三角形的五心向量结论证明

三角形的五心向量结论证明

1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=u u u r u u u r u u u r r

(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)

证明：充分性: 1230OP OP OP ++=u u u r u u u r u u u r r ⇒O 是123PP P ∆的重心

若1230OP OP OP ++=u u u r u u u r u u u r r ，则123OP OP OP +=-u u u r u u u r u u u r ，以1OP u u u r ，2OP u u u r 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'

123OP OP OP +=u u u r u u u r u u u r ，得'33OP OP =-u u u r u u u u r

，即'

33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，

O 为的重心。

* △ABC 中AC AB +一定过BC u u u r

的中点，通过△ABC 的重心

1(),3

1()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩

u u u

r u u u r u u u r V u u u r u u u r u u u r

为的重心， *1()3

PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r

⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).

证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

∵G 是△ABC 的重心 ∴GA GB GC ++u u u r u u u r u u u r =0r ⇒AG BG CG ++u u u r u u u r u u u r =0r ，即3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 由此可得1()3

PG PA PB PC =++u u u r

u u

u r u u u r u u u r .(反之亦然(证略))

*若O 是ABC ∆的重心，则

ABC AOB AOC BOC S 31

S S S ∆∆∆∆=

==

P 1

2

P

P 3

O P

ABC

∆()

1,

2

AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ABC ∆2.在

中，给

等于已知AD 是

中

BC 边的中线;

2. 0

AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩u u u r u u u r g V u u u r u u u r

g 为的垂心 * 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OP

OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OP

PP ⊥u u u r u u u u r , 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 同理123OP P P ⊥u u u r u u u u r ⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r

故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .

* O 是△ABC 所在平面内一点2

2

22

2

2

→

→→→

→

→+=+=+AC

OB BA OC BC OA

则O 是△ABC 的垂心 证明：由

，得

，所以

。同理可证

。容易得到

由以上结论知O 为△ABC 的垂心。

* 设()+∞∈,0λ，则向量cos cos (

C

AC B

AB +

λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC

的垂心

[)+∞∈⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→→→,0,cos cos λλC AC AC B AB AB AP

* 若H 是△ABC(非直角三角形)的垂心， 则

S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC

故tanA·

HA u u u r +tanB·HB u u u r +tanC·HC u u u r =0r

()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC BC AB BC AC BC AB B AC C AB B AC C ⋅⋅⋅+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ||||cos()||||cos ||||0||cos ||cos BC AB B BC AC C BC BC AB B AC C

π⋅-⋅=+=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()||cos ||cos AB AC BC AB B AC C ⊥+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r