2018学年第二学期浙江省名校协作体 高三年级数学 试卷及答案

x2
≥
2 e
，则结论成立；
若
x2
<
2 e
，即
x2
∈
1 e
,
2 e
时
令 h(x) = g(x) − g 2 − x = x ln x − 2 − x ln 2 − x ， x ∈0, 1
e
e e
e
则 h'(x)
=
ln
x
+ ln
2 e
−
x
+
2
，从而 h'' (x)
=
1 x
+
+L+
1 2n −1
−
1 2n +1
-------பைடு நூலகம்13
分
= 5−3⋅ 1 < 5 4 2 2n +1 4
即 Tn
<
5 4
--------------------------------------------------------------------------------------15
或（ 6 ，−1）（2
6 2
，−
1），此时
S
∆AOB
=
6 ------------------------------10 分 2
当直线 l 斜率不为 0 时，设直线 l : x = ty + m
( ) 联立
x 2
= x2
ty +
+m 3y2
=
6
⇒
2t 2 + 3
y2 + 4tmy + 2m2 − 6 = 0
分
4 千里之行 始于足下
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21．解：（1） 2c = 2 ⇒ c = 1， c = 1 ⇒ a = 3 ⇒ b = 2 ⇒ C : x2 + y2 = 1------3 分
a3
32
（2）设直线 l : x = ty +1
( ) 联立
x 2
= x2
ty +1 + 3y2
=
6
⇒
2t 2 + 3
（2） bn
=
3 4n2
,T1
=
b1
=
3 4
<
5 4
；
当n
≥
2 时 bn
=
3 4n2
<
3 4n2 −1
=
3
(2n +1)(2n −1)
=
3 2
1− 2n −1
1 2n +
1
---------11
分
∴Tn
=
3 4
+
b2
+ b3
+ ... + bn
<
3 4
+
3 2
1 3
−
1 5
+
1 5
−
1 7
r uuur
则
nr
⋅
CD uuur
=
0
，
−2x + 2 3y = 0
x = 令 y = 1，得
n ⋅ PC = 0 2x + 3y − 3 2z = 0
z =
3 6 2
r ∴n = ( 3,1,
6 ) ------------------------------------------------------------------------------12 分
11
11
方法二：
如图，建立空间直角坐标系，则 B(0, −2 3, 0) ， C(2, 0, 0) ， D(0, 2 3, 0) ， N (0, − 3, 0)
设 P(x0 , y0 , z0 )
则
(x0 + 2)2 + y02 + z02 = 25 (x0 − 2)2 + y02 + z02 = 25
∴ S∆AOB
=
1 2
m
y1 − y2
=
1 2
m
2 6m 2t 2 + 3
=
6m2 2m2
=
6 -------------------------------15 分 2
21．解：（1）
f
'
(x)
=
x−a x2
(x
>
0)
⇒ a > 0 ------------------------------------------3 分
∴ PO = 21 = PB ，∴ PN ⊥ BD -------------------------------------5 分
且易求 PN = 3 2 ， NC = 7
∴ PN 2 + NC 2 = PC 2 ，从而 PN ⊥ NC ---------------------------------7 分 又 BD I NC = N ∴ PN ⊥ 平面 ABCD ---------------------------------------------------8 分
则
f (x1 ) +
f (x2 ) = ln x1
+
1 x1
+ ln x2
+
1 x2
= ln x1x2
+1 > ln 4 +1 = 2 ln 2 +1.----8 分
（3） f (x) = ln x + a = 0 x
即 − a = x ln x ，令 g(x) = x ln x ，则 g '(x) = ln x +1
− an2
=
2(an+1
+
an )
---------------------------------------------------------------------2
分
Q an > 0 ，∴an+1 − an = 2 (n ≥ 2) ----------------------------------------------------------4 分
2
3
15．150 ；
16． 0, 3 5 − 6 ；
17． 6 ； 2
三、解答题
18．解：（1）由正弦定理得： b2 + c2 − 2bc = a2 --------------------------2 分
∴cos A = b2 + c2 − a2 = 2 ，从而 A = π ------------------------------7 分
（2）
f
'(x) =
x− x2
1
,由f
'(x1) =
f
'(x2 )得
x1 −1 x12
=
x2 − x22
1，即x1
+
x2
=
x1x2. ------5
分
因为 x1 , x2 > 0, 且x1 ≠ x2，所以x1x2 = x1 + x2 > 2 x1 x2，得x1 x2 > 4. --------7 分
7 千里之行 始于足下
∴h(x) > h 1 = 0 ，即 g(x) > g 2 − x 在 0，1 上恒成立
故 amin = 2 2 −1 ----------------------------------------------------------------------------14 分 19．证明：（1）连结 AC ，交 BD 于点 O ，则 BM = 1 = BN
BP 2 BO ∴ MN // PO -------------------------------------------------------------------------------------2 分 从而 MN / / 面 PAC ---------------------------------------------------------------------------3 分 （2）连结 PO ， PN Q PA = PC , O 是 AC 中点 ∴ PO ⊥ AC ,又 PA = PC = 5 ， AO = 2
