形，如图 1：长⽅体的宽为，⾼为，点离点的距离是，，，在直⾓三⾓形中，根据勾股定理得：。
最短路径问题-数学建模比赛
2015大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：泉州师范学院参赛队员(打印并签名) ：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2015 年 5 月 17 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：目录1.摘要 (3)2.问题的重述及分析 (4)3.符号说明 (4)4.模型的分析，建立和求解 (5)5.模型的评价和改进 (10)6.参考文献 (10)7.附录 (11)最短路径问题摘要由于保安资源有限，根据学校的实际情况与需求，泉州师院数学专业新引进了智能机器人---大白，目的是让他自动在校园巡逻，以确保校园的安全。
对于题中所给的三个问题，研究在不同现实背景下的最优线路设计问题，即研究在约束条件下的最短路径问题。
针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，利用图论中的各种知识，采用数据结构里的最短路径算法,也叫Dijkstra 算法，对最优线路的设计进行建模并使用MATLAB 和lingo 软件进行编程求解。
最短路径专题 含答案
（1）如图 ，当点 是 ；
垂足分别为 ‴，′， 为斜边 与点
是 Rt
‸ 斜边
的中点．
重合时， ‴ 与 ′ 的位置关系是
上一动点（不与 ， 重合），分别过 ， 向直线 ‸ 作垂线， ， ‴ 与 ′ 的数量关系
（2）如图 ，当点 明；
在线段
上不与点
重合时，试判断 ‴ 与 ′ 的数量关系，并给予证
（3）如图 ，当点
‴
和
‸ 相似，求点
的坐标．
25. 如图，已知抛物线经过原点 ，顶点为
过 ，且与直线
h
交于 ，‸ 两点．
（1）求抛物线的解析式及点 ‸ 的坐标； （2）求证： （3）若点 为 ‸ 是直角三角形； 轴上的一个动点，过点 作 轴与抛物线交于点 ，则是否存在以 ， ， 为顶点的三角形与 26. 阅读下面材料： 连接 ‴′，则 ‴′ h ‴ ‸ 相似?若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求这条抛物线的解析式； （2）点 是线段 上的动点，过点 的坐标； 最大时，求点 （3）探究：若点 作 ‴∥ ‸，交 ‸ 于点 ‴，连接 ‸ ，当 的坐标；若不存在，请说明理由． h
的坐标；若不存在，请说明理由．
，将矩形沿对角线 ‸ 剪开，请解决以下问题：
（1）将 接 与 30. 如图甲，在 向点
，并求线段
‸‴ 绕点 ‸ 顺时针旋转 高 得到 的长度；
‸‴ ，请在备用图中画出旋转后的 高㤵 㤵
‸‴ ，连
（2）在（1）的情况下，将 ‸ 中，
‸ 重叠部分的面积为 ，求 由点 ，设运动时间为
（2）在图③中，半径为 高 dm 的 在线段 试求 上，苍蝇 在 的长度的范围． 20. 如图所示，长方体的长为
最短路径问题练习题
最短路径问题练习题最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要研究在加权图中找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题在实际生活中有广泛的应用，比如导航系统中的路线规划、网络中的数据传输等。
以下是一些关于最短路径问题的练习题，供同学们练习和思考。
练习题1：Dijkstra算法的应用给定一个包含6个顶点的图，顶点编号为1到6，边的权重如下所示：- 1-2: 7- 1-3: 9- 2-3: 14- 2-4: 10- 3-4: 15- 3-5: 6- 4-5: 11- 5-6: 2- 3-6: 20请使用Dijkstra算法找出从顶点1到顶点6的最短路径。
练习题2：Bellman-Ford算法的应用考虑一个包含5个顶点的图，顶点编号为A、B、C、D、E，边的权重如下所示：- A-B: 5- A-C: 3- B-C: 1- B-D: 2- C-E: 8使用Bellman-Ford算法计算从顶点A到顶点E的最短路径。
练习题3：Floyd-Warshall算法的应用给定一个包含4个顶点的图，顶点编号为1、2、3、4，边的权重如下所示：- 1-2: 4- 1-3: 5- 2-3: 3- 2-4: 7- 3-4: 2使用Floyd-Warshall算法计算所有顶点对之间的最短路径。
练习题4：有向图中的最短路径问题在一个有向图中，有5个顶点，编号为1到5，边的权重如下所示：- 1->2: 2- 1->3: 3- 2->3: 1- 2->4: 4- 3->4: 5- 3->5: 2- 4->5: 1找出从顶点1到顶点5的最短路径。
练习题5：负权重边的最短路径问题考虑一个包含4个顶点的图，顶点编号为1、2、3、4，边的权重如下所示：- 1-2: 10- 2-3: -3- 3-4: 1在这种情况下，使用Bellman-Ford算法找出从顶点1到顶点4的最短路径，并讨论负权重边对最短路径算法的影响。
精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题
初中数学竞赛专题讲解最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】一、基础过关图(2)EB DACP图(3)DAOCP1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A 处到内壁的B 处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程 .2.如右图是一个长方体木块，已知3,4,2AB BC CD ===，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
3.正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一动点，DN MN +的最小值为 。
4.在菱形ABCD 中，2AB =，060BAD ∠=，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE PB +的最小值为5.如图，在ABC ∆中，2AC BC ==，090ACB ∠=，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ED +的最小值为6.AB 是⊙O的直径，2AB =，OC 是⊙O 的半径，OC AB ⊥，点D 在AC上，D 为AC 的三等分点，点P 是半径OC 上的一个动点，则AP PD +的最小值为 7.如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若CD ＝18cm ，则△PMN 的周长为8.如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是 ．9.如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．DAMBA第1第2第3第4二、例题讲解例1：已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形且以P 为直角顶点时，求点P 的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标．例2：如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点P的坐标为1⎛ ⎝⎭，交x 轴于A 、B 两点，交y轴于点(0C ，．（1）求抛物线的表达式．（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．判断四边形ADBC的形状，并说明理由．（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．例3：如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B 分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．例4：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD 周长最短时,求m n。
八年级上册体育最短路径问题(田径赛跑)专项练习(含解析)
八年级上册体育最短路径问题(田径赛跑)
专项练习(含解析)
问题描述
在田径赛跑比赛中，有一条操场跑道，跑道由若干个直线段组成，每个直线段长度不相同。
现在需要选定一个起点和一个终点，选手在跑道上跑步。
假设选手只能走直线，且只能走上方向或右方向，即只能往右或往上走。
那么，选手从起点到终点可能的最短路径长度是多少？
解析
这道问题可以用最短路径算法解决。
我们可以使用动态规划的思想来找到最短路径。
1. 定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示从起点到坐标(i, j)的最短路径长度。
2. 假设操场跑道的起点坐标为(0, 0)，终点坐标为(m, n)，其中m和n分别表示操场的行数和列数。
3. 初始化第一行和第一列的最短路径长度。
因为在这两行或两列上，选手只能一直往右或往上走，所以最短路径长度为前一个点的最短路径长度加上当前直线段的长度。
4. 从(1, 1)开始遍历操场的每个点，计算到达该点的最短路径长度。
对于每个点，最短路径长度等于上方点和左方点中较小的路径长度加上当前直线段的长度。
5. 最后，dp[m][n]即为起点到终点的最短路径长度。
示例
假设操场的跑道如下所示，其中数字表示直线段的长度：
1 3 5
2 1 4
3 2 1
根据上述解析过程，我们可以得到一个dp数组如下所示：
1 4 9
3 4 8
6 6 9
所以，选手从起点到终点的最短路径长度为9。
以上是关于八年级上册体育最短路径问题(田径赛跑)的专项练习的文档。
希望对你有帮助！。
初中最短路径问题例题
初中最短路径问题例题一、初中最短路径问题例题1. 例题1如图，A、B两个村庄位于一条小河的两侧，现要在小河上建一座桥，使得从A村到B村的路程最短，桥应建在何处？（假设小河两岸平行）解题思路：我们可以把小河的宽度平移，将A点沿垂直于河岸的方向平移小河的宽度到A'点，然后连接A'B，A'B与靠近B村的河岸交点为建桥的位置。