x0 = 0
得
y0
=
−
3
x02
+
(
y0
+
2
3)2 + z02 = 21
z0
=
3
2
∴ P(0, − 3, 3 2) --------------------------------------------------------10 分 r
设平面 PCD 的一个法向量为 n = (x, y, z)
y1 y2
2
2
2
故直线 l : 2x ± y − 2 = 0 -------------------------------------------------------------------9 分
（3）当直线 l 斜率为 0 时，则 k1 = −k2 ，易求两点坐标分别为（
6 ，1）（2
6 ，1） 2
<
1
+
t t+
t
2
2
=
1
1 +1+
t
t2
当t
→
+∞
时，
t et
→
0
+
，故
-
t et
→ 0-
从而当 − a ∈ − 1 ,0 时有两个零点----------------------------------------------------------11 分 e
不妨设 0
<
x1
<
1 e
<
x2
，若
y2 + 4ty − 4 = 0 ，
设
A( x1 ,
y1) ，
B(x2 ,
y2 )
，则
y1
+
y2
=
− 4t 2t 2 + 3
，
y1
⋅
y2
=
− 2t 2
4 +3
-----------------5
分
又 y1 = −2 ⇒ y1 + y2 = − 5
y2
y2 y1 2
⇒ ( y1 + )y2 2 = − 1 ⇒ t 2 = 1 ⇒ t = ± 1 ----------------------------------------------8 分
−1 2−x e
=
2
1 e
−
x
2 e
−
x
x
>
0
∴h' (x) 在 0, 1 上单调递增， h' (x) < h' 1 = 0
e
e
∴h(x) 在 0, 1 上单调递减---------------------------------------------------------------14 分 e
2
n ⋅ PN
记直线 PN 与平面 PCD 所成角为θ ，则 sinθ =
=
33 ------------15 分
n PN 11
3
千里之行 始于足下
（用其它方法解答，酌情给分！）
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20．解：（1）
aann22+1==22SSn
n+1 + + 2S
2Sn n −1 (n
≥
2)
∴
a2 n+1
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2018 学年第二学期浙江省名校协作体参考答案
高三年级数学
首命题：金华一中 次命题兼审校：衢州二中
审核：长兴中学
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
答案 C
B
C
A
B
D
D
D
B
A
二、填空题
11． −3 ， 3 ； 12． ± 3 ， 2 ； 13． 9 3 ， 18 + 6 3 ； 14． 3 ， 6 ；
令 n = 1 ，则求得 a2 = 4 ，∴a2 − a1 = 2 ∴an+1 − an = 2 (n ∈ N * ) ----------------------------------------------------------------------5 分
故 an = 2n -----------------------------------------------------------------------------------------7 分
（3）方法一：
设 d N −PCD
=
h，
PN
与平面
PCD
所成角为θ
，则 sinθ
=
h PN
----------------------10
分
Q VN −PCD = VP−NCD -------------------------------------------------------------------------------12 分
则函数 g(x) = x ln x在(0, 1)单调递减，(1 ,+∞)单调递增，g 1 = − 1 . -------10 分
e
e
e e
6 千里之行 始于足下
令x
=
e−t ，其中 t
>
0 ，则 g(x) =
e−t
ln e−t
=
-
t et
，
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Qet
>1+t + t2 2
，∴
t et
2
千里之行 始于足下
∴ S∆PCD ⋅ h = S∆NCD ⋅ PN ，计算可得 S∆NCD = 3 3 ， PD = 3 5 ， ∴ S∆PCD = 3 11 ，又Q PN = 3 2
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∴h = 3 6 ，从而 sinθ = 33 --------------------------------------------------------------15 分
则
y1
+
y2
=
− 4tm 2t 2 + 3
，
y1
⋅
y2
=
2m2 − 6 2t 2 + 3
5
千里之行 始于足下
Q
k1k2
=
−
2 3
⇒
3y1 y2
+
2 x1 x2
=
0，
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又 x1x2 = t 2 y1 y2 + m2 + tm(y1 + y2 )
( ) ∴ 2t 2 + 3 y1 y2 + 2tm(y1 + y2 )+ 2m2 = 0 ，得 2t 2 + 3 = 2m2 ------------------------13 分 ( )( ) 从而 ∆ = 16t 2m2 − 4 2t 2 + 3 2m2 − 6 = 24m2
2bc
2
4
（2） S = 1 bc sin A = 1，从而 bc = 2 2 ------------------------------------------------9 分 2
1 千里之行 始于足下
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∴a2 = b2 + c2 − 2bc cos A = b2 + c2 − 4 ≥ 4 2 − 4 ----------------------------------12 分