因为两点之间线段最短，我们通过平移把折线转化为直线，就找到了最短路径。
2. 例题2在一个正方形ABCD中，E为AB中点，F为AD上一点，且AF = 1/4AD，P为对角线BD上一动点，求PE+PF的最小值。
解题思路：利用正方形的对称性。
因为正方形关于对角线BD对称，所以点F关于BD的对称点F'在CD上，且CF'=AF。
连接EF'，则EF'的长度就是PE + PF的最小值。
根据勾股定理可求出EF'的长度。
3. 例题3已知平面直角坐标系中有A(1,3)、B(5, - 1)两点，在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求P点坐标。
解题思路：作A点关于x轴的对称点A'(1, - 3)，连接A'B，设A'B所在直线的解析式为y = kx + b，把A'(1, - 3)和B(5, - 1)代入可求出解析式，令y = 0，即可求出P点坐标。
因为A'和A 关于x轴对称，所以PA = PA'，那么PA+PB = PA'+PB，当A'、P、B三点共线时，值最小。
4. 答案与解析例题1答案：按上述方法确定建桥位置。
解析：平移是关键，把实际的折线路程转化为直线的两点间距离问题，利用两点之间线段最短的原理。
例题2答案：先求出EF'的长度。
根据E为AB中点，AB = AD，AF = 1/4AD，可得AE = 1/2AD，CF'=1/4AD，DF'=3/4AD。
精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(资料)
初中数学竞赛专题讲解最短路径问题【问题归纳】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在搜寻图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法详尽的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知初步结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马” ，“造桥选址” ，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短” ，“垂线段最短” ，“三角形三边关系” ，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题观察．【十二个基本问题】【问题 1】作法AlB连 AB，与 l 交点即为P．在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．【问题 2】“将军饮马”作法ABl 作B关于l的对称点＇B在直线l 上求一点，使连 A B＇，与 l 交点即为 P．PPA+PB值最小．【问题 3】作法分别作点 P关于两直线的l 1对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，Pl2与两直线交点即为M， N．图形AP lB图形ABlPB'图形P'l 1MP原理两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB．原理两点之间线段最短．PA+PB最小值为 A B＇．原理两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段 P＇P＇＇的长．Nl2P''在直线 l1、l2上分别求点M、N，使△ PMN的周长最小．【问题 4】作法l 1Q分别作点 Q 、P 关于直线Pl2l1、 l 2的对称点 Q＇和 P＇图形原理Q'l 1QM两点之间线段最短．P在直线 l1、l2上分别求点M、连Q＇P＇，与两直线交点即Nl2四边形PQMN周长的最小N，使四边形PQMN的周长最为M，N．小．【问题 5】“造桥选址”作法AP'值为线段P＇P＇的长．图形原理M m将点 A 向下平移MN的长Nn度单位得＇，连＇，交 n B A A B直线 m ∥ n ，在 m 、 n ，上于点，过N 作⊥ m 于N NM分别求点、，使⊥m ，M．M N MN且 AM+MN+BN的值最小．【问题6】作法A将点 A向右平移a个长度BM a N l单位得 A＇，作 A＇关于 l 的在直线 l 上求两点 M、 N（ M对称点 A＇，连 A＇B，交直在左），使 MN a ，并使线 l 于点 N，将 N 点向左AM+MN+NB的值最小．平移 a 个单位得M．【问题7】作法l1作点P 关于 l 1的对称点PP＇，作 P＇B⊥ l 2于 B，交 l 2l 2于 A．在 l 1上求点 A，在 l 2上求点AA'MmnNB图形A A'BlM NA''图形l1P'PAl 2B两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．原理两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．原理点到直线，垂线段最短．PA+AB的最小值为线段P＇B的长．B ，使 PA +AB 值最小．【问题 8】作法l 1 N AMB l 2作点 A 关于 l 2的对称点A 为l 1 上必然点， B 为 l 2 上 ＇，作点B 关于l 1 的对称 A必然点，在 l 2 M点 ＇，连 ＇＇交 l 2 M 上求点 B A B 于，在 ， l 1 上求点 N ，使 AM +MN +NB 交 l 1 于 N ．的值最小．【问题 9】作法AB连 AB ，作 AB 的中垂线与l在直线l 上求一点 ，使直线 l 的交点即为 P ．PPA PB 的值最小．【问题 10】作法ABl作直线 AB ，与直线 l 的交点即为 ．在直线l 上求一点，使PPPA PB 的值最大．【问题 11】作法A作 B 关于 l 的对称点B ＇l 作直线 A B ＇，与 l 交点即B为 P ．在直线 l 上求一点 P ，使图形原理B'l 1AN两点之间线段最短．M Bl 2 + + 的最小值为线段A'AM MNNBA ＇B ＇的长．图形原理A垂直均分上的点到线段两Bl端点的距离相等．PPA PB ＝0．图形 原理A三角形任意两边之差小于B第三边． PA PB ≤ ．lABPPA PB 的最大值 ＝ AB ．图形 原理三角形任意两边之差小于AB'第三边． PA PB ≤ AB ＇．lPBPA PB 最大值 ＝ AB ＇．优选初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(资料)PA PB 的值最大．【问题 12】“费马点”作法图形原理A所求点为“费马点” ，即满足∠ APB＝∠ BPC＝∠ APC DAB CE ＝ 120 °．以AB、AC为边P△ ABC中每一内角都小于向外作等边△ ABD、△ ACE，B C两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝ CD．120°，在△ABC内求一点连CD、BE订交于P，点PP，使 PA+PB+PC值最小．即为所求．一、基础过关1. 以下列图，是一个圆柱体，底面周长为10 ,高为 6 ,一只蚂蚁要从外壁的 A 处到内壁的 B 处吃一食品 , 求蚂蚁所走的最短程.2.如右图是一个长方体木块，已知AB3, BC 4, CD 2 ，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
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2011年CUDA校园编程竞赛指定题目−最短路径问题
最短路径问题(Shortest Path Problem)是经典图论问题之一，具有重大研究价值和工程意义。
从学术角度来说，图灵奖得主EdsgerDijkstra针对该问题的一系列工作是现代算法研究的起点之一，以他的名字命名的Dijkstra最短路径算法成为计算机科学家武器库中的基本装备。
从工程意义上讲，最短路径问题是对大量工程问题的直观抽象。
最典型的例子当然是导航，我们在谷歌地图上寻找驾车路径时，显然就是要找到一条物理距离最短或者行驶时间最短的路线。
此外，机器人路径规划、集成电路布线、计算机网络路由等应用都需要寻找最短路径。
因此，今年我们选择该问题作为CUDA校园编程竞赛指定题目。
最短路径问题是在图(graph)的概念上定义的。
这里的“图”服从图论中的定义，但是不需要学习图论也可以理解其概念。
一个图由节点(vertex或者node)集合和边(edge或者arc)集合组成，图1是一个例子。
其中，标有数字的圆圈是节点，分别具有编号0到5，即节点0到节点5一共六个。
两个节点之间可以由一条边连接，由相应节点标志，例如图1中连接节点0和1的边可以记作(0,1)。
边可以有方向或无方向，本次竞赛中只考虑有方向的边，因此图1中的边都有箭头。
这时可以一条边(i,j)是由节点i指向节点j，当然反过来也行，相应的图被称为有向图。
每条边上一般可以有一个权重，表示某种属性，图1里面每条边旁边的数字就是相应权重。
对本次竞赛而言，可以把权重理解为相应节点之间的真实物理距离，因此权重是大于0的实数。
图1. 图及其节点和边
在一个图里面，从某一节点i开始，经由一系列边可以到达某个节点k，则i→k称为一条路径(path)，该路径的长度是所有经过的边上的权重之和。
如果从
某一节点出发，能够找到至少一条去往其它任何节点的路径，则该图是连通的，本次竞赛只考虑连通图。
连通图中的任意两个节点i和j之间一般来说存在多条路径，最短路径问题就是找到其中最短的一条。
注意节点和边可以形成环路(cycle)，但是环路不影响最短路径，因为在边的权重大于0的情况下，经过环路的路径只会更长。
对于图论问题和最短路径的教科书很多，最详尽但是有一定深度的是由Thomas H. Cormen、Charles E. Leiserson、Ronald L. Rivest和Clifford Stein撰写的“Introduction to Algorithms”，即《算法导论》。
1.Dijkstra最短路径算法
最短路径问题能够以多项式时间复杂度优化求解，其中算法大致分为Dijkstra算法和Bellman–Ford algorithm算法两类。
前者具有较低的算法复杂度，
但是后者也适用于具有负数权重的图。
本次竞赛选用的测试文件不包含负数权重，因此Dijkstra算法较为适合，但是选手可以尝试挖掘各种算法的并行性。
Dijkstra算法由EdsgerDijkstra在1956年建立(论文发表于1959年)，是最为著名的算法之一，图2列出维基百科上Dijkstra算法的伪代码，相应链接为/wiki/Dijkstra%27s_algorithm。
其基本思路是这样的：首先把除起始节点外的全部节点的距离值(储存于dist数组)初始化为无穷大，并且用previous数组记录每一节点在最短路径上的前一个节点，该数组初始化为未定义；接下来把起始节点的距离值(储存于dist[0])初始化为0，并把所有节点放到集合Q中；然后开始循环，以Q变为空集作为循环终止条件；在循环的每一步，从Q 中取出dist[i]值最小的i节点，当然第一次循环取得的必然是起始节点；取得i 节点后，遍历i节点的所有边，计算dist[i]与相应边的权重之和，如果这一结果小于末端节点j的dist[j]，则更新dist[j]，这个数值也就是当前节点j到起始节点的最短距离；处理完i节点后，将其从集合Q中删除。
直接实现的Dijkstra算法具有O( | V | 2 + | E | ) = O( | V | 2)的复杂度，其中V 是图的节点集合，E是边的集合。
主要瓶颈在于伪代码第9行寻找最小的dist[i]。
因此通常把dist数组存储为一个堆(heap)，则提取dist[i]只需要常数时间复杂度，但是插入dist[i]需要O(log(V))，则复杂度降低为O(( | E | + | V | )log | V | )。
如果使用更先进的Fibonacci heap，则复杂度还可以降为O( | E | + | V | log | V | )。
关于Dijkstra算法，最好的教科书仍然是“Introduction to Algorithms”。
对Dijkstra算法的改进极多，最为著名的是A*(读作A-star)算法，其中核心的思想是把节点的代价函数(即dist[i])表示为两部分：1) 目前与起始节点的距离；
2) 与目标节点的预期距离。
后一部分可以引导寻路过程向目标节点靠近得更快，在实际工程应用中具有重要意义，例如游戏里面的最短路径算法一般使用A*。
维基百科对该算法有很好的描述/wiki/A*_search_algorithm，此外/~amitp/GameProgramming/提供了极好的介绍。
2.并行最短路径算法
由于Dijkstra算法的每一次循环都依赖上次循环计算的结果，最短路径算法的并行并不容易。
而图数据结构(一般使用adjacency list)的不规则性，使得GPU 加速更具有挑战性。
NVIDIA的Michael Garland博士在论文“Sparse matrix
computations on manycore GPU's”(2008 Design Automation Conference, 2~6页)中，介绍了使用GPU通过计算系数矩阵-向量乘积来求解Dijkstra算法，很有创意。
Dijkstra算法的C++实现已经包含在Boost库，进一步信息可以在/research/pbgl/documentation/dijkstra_shortest_paths.html找到。
目前最成功的并行最短路径算法是∆-stepping算法，由U. Meyer和P. Sanders 在“∆-stepping： A Parallel Single Source Shortest Path Algorithm”(/viewdoc/summary?doi=10.1.1.46.2200)首次提出，同名文章的journal版本可以在Journal of Algorithms, V olume 49, Issue 1, 114-152页找到。
其基本思想是放松Dijkstra算法中每次只取出距离最短节点这一约束，而是把节点根据其距离组织在几个区间(称为bucket)内，每次取出一个bucket内的所有节点进行并行处理。
∆-stepping算法的CPU实现可以在Internet上找到，最好的C++版本是Boost库中的实现，可以在/research/pbgl/documentation/dijkstra_shortest_paths.html下载。
GPU 上∆-stepping的实现已经出现，请在/p/gpuwire/downloads/detail?name=gpuwire.zip&can=2&q=
下载。
3.测试文件
本次竞赛中，我们使用一组来自真实世界的道路图作为测试程序，如表1所示。
注意有些测试文件数据量较大，介绍辅助数据结构之后可能无法装入GPU 全局存储器，那么参赛选手可以寻找办法进行增量式计算，即每次用GPU算一部分，在CPU上汇总形成最终结果。
测试文件下载地址：http://www.dis.uniroma1.it/~challenge9/download.shtml
表1. 测试文件
测试文件的后缀为.gr。
其文件格式非常简单，每一行均以一个字母(c, p或a)开始，标志该行的属性，如表2所示。
节点编号从1开始，连续排列。
表2.测试文件格式
参赛选手可以随意选择一对节点计算最短路径，最后评分时检查从节点1到节点n的最短路径，注意评委还有若干隐藏的测试文件在最后评分时使用。